Infinitesimalrechnung

Die Infinitesimalrechnung wurde nahezu gleichzeitig von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton un­ab­hän­gig von einander in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts entwickelt. Leibniz kam von der Ana­ly­tischen Geometrie (ein Teilgebiet der Mathematik), Newton suchte Lösungen zu physikalischen Pro­ble­men der Bewegung. Beide kannten wohl die Überlegungen von Blaise Pascal, der die Steigung der Tan­gen­te an den Kreis untersucht hatte. Die Infinitesimalrechnung umfaßt die Differenzialrechnung und — ihre Um­keh­rung — die Integralrechnung. Wie die Grundrechenarten definiert die In­fi­ni­te­si­mal­rech­nung Regeln über das Um­for­men von Gleichungen mit Differenzialen und Integralen.

Differenzialrechnung

Leibniz untersuchte die Steigung ϑ der Tangente an einer Kurve (rot) im Berührungspunkt A. Geht man von der Sekante AB mit der Steigung α aus, und verschiebt den Schnittpunkt B auf der Kurve in Richtung A, so werden die relativen Koordinaten von B, Δx und Δy stetig kleiner. Gleichzeitig nähert sich die Se­kan­ten­stei­gung α der Tangentensteigung ϑ.

Die Steigung der Sekante ist in jedem Punkt auf der Kurve:

• tan α = Δy ⁄ Δx = (y_B - y_A) ⁄ (x_B - x_A).

Wenn nun für jeden Punkt auf der Kurve eine Rechenvorschrift für seine y-Koordinate in Abhängigkeit von seiner x-Koordinate existiert ("Funktion y = f(x)"), z. B. eine Parabel y = x², so gilt:

• Δy ⁄ Δx = (x_B² - x_A²) ⁄ (x_B - x_A).

Wir können für x_B schreiben: x_B = x_A + Δx und erhalten:

• 
• und nach Ausmultiplizieren und Kürzen:
• 

Wenn Δx sehr klein, aber nicht Null, wird, erhält man den Dif­feren­zial­quo­tienten

• d(x²) ⁄ dx = 2 · x.

Man schreibt "d" statt "Δ" um den Grenzwert zu symbolisieren. Leibniz interpretierte diesen Dif­feren­zial­quo­tienten als "Steigung" der Funktion f(x²) am Punkt mit der gegebenen x-Koordinate.

Wie Leibniz das ableitete findet man im Teil VII Band 4 der Akademie-Ausgabe.

Der skeptische Leser fragt sich so what?.

Newton untersuchte den Fall des Apfels vom Baum. Ihn interessierte die Frage, wie schnell der Apfel zu einem Zeitpunkt t fällt, wobei t kleiner als der Aufschlagzeitpunkt sein sollte. Er maß der Fallweg s eines Körpers ist proportional dem Quadrat der Fallzeit t: s(t) = c · t². Der Proportionalitätsfaktor c ist unab­hän­gig vom Gewicht des Körpers. Der Fallweg s ist also eine Funktion der Fallzeit t. Wir erhalten für die Fallgeschwindigkeit v(t) = Δs ⁄ Δt. Nehmen wir an, der Fall beginnt zum Zeitpunkt t₀, also s₀ = 0. Dann ist nach den gleichen Überlegungen wie oben:

Lassen wir wieder Δt gegen Null gehen, erhalten wir den Differenzialquotienten der Fallgeschwindigkeit: v(t) = ds ⁄ dt = 2 · c · t. Die Konstante c wurde gemessen, sie ist das Doppelte der Gra­vi­ta­tions­kon­stante g.

Nun kann man alle möglichen Funktionen nach dem Schema differenzieren. Es stellt sich aber heraus, dass man mit geeigneten Regeln für das Rechnen mit Differenzialen nur eine Anzahl Differenzialfunktionen braucht.

Spezielle Differenziationsformeln

Differenzieren ist eine Operation an einer Funktion. Eine Funktion f ist eine Rechenvorschrift wie z. B. y = x². Deren Differenzial dy ⁄ dx, also die Änderung von einer Größe y bei der infinitesimalen Änderung der Größe x erhält man nach einigen Regeln:

1. Das Differenzial einer Konstanten c ist Null:
   • y = c ⇒ dy ⁄ dx = dc ⁄ dx = 0
2. Das Differenzial einer Potenzfunktion:
   • y = xⁿ ⇒ dy ⁄ dx = n·x^n - 1
3. Das Differenzial einer Exponentialfunktion (c = Konstante):
   • y = dc^x ⁄ dx ⇒ dy ⁄ dx = c^x · ln c
   • und wenn c = Eulersche Zahl e:
   • y = de^x ⁄ dx ⇒ dy ⁄ dx = e^x
4. Differenziale der Logarithmusfunktion:
   • y = ^alog x ⇒ dy ⁄ dx = 1 ⁄ x · log e)
   • und wenn a = Eulersche Zahl e (natürliche Logarithmen):
   • y = ln x ⇒ dy ⁄ dx = 1 ⁄ x
5. Differenziale der Winkelfunktionen:
   • y = sin x ⇒ dy ⁄ dx = cos x
   • y = cos x ⇒ dy ⁄ dx = -sin x
   • y = tan x ⇒ dy ⁄ dx = 1 ⁄ cos² x
   • y = cot x ⇒ dy ⁄ dx = -1 ⁄ sin² x

