Entfernungs- und Abstandsbestimmungen

Trigonometrische Abstandsbestimmungen gehören wohl zu den ganz alten Methoden. Schon als Kinder haben wir mit dem Augensprung Entfernungen geschätzt oder Winkel als Daumenbreite oder -länge gemessen. Der Navigator kennt außerdem noch folgende Entfernungsbestimmungen:

  1. mit Höhenwinkelmessung:
  2. mit Horizontalwinkelmessung:

Objekt bekannter Höhe über der Kimm

Diese Entfernungsbestimmung basieren weitgehend auf der Anwendung der Regeln für das rechtwinklige Dreieck. Man kann aus der Messung eines Winkels und der Kenntnis einer Seitenlänge im rechtwinkligen Dreieck die anderen Seiten und den anderen spitzen Winkel berechnen. Der Winkel kann vertikal oder horizontal gemessen werden. Das (trigonometrisch) einfachste Beispiel ist die Entfernungsbestimmung aus dem Winkel unter dem man ein Objekt sieht — man braucht aber ein Präzessionsinstrument, auf See einen Sextanten.

  • (Hinweis: alle Winkelangaben sind die gemessenen und um den Indexfehler des Sextanten korrigierten Winkel!)

Skizze Man misst mit dem Sextanten z. B. einen Leucht­turm, dessen Höhe man aus dem Leuchtturmverzeichnis kennt (ACHTUNG: nachsehen, ob die First- oder die Ga­le­rie­höhe angegeben ist!) und korrigiert den In­dex­fehler. Man schätzt seine Au­ges­höhe. Außerdem überzeugt man sich, dass man den Fuß des Objekts sehen kann (z. B. wenn man den Kamm brechender Wellen sehen kann; damit ist die Entfernung begrenzt auf die Kimm­ent­fernung!).

In dem rechtwinkligen Dreieck Auge-Leuchtturmfuß-Leuchtfeuer sind der spitze Winkel ω und die Gegenkathete bekannt, die Ankathete wird mit dem Tangens berechnet:

  • Tangensformel.
  • Wenn da nicht die Augeshöhe wäre!

Wegen der Augeshöhe ist nämlich das Dreieck nicht ganz rechtwinklig, weil man "von oben" auf den Fuß schaut — statt von gleicher Höhe. Da der Winkel ωK von der Entfernung abhängt, müssen wir ihn mit der ersten Entfernungsnäherung nach der gleichen Formel berechnen:

  • Formel.

Der Winkel ωK wird nun vom gemessenen Winkel abgezogen und die korrigierte Entfernung x' wird ausgerechnet:

  • Formel.

In Lehrbüchern findet man auch die Formel:

  • Entfernung = 13 ⁄ 7 · (Höhe h in m) ⁄ (Winkel in ′) ≈ 1,857 · (Höhe h in m) ⁄ (Winkel in ′).
  • (Hinweis: in englischen Lehrbüchern findet man den Faktor 1,854.)

Das ist im Prinzip die gleiche Rechnung, man erhält den Faktor 13 ⁄ 7, wenn man arc ω im Bogenmaß ausdrückt und die Umrechnung von m in sm durchführt.

Bisher ist noch nicht berücksichtigt, dass in Gezeitenrevieren die sichtbare Höhe größer (Ebbe) oder niedriger (Flut) sein kann als die in der Karte angegebene Höhe des Objektes. Auf welche Bezugsebene (Kartendatum) die Höhen bezogen sind, entnimmt man der Karte. Dann rechnet man den aktuellen Was­ser­stand aus und addiert oder subtrahiert den Unterschied zur Kartenbezugsebene zur Höhen­angabe.

Beispielrechnung

Man misst einen Leuchtturm, dessen Leuchtfeuerhöhe 29 m beträgt wird bei einer Augenhöhe von 2,5 m unter dem Winkel ω = 52,7′ = 0,878°. Zu berechnen ist also

  • Formel

Für Winkel unter 5,5° benutzt man die Skala ST (arc) des Rechenschiebers. Zur Berechnung kehrt man die Gleichung um, da man die Winkelfunktion zuerst einstellen muss, und liest das Ergebnis auf der Skala CI ab. Läufer über 0,878 auf Skala ST, 29 auf Skala C unter den Läufer, Läufer auf Skala C 10, Zunge in Ausgangsposition (C1 über D1) und auf Skala CI den Wert ablesen (1892). Läufer auf Skala D 1892, Skala C 1852 unter den Läufer, Unter der 1 auf Skala C auf Skala D den Wert (sm) ablesen: 1,021. Zur Korrektur berechnet man nun ωK: über 2,5 auf Skala D stellt man 1892 auf Skala C; Läufer über 1 auf Skala D und auf der Skala ST ωK = 0,0757° ablesen. Der gemessen Winkel muss also um 4,5′ verringert werden. Die richtige Entfernung für 52,7′ - 4,5′ = 48,2′ = 0,713° ist 1,258 sm. Die Entfernung ist also durch die Korrektur größer geworden.

