Erläuterungen zu Gunter′s Works

Das vorliegende Buch ist eine posthume Ausgabe von William Leybourne. Er korrigiert und ergänzt Edmund Gunters Bücher über den Sector (1623) und den Cross-Staff (1624 nach William Mountaine: A Description of the Lines drawn on Gunter's Scale, London 1778.) und fügt Arbeiten von Samuel Foster zu einem verbeserten Sector und einem verbesserten Quadranten in Anhängen an.

Der Sector

Entstehung des Sectors

Hat Edmund Gunter die "Gunter Scale" erfunden? Ist sie ein Vorläufer des Rechenschiebers? Es gibt viele Gerüchte. Gunter selbst schreibt am Ende des dritten Buches über den Sector, dass es seit 16 Jahren ein (sein?) Buch in lateinischer Sprache gäbe und dass er es nun auf sich genommen habe, dieses Buch in englischer Sprache zu verfassen. Das Postscript ist datiert: 1. Mai 1623.

Damit basiert Gunters Buch auf einer lateinischen Fassung aus dem Jahr 1607. Aber das Buch John Napiers über Logarithmen stammt von 1615!

Wahr ist auch, dass Kapitän Ludwig Jerrmann in seinem Buch "Die Gunterscale" (Hamburg, 1888) sie Edmund Gunter zuschreibt, aber Vorläufer nennt. Nach ihm verwendete Admiral Nelson eine Gunterscale. Er preist sie als — 1888 aktuell — weit verbreitetes Recheninstrument für Seefahrer.

Eine fundiertere Antwort fand ich bei John Robertson (A Treatise of Mathematical Instuments, London 1775). Im Vorwort listet er "Authors, who have wrote on the proportional Compasses and Sector". (Es ist fraglich, ob alle Namen sich auf Autoren beziehen, oder er nur den Drucker nennt, was zu der Zeit üblich war.)

1584 (Antwerpen):
Gaspar Mordente beschreibt ein Instrument, das sein Bruder Fabricius 1554 erfunden und Kaiser Maximilian II (* 1572, † 1576; Kaiser des Heiligen römischen Reiches 1564 - 1572) widmete.
1589 (Strasburg):
Daniel Speckle (Festungsbauer in Strasburg) beschreibt den "Proportionalzirkel".
1598 (London):
Thomas Hood schreibt über "The making and Use of a Geometrical Instrument, called a Sector".
1604 (Rom):
Christopher Clavius beschreibt einen "Sector".
1605 (Frankfurt):
Levinus Hulfius beschreibt (angeblich zum ersten Male) einen "lange bekannten Proportionalzirkel" von Justus Burgius.
1605 (Metz):
Philip Horscher beschreibt einen "Proportionalzirkel".
1606 (Padua):
Galileo Galilei beschreibt einen "geometrischen und militärischen Zirkel".
1607 (London):
Baldessar Capra beschreibt einen "Proportionalzirkel" (möglicherweise ein Plagiat des Instruments, das Galileo Galilei erfunden hatte; der Streit nimmt einen großen Raum im Vorwort ein).
1610 (Frankfurt):
John Remmelin publiziert zwei Arbeiten von John Faulhaber; eine enthält die Beschreibung eines "Sectors".
1612:
D. Henrion beschreibt einen "Proportionalzirkel", den er bei M. Alleaume gesehen hat; er beschuldigt Edmund Gunter später, viele seiner Rechenbeispiele "übernommen" zu haben.
1615 (Ulm):
Stephen Michael Spackers beschreibt ein "Proportionallineal und -zirkel" von G. Galgemeyer.
1617 (Marburg):
Benjamin Bramer beschreibt einen "Sector".
1623 (Amsterdam):
Adriano Merio Alcariano beschreibt ein "Proportionallineal<".
1623 (London):
Edmund Gunter publiziert "The Description and Use of the Sector".

Die Liste setzt sich fort. Im Grunde ist es ja auch uninteressant, wer den "Sector" erfunden hat. Edmund Gunter hat jedenfalls ein sehr erfolgreiches Buch darüber geschrieben, das bis mindestens 1888 in Gebrauch war.

