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zuletzt geändert am 10.01.2003

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Das schiefwinklige Dreieck

Ein schiefwinkliges (spitzes) Dreieck kann man durch Fällen des Lotes von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite c in zwei rechtwinklige teilen. Dieses Lot heißt Höhe hc des Dreiecks.

Mit der Definition der Winkelfunktionen kann man die drei Höhen ha,b,c als Funktion einer Seite und eines Winkels beschreiben.

  • h c =asinβ MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadIgadaWgaaWcbaGaam4yaaqabaGccqGH9aqpcaWGHbGaeyyXICTaci4CaiaacMgacaGGUbGaeqOSdigaaa@41EE@ ,
    und analog
    h a =bsinγ MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadIgadaWgaaWcbaGaamyyaaqabaGccqGH9aqpcaWGIbGaeyyXICTaci4CaiaacMgacaGGUbGaeq4SdCgaaa@41F3@ sin β,
    h b =csinα MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadIgadaWgaaWcbaGaamOyaaqabaGccqGH9aqpcaWGJbGaeyyXICTaci4CaiaacMgacaGGUbGaeqySdegaaa@41ED@ .
Skizze

Der Sinussatz

Die Höhe hc gehört ja zu zwei Dreiecken mit den Winkeln α und β:

  • h c =asinβ h c =bsinα MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOabaeqabaGaamiAamaaBaaaleaacaWGJbaabeaakiabg2da9iaadggacqGHflY1ciGGZbGaaiyAaiaac6gacqaHYoGyaeaacaWGObWaaSbaaSqaaiaadogaaeqaaOGaeyypa0JaamOyaiabgwSixlGacohacaGGPbGaaiOBaiabeg7aHbaaaa@4CAE@ .

Dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch  sin α · sin β, so erhalten wir nach Kürzen:

  • a sinα = b sinβ MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaabaGaamyyaaqaaiGacohacaGGPbGaaiOBaiabeg7aHbaacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadkgaaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gacqaHYoGyaaaaaa@4317@ .

Die gleiche Überlegung für die anderen beiden Höhen führt zum Sinussatz:

  • a sinα = b sinβ = c sinγ MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaajaaqbaGaamyyaaqaaiGacohacaGGPbGaaiOBaGqaaiaa=f7aaaGaeyypa0JcdaWcaaqcaauaaiaadkgaaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaWFYoaaaiabg2da9OWaaSaaaKaaafaacaWGJbaabaGaci4CaiaacMgacaGGUbGaa83Sdaaaaaa@4946@

Die Seiten eines schiefwinkligen Dreiecks verhalten sich wie die Sinuswerte der den Seiten gegenüberliegenden Winkel.

Durch Umformen erhält man die drei Formeln:

  • a b = sinα sinβ ; a c = sinα sinγ ; b c = sinβ sinγ MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaajaaqbaGaamyyaaqaaiaadkgaaaGaeyypa0JcdaWcaaqcaauaaiGacohacaGGPbGaaiOBaGqaaiaa=f7aaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaWFYoaaaiaacUdakmaalaaajaaqbaGaamyyaaqaaiaadogaaaGaeyypa0JcdaWcaaqcaauaaiGacohacaGGPbGaaiOBaiaa=f7aaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaWFZoaaaiaacUdakmaalaaajaaqbaGaamOyaaqaaiaadogaaaGaeyypa0JcdaWcaaqcaauaaiGacohacaGGPbGaaiOBaiaa=j7aaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaWFZoaaaaaa@5BD2@

Eine der beiden Formen des Sinussatz sollte man sich für die weiteren Seiten merken. Für den Navigator (vorallem den, mit dem Rechenschieber) ist die erste Formel wichtig.

Der Cosinussatz

Die Höhe teilt die Seite c des Dreiecks in eine Strecke q und eine c-q, wobei q die Projektion der Seite b auf die Seite c ist.

Für q gilt daher:
q=bcosα MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadghacqGH9aqpcaWGIbGaeyyXICTaci4yaiaac+gacaGGZbGaeqySdegaaa@40D3@ . Analog ist ( cq )=acosβ MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaamaabmaabaGaam4yaiabgkHiTiaadghaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaWGHbGaeyyXICTaci4yaiaac+gacaGGZbGaeqOSdigaaa@4432@ . In den beiden, durch die Höhe hc gebildeten rechtwinkligen Dreiecken gilt daher:
h c 2 = b 2 ( bcosα ) 2 = a 2 ( acosβ ) 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadIgadaqhaaWcbaGaam4yaaqaaiaaikdaaaGccqGH9aqpcaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyOeI0YaaeWaaeaacaWGIbGaeyyXICTaci4yaiaac+gacaGGZbGaeqySdegacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyypa0JaamyyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTmaabmaabaGaamyyaiabgwSixlGacogacaGGVbGaai4Caiabek7aIbGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaa@55CA@ .
Durch Ausmultiplizieren und auflösen nach a2 erhält man:
a 2 = b 2 + c 2 2bccosα MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadggadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH9aqpcaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaam4yamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaikdacqGHflY1caWGIbGaeyyXICTaam4yaiabgwSixlGacogacaGGVbGaai4Caiabeg7aHbaa@4D72@ .
Mit der gleichen Überlegung für die anderen Höhen erhält man die Gleichungen:
b 2 = a 2 + c 2 2accosβ MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadkgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH9aqpcaWGHbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaam4yamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaikdacqGHflY1caWGHbGaeyyXICTaam4yaiabgwSixlGacogacaGGVbGaai4Caiabek7aIbaa@4D73@
c 2 = b 2 + a 2 2bacosγ MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadogadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH9aqpcaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamyyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaikdacqGHflY1caWGIbGaeyyXICTaamyyaiabgwSixlGacogacaGGVbGaai4Caiabeo7aNbaa@4D78@

