Quellen der Transkription:

1. Druck von J. G. Schönwetter, Frankfurt 1635. (s. Titelblatt)
2. Johannis Kepleri: Opera Omnia, Herausg.: Dr. Ch. Frisch, Band VI, Heyder & Zimmer, Frankfurt und Erlangen 1866.
3. Johannes Kepler: Kurze Darstellung der Copernicanischen Astronomie, Übersetzer E. Knoblauch, O. Schönberger, E. Schönberger, Königshausen & Neumann Würzburg 2010.

Übersetzung auf dieser Website: Dr. Rainer Stumpe

Epitomes Astronomiæ Copernicanæ

Liber Quintus.
Theoricæ Doctrinæ secundus.
De Circulis Eccentricis, Seu Theoriis Planetarum.

Si nullos statuis in coelo solidos orbes, et si omnes planetarum motus administrantur facultatibus naturalibus, quæ sunt ipsis planetarum corporibus insitæ: quæro igitur, quæ futura sit astronomiæ ratio? videtur enim illa circulorum et orbium imaginatione carere non posse.
Fictorum illa circulorum et orbium inutili supellectili carere facile potest, at verarum figurarum, in quas ordinantur itinera planetarum, imaginatione tantum abest, ut privemus astronomiam, ut veri astronomi præcipuum opus et labor sit, demonstrare ex observationibus, quas figuras obtineant orbitæ planetariæ, talesque commiminsci hypotheses seu principia physica, ut ex iis figuræ demonstrari possint, consentientes cum deductis ex observationibus. Semel igitur stabilita figura orbitæ planetariæ, in posterum secunda jam et magis popularis erit astronomi exercitatio, calculum astronomicum per hanc genuinam figuram informare et regere, vel etiam illa figura in materialibus instrumentia expressa non secus quam solidis antiquorum orbibus uti planetarumque cursua per has figuras oculis subjicere.

Quam igitur tradis materiam libri quinti, seu theoricæ doctrinæ secundi, et quo discrimine illam separas a præcedentis quarti et sequentis sexti materiis?
Hactenus libro quarto principia physica motuum (inter cetera sunt demonstrata rationibus et experimentis, quintus ex hisce principiis physicis formabit figuras orbitarum planetariarum earumque figurarum potestates explicabit; ubi erunt excutiendi reconditissimi geometriæ penus. Sextus vero usum harum figurarum in theoriis singulorum planetarum docebit et in opus producet. Quartus igitur theoriam habet, quintus organum, sextos praxin; quartus physicus erat, quintus est geometricus, sextus erit proprie astronomicus.

Quot sunt partes libri V?
Duæ: in prima eccentricus cum suo plano connectuntur cum causis physicis; in secunda traduntur definitiones terminorum astronomicorum, qui occurrunt communiter in omnibus planetis circa eccentricum hunc, et explicatur ratio calculi quoad hanc partem.

