Johannes Werner aus Nürnberg
Über sphärische Dreiecke.
Viertes Buch.

Erster Lehrsatz.

In einem sphärischen Dreieck aus zwei Kreissegmente, von denen jeder der beiden kleiner wäre als der Quadrant (90°), wählt man irgendeinen eingeschlossenen Winkel, wenn über einen ebenderselben Segmente gleich als Pol ein großer Kreis beschrieben wird, und allerdings über dem anderen Endpunkt desselben Segments, in den Zwischenraum aber des anderen mit demselben Winkel verbundenen der Segmente würde ein kleiner Kreis eingeschrieben werden, aus dem der gewählte Winkel vom Umkreis gleichartig abgetrennt wird, und vom Endpunkt des Versin den gleichen aufgespannten Umkreis senkrecht zum großen Kreis eben fortgeführt wird, es wird das Lot gleich sein dem wahren Sinus des Komplements dessen Abschnitts, das im gegebenen Dreieck denselben gewählten Winkel aufspannt.

Deshalb würden im gegebenen sphärischen Dreieck ABC zwei Kreissegmente AB, BC, deren jedes der beiden kleiner ist als der Quadrant, den gewählten Winkel ABC einschließen, und der Kreis des Segments AB wäre ABD; und auch das Komplement des Segments AC den aufgespannten Winkel ABC sei CE. Und über dem Abstand AE vom Pol A aber wird der Großkreis DEF geschlagen, der den Kreis ABD in der Zeichnung in D, F schneidet. Wiederum über dem Abstand zum Pol von B wird ein Kleinkreis GCH über BC geschlagen, der denselben Kreis ABD in der Zeichnung in G, H schneidet. Durch die Konstruktion aber ist die Kreislinie CH gleich dem gewählten Winkel ABC, dessen Kreislinie ist allerdings der Versin HI, von dessen Endpunkt I wird das Lot IK gefällt auf die Kreisfläche DEF; iund der wahre Sinus des Segments CE ist CL. Ich behaupte, dass das Lot IK gleich ist dem wahren Sinus CL.

Also die durch eine gerade Linie verbundenen CI, LK, und weil die Ebene des Quadranten ACE auf der Ebene des Kreises DEF errichtet ist, deshalb wird der wahre Sinus CL auf derselben Ebene des Kreises DEF errichtet; denn der wahre Sinus CL ist senkrecht zur gemeinsamen Sektion zweier Ebenen, nämlich der des Quadranten ACE und der des Großkreises DEF. Es steht aber durch die Konstruktion IK auf derselben Ebene DEF senkrecht; also stehen IK und der wahre Sinus senkrecht, sie sind parallel nach dem sechsten Lehrsatz des elften Buches des Euklids. Und weil nach der Definition CI der wahre Sinus des Segments HC ist, und die Ebene des Kleinkreises GCH auf der Ebene des Krises ABD errichtet worden ist, deshalb sind die Winkel CIK und IKL beide rechte nach der dritten Definition desselben elften Buches; denn HI ist ein Teil des gemeinsamen Abschnitts zweier Ebenen des Großkreises ABD und des Kleinkreises GCH. Und weil jeder der beiden geraden Linien CI, KL in der gleichen Ebene liegen sind deer geraden Linien IK, CL nach dem siebenten Lehrsatz des gleichen elften Buches, deshalb sind nach 28 des ersten Buches dieser Elemente die beiden CI, KL parallel. Folglich ist das Viereck CIKL ein Parallelogramm. Also die Senkrechte IK ist gleich dem wahren Sinud CL; denn nach dem 24. Lehrsatz des ersten Buches sind deren Elemente "die Seiten in einem Parallelogramm, die gegenüber liegen, und die Winkel sind wechselweise gleich".

Dehalb im gegebenen sphärischen Dreieck aus zwei Kreissegmenten, u.s.w.; was gezeigt werden konnte.

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Zweiter Lehrsatz.

