Koordinatensysteme

So wie die ebene Trigonometrie als Grundlage der terrestrischen Küsten-Navigation eine Bedeutung hat, so wird die sphärische Trigonometrie auf der Erdkugel angewandt werden — und in der Astro­na­vi­ga­tion. Es ist angezeigt, zunächst die verschiedenen verwendeten Koordinatensysteme zu betrachten. Im Prinzip werden zwei Systeme in der Navigation verwendet. Das rechtwinklige (kartesische) Ko­or­di­na­ten­sys­tem und das Polarkoordinatensystem. Beide kann man in der Ebene und im Raum definieren.

Koordinatensysteme besitzen eine oder mehr Achsen mit einer Einteilung und einem Nullpunkt. Ein Beispiel für ein ein­di­men­sio­nales Koordinatensysten ist der Zahlenstrahl mit linearer oder logarithmischer Einteilung.

  • logarithmische Skala

Ebene (kartesische) Koordinatensysteme

Das ebene rechtwinklige Koordinatensystem

Das zweidimensionale (ebene) kartesische (rechtwinklige) Koordinatensystem hat zwei Achsen (x- und y-Achse), die aufeinander senkrecht stehen. Die horizontale x-Achse nennt man Abszisse, die darauf senkrecht stehende y-Achse Ordinate. Die Einteilung der Achsen ist linear. In diesem Ko­or­di­na­ten­system weist man Punkten in der Ebene zwei Zahlen zu, die den Abschnitten auf den Achsen entsprechen.

ebenes kartesiches Koordinatensystem

Eine Gerade hat im kartesischen Ko­or­di­na­ten­system die Formel y = m · x + c, wobei die Steigung m = (y2 - y1) ⁄ (x2 - x1) = tan α. Die Konstante c in der Formel ist der Schnitt­punkt der Geraden mit der y-Achse. Ein Kreis um den Koordinatenursprung hat die Formel y2 = r2 - x2 (r ist der Radius), ein Kreis um den Mittelpunkt M mit den Ko­or­di­na­ten M{a,b} hat die Formel:
(y - b)2 = r2 - (x - b)2.

Das Polarkoordinatensystem

Polarkoordinatensystem

Im Zusammenhang mit den Win­kel­funk­tionen wurde bereits das zweidimensionale Polarkoordinatensystem mit dem Ein­heits­kreis verwendet. Hier werden Punkte durch einen Winkel zur x-Achse und der Ent­fer­nung vom Ursprung 0 angegeben. Die Ent­fer­nung entspricht dem Radius des Kreises um 0, der Winkel wird im mathe­ma­tisch positiven Sinn, d.h. entgegen dem Uhr­zeiger, gezählt.

Koordinatentransformation in der Ebene

Koordinatentransformation

Diese beiden Koordinatensysteme kann man in einander umrechnen.

Für die Polarkoordinaten des roten kar­tesi­schen Punkt C muss man die Ent­fer­nung rC zum Ursprung und den Winkel φC be­stim­men. Den Abstandberechnet man nach dem Satz des Pythagoras:

  • Formel,

der Tangens des spitzen Winkels γ bei C ist

  • tan γ = xC/yC,
  • wobei γ = φ C - 90° ist:
  • tan (φ C - 90°) = xC / yC.
  • Oder:
  • Formel.

(arctan ist die Umkehrfunktion des Tangens.)

Für die kartesischen Koordinaten des grünen Punktes B muss man die Achsenabschnitte auf der x- und y-Achse berechnen. Dies ist mit der Definition der Winkelfunktionen leicht möglich.

Räumliche Koordinatensysteme

Das räumliche rechtwinklige Koordinatensystem

Skizze

Beim Übergang von der Ebene in den Raum muss eine dritte Dimension definiert werden. Die zusätzliche Achse steht senkrecht auf der x-y-Ebene und heißt z-Achse oder Applikate.

Das Kugelkoordinatensystem

Analog zum Polarkoordinatensystem wird die Lage eines Punktes im Raum durch die Ent­fer­nung r vom Kugelmittelpunkt und zwei Winkel φ und λ bezeichnet. Navigatoren wird dieses Bild bekannt vorkommen. Aber im Ku­gel­ko­or­di­na­ten­system werden die Winkel jeweils von 0° bis 360° im Gegenuhrzeigersinn gezählt.

Skizze

Koordinatentransformation im Raum

Die Koordinatentransformation vom räumlichen rechtwinkligen Koordinatensystem zum Kugel­ko­or­di­na­ten­system und zurück erfolgt wie bei den Koordinatensystemen in der Ebene durch Formelsätze.

Kugel- nach rechtwinkligen Koordinaten:

  • x = r · cos φ · cos λ
  • y = r · cos φ · sin λ
  • z = r · sin φ

Rechtwinklige nach Kugelkoordinaten:

  • Formel

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