Qualis igitur formatur figura orbitæ planetariæ ex principiis quarti libri physicis?
Si planetæ corpus non haberet fibras magneticas, ut secundum plagam illarum unam in boream eliceretur, secundum alteram in austrum, secundum unam plagam traheretur versus Solem, secundum reliquam expelleretur: tunc Sol, gyratione corporis sui circa suum axem circumferens speciem sui corporis immateriatam per amplissima mundi spatia, planetam illa apprehensum una circumferret et 1) siquidem ille initio constitisset sub ecliptica, totum ejus iter exactlssime in planum eclipticæ ordinaret, 2) eoque in id ipsum punctum, unde factum est initium, semper restitueret, 3) idem esset et corporis Solis et orbitæ planetariæ centrum, 4) ipsa figura. orbitæ circulus esset absolutissimus, 5) planeta in æqualibus hujus circuli portionibus omnibus æqualissima celeritate veheretur.
Sed quia posuimus, in cujuslibet planetæ corpore duplices inesse fibras, fit igitur permixtione facultatum corporis planetarii et virtutis motricis Solaris: ut 1) planeta describat orbitam ad eclipticam obliquam; et quia fibræ latitudinis fere quidem in parallelo situ manent toto circuitu, non tamen omnino, quin potins paulatim post multas gyrationes inflectuntur, ideo 2) planum, comprehensum orbita planetæ, proxime quidem est planum perfectum, non tamen omnino; quin potius peracto uno reditu centrum planetarii globi non exacte restituitur ad suum initium, sed novum circulum decurso et absoluto. priore connectit in modum circulorum dierum naturalium, de quibus libro tertio fol. 253, vel in modum fili, quod vermis sericus fundit, domunculam sibi circumjiciens et struens ex plurimorum circulorum connexorum implexione, qua etiam ratione efficitur, ut longissimi excursus ad latera non omnibus seculis sub iisdem locis zodiaci fiant. Et quia fibræ libratoriæ planetam faciunt altrinsecus a Sole trahi, e regione vero pelli, ideo planeta 3) describit orbitam circa Solem quidem, at non ut circa suum centrum, hoc, est a Sole eccentricam, efficiturque hac ratione 4) non perfectus circulus, sed a lateribus paulo angustior et compressior, nimirum figuræ ellipticæ. 5) Ob eandem causam et quia species corporis Solaris, motum planetæ concilians, in ampliori circulo tenuior et imbecillior est, planeta neque ejusdem celeritatis esse potest in omnibus orbitæ partibus, sed tardus in longa distantia a Sole, velox in parva. Denique quia etiam fibræ libratoriæ situ suo parallelo plurimarum revolutionum successionibus emoventur, ideo etiam loca sub zodiaco, quibus planetæ fiunt altissimi tardissimique, non semper manent, sed paulatim succedunt in consequentia.

Perplexam descripsisti figuram itineris planetarii, nec aptam, quæ oculis, præsertim in plano, subjiciatur.
Etsi hoc verum est, non novum tamen est in astronomia aut privatum Copernici, nec opus est omnia simul in eodem plano repræsentari, sed possunt perplexiones illæ, ortæ a tardissima translatione metarum latitudinis et altitudinis, eadem dexteritate secerni, qua usi sunt veteres astronomi, minori tamen apparatu.

Quomodo veteres secreverunt istas translations latitudinum et altitudinum?
Commenti sunt pro latitudinibus orbem unum, deferentem nodos, extimum totius theoriæ planetariæ; pro altitudinibus vero orbes duos, inæqualis crassitudinis utrumque, quibus nomen dederunt deferentium auges.

Quare iis utendum non censes?
Quia magis ad physicas rationea motuum imaginationi subjiciendas comparati fuerunt, quam ad astronomicas. Itaque eorum usurpatione stabilirentur illæ physicæ opiniones falsæ de soliditate orbium, vicissim obscurarentur iis sententiæ veræ de causis libro IV. demonstratis harum inæqualitatum earumque transpositionis tardissimæ.

Quid ergo tu his tribus veterum orbibus substituis ad subjiciendas imaginationi rationes astronomicas?
Sufficit, ut duas lineas rectas ex centro Solis educamus, alteram per sectiones orbitæ planetæ cum ecliptica, reliquam per centrum orbitæ planetæ proprium, utramque utrinque usque sub fixas, et illius motum sub ecliptica in antecedentia signa, hujus sub circulo, qui in sphæra fixarum superstat orbitæ, motum in consequentia doceamus, æquabilissimum utrumque, illum ab æquinoctiali puncto medio, hunc a linea illa intersectionum. Nisi hic excipiendum fuerit aliquid libro VII. ex eo fundamento, quod etiam ecliptica luxatilis est, nec semper per easdem omnino fixas tenditur.

Separatione hac facta, quid remanet imaginationi nostræ de figura itinieris planetæ?
Remanet orbita perfecte elliptica, plano mero regularissimo, ad eclipticæ planum constantibus angulis inclinato, a quo eclipticæ plano hæc orbita secatur linea per centrum corporis Solaris ducta, ut fol. 382 s. libro IV. præmissum. In hæ orbita planeta vehitur inæquali per partes celeritate, restituitur vero ad sectiones adeoque etiam ad æquinoctialia puncta, quin etiam ad fixas adque lineam per centra æqualissimis temporum periodicorum mensuris, quantum in se.

