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zuletzt geändert am 14.07.2014

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Ortsbestimmungen

Für eine sichere Fahrt muss man — wenigstens gelegentlich — seinen genauen Standort kennen. Dazu hat der Navigator folgende Möglichkeiten:

Weitere Standlinien findet er mit der Entfernungsbestimmung.

Horizontalwinkel von drei Objekten

Horizontalwinkelpeilung Diese Ortsbestimmung mit dem Sextanten ist völ­lig unabhängig vom Kompass und sehr ge­nau. Sie wurde 1692 von Laurent Pothenotfranzösischer Mathematiker, * um 1650 in Chaumont † 31.08.1732 in Paris, Professor am College Royal
Das Problem wurde von Willebrord Snellius um 1615 für die geodätische Triangulation formuliert.
ein­ge­führt. Man peilt drei Objekte A, B, C an und misst mit dem Sextanten die beiden Win­kel θ und ψ. Der Karte entnimmt man die Ent­fer­nun­gen A-B und B-C (Hier liegt eine mög­liche Ungenauigkeit: die Kartendaten von See- und Land­karten stim­men nicht überein; man sollte darauf achten, dass die Land­mar­ken als See­zeichen mar­kiert sind! Sonst könnten sich ihre Ko­or­di­na­ten auf ein anderes Karten­datum be­zie­hen.). Der Schiffs­ort be­fin­det sich auf dem Schnitt­punkt zweier Kreise, die jeweils die Strecken AB bzw. BC als Sehne haben. Die Kunst ist es, die Mittelpunkte M1 und M2 die­ser beiden Kreis zu finden — die zu­ge­höri­gen Radien r1 und r2 sind dann ja die Strec­ken M1A und M2C und die Strec­ken M1Ob und M2Ob.

Skizze Horizontalwinkelpeilung

Die Lösung bietet der Sehnensatz. Nach Euklid ist der Winkel ∠AM1B doppelt so groß wie der Winkel ∠AObB. Da wir im Dreieck AM1B den gepeilten Winkel θ und die Basis AB (aus der Karte) kennen, und wissen dass AM1 = BM1 und ∠BAM1 = ∠ABM1 (gleich­schenk­liges Dreieck!), halbiert die Höhe hM1 die Strecke AB. Also ist nach der Definition der Winkelfunktionen

  • cos α = · (½ · AB) ⁄ AM1 (α ist der Winkel im Dreieck AMB)
  • und da der Winkel μ bei M im Dreieck AMB μ = 2 · θ und mit der Winkelsumme im Dreieck:
  • α = β = ½ (180° - 2 · θ) = 90° - θ
  • r1 = AM1 = M1Ob = ½ · AB ⁄ cos (90° - θ) = ½ · AB ⁄ sin θ
Im Dreieck BM2C erhält man mit der gleichen Argumentationskette:
  • r2 = CM2 = M2Ob = ½ · BC ⁄ sin ψ.

Man kann also die Radien r1 und r2 der Kreise um die Peilobjekte A, B und C mit dem Rechenschieber einfach berechnen, um A und um B je einen Kreis mit dem Radius r1 schlagen, und um B und um C je einen Kreis mit Radius r2. Dann schlägt man einen Kreis mit dem Radius r1 um den Schnittpunkt M1 und einen Kreis mit dem Radius r2 um den Schnittpunkt M2 deren Schnittpunkt ist der gesuchte Schiffsort Ob, dessen Koordinaten man der Karte entnimmt. Diese Methode ist unabhängig von Kompassrichtungen und GPS-Daten. Sie dient also zur Ermittlung der Kompassabweichung und zur Fehlerbestimmung der GPS-Ortsangaben.

Die Kombination von Rechnung und Konstruktion geht schneller als die reine Konstruktionslösung.

Das Verfahren ist ähnlich dem der unter Kreuzpeilung beschriebenen, das auch auf dem Sehnensatz beruht.

Beispielrechnung

Ein Segelboot steht westlich von Hiddensee, der Kompass ist ausgefallen. Man kann aber den Leuchtturm Dornbusch sehen, sowie die Leuchtfeuer Gellen und Bock. Welche Position hat das Boot?

  • Dornbusch: φ 54° 35,948′ N. λ 13° 07,164′ E.
  • Gellen: φ 54° 30,488′ N. λ 13° 04,466′ E
  • Bock: φ 54° 26,591′ N. 7 13° 01,835′ E

Skizze Horizontalwinkelpeilung 2
(Bild unter Verwendung von Open Sea Map und List of Lights erstellt.)
Hinweis: OpenSeaMap zeigt zwar ein Koordinatengitter auf den Karten an, das ist aber nicht das der Mercator-Projektion. Vielmehr werden GPS-Punkte auf das WGS84-Ellipsoid projiziert und wie Landkarten (OpenStreetMap) dargestellt. Das Mercator-Gitter wurde daher konstruiert, und die Karte wurde dann durch Verzerren angepaßt.