Aus drei gegebenen Seiten eines gewählten sphärischen Dreiecks einen bestimmten Winkel zu beweisen, der von zwei Segmenten eingeschlossen ist, von denen jedes der beiden kleiner als der Quadrant hinausgestanden ist.

Es sei also AB ein anderes der Segmente, die den gewählten Winkel einschließen,; sowie ein Großkreis, dessen Anteil am Segment AB existiert, der sei ABCDEF. Und um den Pol A sei ein geschlagener Großkreis CE ausmessend, und um den Pol B ein Großkreis DF ausmessend geschlagen. Diese zwei Meßkreise schneiden einander im Mittelpunkt der Kugel, der G sei. Es sei aber der Rest der Segmente, aus denen der gewählte Winkel erhalten wird, gleich sein dem Segment BH, das dem größeren Umfang AB zugrunde gelegt ist, aber kleiner dem Komplement desselben Umfangs AB. Deshalb fällt der Punkt H notwendigerweise zwischen B, C in der Zeichnung. Und vom Punkt H wird die Parallele HU zum messenden DGF gezogen. Und der wahre Sinus des Segments IFE sei IK; und eine Parallele LM gezogen, die dem wahren Sinus des Komplements der dritten Seite gleich sei, was im gewählten sphärischen Dreieck seinen Winkel aufspannt, den das gegebene erzeugen muß. Ferner wird HNO parralel dem Durchmesser CGE gezogen, die in der Zeichnung LM in N und IK in O schneidet.

Und weil nach der Konstruktion die beiden geraden Linien IK und LM parallel sind, deshalb sind nach dem 29. Lehrsatz des ersten Buches der Elemente die Winkel bei N, O in der Zeichnung gleich, offensichtlich der Winkel HNL gleich dem Winkel NOI; denn jeder der beiden ist ein rechter. Und weil den beiden Dreiecken IHO, LHN der Winkel NHL gemeinsam ist, sind die beiden Dreiecke IHO, LHN gleichwinklig und ähnlich. Also sind sie nach dem vierten Lehrsatz des sechsten Buches der Elemente das Verhältnis von ILH zu HL gegeben; denn es ist das Verhältnis wie IO zu LN gegeben. Und weil IH durch die Größe gegeben ist - denn es wird der Abschnitt der Parallelen über dem Pol B und gemäß dem gegebenen BH ausmessend beschrieben -, deshalb auch HL, ebenso wie der Resz IL durch die Größe gegeben. Es ist aber IL durch das, welche vorher gezeigt wurden, der Versin des Umfangs über der Parallele ICH ähnlich dem gewählten Winkel, den das gegebene bilden musste.

Aus den gegebenen drei Seiten des gewählten sphärischen Dreiecks, u. s. w.; was gezeigt werden konnte.

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Hilfssatz oder Zusatz.

Dass aber IO und LN gegebene gerade Linien sind, wird so deutlich. Denn IOK ist gegeben, es ist nämlich IOK der Sinus des Segments IFE aus der Konstruktion auch gegeben; denn es wird zusammengesetzt aus dem Segment EF, das gleich ist dem Segment AB, und dem Segment FI, das gleich dem Komplement des Segments BH ist, das nach der Hypothese der anderen Seite, die den Winkel bei B fortführt, angelegt ist. Und LM ist auch gegeben; denn es ist gleich dem wahren Sinus des Komplements des gewählten Umfangs zum ausgespannten Winkel bei B. Es sind aber auch die geraden Linien OK, NM gegeben; denn jede der beiden ist gleich dem wahren Sinus der Kreislinie HO, deren Komplement durch die Konstruktion entsteht des Segments ABH. Demnach aus IOK und LNM wenn OK, NM entfernt werden, die verbleibenden IO, LN sind gegeben; was klar und deutlich gezeigt werden konnte.

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Zusatz.