Nihilne peccat hæc imaginatio in causas et mensuras motuum unius periodi physicas?
Nihil penitus, dummodo memoria teneamus, ea, quæ a reali implexione et connexione plurium orbitarum sunt ablata per dictas duas lineas, physice non per illas ipsas, sed per inclinationem fibrarum realium corporis planetarii præstari.

Quo jure hanc quoque partem facis Copernicanæ astronomiæ, cum tamen is auctor manserit in sententia veterum de perfectis circulis?
Fateor, formam hanc hypothesium non esse Copernicanam. At quia para ista de eccentrico servit hypothesi universali, quæ motu Telluris annuo et quiete Solis utitur, fit igitur a potiori denominatio. Adde quod iata particula hypotheseos necessariis argumentis physicis ex illa quiete Solis et motu Terræ, dogmatibus Copernicanis, nectitur, itaque bono titulo etiam hæc ad Copernicum referri possunt.

Qua methodo incedendum, ut demonstretur, excausis physicis, libro IV stabilitis, oriri talem figuram orbitæ tantamque per partes ejus celritatem planetæ?
Incipiendum nobis est ab accessu et recessu planetæ a Sole primumque constituenda est mensura geometrica fortitudinis virium, quæ exseritur in planetam librandum in quolibet situ fibrarum. Secundo expedienda est etiam mensura geometrica compendiosa effectus attractionis vel expulsionis, qui toto aliquo arcu orbitæ per omnia virium incrementa fuit accumulatus. Tertio demonstrandum est, ex tali libratione, inter circumeundum peracta, oriri figuram orbitæ ellipticam. Quarto ostendendum est, planum ellipsis exhibere mensuras temporis et morarum, quas planeta consumit in quolibet arcu figuræ suæ ellipticæ. Quinto docenda est æquipollentia inter planum circuli et planum ellipsis, quoad hanc temporis mensurationem. Ultimo denique demonstrandum erit, circumductione fibrarum latitudinis sic comparata, ut libro IV. positum est, inniti æquabilltatem plani orbitæ. Quibus demonstratis securus redditur curiosus astronomus (popularibos enim non est opus libro nec IV. nec prima hac parte quinti) de hac parte calculi motuum, quam pars altera libri V. expedire et liber VI. applicatione hujus orbitæ ellipticæ ejusque plani ad orbem magnum in usum proferre docebit.

I. De incremento librationis.

I. Über die Bestandteile der Libration.

Incipe a primo et dic, quibus principiis formetur seu determinetur modus incrementi librationis in omni situ planetæ?
Duæ causæ concurrunt ad formationem hujus incrementi, activa et passiva. Activa est modulus virium libratorianum, respectu sui ipsarum, quantus is invenitur in una qualibet particularum æqualium orbitæ eccentricæ. Passiva est dispositio corporis planetarii ad Solem alia atque alia, quæ non omnis recipit seu admittit totum illum modulum virium, sed quælibet suam propriam portionem.

Beginne zunächst mit der Erklärung auf welcher Grundlage bilden sich, oder was bestimmt Anteile der Libration in jedem Planetenort?
Zwei Gründe spielen zusammen bei der Bildung jener Bestandteile, aktive und passive. Die aktive sind die wirkenden Kräfte der Bewegung, bzw. die Bewegung selbst, die bestimmt wird in einem beliebig kleinen Teil des exzentrischen Umlaufs. Die passive Anordnung der Planeten um die Sonne und untereinander, die nicht alle Werte annimmt oder jede Kraftwirkung zuläßt, sondern jede Portion Kraft nur in ihrem gehörigen Verhältnis.

Quid metitur igitur modulum ipsum virium ad librandum planeta?
Tria ista: primo distantia arcus orbitæ a Sole, secundo quantitas hujus arcus, tertio tempus, quod planeta consumit, dum versatur in illa particula.