Der vertikale Gefahrwinkel

Die hier abgeleitete Formel für den Zusammenhang zwischen Entfernung zu einem Objekt an Land und der gemessenen Höhe des Objekts kann man auch als Mindestentfernung einsetzen, wenn man an der Küste mit einem Kartenobjekt bekannter Höhe mit vorgelagerter Untiefe vorbei segelt. Der Karte entnimmt man die Entfernung vom Objekt, die eine sichere Passage garantiert. Aus dieser Entfernung sieht man das Objekt unter dem Winkel ω:

  • Winkel in ′ = (13 ⁄ 7) · (Höhe in m ⁄ Entfernung in sm)

Wird der im Verlaufe der Passage der Untiefe gemessene Winkel größer als der Gefahrwinkel, so ist man näher an der Untiefe als geplant. Solange er kleiner bleibt, ist man in sicherem Wasser.

Ebenfalls hilfreich ist der horizontale Gefahrwinkel, weil er genauso die Entfernungsmessung auf eine Winkelmessung reduziert.

Feuer in der Kimm

Nähert man sich in der Morgendämmerung einer Küste und sieht ein Leuchtfeuer, das im Leucht­feuer­ver­zeich­nis beschrieben ist, kann man sehr einfach einen Schiffsort bestimmen. In dem Augenblick, in dem man die Feuerquelle sieht, ist die Entfernung genau definiert. Zusätzlich hat man die Peilung zum Leucht­feuer. Man erhält eine gepeilte Standlinie und einen Entfernungskreis.

Skizze Es gilt sowohl für die Augeshöhe wie für die Leuchtfeuerhöhe die Berechnung der Kimm­ent­fer­nung. Die Entfernung x der beiden Ob­jek­te ist dann die Summe der beiden Kimm­ent­fer­nungen.

  • x = x1 + x2
  • x1 = arccos[R ⁄ (R + h)] · 60 · 1,08)
  • x2 = arccos[R ⁄ (R + H)] · 60 · 1,08).

Diese Re­ch­nung kann man nicht mit dem Re­chen­schie­ber ausführen, der Erdradius R = 6.371.000 m hat zu viele sig­ni­fi­kan­te Stel­len — man braucht einen Ta­schen­rech­ner. Zum Glück gibt es eine Faustformel:

  • Formel
  • (h und H im Metern, Ergebnis in Seemeilen).

Beispielrechnung

Auf dem Vordeck stehend (Augeshöhe 5,5 m) haben wir ein Leuchtfeuer in der Kimm gepeilt (Uhrzeit notieren!). Da wir die Kennung des Feuers bereits ausgezählt haben und den Leuchtturm im Leucht­feuer­ver­zeichnis identifiziert. Die Feuerhöhe beträgt 98 m.

Nun zücken wir den Rechenschieber und ziehen die Wurzeln aus 5,5 und 98. Läufer über 5,5 auf A stellen, unterm Läuferstrich auf D ablesen: 2,345; Läufer über 98 auf A, auf D ablesen: 9,81. Die beiden Zahlen im Kopf addieren: 12,15. Die 1 der Skala C über 1212 auf D stellen, und den Läufer über 2075 auf C schieben. Unter dem Läufer liest man auf D ab: 2515. Im Kopf überschlagen:2 mal 12 ist 24. Die Ent­fer­nung ist also 25 sm. Nun noch die rechtweisende Peilungslinie in die Karte eintragen und um das Feuer einen Kreis mit Radius 25 sm schlagen. Der Schnittpunkt ist der beobachtete Ort zum Zeitpunkt der Sich­tung. Jetzt kann man wieder Koppeln.