Folglich wird auch offensichtlich, im angelegten sphärischen Dreieck aus drei gegebenen Segmenten, deren zwei den gewählten Winkel einschließen, welcher gegeben zeigen kann, beide kleiner sind als der Quadrant, der gegebene Winkel bei B wird durch ein einziges Verhältnis erzeugt, in der der erste Term die Hälfte von IO wäre, der zweite Term LN, der dritte Term FG der Halbmesser der Kugel oder der Radius des Kreises, der vierte DGF tritt als Maß für den Abschnitt DP als Versin der Kreislinie des Großkreises auf, dessen Ma0 DGF, das allerdings der Kreislinie ähnlich ist für die Parallele ICH der Kreislinie, deren Versin ist HL, welche freilich der Kreislinie aus dem Halbkreis entfernt wird ein Segment des Großkreises verbleiben, der dem gewählten sphärischen Winkel bei B proportional ist.

Und damit es klarer werde, was im Zusatz angeführt worden ist, es sei also wie IO zu NL oder wie ICH zu HL, so wird auch DF zu DP sein, und die Hälfte von IO sei IQ, und weil IQ zu IO ist wie GF zu FD, und IO zu LN wie FD zu DP, deshalb wird aus den gleichen IQ zu LN sein wie FG, der Halbmesser der Kugel, oder der ganze wahre Sinus, zu DP. Aber DP ist der Versin der Kreislinie, die abgezogen übrig bleibt von der Kreislinie des Großkreises gleich dem gewählten sphärischen Winkel bei B.

Also sind im sphärischen Dreieck drei Segmente gegeben, deren zwei den sphärischen Winkel einschließen, u. s. w.; was der Zusatz vorbringt.

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Dritter Lehrsatz.

Wenn aber im gegebenen sphärischen Dreieck mit drei gegebenen Segmenten zwei gleiche Segmente den gewählten Winkel einschließen würden, wird der gewählte Winkel der gegebene Winkel sein.

Dieser Grundsatz kann durch das vorausgeschickte und folgende auch gezeigt werden. Denn wenn das Komplement jedes der einzelnen gleichen Segmente größer wäre als der achte Teil des Großkreises, das ist größer ist als 45 Grad, wird der Grundsatz durch den vorherigen Lehrsatz werden; wenn aber gleich, durch den folgenden Lehrsatz; oder wenn kleiner als der achte Teil des Großkreises, oder 45 Grad, wird die Aufgabe durch den fünften Lehrsatz sein.

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Viertert Lehrsatz.

Wenn aber das eine der Segmente, die den gewählten Winkel bei B einschließen, gleich dem Komplement der Kreislinie AB sein wird, das ist dem Segment BC.

Dann wird im Punkt C eine Parallele CH zu DGF gezogen, die den Kreis ABCDE in der Zeichnung in H schneidet. Und über CGE die messende Senkrechte HI gezogen. Und der Sinus des Komplements der Kreisline, die den gewählten Winkel bei B aufspannt, ist KL.

Und weil, wie früher gezeigt wurde, das Dreieck CKL ähnlich dem Dreieck CHI ist, also nach dem vierten Lehrsatz des sechsten Buches über Elemente, wird das Verhältnis von HI zu KL sein wie HC zu CK. Und von der messenden FD abgetrennt DM gemäß dem Verhältnis HI zu KL. Deshalb ist HI zu KL wie FD zu DM. Und die Hälfte von HI sei HN. Und weil nach der Konstruktion FG due Hälfte ist, der messenden DGF, also ist HN zu HI wie FG zu FGD. Also ist nach dem gleichen Verhältnis HN zu KL wie FG zu DM. In diesem Verhältnis aber sind die drei vorigen Terme gegeben. Denn HN ist die Hälfte von HI, was der wahre Sinus ist der Kreislinie EFH und nach der Konstruktion auch gegeben; denn es wird zusammengesetzt aus dem doppelten der Kreislinie EF, das ist aus dem Doppelten der Kreislinie AB. Und KL ist gleich dem wahren Sinus des Komplements der nach der Hypothese gegeben Kreislinie und spannt den gewählten Winkel bei B auf. Und FG ist der Kreisradius von 90°. Also ist auch der vierte Term DM gegeben. Und weil nach der Konstruktion das Verhältnis FD zu DM wie das Verhältnis von HO zu CK ist - aber GK der Versin der Kreislinie in der Parallelen HC gleich dem Segment des Großkreises ist [der dem Halbkreis des Großkreises abgezogen wurde] wird die Kreislinie, die dem gewählten Winkel bei B gleich ist, übrig gelassen -, deshalb ist FM der Versin des gewählten Winkels bei B.