Wie also wird die Krafteinwirkung selbst gemessen an der Bewegung der Planeten? Es gibt drei: erstens der Abstand des Kreisbogens von der Sonne, zweitens die Länge dieses Bogens, drittens die Zeit, die der Planet braucht um sich in diese Position zu bewegen.

Quid confert viribus libratoriis distantia arcus et in eo planetæ a Sole?
Quæ est proportio distantiarum, contraria est proportio tenuitatis speciei Solis, quæ una et eadem et circumfert et librat planetam, nunc attrahens illum nunc repellens, ut lib. IV. dictum fol. 348. Itaque quanto longius distat particula a Sole, tanto imbecillius quovis temporis momento planeta in ea versans libratur. Hoc nomine solo Sol absumeret in diversos interque se æquales arcus eccentrici vires inæquales.

Wie vereinigt der Abstandsbogen die Kraft der Libration und dadurch den Abstand des Planeten von der Sonne?
Welche ist das Abstandsverhältnis, entgegengesetzt ist das Verhältnis der Abschwächung der Eigenschaften der Sonne, welche eine und zugleich und bewegt und balanziert den Planeten aus, jetzt zieht sie ihn an, dann stößt sie ihn ab, wie in Buch IV, auf Seite 348 beschrieben. Auf diese Weise, je weiter ein Teilchen von der Sonne entfernt ist, desto schwächer dessen Einfluß auf den Planeten und dessen Libration. In diesem Sinne übt allein die Sonne in verschiedenen untereinander gleichen exzentrischen Bögen unterschiedliche Kräfte aus.

Quid efficit quantitas particulæ seu arcus orbitæ?
Quia in longum arcum profunditur multum virium, parum in brevem: æqualibus igitur arcubus positis, hoc quidem solo respectu vires debentur æquales.

Was bewirkt die Größe der Teile oder vielmehr auf den Umlaufbogen?
Wie viel Kraft im langen Bogen wirkt, so wirkt wenig im kurzen: weshalb die Stellung im gleichen Bogen, zu gleichen Kraftwirkungen führt.

Quid præstat tempus ad augmentum virium seorsim, et quid omnes tres causæ junctim?
Cum planeta, ut lib. IV. fol. 849. 361. ostensum, quo longius a Sole distat, hoc diutius moretur in æqualibus orbitæ particulis, hoc diutius etiam sentiat vim motricem Solis, quanta est in illius particulæ distantia, et vero jam dictum sit, quo longius a Sole distet una quælibet particularum æqualium orbitæ, hoc imbecillius etiam in illa planetam librari: quare quo imbecillius libratur in uno momento temporis in quavis æqualium orbitæ particularum, tanto diutius etiam et versatur et libratur in illa. Cum ergo compenset virium imbecillitatem prolixitas temporis, quo planeta vires illas in se experitur idque in eadem utrinque proportione, earundem scilicet distantiarum a Sole, hinc tandem efficitur, ut in particulas eccentrici æquales modulus etiam virium libratoriarum exseratur a Sole quidem et respectu ipsius, ut agentis, æqualis penitus. Vide fol. 349. 374 schemata.

Was bewirkt die Zeit besonders auf den Zuwachs der Kräfte, und wie spielen die drei Gründe zusammen?
Für den Planeten, wie im Buch IV, Seiten 849 und 361 ausgeführt, der weiter von der Sonne entfernt ist, dort wird er in gleichen Umlaufabschnitten bei Tage verzögert, dort merkt er bei Tage auch die bewegende Kraft der Sonne, die so größ ist, wie der entsprechenden Entfernung entspricht, und wie schon gesagt, der [Planet], der in einem bestimmten gleichen Teil des Umlaufes weiter entfernt von der Sonne ist, wird auch eine schwache Libration auf den Planeten [ausüben]: wodurch der in einem Augenblick der Zeit in welchem gewissen Teil des Umlaufes schwächer librierte, so sehr wird er auch gedreht und er unterliegt der Libration an diesem [Ort]. Weil die Zeitdauer die abgeschwächte Kraft ausgleicht, die der Planet von jenen Kräften erfährt versucht er gleichzeitig nach beiden Seiten

