Ortsbestimmungen

Für eine sichere Fahrt muss man — wenigstens gelegentlich — seinen genauen Standort kennen. Dazu hat der Navigator folgende Möglichkeiten:

• die Bestimmung des Schiffsortes durch Kreuzpeilung,
• die Bestimmung des Schiffsortes durch Horizontalwinkel-Peilung dreier Objekte,
• die Bestimmung des Schiffsortes durch "Koppeln".

Horizontalwinkel von drei Objekten

Diese Ortsbestimmung mit dem Sextanten ist völ­lig unabhängig vom Kompass und sehr ge­nau. Sie wurde 1692 von Laurent Pothenotfranzösischer Mathematiker, * um 1650 in Chaumont † 31.08.1732 in Paris, Professor am College Royal
Das Problem wurde von Willebrord Snellius um 1615 für die geodätische Triangulation formuliert. ein­ge­führt. Man peilt drei Objekte A, B, C an und misst mit dem Sextanten die beiden Win­kel θ und ψ. Der Karte entnimmt man die Ent­fer­nun­gen A-B und B-C (Hier liegt eine mög­liche Ungenauigkeit: die Kartendaten von See- und Land­karten stim­men nicht überein; man sollte darauf achten, dass die Land­mar­ken als See­zeichen mar­kiert sind! Sonst könnten sich ihre Ko­or­di­na­ten auf ein anderes Karten­datum be­zie­hen.). Der Schiffs­ort be­fin­det sich auf dem Schnitt­punkt zweier Kreise, die jeweils die Strecken AB bzw. BC als Sehne haben. Die Kunst ist es, die Mittelpunkte M₁ und M₂ die­ser beiden Kreis zu finden — die zu­ge­höri­gen Radien r₁ und r₂ sind dann ja die Strec­ken M₁A und M₂C und die Strec­ken M₁O_b und M₂O_b.

Die Lösung bietet der Sehnensatz. Nach Euklid ist der Winkel ∠AM₁B doppelt so groß wie der Winkel ∠AO_bB. Da wir im Dreieck AM₁B den gepeilten Winkel θ und die Basis AB (aus der Karte) kennen, und wissen dass AM₁ = BM₁ und ∠BAM₁ = ∠ABM₁ (gleich­schenk­liges Dreieck!), halbiert die Höhe h_M1 die Strecke AB. Also ist nach der Definition der Winkelfunktionen

• cos α = · (½ · AB) ⁄ AM₁ (α ist der Winkel im Dreieck AMB)
• und da der Winkel μ bei M im Dreieck AMB μ = 2 · θ und mit der Winkelsumme im Dreieck:
• α = β = ½ (180° - 2 · θ) = 90° - θ
• r₁ = AM₁ = M₁O_b = ½ · AB ⁄ cos (90° - θ) = ½ · AB ⁄ sin θ

• r₂ = CM₂ = M₂O_b = ½ · BC ⁄ sin ψ.

Man kann also die Radien r₁ und r₂ der Kreise um die Peilobjekte A, B und C mit dem Rechenschieber einfach berechnen, um A und um B je einen Kreis mit dem Radius r₁ schlagen, und um B und um C je einen Kreis mit Radius r₂. Dann schlägt man einen Kreis mit dem Radius r₁ um den Schnittpunkt M₁ und einen Kreis mit dem Radius r₂ um den Schnittpunkt M₂ deren Schnittpunkt ist der gesuchte Schiffsort O_b, dessen Koordinaten man der Karte entnimmt. Diese Methode ist unabhängig von Kompassrichtungen und GPS-Daten. Sie dient also zur Ermittlung der Kompassabweichung und zur Fehlerbestimmung der GPS-Ortsangaben.

Die Kombination von Rechnung und Konstruktion geht schneller als die reine Konstruktionslösung.

Das Verfahren ist ähnlich dem der unter Kreuzpeilung beschriebenen, das auch auf dem Sehnensatz beruht.