Er selbst behauptet nicht, den "Sector" erfunden zu haben. Im Nachwort zum dritten Buch begründet er die englischsprachige Ausgabe mit dem "Bedürfnis der Leser, die nicht des Lateinischen mächtig sind".

Übrigens hat William Mountaine eine Abhandlung über eine "improved Gunter's Scale by Mr. John Robertson" geschrieben. In einer Fußnote des Vorwortes heißt es:
"Mr. Edmund Gunter the Inventor of this Instument, was Professor of Astronomy in Gresham College, and first published the Scales of Logarithms, Numbers, Sines and Tangents, in his Book of the Description of the Cross-Staff, in the Year 1624."

Funktionsweise des Sector

Der "Sector" benutzt ein vermutlich von Thales von Milet (um 624 v. Chr., † um 546 v. Chr.) gefundenes geometrisches Prinzip: den Strahlensatz. Jedenfalls wird er von allen antiken Mathematikern immer wieder aufs Neue bewiesen (z. B. Euklid: Elemente, VI. Buch Proposition 2.

Die Forscher der Renaissance kannten diesen Satz, wie sie wohl alle Bücher der antiken Mathematiker kannten. Irgend jemanden wird der Satz zur Konstruktion des "Proportionalzirkels" veranlasst haben; wer ist offensichtlich unbekannt. In der Literatur tauchte er allerdings erst auf, nachdem der Buchdruck erfunden worden war (um 1450). (Was davor geschrieben worden war, interessierte niemanden mehr; so wie heute nichts Wissenswertes existiert, das nicht im "Web" zu finden ist.) Und da der "Sector" sehr nützlich für viele Zeitgenossen war, konnte man eine Menge Geld mit einer "Anleitung" — und mit dem Vertrieb der Instumente — verdienen.

In seiner modernen Formulierung lautet der Strahlensatz:

  • Schneiden zwei Parallelen die Schenkel eines Winkels (Strahlen) außerhalb des Scheitels, so verhalten sich:
    1. je zwei Abschnitte auf einem Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
    2. die ausgeschnittenen Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die zughörigen Strecken auf den Strahlen.
Strahlensatz Bild

Also:
Die Strecke AB verhält sich zu AD wie AC zu AE, und die Strecke AB zu BC wie AD zu DE.

Formel Strahlensatz

Diese Beziehung dekliniert Gunter im II. Buch für alle denkbaren Varianten.

Aufbau des Sectors

Der Sector besteht aus zwei Linealen, die durch ein Gelenk verbunden sind. Auf den Linealen sind 12 Skalen aufgetragen:

  1. Scale of Line: eine linear in 100 gleiche Teile eingeteilte Skala, numeriert von 1 bis 10;
  2. Line of Superficies: die Quadratskala, numeriert von 1 bis 100;
  3. Line of Solids: die Kubikskala, numeriert von 1 bis 1000;
  4. Line of Sines and Chords: die Sinus- und Co-sinusskala, numeriert von 10° bis 90°;
  5. Line of Tangents: die Tangensskala, numeriert von 10° bis 60°;
  6. Line of Secants: wie die Tangensskala;
  7. Meridian Line oder Line of Rumbs: bis 70° ähnlich der Sinusskala, numeriert bis 85° zur Verwendung mit Mercator-Karten;
  8. Lines of Quadrature zur Umrechnung von Kreisen und Quadraten;
  9. Lines of Segments zur Berechnung von Kreissegmenten;
  10. Lines of inscribed bodies zur Berechnung von Polygonen aus dem Umkreis;
  11. Line of Equated Bodies zur Berechnung von Platonischen Körpern aus der Hüllkugel;
  12. Lines of Metals Dichten verschiedener "Planeten"-Metalle.

Verwendung des Sectors

Im ersten Buch über den Sector wird zunächst die Scale of Lines zur Berechnung von Proportionen erläutert. Dann die Line of Superficies zur Berechnung von Flächen, und die Line of Solids zur Berechnung von Volumen.

Im zweiten Buch werden die Winkelfunktionen eingeführt und allerlei Berechnungen mit der Line of Sines and Chords geübt.