Iam igitur dic mensuram portionis, quam de modulo Solarium virium admittit in se planeta in quovis situ suo ad Solem.
Attendendus est angulus, quem Solis radii faciunt cum fibris globi planctarii magneticis. Hujus enim anguli sinus complementi metitur hanc virium portionem admissam. Cum enim causæ librationis effectrices sint Solis radius et fibræ magneticæ corporis planetarii, duæ lineæ physicæ, mensuram quoque fortitudinis librationis ab angulo inter has lineas ejusque sinu peti par est.
Ut si sit A Sol, I, E centrum corporis planetæ, RP linea ducta per A Solem et centrum orbitæ B erunt EG, IH fibræ mageticæ in RP propemodum perpendiculares (saltem compensatione semicirculorum considerata) et H, G termi solipetæ. Positum est enim libro quarto folio 375, fibras in circumlatione corporis manere sibi ipsis propemodum parallelas et in PR nullam occasionem exhibere tractus vel repulsæ, quia ibi loci utrisque terminis, et solipetis et solifugis, æqualiter ab A Sole distant; in locis vero intermediis, ubi termini solipetis vel solifugis recta in Solem spectant, librationis vigorem esse omnium maximum.
Æ et AI sunt Solis radii. Ducantur ED et IO lineæ ipsi RP parallelæ et in illas perdendiculares ex F et C punctis, in quibus radii Solis secant circulos globi planetarii medios, sintque CL et FK. Hic anguli radiorum Solis cum fibris sunt ÆG, AIH, angulorum complementa CED, FIO, seu arcus CD, FO, et horum sinus LC, FK, qualium IH vel EG est sinus totus 100000. Statuitur igitur, sicut se habent EG, IH ad LC, KF, sic esse totum modulum virium ex Sole in I vel E præsentium, ad portionem, quam admittit planeta in situbus fibrarum EG et IH.

Wenn das so ist, sage wie man die Anteile misst, die die Kräfte der Sonne auf den Planeten in seiner jeweiligen Stellung zur Sonne bewirken.
Zu beachten ist der Winkel, den die Strahlen der Sonne mit den Fasern der magnetischen Planetenkugeln einschließen. Denn der Sinus des Komplements dieses Winkels ist ein Maß für die wirksamen Kräfte. Denn die Gründe für die Libration sind die Sonnenstrahlen und die Fasern der magnetischen Planetenkugel, zwei physikalische Linien, der Winkels zwischen ihnen ist glücklicherweise auch ein Maß für die Libration so ist der Sinus ein Teil derselben.
Die Sonne stehe in A, I und E seien die Mittelpunkte der Planetenkörper, RP sei eine Linie durch die Sonne in A,und den Mittelpunkt B des Kreises, dann sind EG und IH magnetische Fasern senkrecht zur Verbindungslinie RP (wenigstens zu Ausgleichsüberlegungen im Halbkreis) und H, G sind die Endpunkte der Sonnenanziehung. Wie bereits im Buch IV S. 375 festgelegt, bleiben die Fasern selbst während des Umlaufes beinahe parallel, und in P und R tragen sie nicht zur Anziehung oder Abstoßung bei, wie die Beiträge, sowohl der Sonnenanziehung wie der Sonnenabstoßung gleich sind in der Sonnenferne A; in den Orten dazwischen an denen die Beiträge der Sonnenanziehung oder der Sonnenabstoßung rechtwinklig beitragen, ist die Auswirkung der Libration überall maximal.
Æ und AI sind Sonnenstrahlen. Wird durch ED und IO eine zu RP parallele Linie gezogen und die Lote von den Punkten F und C darauf gefällt, in diesen Punkten schneiden die Sonnenstrahlen die Kreise der mittleren Planetenkugeln und das sind CL und FK. Hier sind die Winkel zwischen den Sonnenstrahlen und den Fasern ÆG, AIH, deren Komplementärwinkel sind CED, FIO, oder vielmehr die Kreisbögen CD, FO, und deren Sinus LC, FK, wobei IH oder EG der Einheitskreis 100.000 ist. Es steht deshalb fest, sobald man das Verhältnis EG, IH zu LC, KF hat, so hat man die ganzen Maß der Kräfte, die von der Sonne in den Punkten E oder I wirken, in dem Verhältnis, das den Planeten in seiner Stellung der Fasern EG und IH hält.