Also der gewählte Winkel bei B ist gegeben, was gezeigt worden ist.

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Zusatz.

Daher wird offensichtlich, dass der auf diese Weise gewählte Winkel bei B gegeben sein wird durch ein einziges Verhältnis, dessen erster Term die Hälfte des wahren Sinus der doppelten Kreislinie des kleineren der beiden Seiten ist, die den Winkel einschließen. Der zweite Term ist der wahre Sinus des Komplements der gewählten Kreislinie, die der Winkel aufspannt. Der dritte Term ist der ganze Sinus, das ist die Hälfte, die den Großkreis ermisst. Der vierte Term ist der Versin der Kreislinie, die abgeschnitten wird aus dem Halbkreis, der vom gewählten Winkel übriggelassen wird. Aber durch die vorigen gegebenen Terme ist erklärt worden, und der vierte Term gegeben worden, nämlich der Versin der Kreislinie, die der gewählte Winkel von dem Halbkreis weggenommen übriggelassen wird.

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Ein anderer Lehrsatz wird im Folgenden gezeigt werden.

Daher sei in einem gegebenen sphärischen Dreieck ABC mit drei gegebenen Seiten, von denen zwei gleich lang sind AB, BC, den gewählten Winkel ABC zu folgern.

Folglich wird nach dem 30. Lehrsatz im Buch III der Elemente Euklids das Segment AC das den Winkel ABC aufspannt im Punkt D in zwei zerschnitten, und es wurde durch B, D in der Zeichnung der Abschnitt BD des Großkreises gezogen. Und weil zwei Segmente der Großkreise AB, BC auf der Kugel nach der Hypothese gleich sind, und von zwei teilbaren Dreiecken ABD, CBD das Segment BD gemeinsam ist, und die Basis AD der Basis CD gleich ist, deshalb sind erstens nach Menelaos′ Über Kugeln, zwei Winkel ADB, BDC gleich, und beide sind nach der Definition rechte. Auf die gleiche Weise ist klar, die beiden Winkel ABF, DBC sind gleich. Und weil, wie im zweiten Buch gezeigt worden ist, das Verhältnis des wahren Sinus des Segments BC zum Segment CD ein wahrer Sinus ist, so wie das Verhältnis des gesamten Sinus zum wahren Sinus des Winkels CBD oder dem gleichen ABD, und nach der Hypothese in diesem Verhältnis die vorigen Terme gegeben werden, also ist auch der vierte, nämlich der wahre Sinus des Winkels CBD gegeben. Deshalb wird durch die Tabellen der wahren Sinus der Winkel CBD, demnach ist nach der Hypothese der ganze Winkel ABC gegeben.

Also die drei gegeben Seiten des sphärischen Dreiecks, und das übrige wie oben; was zu zeigen gewesen ist.

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Fünfter Lehrsatz.

Wenn aber das eine der zwei Segmente, die den gewählten Winkel bei B einschließen, größer wäre als das Komplement der Kreislinie AB.

Weil allerdings das Komplement BC auf der Kreislinie entsteht, und es sei jenes gleich dem Segment BCH; deshalb fällt der Punkt H in der Zeichnung zwischen C, D. Und von H in der Zeichnung wird die der messenden parallele HKI gezogen, die die messende CGE in K in der Zeichnung schneidet. Erneut wird zur messenden CGE die Parallele HL gezogen. Und IM sei der wahre Sinus der Kreislinie EFI.