Mit der Deckspeilscheibe werden die Winkel zwischen den drei Landmarken gemessen:

  • ∠ Dornbusch Ob Gellen = θ = 67,0°
  • ∠ Gellen Ob Bock = ψ = 38,3°

Zunächst werden die Mit­tel­senk­rech­ten auf den beiden Verbindungsstrecken errichtet. Man schlägt um jedes Leuchtfeuer einen Kreis mit und verbindet die Schnittpunkte der Kreise. Auf diesen Mit­tel­senk­rech­ten müssen die Mittelpunkte der beiden Kreise liegen, auf denen außer den Leuchtfeuern auch der Schiffsort Ob liegen (Sehnensatz).

Jetzt kommt der Rechenschieber zum Einsatz, denn die Konstruktion der Kreismittelpunkte ist umständlich. Als erstes werden die Länge der Strecken zwischen den Leuchtfeuern und deren rechtweisende Richtungen nach der Methode der mittleren Breite berechnet.

  • Dornbusch → Gellen:
    • mittlere Breite φm = (φD + φB) ⁄ 2 = (54,599° + 54,508°) ⁄ 2 = 54,553° = 54° 33,21′
    • Breitendifferenz: Δφ = 5,46′
    • Längendifferenz: Δλ = 2,697′ · cos 54,553° = 1,564′
    • rw Richtung:
      1. tan δ = 1,564′ ⁄ 5,46′ = 0,286.
      2. ⇒ δ = 15,9°
    • Entfernung: c = 1,564′ ⁄ sin 15,9° = 5,71′
  • Gellen → Bock:
    • mittlere Breite φm = 54,476° = 54° 28,547′
    • Breitendifferenz: Δφ = 3,90′
    • Längendifferenz: Δλ = 2,63′ · cos 54,476° = 1,529′
    • rw Richtung:
      1. tan ϑ = 1,529′ ⁄ 3,90′ = 0,392.
      2. ⇒ ϑ = 21,6°
    • Entfernung: d = 1,529′ ⁄ sin 21,6° = 4,15′

Die letzten Berechnungen sind die der Radien der Kreise zu den Sehnen Dornbusch → Gellen (rθ) und Gellen → Bock (rψ):

  • rθ = ½ · c ⁄ sin θ = ½ · 5,71 ⁄ sin 67° = 3,10′.
  • rψ = ½· d ⁄ sin ψ = ½· 4,15′ ⁄ sin 38,3°; =  3,35′
Jetzt werden noch die Kreise um die Leuchtfeuer mit dem jeweiligen Radius geschlagen und von deren Schnittpunkt ein Kreis mit dem gleichen Radius. Die beiden letzten Kreise schneiden sich im Schiffsort Ob. Die Position wird aus der Karte abgelesen φ = 54° 01,03′, λ = 12°58,54′.

Kann man die Position auch wie bei der Kreuzpeilung direkt berechnen? Man kann. Allerdings nicht mit einfachen Mitteln.

Der horizontale Gefahrwinkel

Neben dem vertikalen Gefahrwinkel, der den mi­ni­ma­len Abstand von einem Objekt bekannter Höhe definiert, gibt es auch einen, der den Horizontalwinkel von zwei Objekten verwendet. Er verwendet Euklids Sätze über die Sehnen in Kreisen.

  • Skizze Gefahrwinkelpeilung
  • (Bild unter Verwendung von Open Sea Map erstellt. Die Aufgabe stammt aus "Lehrbuch der Navigation", Reichs-Marine-Amt, Berlin 1906.)
Man sucht einen Punkt auf der Karte, der den geringsten Abstand von einer Untiefe markiert, verbindet ihn mit den beiden Punkten die man peilen will, und misst den Winkel zwischen dne Verbindungslinien am Scheitel. Im Bild beträgt der Gefahrwinkel 85°. Peilt man nun mit dem Sextanten die beiden Objekte und misst einen kleineren als den bestimmten Gefahrwinkel, bleibt man sicher außerhalb der strich-punktierten Linie, denn alle Peripheriewinkel auf einem Kreis über einer Sehne sind gleich. Und der Peripheriewinkel schrumpft mit wachsendem Kreisradius


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