Interessant wird es im dritten Kapitel des zweiten Buches: hier werden Grundlagen von Kugelprojektionen vorgestellt, die dann im dritten Buch über den Cross-Staff zur Konstruktion von Sonnenuhren — und in einem Anhang dazu zur Konstruktion eines Quadraten — weiter ausgeführt werden.

Im vierten Kapitel des zweiten Buches werden dann die typischen Aufgaben in rechtwinkligen (ebenen) Dreieck ausgeführt und im fünften Kapitel die Aufgaben in sphärischen Dreieck.

Das sechste und letzte Kapitel im zweiten Buch widmet sich der Kurs- und Entfernungsbestimmung mit Seekarten in der (modernen! seit 1569) Mercator-Projektion. Dabei werden die alten Einheiten verwendet.

Das dritte Buch erklärt die "besonderen" Skalen des Sectors: die Lines of Quadrature, Lines of Segments, Lines of inscribed bodies, Line of Equated Bodies und die Lines of Metals. Im sechsten Kapitel wird dann die Line of lesser Tangents verwendet, um aus den Kugelprojektionen aus dem dritten Kapitel des zweiten Buches erste Sonnenuhren zu konstruieren.

Der Cross-Staff

Der Cross-Staff (Astrolab, Jakobsstab, Kreuzstab, Gradstab) ist ein astronomisches Messgerät zur Bestimmung von Gestirnshöhen, das im Mittelalter in der Navigation verwendet wurde. Er wurde vermutlich im 13. Jahrhundert erfunden, wurde aber erst durch Regiomontanus (eigentlich Camillus Johann(es) Müller, Astronom und Mathematiker, * 06.06.1436 in Königsberg (Unterfranken), † 06.07.1476 in Rom) verbessert und dadurch populär (Viri Vndecunq[ue] doctissimi, de Cometae magnitudine, longitudineq[ue] ac de loco eius uero, problemata XVI).

Gunter bezieht sich auf das Buch Gemma Frisius (1508 - 1555): De Astrolabo Catholico (1556), das auch in englisher Sprache vorgelegen haben soll. Gunters Konstruktion des Cross-Staff und die Anwendungsbeispiele sind jedoch abweichend — er verwendet Skalen mit logarithmischer Einteilung.

Auf dem Stab und dem Kreuz sind Skalen angebracht:

  1. Line of Measure: ein Maßstab in Inch;
  2. Tangent Line: Gradskala zum Winkelmessen;
  3. Meridian Line: die gleiche Skala wie auf dem Sector;
  4. Line of Numbers: die logarithmische Skala;
  5. Line of Artificial Tangents: Skala der Tangenslogarithmen;
  6. Line of Artificial Sines: Skala der Sinuslogarithmen;
  7. Line of Versed Sines: Skala der Zahlenwerte der Funktion 1 - cos φ

Zur Einteilung der Meridian Line gibt es eine Tabelle (als Bitmaps). (Man kann sie leicht in einem Tabellenkalkulationsprogramm berechnen, allerdings mit einer geringen Abweichung bei den höheren Winkelwerten, was wohl auf einen Ablesefehler in den Skalen Gunters hinweist.)

Die Tabellen der Artificial und Sines sind in einem Anhang angegeben, wie die dekadischen Logarithmentafeln.

Im ersten Buch über den Cross-Staff wird die Benutzung der Skalen erklärt. Interessant ist das Kapitel 6, in dem die Addition und Subtraktion logarithmisch geteilter Strecken erklärt wird. In den beiden folgenden Kapiteln werden Anwendungen der Logarithmen der Winkelfunktionen erklärt.

Das zweite Buch gibt in den ersten vier Kapiteln Anleitungen zur Flächen- und Volumenberechnung. Die Sect. IV über die Landvermessung ist beachtenswert, da Gunter hier ein Standardlängenmaß (Gunter Chain) eingeführt hat.

Spannend für Navigatoren ist das fünfte Kapitel mit seinen Astronavigationsaufgaben. Die Standortbestimmung aus Gestirnshöhen kannte Gunter allerdings noch nicht: transportable Chronometer mit ausreichender Ganggenauigkeit gibt es erst mehr als 100 Jahre später. Aber er beschreibt u. a. die Berechnungen der Sonnenbahn.