Beispielrechnung

Ein Segelboot steht westlich von Hiddensee, der Kompass ist ausgefallen. Man kann aber den Leuchtturm Dornbusch sehen, sowie die Leuchtfeuer Gellen und Bock. Welche Position hat das Boot?

• Dornbusch: φ 54° 35,948′ N. λ 13° 07,164′ E.
• Gellen: φ 54° 30,488′ N. λ 13° 04,466′ E
• Bock: φ 54° 26,591′ N. 7 13° 01,835′ E

(Bild unter Verwendung von Open Sea Map und List of Lights erstellt.)
Hinweis: OpenSeaMap zeigt zwar ein Koordinatengitter auf den Karten an, das ist aber nicht das der Mercator-Projektion. Vielmehr werden GPS-Punkte auf das WGS84-Ellipsoid projiziert und wie Landkarten (OpenStreetMap) dargestellt. Das Mercator-Gitter wurde daher konstruiert, und die Karte wurde dann durch Verzerren angepaßt.

Mit der Deckspeilscheibe werden die Winkel zwischen den drei Landmarken gemessen:

• ∠ Dornbusch O_b Gellen = θ = 67,0°
• ∠ Gellen O_b Bock = ψ = 38,3°

Zunächst werden die Mit­tel­senk­rech­ten auf den beiden Verbindungsstrecken errichtet. Man schlägt um jedes Leuchtfeuer einen Kreis mit und verbindet die Schnittpunkte der Kreise. Auf diesen Mit­tel­senk­rech­ten müssen die Mittelpunkte der beiden Kreise liegen, auf denen außer den Leuchtfeuern auch der Schiffsort O^b liegen (Sehnensatz).

Jetzt kommt der Rechenschieber zum Einsatz, denn die Konstruktion der Kreismittelpunkte ist umständlich. Als erstes werden die Länge der Strecken zwischen den Leuchtfeuern und deren rechtweisende Richtungen nach der Methode der mittleren Breite berechnet.

• Dornbusch → Gellen:
• mittlere Breite φ_m = (φ_D + φ_B) ⁄ 2 = (54,599° + 54,508°) ⁄ 2 = 54,553° = 54° 33,21′
• Breitendifferenz: Δφ = 5,46′
• Längendifferenz: Δλ = 2,697′ · cos 54,553° = 1,564′
• rw Richtung:
  1. tan δ = 1,564′ ⁄ 5,46′ = 0,286.
  2. ⇒ δ = 15,9°
• Entfernung: c = 1,564′ ⁄ sin 15,9° = 5,71′
• Gellen → Bock:
  • mittlere Breite φ_m = 54,476° = 54° 28,547′
  • Breitendifferenz: Δφ = 3,90′
  • Längendifferenz: Δλ = 2,63′ · cos 54,476° = 1,529′
  • rw Richtung:
    1. tan ϑ = 1,529′ ⁄ 3,90′ = 0,392.
    2. ⇒ ϑ = 21,6°
  • Entfernung: d = 1,529′ ⁄ sin 21,6° = 4,15′

Die letzten Berechnungen sind die der Radien der Kreise zu den Sehnen Dornbusch → Gellen (r_θ) und Gellen → Bock (r_ψ):

• r_θ = ½ · c ⁄ sin θ = ½ · 5,71 ⁄ sin 67° = 3,10′.
• r_ψ = ½· d ⁄ sin ψ = ½· 4,15′ ⁄ sin 38,3°; =  3,35′

Kann man die Position auch wie bei der Kreuzpeilung direkt berechnen? Man kann. Allerdings nicht mit einfachen Mitteln.

Der horizontale Gefahrwinkel

Neben dem vertikalen Gefahrwinkel, der den mi­ni­ma­len Abstand von einem Objekt bekannter Höhe definiert, gibt es auch einen, der den Horizontalwinkel von zwei Objekten verwendet. Er verwendet Euklids Sätze über die Sehnen in Kreisen.

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• (Bild unter Verwendung von Open Sea Map erstellt. Die Aufgabe stammt aus "Lehrbuch der Navigation", Reichs-Marine-Amt, Berlin 1906.)