Kursbestimmungen

Wenn man bei einem Törn weiss, wohin man will, bestimmt man zunächst den Kurs, mit dem man los­se­geln will. Dabei unterscheidet man drei Berechnungsmethoden, die man je nach Entfernung vom Start- zum Zielort anwendet. Als nächstes interessiert bei der Törnplanung die Entfernung zwischen den beiden Orten. Die kann man aber in keinem der hier dargestellten Fälle aus der Karte ablesen: man muss immer rechnen.

1. Für kurze Entfernungen, d. h. wenn man die Erdoberfläche als eben annehmen kann, verwendet man die Methode der mittleren Breite. Diese Berechnung entspricht dem Ablesen des Winkels zwischen der Nordrichtung und der Verbindungslinie der beiden Orte auf der Seekarte. Die Mer­ca­tor-Projektion ist ja winkelgetreu, aber nicht flächengetreu (damit kann man Entfernungen nicht direkt aus der Karte entnehmen, weil der horizontale Maßstab vom Cosinus der Breite anhängt).
2. Ist die Entfernung zu groß und muss man die Kugelgestalt der Erde berücksichtigen, rechnet man nach der Methode der Loxodrome. Die wird man anwenden, wenn Start- und Zielort nicht auf der gleichen Karte eingezeichnet sind.
3. Schließlich für sehr weite Entfernungen — wenn man über mehrere Zeitzonen den kürzesten Weg sucht — verwendet man die Methode der Orthodrome.

• Einfluß der Strömung,
• Einfluß der Bewegung des Ziels (Treffpunktproblem),
• Besteckversetzung,
• Einfluß des Windes.

Kürzeste Strecke aus den Ortskoordinaten (Orthodrome)

Um auf der kürzesten Verbindungslinie von A nach B zu kommen, muss man sich auf der Kugel auf einem Groß­kreis bewegen. Für Segler hat das den Nachteil, dass der Groß­kreis jeden Meridian unter einem an­de­ren Winkel schneidet, man also den Kurs kontinuierlich ändern muß (zur Berechnung der Loxo­drome, die einen konstanten Kurs fahren läßt).

Die Orthodrome liegt definitionsgemäß auf einem Groß­kreis und ist eine Seite im sphä­rischen Pol­drei­eck ABPol. Zur Be­rech­nung der Länge der Kurs­linie wendet man den Seiten­cosinus­satz an in der Form:

• cos c = sin φ_A · sin φ_B + cos φ_A · cos φ_B · cos (λ_A - λ_B)

Für die Berechnung der Kurse zwischen Start und Ziel wird nun ein Fixpunkt auf dem Kurs-Groß­kreis de­fi­niert, der ein rechtwinkliges sphä­risches Dreieck erzeugt, indem man vom Nordpol das (sphärische) Lot auf den Kurs-Groß­kreis fällt. Man nennt den Fixpunkt Scheitelpunkt, weil er dem Nordpol am näch­sten liegt, also der "höchste" Punkt des Groß­kreises ist. (Liegt auf der Kurslinie Land, über das man nicht segeln kann, nimmt man die der Kurslinie an nächsten liegende Landspitze als Scheitel und macht die Berechnung zwei Mal.) Vom Scheitelpunkt aus kann man die Längen von Wegpunkten mit vorgegebener Breite auf dem Groß­kreis berechnen und den Winkel, unter dem der Groß­kreis den Meridian des Weg­punk­tes schneidet. Aus diesem ergibt sich der Steuerkurs am Wegpunkt.

Der Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist eine Ecke in jedem der beiden recht­winkligen Dreiecke APS und BPS. Im Dreieck APS sind bekannt der Winkel α und die Seite AP. Im Dreieck BPS sind bekannt die Seite BP und der Winkel PBS (= 180° - β). In beiden Dreiecken ist der Winkel bei S gleich 90°. Mit den drei bekannten Stücken eines Drei­ecks kann man alle anderen berechnen.

Man stellt die Gleichungen für die unbekannten Seiten AS und BS auf (s. Neper´schen Regel und setzt sie in die Beziehung AS = AB + BS ein (AB ist die orthodrome Entfernung von A und B!). Nach ein bißchen Arithmetik erhält man:

Dabei ist φ _A die Breite des Start- oder Zielortes (oder eines anderen Ortes auf dem Groß­kreis), und α ist der Startwinkel.