Kimmtiefe

Aus der Astronavigation kennt man den Begriff der "Kimmtiefe". Das ist der Winkel τ zwischen der Hori­zon­talen (scheinbarer Horizont) und der Blickrichtung zur Kimm. In der Abbildung ist der Zu­sam­men­hang des Winkels τ von der Augeshöhe h für zwei unterschiedliche Höhen dargestellt (h1 und τ1 bzw. h2 und τ2).

Schema Der Kimmtiefe τ entspricht im Bogenmaß die Länge des Bogens zwischen dem Fuß des Be­ob­ach­ters und der Kimm (= Be­rüh­rungs­punkt der Blick­tan­gente mit der Erd­ku­gel). Denn die Schenkel der Winkel am Auge des Be­ob­ach­ters und am Erd­mit­tel­punkt stehen paar­wei­se auf­ein­an­der senkrecht. Der Winkel (90° - τ) ist daher der spitze Winkel im recht­wink­ligen Drei­eck, und deshalb ist

  • sin (90° - τ) = R ⁄ (R + h) = cos τ.

Da cos τ sehr klein ist, rechnet man in Bo­gen­minu­ten um (· 60) und hat die Kimm­ent­fer­nung in sm. Diese Methode hat den Vorteil, man kann die Refraktionskorrektur anbringen. Das ist in Bogenminuten ja 1/12 oder 8% der Ent­fer­nung in sm. Man zählt also 8% zu

  • R ⁄ (R + h) · 60 dazu.

Das Seglerlexikon von Joachim Schult (Delius Klasing, 1998) gibt eine Faustformel für den Winkel τ (in Grad, Augeshöhe in Metern):

  • Formel.

Die Wurzel der Augeshöhe entsteht durch folgende Näherung. Für kleine Winkel (< 5°) kann man für den Cosinus eine Näherungsformel anwenden:

  • Formel.

Für R setzen wir in Metern:

  • Formel,

da der Erdumfang ja 360 · 60 Seemeilen umfaßt. Die beiden Formeln werden zusammengeführt:

  • Formel

und nach τr aufgelöst.

  • Formel.

Da h sehr viel kleiner ist als R, setzen wir für R + h nur R. Für R setzen wir den obigen Ausdruck ein:

  • Formel

Hierbei ist die Refraktion noch nicht berücksichtigt. Dazu müssen wir τ in Bogenminuten umrechnen und 8% abziehen (wir sehen ja wegen der Refraktion weiter, und der Winkel kommt zu groß heraus). Mul­ti­pli­zie­ren wir also den Faktor 0,032 mit 60 und dividieren wir durch 1,08. Das Ergebnis ist 1,777; sollte das Seglerlexikon in seiner 10. Auflage einen Druckfehler haben? Es hatte, und er ist in neueren Auflagen korrigiert.

Beispielrechnung

Bei einer Augeshöhe von 2,5 m (sitzend im Cockpit) beträgt die Kimmtiefe in Bogenminuten arccos(6.371.000/6.371.002,5) = 0,051° = 3'. Man sieht man den Horizont in der Kimmentfernung von 3′ · 1,08 = 3,29 sm (mit dem Taschenrechner). Nach der Faustformel ergibt sich 3,28 sm (mit dem Rechenschieber), in der Kimmentfernungstabelle aus der Admirality List of Lights findet man 3,2 sm.

Kimmentfernung

Auf der Kugel hängt die Entfernung zum sichtbaren Rand (Horizont, Kimm) von Radius der Kugel und von der Höhe des Betrachters ab.

Skizze Die Sichtlinie ist die Tangente der Kugel (Kreis) und der Radius zum Berührungspunkt der Tan­gen­te steht auf der Tangente senkrecht. Wir erhalten also ein rechtwinkliges Dreieck Auge - Kimm - Erdmittelpunkt. Die Entfernung Auge - Kimm rechnen wir mit dem Pythagoras aus (geht nicht mit dem Rechenschieber, aber mit dem Taschenrechner):

  • Formel.

Zur Berücksichtigung der Refraktion addieren wir 8% (oder 1 ⁄ 12) der Entfernung. Es gibt auch eine Faustformel für die Kimmentfernung:

  • Formel.

Diese Formel ähnelt der für die Kimmtiefe, nur der Faktor ist unterschiedlich:

  • Formel.

