Die Grundrechnungsarten im Dualsystem

Hier versuche ich das Rechnen mit Dualzahlen etwas ausführlicher darzustellen, als Leibniz es in seiner Publikation von 1703 in den "Memoires" angibt.

Addition

Bei der Addition schreibt man die Summanden rechtsbündig untereinander. Addiert man 1 + 1, erhält man im Dezimalsystem 2, im Dualsystem 10. Generell gilt im Dualsystem:

  • 1 + 1 = 10
  • 1 + 0 = 1
  • 0 + 1 = 1
  • 0 + 0 = 0

  1 + 1 = 2
    1     1
    1     1
  1 0     2

Oder mit mehrstelligen Summanden:

    1 1 0       6
  + 1 1 1     + 7
    0 0 1        
  1 1            
  1 1 0 1     1 3

Dabei trägt man aus der Summe 1 + 1 = 10 die erste Stelle des Ergebnisses (10) auf die links stehende Spalte vor. In der dritten Spalte von rechts steht dann 1 + 1 + 1 = 11; also schreibt man in die Ergebniszeile eine 1 und trägt die zweite Stelle in die nächste Spalte vor.

[Zurück]

Subtraktion

Bei der Subtraktion schreibt man Minuent und Subtrahend rechtsbündig untereinander. Da Leibniz keine negativen Zahlen eingeführt hat, muss der Minuent größer sein als der Subtrahend. Es gilt:

  • 1 - 1 = 0
  • 1 - 0 = 1
  • 0 - 0 = 0

    1 1   3
  - 1 0   - 2
    0 1   1

Wird 0 - 1 gebildet, so "borgt" man sich aus der links stehenden Spalte eine 1: 10 - 1 = 1.

  1 0 0 0 0     16
-   1 0 1 1   - 11
      1 0 1      
  1 1 0 1        
  0 0 1 0 1     5

[Zurück]

Multiplikation

Die Multiplikation funktioniert im Dualsystem wie im Dezimalsystem. Da es aber nur die 0 und die 1 gibt braucht man das "Kleine 1 x 1" nicht. Es gilt:

  • 1 * 1 = 1
  • 1 * 0 = 0
  • 0 * 1 = 0
  • 0 * 0 = 0
5 * 3 = 15
1 0 1 * 1 1  
      1 0 1  
    1 0 1  
    1 1 1 1  
Man multipliziert den Multiplikanden mit dem man den Multiplikator von rechts stellenweise und schreibt das Ergebnis unter die Stelle mit der man multipliziert hat, d. h. man rückt das Ergebnis in jedem Schritt um eine Stelle nach links. Dann addiert man die einzelnen Schritte und erhält das Produkt.

  1 0 1 * 1 0 1   5 * 5
          1 0 1    
  +     0 0 0      
  +   1 0 1        
  =   1 1 0 0 1   25

[Zurück]

Division

Auch die Division im Dualsystem funktioniert wie die im Dezimalsystem.

  1 1 1 1 : 1 1  
- 1 1           1
 
 
  0 0            
  0 0 1          
-   1 1         0
 
 
      1 1        
      1 1       1
Man schreibt den Divisor linksbündig unter den Dividenden, so dass der Teil des Dividend, unter dem der Divisor steht, größer ist als der Divisor und subtrahiert stellenweise. Im Grunde entscheidet man nur, ob der Inhalt der relevanten Stellen im Dividenden größer (⇒ 1) oder kleiner (⇒ 0) ist als der Divisor. Den rest der Subtraktion schreibt man in die nächste Zeile, und zieht die folgende Stelle des Dividenden auf sie herab. Davon zieht man wieder den Divisor ab. Typisch bleibt ein Rest, das Leibniz nur das Rechnen mit ganzen Zahlen erklärt.
  1 1 1 1 : 1 1 = 1 0 1
1. Schritt 1 1      
- 1 1           = 1    
 
 
  0 0                  
2. Schritt 0 0 1                
-   1 1         = 0    
 
 
  0 1  
3. Schritt   0 1 1              
-     1 1       = 1    
 
      0 0              

[Zurück]