Skizze

Der Tangenssatz

Der Tangenssatz soll ohne Ableitung eingeführt werden. Wir brauchen ihn bei der Stromversetzung.

tan α+β 2 tan αβ 2 = a+b ab MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYhi9Grpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaajaaqbaGaciiDaiaacggacaGGUbGcdaWcaaqcaauaaiabeg7aHjabgUcaRiabek7aIbqaaiaaikdaaaaabaGaciiDaiaacggacaGGUbGcdaWcaaqcaauaaiabeg7aHjabgkHiTiabek7aIbqaaiaaikdaaaaaaiabg2da9OWaaSaaaKaaafaacaWGHbGaey4kaSIaamOyaaqaaiaadggacqGHsislcaWGIbaaaaaa@4EA0@

Er setzt die Tangensfunktionen der halben Winkelsumme bzw. -differenz ins Verhältnis zu der Summe bzw. Differenz der jeweils gegenüberliegenden Seiten.

Da der dritte Winkel, γ, die Summe α + β zu 180° ergänzt, kann man schreiben:

tan α+β 2 =tan 180°γ 2 =tan( 90° γ 2 )=cot γ 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYhi9Grpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaaKaaajGacshacaGGHbGaaiOBaOWaaSaaaKaaafaacqaHXoqycqGHRaWkcqaHYoGyaeaacaaIYaaaaiabg2da9iGacshacaGGHbGaaiOBaOWaaSaaaKaaafaacaaIXaGaaGioaiaaicdacqGHWcaScqGHsislcqaHZoWzaeaacaaIYaaaaiabg2da9iGacshacaGGHbGaaiOBaOWaaeWaaeaajaaqcaaI5aGaaGimaiabgclaWkabgkHiTOWaaSaaaKaaafaacqaHZoWzaeaacaaIYaaaaaGccaGLOaGaayzkaaqcaaKaeyypa0Jaci4yaiaac+gacaGG0bGcdaWcaaqcaauaaiabeo7aNbqaaiaaikdaaaaaaa@5F10@ .

Damit sind alle drei Winkel mit zwei Seiten in Beziehung gebracht.

Sätze über Winkel und Seiten im Dreieck

Diese sechs Sätze über Winkel im Dreieck werden uns auch ständig bei der Analyse der Navigationsaufgaben begleiten.

  • Die Summe der Winkel im Dreieck beträgt 180°.
Skizze
  • die Summe der Außenwinkel des Dreiecks beträgt 360°.
  • Ein Außenwinkel des Dreiecks ist gleich der Summe der nicht anliegenden Innenwinkel.
    (siehe Winkel an Parallelen)
Skizze
  • Die Summe zweier Dreiecksseiten ist größer als die dritte Seite.
  • Die Differenz zweier Dreiecksseiten ist kleiner als die dritte Seite.
  • In jedem Dreieck liegt die größte Seite dem größten Winkel gegenüber.

Der Sehnensatz

Skizze

Die Sehne l eines Kreises um den Mittelpunkt M soll berechnet werden. Gegeben sind der Winkel λ und der Durchmesser des Kreises 2 · r (Grundaufgabe 3 im rechtwinkligen Dreieck ALB):

  • l=2rsinλ MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaaiaadYgacqGH9aqpcaaIYaGaeyyXICTaamOCaiabgwSixlGacohacaGGPbGaaiOBaiabeU7aSbaa@43FE@
.

Der Winkel μ bei M ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel λ bei L.
Fällt man das Lot von M auf die Sehne l (Fußpunkt F), so erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke FM und BFM. Das Dreieck ABM ist gleichschenklig (die beiden Seiten AM und BM sind Radien des Kreises). Deshalb sind die Winkel bei A und B gleich. Sie betragen 90° - λ. Außerdem halbiert das Lot FM den Winkel bei M im Dreieck ABM. Wenn der Winkel bei A α=90°λ MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaaiabeg7aHjabg2da9iaaiMdacaaIWaGaeyiSaaRaeyOeI0Iaeq4UdWgaaa@3FE3@ , dann ist
μ 2 =90°α=90°90°+λ=λ MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbbjxAHXgarmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqee0evGueE0jxyaibaieYdh9qrpeeu0dXdh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaabauaaaOqaamaalaaabaGaeqiVd0gabaGaaGOmaaaacqGH9aqpcaaI5aGaaGimaiabgclaWkabgkHiTiabeg7aHjabg2da9iaaiMdacaaIWaGaeyiSaaRaeyOeI0IaaGyoaiaaicdacqGHWcaScqGHRaWkcqaH7oaBcqGH9aqpcqaH7oaBaaa@4EC6@ .

Dieser Satz wird uns eine einfache und schnelle Methode der Schiffsortsbestimmung aus zwei Horizontalwinkeln ermöglichen.


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