Dies also festgesetzt, wenn die Kreislinie, die den gewählten Winkel bei B aufspannt, sich kleiner als der Quadrant erweist, folglich ist die Parallele des wahren Sinus IM gleich dem wahren Sinus des Komplements der Kreislinie, die den gewählten Winkel bei B aufspannt, sie fällt zwischen K in der Zeichnung und den wahren Sinus IM des Segments EFI. Und es sei derartig die Parallele NO; und die erzeugtem IM und NO in den Teilen M, O, während sie HL begegnen, IM nämlich in P, NO aber in Q.

Folglich wird, wie vorher, das Verhältnis von INH zu HN sein wie IMP zu NOQ. Und wie ICH sich zu HN verhält, so wird FD zu DR sein. Und die Hälfte von IMP sei IS. Deshalb, wie früher gezeigt worden ist, wird aus dem gleichen Verhältnis IS zu NOQ sowie das Verhältnis FG zu DR. Mit diesem Verhältnis aber sind die vorigen drei Terme gegeben; also wird auch der vierte Term DB gegeben sein. Denn IS ist die Hälfte des gegebenen IMP, welches zusammengesetzt wird aus dem wahren Sinus IM des Segments EFI, die gegeben sind durch die Konstruktion, und MP, das gleich dem wahren Sinus des Segments CH, ist ebenfalls gegeben. Das gleiche wird durch die Beziehung der Geraden beweisen gegeben zu sein. Und FG wird gegeben, es ist nämlich der ganze Sinus nach der Hypothese. Folglich ist die Gerade BR gegeben, die der Versin oder Pfeil des gewählten Winkels bei B ist.

Der gewählte Winkel bei B ist also gegeben; was bewiesen werden musste.

Ferner ist die Kreislinie, die den gewählten Winkel bei B aufspannt, gleichgesetzt dem Quadranten, somit wird HK der Versin der Kreislinie parallel zu HI, welche aus dem Halbkreis abgeschnitten die Kreislinie im Winkel bei B parallel zurücklässt. Und über HL wird die Senkrechte KA errichtet; also wird wieder das Verhältnis von IMP zu KA sein wie ICH zu IK. Und ebenso wie ICH zu HK so wird FB zu BT sein. Deswegen, wie vorher, aus den gleichen IS zu KA wird gleich wie FG zu DT sein. Aber KA ist gegeben; denn es ist nach der Konstruktion gleich dem wahren Sinus des Segments CH. In dem gleichen Verhältnis wie die drei vorher gegebenen Termini ist auch der vierte BT gegeben, nämlich der Versin der Kreislinie des Großkreises, der vom Halbkreis abgezogen eine Kreislinie übriglässt, die dem gewählten Winkel bei B gleich ist.

Deshalb wird derselbe gewählte Winkel bei B wiederum gegeben sein.

Aber die Kreislinie, die den Winkel bei B aufspannt, übersteigt den Quadranten, deshalb wird, mit dem oben gezeigten, der Versin, der die Kreislinie über der Parallelen HI aufspannt, der den weggenommenen Halbkreis derselben Parallele eine Kreislinie gleichfalls vom gewählten Winkel bei B übriglassen, sie wird größer sein als die Gerade HK. Es sei deshalb der Versin HV so groß. Und durch V eine zu IMP parallele XVY gezogen, die schneidet die messende CGE über Z, und HL über Y. Und weil das Verhältnis IMP zu VY wie ICH zu HV ist, sei also FD zu DZ wie ICH zu HV; also wird aus den gleichen IS zu VY sein wie FG zu DZ. Aber die drei vorigen gegebenen Terme sind aus deren Verhältnis gegeben; also auch der vierte Term wird gegeben sein, nämlich DZ. Denn YV bleibt übrig, wenn VX vom wahren Sinus des Segments GH abgezogen wird. Es ist aber XV gleich dem wahren Sinus der restlichen Kreislinie, wenn der erweiterten Kreislinie dem Winkel bei B der Quadrant weggenommen ist; also ist auch VX gegeben; daher wird auch VY gegeben werden. Und weil das Verhältnis IH zu HV wie FD zu DZ ist, also ist DZ gegeben, und wird der Versin der Kreislinie des Großkreises sein, die aus dem Halbkreis desselben Großkreises weggenommen die Kreislinie ergibt, die dem gewählten Winkel bei B gleich ist.