Von der Kimmtiefe zur Kimmentfernung hatten wir eine Refraktionskorrektur von +8% angebracht. Die Faustformel korrigiert mit +16%. Zwischen diesen beiden Werten wird die Wahrheit liegen, aber wo da­zwi­schen sie liegt, hängt von der Lufttemperatur und der -feuchtigkeit ab. Beide Methoden sind nur Schät­zun­gen mit einer großen Unsicherheit. Trotzdem kann man herrlich über die dritte Kommastelle des Fak­tors streiten.

Rechenbeispiel

Bei einer Augeshöhe von 2,5 m (Erdradius 6.371.000 m) erhält man eine Kimmentfernung von 6.095 m = 3,29 sm. Nach der Faustformel erhält man 3,28 sm.

Objekt bekannter Höhe teilweise hinter der Kimm

Ist es möglich, aus der bekannten Höhe eines Berges, der teilweise hinter der Kimm liegt, durch Messen des Winkels, unter dem man den sichtbaren Teil sieht, dessen Entfernung zu bestimmen? Im Admirality Manual of Navigation von 1955 fand ich einen Hinweis auf eine Tabelle (Lecky′s Tables), die einen Zu­sam­men­hang zwischen der beobachteten Höhe eines teilweise vom Horizont verdeckten Berges und sei­ner Entfernung angegeben hatte. Aber in einer neueren Ausgabe (1995) von Bowditch: The Practical American Navigator findet sich kein Hinweis mehr auf dieses Problem. Aber in der Ausgabe von 2002 ist die Tabelle wieder enthalten! Die Amerikaner hatten 1950 schon Computer, und konnten das Problem nummerisch lösen und eine Tabelle erstellen. Mich interessierte aber das trigonometrische Problem. Mehr als 2 Jahre nachdem ich es dargestellt hatte, erhielt ich von einem Besucher dieser Seite einen Ansatz zur Ableitung einer Formel. Kurz darauf hatte ich auch eine Kopie des "Lehrbuch der Navigation" 2. Auflage, herausgegeben vom Reichs-Marine-Amt im Jahre 1906, erhalten.

Skizze Betrachten wir die Skizze die Skizze des Prob­lems: die waagrechte (Hilfs-)Linie (grün) geht vom Auge des Betrachters genau waage­recht auf den Berg zu. In der Skizze sind H die be­kann­te Höhe des Objektes, h die Au­ges­höhe, R der Erdradius, δ ist die Entfernung zum Objekt in Bogenminuten, τ die Kimmtiefe. Die Winkel μ und χ sind nur Hilfswinkel; sie kürzen sich in der arithmetischen For­mel­ar­beit wieder heraus. (Im Grunde sind sie dazu da, ein rechtwinkliges Dreieck zu erzeugen.)

Der Winkel ∠MAO = 90° + μ, der Winkel ∠AMO = δ, und der Winkel ∠AOM = χ = 
= 180° - ∠MAO - ∠AMO = 180° - 90° - μ - δ = 
= 90° - (μ + δ) (Winkelsumme im Dreieck!).

Jetzt wendet man den Sinussatz an:

Die Seiten eines schiefwinkligen Dreiecks verhalten sich wie die Sinuswerte der den Seiten gegenüberliegenden Winkel.

und erhält die Gleichung

  • Sinussatz

für die beiden Seiten MA = R + h und MO = R + H. Und durch Umformen (Trennen der Winkelfunktionen) ergibt sich:

  • Umformung

Nun folgt eine etwas unübersichtliche arithmetische Umformung (Additionstheoreme!) mit dem Ziel, die Sinus- und Cosinusfunktion in eine Tangensfunktion umzuwandeln. Die wesentlichen Schritte sind:

  • Umformung
  • Umformung

Schliesslich erhält man:

  • Umformung

In dieser Formel kann man die Größe von H + h gegenüber 2 · R ohne großen Fehler vernachlässigen;, und da μ und δ naturgemäß klein sind, kann man ohne großen Fehler schreiben tan (μ + δ ⁄ 2) = (μ + δ ⁄ 2) · sin 1´ bzw. tan (δ ⁄ 2) = (δ ⁄ 2) · sin 1´. Man erhält also den vereinfachten Ausdruck:

  • Umformung

Der wird wieder umgeformt (Division durch sin 1´·sin 1´, Multiplikation mit 2):

  • Umformung

Der Bruch enthält nur Konstanten (R = 6.378.137 m) und kann als Faktor 3,71 angegeben werden. Gleichzeitig addiert man zu beiden Seiten der Gleichung μ2:

  • Umformung

Da der gemessene Höhenwinkel α des Objektes sich als Summe darstellt, erhält man μ = α - τ. Diesen Ausdruck substituiert man und löst nach δ auf:

  • Umformung

Mit dieser Formel berechnet man die Entfernung δ zum Objekt in Bogenminuten (= sm!) aus der be­kannten Höhe H (in Metern) des Objektes, dem gemessenen Höhenwinkel α (in Bogenminuten) und der Kimmtiefe τ (in Bogenminuten). Die Kimmtiefe in Abhängigkeit von der Augeshöhe (in Metern) entnimmt man einer Tabelle, oder man berechnet sie mit dem Rechenschieber.

