C. F. Gauss und die mittlere Anomalie Keplers
Seit ich meine Herleitung der Kepler-Gleichung im Jahre 2003 veröffentlicht habe, wurde ich immer wieder darauf hingewiesen, dass ich den falschen Winkel als mittlere Anomalie M bezeichne. Alle anderen Quellen würden den Winkel am Mittelpunkt der Ellipse so benennen.
Jedoch:
- der Fahrstrahl Keplers 2. Gesetz geht von der Sonne aus, und die steht in einem Brennpunkt der Umlaufellipse (1. Gesetz)!
- muss also die Kepler-Gleichung eine Beziehung auf einen Winkel am Brennpunkt enthalten.
Sie findet sich in der Übersetzung von Gauss′s Werk Theoria Motus Corporum Coelestium, und wird wohl seit 1865 so abgeschrieben. Es ist mir nun gelungen, die Stelle im Ersten Buch, Ersten Abschnitt, Kapitel 6 zu identifizieren.
Der fragliche Satz im lateinischen Original lautet:
Hoc modo expressa quantitas
anomalia media vocatur, quae igitur in ratione temporis crescit, et quidem quotidie augmento
,
quod motus medius diurnus dicitur. Anomaliam mediam per M denotabimus.
In der Übersetzung von Carl Hase liest sich das:
Auf diese Weise ansgedrückt heisst die Grösse
die mittlere Anomalie, die daher im Verhältnis der Zeit wächst und zwar täglich um das Augment
- ,
welches man die mittlere tägliche Bewegung (motus medius diurnus) nennt. Die mittlere Anomalie bezeichnen wir durch M.
Um den Fehler zu finden, wird der lateinische Text analysiert. Dazu habe ich die lateinischen Worte des Gauss′schen Original mit ihrer Grundform und der grammatikalischen Form in der Tabelle zusammengefasst.
| Terminus | gramtikal. Form | Übersetzung |
| hoc | hic, haec, hoc (Nomin. od. Akk. od. Abl. Sing. neutr.; Abl. Sing. mask.) | dieser, diese, dieses |
| modo | modus, i (m. Dat. od. Abl. Sing.) | Art und Weise |
| hoc modo | auf diese Weise | |
| expressa | exprimo, essi, essum (Partizip Perf. Passiv adj: Nomin. od. Abl. Sing. Fem. od. Nomin. od. Akk. Plural neutr.) | ausgedrückt |
| quantitas | quantitas, atis (f Nomin. Sing.) | Größe, Menge |
| anomalia | anomalia, ae (f Nomin. od. Abl. Sing.) | Anomalie |
| media | medius, a, um (Nomin. od. Abl. Sing. Fem. od. Nomin. od. Akk. Plural neutr.) | mitllerer, mittlere, mittleres |
| vocatur | voco, avi, atus (1 3. Person Sing. Indikat. Präs. Passiv) | er, sie, es wird genannt, berufen |
| quae | qui, quae, quod (Nomin. Sing. od. Plural fem. od. Nomin. od. Akk. neutr.) | die |
| igitur | igitur (Konjunkt.) | deswegen, demnach |
| in | in (Präpos. mit Abl. o. Akk.) | in, auf |
| ratione | ratio, onis (f Abl. Sing.) | Verhältnis |
| temporis | tempus, oris (n Genet. Sing.) | Zeit |
| crescit | cresco, crevi, cretum (3. Person Sing. Indikat. Präs.) | er, sie, es wächst an |
| et | et (Konjunkt.) | und |
| quidem | quidem (Adv.) | zwar (bei Erklärung), nämlich, gewiß, aber, jedoch |
| quotidie | quotidie (Adv.) | täglich, alltäglich |
| augmento | augmentum, i (Dat. od. Abl. Sing.) | Zuwachs |
| quod | quis, quae, quod, quid (Nomin. od. Akk. Sing. neutr.) | welches |
| motus | motus, us (m Nomin. od. Genet. Sing.) | Bewegung |
| medius | medius, a, um (Nomin. od. Akk. Sing. mask.) | mittlerer, mittelre, mittleres |
| diurnus | diurnus, a, um (Nomin. od. Akk. Sing. mask.) | täglich, an einem Tage |
| dicitur | dico, dixi, dictus (3 3. Person Sing. Indikat. Präs. Passiv) | es wird gesagt, gezeigt |
| anomaliam | anomalia, ae (f Akk. Sing.) | Anomalie |
| mediam | medius, a, um (Akk. Sing. fem.) | mittlerer, mittlere, mittleres |
| per | per (Präpos. m. Akk.) | durch, bei |
| denotabimus | denoto, avi, atus (1 3. Person Plural Indikat. Futur) | wir werden bezeichnen |
Im Hauptsatz (dem ersten Satzteil bis zum Komma) ist "quantitas" das Subjekt (steht zusammen mit seinem Adjektiv "expressa" im Nominativ!): sie wird "vocatur". Typisch würde man nun das Objekt des Satzes im Akkusativ erwarten: ein Substantiv im Akkusativ gibt es aber in ganzen Satz nicht. Aber:
Der Satz lautet also in deutscher Sprache:
Die auf diese Weise
,
ausgedrückte Größe wird mittlere Anomalie genannt, die im Verhältnis der Zeit zunimmt, und zwar um den täglichen Zuwachs
- ,
das mittlere tägliche Bewegung genannt wird. Die mittlere Anomalie werden wir mit M bezeichnen.
Die Übersetzung ist also korrekt. Aber was meint Gauss?
Gauss stellte im Kapitel 6 seines Werkes die Differentialgleichung für die Bewegung eines Planeten um die Sonne auf, unter der Prämisse, das "die Flächenräume um die den einen Brennpunkt der Ellipse einnehmende Sonne gleichförmig sei … (s. Vorrede).
die Integration dieser Formel ergibt:
Er fährt fort:
Beide Seiten der Gleichung i) bezeichnen also Winkel, deren rechte Seite bezeichnet er als mittlere Anomalie M. Eingestzt ergibt sich:
- E - e · sin E = M
Das ist die von mir abgeleitete Kepler-Gleichung! Gauss hatte es schon richtig dargestellt, er wurde nur von irgendeinem späteren Autoren nicht richtig gelesen, und der Fehler dann immer wieder abgeschrieben.
Auch das Vorgehen zum Finden des Planetenortes auf seiner Bahn erläutert Gauss wie ich es vorführe:
- Quellen
- Carolo Friderico Gauss: Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientum. Hamburg 1809.
- Carl Friedrich Gauss: Theorie der Bewegung der Himmelkörper, welche in Kegelschnitten die Sonne umlaufen. Ins deutsche übertragen von Carl Haase. Hannover 1865.
- Immanuel Johannes Gerhard Schellers ausführliches und möglichst vollständiges lateinisch-deutsches Lexicon oder Wörterbuch in fünf Bänden, Leipzig 1804.
- Carl Gottlob Zumpt: Lateinische Grammatik, Berlin 1844.
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