Also wird ebenfalls der gewählte Winkel bei B gegeben sein, was zu zeigen war.

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Diese drei Stückchen dieses fünften Lehrsatzes wird man anders machen können.

Aus der ersten Zeichnung nämlich, wenn eine Parallele IBC zur messenden CGE gezogen wird, und zu dieser zwei Senkrechte VXB, HC errichtet.

Diese beiden Senkrechten sind aber gegeben. Denn VXB wird zusammen gesetzt aus VX nach der Hypothese gegeben und aus XB, das gleich ist dem wahren Sinus der gegebenen Kreislinie EFI ist. Und HC wird zusammengesetzt aus demselben wahren Sinus der Kreislinie EFI und dem wahren Sinus des Segments HC. Deshalb wird wie vorher geschlossen, dass der wahre Sinus DZ gegeben ist.

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Zusatz.

Infolgedessen ist auch offensichtlich, dass in einem sphärischen Dreieck dreier bekannter Seiten, wenn der gewählte Winkel, der zu bestimmen ist, den zwei Segmente einschließen, deren beide kleiner als der Quadrant sind, und die größere der beiden Seiten das Komplement der kleineren übersteigt, und die Kreislinie, die diesen gewählten Winkel aufspannt unter dem Quadranten ist, wird der gewählte Winkel durch ein Verhältnis gegeben, befinden sich im ersten Term die Hälfte der Summe aus dem wahren Sinus des aus der kleineren Kreislinie um den gewählten Winkel mit dem Komplement der größeren Kreislinie um den gleichen Winkel, und dem Segment, das übrig bleibt aus dem Komplement der kleineren Kreislinie abgezogen von der größeren Kreisline um den Winkel, das ich zwar wegen der Trennung und der Kürze des gewählten Winkels Argument zu nennen vorgezogen habe, und den wahren Sinus desselben Arguments; der zweite Term ist zusammengesetzt aus dem wahren Sinus des Komplements der Kreislinie, die den gewählten Winkel aufspannt und dem wahren Sinus desselben Arguments; der dritte Term ist der ganze Sinus; und der vierte Term ist der Versin von dessen Kreislinie, die von dem verminderten Halbkreis übrig bleibt ist die Kreisline, die dem gewählten Winkel gleich ist.

Wenn aber die durch den gewählten Winkel aufgespannte Kreislinie den Quadranten übertrifft, also der gewählte Winkel wiederum aus einem Verhältnis gegeben wird, das die Hälfte in der ersten Aussage hätte, der zweite Term ist der wahre Sinus desselben Arguments, der dritte Term der ganze Sinus, und der vierte Term den Versin von dessen Kreislinie, die die vom Halbkreis abgezogene Kreislinie übriglässt, ist gleich dem gewählten Winkel.

Wenn aber die Kreislinie, die den gewählten Winkel aufspannt, größer als der Quadrant ist, ist dieser Winkel wiederum durch ein Verhältnis gegeben, die die gleichen Terme hat außer dem dritten, der übrig ist, wenn der Quadrant von der aufspannenden Kreislinie dem gesagten Winkel abgezogen wird, und der wahre Sinus des Rests aus dem wahren Sinus des erwähnten Arguments weggenommen wird, was also von dieser Wegnahme übriggeblieben sein wird der dritte Term des Verhältnisses sein.

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