Die Ellipse als Kegelschnitt

Eine Ellipse ist die Schnittlinie einer Ebene (hier rot) mit einem geraden Kreiskegel. Dem Kegel kann man zwei Dandelinsche Kugeln so einschreiben, dass sie die Schnittebene in den Punkten F₁ und F₂ be­rüh­ren. Die Berührungspunkte sind die Brennpunkte der Ellipse. Diese Dandelinschen Kugeln erzeugen mit dem Kegelmantel jeweils einen Berührungskreis, der eine Ebene senkrecht zur Kegelachse definieren (hier gelb). Die beiden gelben Ebenen schneiden die rote Schnittebene in je einer Geraden (grün): den Leitlinien l₁ und l₂. Eine Ebene Σ, die die Achse des Kegels enthält und auf den beiden Leitlinie senkrecht steht, schneidet die Ellipse in deren großer Achse; die Brennpunkte liegen auf dieser Schnittlinie. Eine Parallele m₀ zur großen Achse der Ellipse durch F₁ und F₂ in dieser Ebene schneidet die gelbe Ebene in D₁ (der Schnittpunkt auf der unteren gelben Ebene D₂ liegt außerhalb der Skizze).

Dreht man diese Ebene Σ um m₀ als Achse um einen gewissen Winkel ξ, so bleibt sie parallel zur großen Ellipsenachse, und schneidet die rote Ebene in der Linie B₁B₂. Es ensteht außerdem eine eine Schnittlinie ZA₁A₂ (rot) mit dem Mantel des Kegels. Der Schnittpunkt C der Linie B₁B₂ in der roten Ebene mit der Mantellinie A₁A₂ liegt auf der Ellipse. Die beiden Punkte A₁ und F₁ sind die Berührungspunkte von Tangenten aus C an die obere Kugel. Die Tangentenabschnitte CF₁ und CA₁ sind gleichlang. Das Gleiche gilt für die Tangenten an die untere Kugel: CF₂ = CA₂. Nach der Definition der Ellipse ist CF₁ + CF₂ = 2·a (a ist die große Halbachse). Damit wird CF₁ + CF₂ = A₁A₂ = 2·a.

In der um die Achse m₀ gedrehten Ebene liegen die Punkte A₁, B₁, D₁ und Z und somit auch die sich schneidenden Verbindungslinien ZA₁ und B₁D₁. Diese Linien werden durch die zu einander parallelen Verbindungslinien ZD₁ = m₀ und B₁B₂ geschnitten. Damit gilt nach dem Strahlensatz für die Verhältnisse der Strecken auf den Schenkeln: CA₁ : CB₁ = ZA₁ : ZD₁ = CF₁ : CB₁ = ε.