Will man die Refraktion berücksichtigen, ändern sich die Faktoren in der Gleichung:

  • Umformung

Da die Höhe eines Berges in Metern auf einer Insel i. d. R. vierstellige Zahl ist, die Augeshöhe aber ein- oder zweistellig, muss man mit 4 signifikanten Stellen rechnen. Das übersteigt die Rechen­schie­ber­ge­nauig­keit, und man rechnete (umständlich) mit der Logarithmentafel. Meist kann man aber nicht sicher sein, ob der Berg nun in der Kimm oder hinter ihr seinen Fuß hat. Also mißt man zunächst den Winkel α, und überschlägt die Entfernung mit der Formel für ein Objekt vor der Kimm: δ1 = (13 ⁄ 7) · (H ⁄ α). Dann berechnet man die Kimmentfernung für die Augeshöhe h mit der Faustformel: δ2 = 2,075 · √h. Ist δ2 > δ1, so liegt der Berg diesseits der Kimm, und man hat die Entfernung schon. Ist dagegen δ2 < δ1, suche man die Logarithmentafel …

Rechenbeispiel aus den Lehrbuch des Reichs-Marine-Amts

Man maß auf S. M. S. Moltke im Süden von Gran Canaria den Höhenwinkel des Piks von Teneriffa, Höhe 3.717 m, bei 8,3 m Augeshöhe zu 1° 34,5′. Wie war der Abstand?

  • (H - h) = 3.717 - 8,3 = 3.708,7
  • α = 94,5′
  • τ = 0,032 · √8,3. = 0,092° = 5,53′
  • unter Berücksichtigung der Refraktion: τ = 5,53′ ⁄ 1,08 = 5,12
  • (α - τ) = 89,4′

Es muss also der Ausdruck δ = √[3,71 · 3.708,7 + (89,4′)2] - 89,4′ berechnet werden. Mit dem Taschen­rechner erhält man δ = 58,1′ = 58 sm. (Das Lehrbuch erhält mit der Logarithmentafel 60 sm.) Mit dem Rechenschieber (hier wird der UNIQUE-Navigator von Burns Snodgrass verwendet) — der ist ja jenseits seiner Rechengenauigkeit von 4 signifikanten Stellen — berechnet man zuerst die beiden Summanden unter der Wurzel:

  • (α - τ)2: man stellt auf der x-Skala B 894 ein und liest auf der x2-Skala 7995 ab, Ergebnis 7995 Rechenschieber 1
  • [3,71 · 3.708,7: man schiebt die 10 auf der x-Zungenskala über 371 auf der x-Skala des Körpers und liest unter 3709 auf der Zunge auf dem Körper ab 1379, ergibt 13.790: Rechenschieber 2 Rechenschieber 3
  • Rechenschieber 4 Die beiden Zahlen werden addiert: 21.785; diesen Wert auf der x2-Skala eingestellen und auf der x-Skala ablesen: 147,4.
  • Hiervon noch (α - τ) = 89,4′ abgezogen, ergibt eine Entfernung vom 58′ (= sm).

Es ist wohl eher ein Zufall, dass der Rechenschieberwert und der Taschenrechnerwert gleich sind, sicher ist kein Beweis für die Ge­nauig­keit des Rechenschiebers.

Achtung: egal mit welchem Hilfs­mittel gerechnet wird: diese Ent­fer­nungs­"messung" ist eher eine Schätzung!


Quellen:

  1. Squire Thornton Stratford Lecky: Wrinkles in Practical Navigation, London (1894).
  2. Squire Thornton Stratford Lecky: The Danger Tables and Off-Shore Distance Tables. London (1882).
  3. Lehrbuch der Navigation, Reichs-Marine-Amt (Herausg.), Berlin 1906.
  4. Nathaniel Bowditch: The American Practical Navigator, Bethesda 2002.

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