Das Axiom über Parallelen des Eukild

In seinem Werk Elementa stellt Euklid dem ersten Buch 35 Definitionen voran.

1. Ein Punkt ist dasjenige, was keine Theile hat.
2. Die Linie ist eine Länge ohne Breite.
3. Die Grenzen der Linie sind Punkte.
4. Eine gerade Linie ist jene, welche zwischen den ihr befindlichen Punkten einerlei Lage hat.

35. Parallele Linien sind jene geraden Linien in einerlei Ebene, welche, so weit sie auch nach beiden Seiten verlängert werden, doch an keiner Stelle zusammentreffen.

Es folgen 48 Axiome:

31. Durch einen gegebenen Punkt eine gerade Linie zu ziehen, welche mit einer gegebenen geraden gleichlaufend ist.

• In einer Ebene gibt es zu jeder Geraden und jedem Punkt außerhalb der Geraden genau eine Gerade, die zur gegenenen parallel ist und durch den Punkt geht.

Es ist offensichtlich, dass die Definition 35 und das Axiom 31 in der sphärischen Geometrie nicht gelten:

1. ein Kugelkreis wird nicht durch Punkte begrenzt
2. durch jeden Punkt außerhalb des Kugelkreises kann man beliebig viele Kugelkreise legen, die den gegebenen nicht schneiden.

Quelle:
Joh. Jos. Ign. Hoffmann: Die geometrischen Bücher der Elemente des Euclides; als Leitfaden zum Unterrichte in der Elementar-Geometrie, Mainz, 1829.