Differenziationsregeln

Die Differenziale sind mathematische Elemente, mit denen man wie mit Zahlen rechnen kann. Dazu definiert man in der Mathematik Regeln. Die besonderen Regeln für das Umformen von Differenzialen sind:

1. Das Differenzial einer Summe oder einer Differenz zweier Funktionen u(x) und v(x) ist gleich der Summe oder der Differenz der Differenziale der beiden Funktionen:
   • y = u(x) ± v(x) ⇒ dy ⁄ dx = du(x) ⁄ dx ± dv(x) ⁄ dx
2. Das Differenzial einer Funktion mit konstantem Faktor c ist gleich c mal Differenzial der Funktion:
   • y = c·u(x) ⇒ dy ⁄ dx = c·du(x) ⁄ dx
3. Das Differenzial des Produktes zweier Funktionen u(x) und v(x):
   • 
4. Das Differenzial des Quotienten zweier Funktionen u(x) und v(x):
   • 
5. Das Differenzial einer Funktion F(x) einer Funktion u(x) (Kettenregel):
   • y = F(u(x)) ⇒ dy ⁄ dx = dF(x) ⁄ dx · du(x) ⁄ dx

Integralrechnung

Die Intergralrechnung ist die Umkehrung der Differenzialrechnung (wie Subtrahieren die Umkehrung der Addition, oder Logarithmieren die der Potenzierung ist). Alle Funktionen G(x), deren Differenzial die Funktion f(x)dx sind, heißen das unbestimmte Integral von f(x)dx.

Unbestimmte Grundintegrale

Zu jedem Integral gehört eine (unbestimmte) Konstante C, denn die Ableitung einer Konstanten ist Null (s. o.). Auch bei der Integration gibt es Rechenregeln:

Integrationsregeln

Bestimmte Integrale

Bis hierhin sieht die Infinitesimalrechnung ja wie eine zweckfreie Übung aus. Wie mächtig sie aber ist, se­hen wir beim bestimmten Integral. Die Differenzialfunktion war ja die Tangente an eine Kurve im Punkt mit den Koordinaten {x; f(x)}. Wenn man die x-Koordinate verändert, fährt man die Kurve ab. Integriert man nun die Differenzialfunktion, erhält man die Kurve punktweise zurück — oder wenn man nur in den Gren­zen zwischen x₁ und x₂ integriert: alle Punkte zwischen x₁ und x₂. Das entspricht der Entfernung zwischen den Grenzen auf dem Weg der Kurve.

Man spricht von der "Integration in den Grenzen von a nach b" und schreibt:

• 
• F(x) ist die Integralfunktion von f(x).

Beispiel

Greifen wir das Beispiel der Differenziation des Weges nach der Zeit bei Newton oben wieder auf. Er hatte definiert:

• Geschwindigkeit: v = ds ⁄ dt
• Beschleunigung: b = dv ⁄ dt = d²s ⁄ dt²

Für den Weg s des Apfels vom Baum gilt:

• 
• Die Beschleunigung des Apfels ist konstant gleich der Erdbeschleunigung g = 9,8 m ⁄ s²:
• 
• das in die erste Gleichung eingesetzt und integriert in den Grenzen von t₀ = 0 bis zur gewünschten Zeit t:
• 
• zum Zeitpunkt t₀ und s₀ = 0 hat der Apfel die Geschwindigkeit v₀ = 0 (er hängt ja noch am Zweig), also:

• s(t) = ½ · g · t².

Weitere Beispiele für die Anwendung der Infinitesimalrechnung auf dieser Website unter Loxodrome und Mittel­punkts­glei­chung der Ellipse.

Anmerkung

Die Infinitesimalrechnung ist natürlich wesentlich komplexer als hier dargestellt, und man kann komplizierte Probleme damit lösen! Da diese Website sich aber vorwiegend mit dem Rechenschieber beschäftigt, soll diese kurze Erinnerung an den Schulstoff ausreichen. Wer das Gebiet vertiefen will, sei auf die Quellen verwiesen, die etwa meine Schulkenntnisse (Abi ′67) behandeln — oder moderne Literatur zum Thema.

Quellen

1. Rudolf Rothe: Höhere Mathematik, Teil I. Leipzig 1944.
2. W. Gellert (Herausg.): Mathematik Ratgeber. Leipzg 1986.
3. Leibniz: Sämtliche Schriften und Briefe (Akademie-Ausgabe Teil VII: Mathematische Schriften, Band 4).

© Rainer Stumpe, URL: http://www.rainerstumpe.de/