Das sechste Kapitel ist der Berechnung von Kursen und Entfernungen gewidmet.

Im Anhang beschreibt Gunter ein einfaches Messgerät zur Gestirnshöhenbestimmung, mit dem man — wenigstens — die Breite des Standortes mit Hilfe der Rektaszension von Fixsternen bestimmen kann. Eine Tabelle der Rektaszensionen gibt er auch (für das Jahr 1670).

Das dritte Buch ist das anspruchsvollste; in ihm werden Sonnenuhren konstruiert, einschließlich der Berechnung der Stundenlinien für beliebige Breitengrade. Die gesamte sphärische Trigonometrie wird an einem "fundamentalen Diagram" erläutert.

Im Anhang gibt Gunter die Anleitung zur Konstruktion eines Quadranten (d. i. ein Vorläfer des Sextanten) und die Bedienungsanleitung. Der Quadrant ist für die Breite von London (51° 30') ausgelegt, er müßte also auch in Leipzig (51° 25')noch mit hinreichender Genauigkeit funktionieren. Aber da Gunter die Berechnungen ausführt, kann man ihn auch in andere Breiten transformieren (aber das muß man wirklich wollen). Ich stelle die Zeichnung als PDF-Datei für das Papierformat A3 zum Ausdruck zur Verfügung. Also: ausdrucken, auf eine Pappe kleben und ausprobieren!

Die Logarithmentafeln und ihre Verwendung

Die vorliegende Ausgabe von Gunters Works enthält Tabellen der Briggsschen Logarithmen und der Logarithmen der Sinus- und Tangenswerte. In seiner Anleitung zur Verwendung der Tafeln erklärt Gunter im zunächst ersten Kapitel die Multiplikation und Division. Im zweiten Kapitel dann gibt er Beispiele der Verwendung der Logarithmen der Winkelfunktionen zur Lösung der Probleme im rechtwinkligen und schiefwinkligen sphärischen Dreieck. Im dritten Kapitel greift er Probleme der Dreiecksberechnung aus dem Kapitel 9 im 1. Buch über der Cross-Staff auf und gibt alternative Berechnungen mit den Logarithmentafeln an. Das vierte und letzte Kapitel ist Beispielen aus dem Festungsbau gewidmet; das habe ich nur exemplarisch transscribiert. Schließlich wird wohl kein Besucher meiner Website in die Verlegenheit kommen, das anzuwenden.

Von Gunter entworfene und hier erläuterte Instrumente

  1. Nocturnal zur Bestimmung der Uhrzeit bei Nacht.
  2. Protractor eine Art Winkelmesser.
  3. Cross-Staff
  4. Cross-bow zur Bestimmung der geografischen Breite.

Samuel Foster
(† 1652) Professor of Astronomy, Gresham College, London, 1636.
William Leybourn
(1626 – 1716) was an English mathematician and land surveyor. He was also a printer and bookseller.
William Mountaine
(1700 – 1779) Teacher and writer of mathematics and navigation, in Gainford Street, Southwark
John Robertson
(1707 – 1776) British Mathematician, Librarian to the Royal Academy, Master of the Royal Mathematical School at Christ′s Hospital, Head Master of the Royal Marine Academy at Portsmouth.
Kapitän Ludwig Jerrmann
wurde zuerst von Dieter von Jezierski in seinem Buch "Rechenschieber — eine Dokumentation" (1997) zitiert; von ihm habe ich eine Kopie des Buches.
Regiomontanus (eigentlich Camillus Johann(es) Müller
(* 06,06.1436 in Königsberg (Unterfranken) † 06.07.1476 in Rom), dt. Astronom und Mathematiker, Wegbereiter des Nikolaus Kopernikus, Freund Philipp Melanchthons, gilt als Begründer der modernen Trigonometrie.
Gemma Reiner Frisius
(* 09.12.1508 in Dokkum † 25.05.1555 in Löwen) niederl. Astronom und Mathematiker, verbesserte das Astrolabium und den Cross-Staff, entwickelte die Triangulation.


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