Die Wegpunktkoordinaten

Da der Winkel PS(WP) definitionsgemäß ein rechter ist, sind alle roten Dreiecke, die einen Wegpunkt auf der (grünen) Kurslinie als Ecke haben, rechtwinklig. Bekannt sind in diesen Dreiecken der Winkel SP(WP) = λ_S - λ_WP, und die Seiten P(WP) = 90° - φ_WP und PS = 90° - φ_S. Mit der Neper´schen Regel findet man leicht die Formel:

Beispielrechnung

Die Fahrt soll von Porto in Portugal

• φ_Porto = 41° 09′ 28,0″ N = 41,1578°,
• λ_Porto = 008° 38′ W = -8,6333°
• (südliche Breiten und westliche Längen werden negativ angegeben)

• φ_PoS = 10° 40′ 19,9″ N = 10,6722°,
• λ_PoS = 061° 32′ W = -61,5333°

Der Startkurs in Porto ergibt sich aus der Berechnung:

oder linearisiert:

• cos β = [sin φ_PoS - sinφ_Porto · cos c] ⁄ cos φ_Porto · sin c =
• = [sin 10,6722° - sin 41,1578° · 0,4618] ⁄ cos 41,1578° · sin 55,4° =
• = [0,1852 - 0,6581 · 0,5678] ⁄ 0,7529 · 0,8231 =
• = - 0,1888 ⁄ 0,6197 = - 0,3042
• ⇒ β = 107,71°

Das Ergebnis ist β = 108°. Den Startkurs (relativ zur Nordrichtung) erhält man offensichtlich, wenn man den Dreieckswinkel von 360° abzieht: Startkurs = 360° - 108° = 252°.

Und der Ankunftskurs in Port of Spain wird berechnet aus der Formel:

Das Ergebnis ist α = 46,87°; der navigatorische Sachverstand sagt einem: der Steuerkurs ergibt sich durch Addition von 180°: Ankunftskurs = 180° + 46,9° = 227°.

Die Breite des Scheitelpunktes wird berechnet mit der Formel:

cos φ_S = sin α · cos φ_PoS = sin 46,87° · cos 10,6722° = 0,7172; φ_S = 44,1762°

Die Länge des Scheitelpunktes kann man nicht direkt berechnen (s. weiter oben auf dieser Seite), weil sie kein Winkel im Poldreieck ist. Aber das Dreieck APS ist ein rechtwinkliges Poldreieck, d. h. der Winkel ASP beim Scheitel ist 90°. Man findet also eine Beziehung für die Längendifferenz von Endpunkt zum Scheitel Δλ = λ_PoS - λ_S:

• tan (λ_S - λ_PoS) = cot α ⁄ sin φ_PoS =
• = cot 46,87° ⁄ sin 10,6722° = 0,937 ⁄ 0,185 = 5,065;
• ⇒ λ_S - λ_PoS = 78,83°, und daraus
• λ_S = 78,83° + (-61,53°) = 17,3°

Die Koordinaten des Scheitels sind also:
φ_S = 44° 10′ 34,3″ N,
λ_S = 017° 18′ E.

Berechnung von Wegpunkten auf der orthodromen Kurslinie

Mit den Koordinaten des Scheitelpunktes und der vorgegebenen Länge λ_WP eines Wegpunktes kann man mit dem Rechenschieber bequem die Breite φ_WP des Wegpunktes nach der oben angegebenen Formel berechnen. Da eine Segelstrecke von 3.300 sm etwa 3 Wochen dauert, wurden die Längen für 25 Weg­punkte berechnet. Dann kann man täglich den Kurs ändern.

Wenn man mit dem Rechenschieber diese Berechnung ausführt, legt man zunächst die Längen der ge­wünschten Wegpunkte in einer Tabelle fest, und berechnet im Kopf die Differenz λ_S - λ_WP und trägt des Cosinus dieser Differenz in die Tabelle ein. Da die Breite φ_WP des Wegpunktes nach der Formel

• tan φ_WP = tan φ_S · cos(λ_S - λ_WP)

• sin α = cos φ_S ⁄ cos φ_WP

Auf der Orthodrome ändert man den Kurs im Verlaufe des Törns kontinuierlich von 252° bis 227°. Berechnet man den Kurs nach der Loxodrome, beträgt der konstante Kurswinkel 237°. Die Entfernung zwischen Porto in Portugal und Port of Spain auf Trinidad ist bei konstantem Kurs 3.348 sm, auf der Orthodrome nur 3.323 sm. Der Entfernungsunterschied beträgt also etwa 25 sm! Aber da man auf so einer Reise ja wenig zu tun hat, kommt die Rechnerei gelegen — für knapp einen Tag Zeitersparnis.

Interessanter wird der Unterschied beim Fliegen. Von New York (40° 43′ N, 74° 0′ W) nach Frankfurt ( 50° 7′ N, 8° 41′ O), oder nach Tokyo (35° 41′ N, 139° 46′ O) beträgt die Einsparung je ungefähr 70 sm. Aber auf diesen Strecken kann man nicht segeln.