Drehbewegungen

Ein wichtiges Konzept, das Segler kennen sollten, ist die Physik der Drehbewegung. Sie ist die Grundlage zum Verstehen z.B. des Schraubeneffekts und der der Entstehung von Zyklonen (Tief­druck­ge­biete). Die physikalischen Größen sind der Bahndrehimpuls und das Drehmoment (mit MathML).

Der Bahndrehimpuls

Ein Körper - oder ein Massenpunkt, der sich auf einer gekrümmten Bahn bewegt, besitzt eine Eigenschaft, die Bahndrehimpuls oder Drall genannt wird.

Drall

Der Körper bewege sich auf einer Bahn mit dem Zentrum im Koordinatenursprung. Zu einem bestimmten Zeitpunkt hat der Massepunkt den (vektoriellen) Abstand r vom Koordinatenursprung (Ortsvektor). Sein Impuls ist p (die Frakturbuchstaben sympolisieren Vektoren, d.h. eine gerichtete Strecke mit den Parametern Länge und Richtung). diesen Impuls der Bewegung zerlegt man in eine Komponente entlang des Ortsvektors pr (radialer Impuls) und eine senkrecht dazu p/. Nur diese Komponente des Impulses des Massenpunktes geht in den Bahndrehimpuls ein; die radiale Komponente des Impulses hat keinen Einfluß auf den Bahndrehimpuls. (Wenn er Impuls entlang des Ortsvektors wirkt, also keine Komponente senkrecht dazu hat, bewegt sich der Massenpunkt geradlinig.) Der Bahndrehimpuls I des Massenpunktes ist nun das Vektorprodukt des Ortsvektors r und des Impulses p:

Vektorprodukt

Aus den Regeln der Vektorrechnung folgt, dass der Bahndrehimpuls senkrecht auf der Ebene steht, die vom Ortsvektor und dem Impulsvektor gebildet wird. Die Richtung des Bahndrehimpulsvektors ermittelt man mit Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand, die in die drei Raumrichtungen deuten: zeigt der Zeigefinger in Richtung des Ortsvektors, der Mittelfinger in Richtung der senkrechten Komponente des Impulsvektors, dann deutet der Daumen in Richtung des Bahndrehimpulses.

Rechte-Hand-Regel

Die Länge des Bahndrehimpulsvektors (oder seinen Betrag) berechnet man aus dem (skalaren) Produkt: I = r · p · sinα. Dabei sind r der Abstand zum Koordinatenursprung, p der Betrag des Impulses (die Länge des Vektors), und α der Winkel zwischen Ortsvektor und Impulsvektor.

Bahndrehimpuls

Der Impuls ist das Produkt aus (träger) Masse m und Geschwindigkeit v. Er hat also die Benennung kg·m/s; der Bahndrehimpuls hat daher die Benennung kg·m²/s.

Aus der Konstanz des Bahndrehimpulses folgt direkt das 2. Keplersche Gesetz. Der Ortsvektor enspricht dann der Ellipsenbahn (mit MathML). Die Formel für den Bahndrehimpuls (I = r · m · v) löst man nach der Geschwindigkeit auf, und erhält einen Ausdruck für die Umlaufgeschwindigkeit der Planeten in Abhängigkeit von ihrer Stellung.

Etwas einfacher [;-)] werden die Formeln, wenn sich der Massenpunkt auf einer Kreisbahn bewegt (dann ist der Impuls gleich der Komponente senkrecht zum Ortsvektor). Man kann dann die Bahngeschwindigkeit durch das Vektorprodukt aus Winkelgeschwingigkeit ω (als Vektor) und Ortsvektor ersetzen:

Drehimpuls der Kreisbewegung Formel Drehimpuls der Kreisbewegung

Drehimpuls der Kreisbewegung

Die Richtung des Drehimpulses wird - wie die des Bahndrehimpulses - mit der rechten Hand ermittelt, ihre skalare Größe analog mit der Formel: I = m · r2 · 2·π/t (dabei sind m die Masse des Punktes, r der Kreisradius und t die Zeit für einen vollständigen Umlauf; 2·π = 360°).

Das Produkt m · r2 nennt man Trägheitsmoment der Kreisbewegung.


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