Sinus und Cosinus von Summen und Differenzen

Winkelsummen

Skizze In der nebenstehenden Abbildung sei MA = MB = MC = r = 1 der Radius des Einheitskreises um den Mittelpunkt M. Die Winkel seien α = ∢BMC, β = ∢AMB und (α + β) = ∢AMC. Für die farbigen Strecken gilt:

  • BE = sin α
  • AF = sin β
  • AD = sin (α + β)
Durch das Lot AF von A auf den Schenkel MB des Winkels α erzeugen wir das rechtwinklige Dreieck AKF, in dem ∢KAF = α, denn die Schenkel AD und AF stehen jeweils auf den Schenkeln MB und MC senkrecht. Die punktierten Hilfslinien erzeugen zwei zusätzliche Dreiecke AKF und FMN, deren Katheten AK und FN sich zu AD = sin (α + β) addieren. Wir suchen also Beziehungen für AK und FN.
  • sin (α + β) = AK + KD = AK + FN

Im Dreieck FNM ist:

  • sin α = FN ⁄ FM,
  • daraus erhalten wir:
  • FN = MF · sin α.
Ebenso erhalten wir im Dreieck AKF für den Cosinus von α (da der Winkel ∢KAF = α, denn die Schenkel stehen paarweise auf einander senkrecht):
  • cos α = AK ⁄ AF,
  • also
  • AK = AF · cos α.
Wir brauchen nun noch Beziehungen für AF und MF. Im Dreieck MFA ist
  • cos β = MF ⁄ AM = MF,
  • denn AM = 1 im Einheitskreis. Ebenso ist
  • sin β = AF.
Damit haben wir AK = sin β · cos α.

Wir suchen noch einen Ausdruck für KD = FN. Im Dreieck MFN gilt:

  • sin α = FN ⁄ MF
  • also:
  • FN = MF · sin α = cos β · sin α
Da wir den Ausdruck von sin (α + β) = AD = AK + FN suchen, addieren wir die Ausdrücke:
  • sin (α + β) = sin β · cos α + cos β · sin α

Der oben stehenden Abbildung entnehmen wir für den Cosinus der Winkelsumme:

  • cos (α + β) = MD = MN - DN = MN - KF
und wir finden:
  • cos α = MN ⁄ MF ⇒ MN = MF · cos α
  • cos β = MF ⁄ MA = MF (im Einheitskreis)
  • ⇒ MN = cos β · cos α
  • sin β = AF ⁄ MA = AF (im Einheitskreis)
  • und weil der Winkel ∢KAF = α (senkrechte Schenkel!)
  • sin α = KF ⁄ AF ⇒ KF = AF · sin α
  • ⇒ KF = sin β · sin α
Eingesetzt in die obige Formel:
  • cos (α + β) = cos β · cos α - sin β · sin α

Winkeldifferenzen

Skizze In der nebenstehenden Abbildung seien die Winkel α = ∢AMC, β = ∢AMB und (α - β) = BMC. Für die farbigen Strecken gilt:

  • AF = sin α
  • KB = sin β
  • BD = sin (α - β)
Das Lot B auf AM hat den Fußpunkt K, durch den horizontale und vertikale punktierte Hilfslinien gezogen werden. Damit ist
  • sin (α - β) = BD = ED - BD = KN - BE
Wir suchen also Gleichungen für KN und BD. Im Dreieck MNK finden wir die Beziehungen:
  • sin α = KN ⁄ KM ⇒ KN = KM · sin α
  • cos β = KM ⁄ MB ⇒ KM = cos β (im Einheitskreis)
  • KN = sin α · cos β
Und im Dreieck ABE finden wir, da ∢KBE = ∢KMD = α die Beziehungen:
  • cos α = BE ⁄ KB ⇒ BE = KB · cos α
  • sin β = KB ⁄ MB = KB (im Einheitskreis)
  • BE = sin β · cos α
Eingesetzt in die obige Formel ergibt:
  • sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
Mit analogen Argumenten findet man das Additionstheorem für cos (α - β).

Die Formeln für die Winkelsummen und -differenzen von Tangens und Cotangens kann man mit der Definition des Tangens: tan (α ± β) = sin (α ± β) ⁄ cos (α ± β) erhalten.