Quare sinum potius mensuram statuis, quam anguli vel arcus complementum ipsum?
Quia fibra quælibet magnetica quamvis in globoso corpore insit, non est tamen circulus, sed recta linea physica, quæ fortissime operatur (vel ad patiendum tractum seu ad vires radii Solis in se admittendas fortissime est disposita), cum recta in Solem dirigitur, vel quod idem est, cum est in planum illuminationis circuli (quo finitor pars globi Soli obversa) perpendicularis: cum vero in illud planum est obliqua, æquipollet perpendiculari a suo termino in illud ductæ, ut breviori. Sic Solis radius, secundum calefactionis opus consideratus, quando recto angulo ferit planitiem, fortissime calefacit, quando vero obliquis, jam calefacit minus in ea mensura, quanto quam obliquus radius minor est ducta ex Sole perpendiculari in idem planum (continuatum).
Pulchrior erit consideratio ista: si perpendas, totum globum ex meris fibris constare, quarum longissimæ sunt, quæ insunt in circulo globi maximo, breviores, quæ in lateralibus, hoc pacto non tantum EG vel IH fibra erit, sed etiam, quos tetigimus sinus LC et KF, signatos a radio Solis Æ et AI in terminis suis C, F, ii sunt fibræ laterales. Quanto ergo minores sunt CL, FK quam GE, HI, tanto minus virium ex radio Solari admittit in se unaquælibet fibra totios corporis, ob hanc ipsam obliquitatem radii Solis in se. Ita radius ipse Solis, designando fibram lateralem, designat sinum, qui est mensura portionis suæ virtutis in eas receptæ.
Præterea omnis motus naturalis vel artificialis, in quem vel eadem vel analoga concurrunt principia, dispensatur per sinus angulorum, præcipue vero et evidentissime motus vel nisus brachiorum in libra et statera. Cum igitur etiam hæc libratio sit inter motus naturales latiori significatu (quippe potentia librans speciei Solaris est dimensionum particeps et quodammodo, sine tamen materia, corporalis; dispositio vero fibrarum in planeta rursus est corporalis), non est absurdum, etiam hanc librationem accipere leges easdem cum libra et statera. Id tanto magis verisimile de libratione versus So1em, quod ipsa etiam promotio planetæ in longum suæ orbitæ, causa intensionis et remissionis, velocitatis scilicet et tarditatis, ejusdem libræ vel stateræ leges imitator, ut libro IV. dictum folio 351. et 374. infraque pluribus fiet evidens.

Warum wird vielmehr der Sinus zur Messung hergenommen, von welchen Winkel oder welchem Winkelkomplement?
Weil jede beliebige magnetische Faser, die einem kugelförmigen Körper innewohnt, dennoch kein Kreis ist, sondern eine gerade physikalische Linie, die [die Körper] auf das stärkste beeinfußt (oder an ihm gleichmäß zieht oder vielmehr auf die Kräften der Sonnenstrahlen, mit denen sie stark verbunden sind, ordnend wirken), mit geraden [Linien] auf die Sonne gerichtet werden, oder was das gleiche ist, zu der betrachteten Kreisebene senkrecht (dem begrenzten Teil des Sonnenballs, den wir sehen) stehen: mit in jener in Wahrheit geneigten Ebene ist er, zieht er gleichmäßig senkrecht zu seinem Ende an jenen Leitungen, wenn nicht kürzer. So erwärmt der Sonnenstrahl, dessen wärmende Wirkung als zweites betrachtet wird, der einen rechten Winkel zum Planeten bildet stärker, als wenn er schräg steht, er wärmt weniger in dem Maß, um wie viel der schräge aus der Sonne kommende Strahl geringer ist als der senkrecht auf der Ebene stehende (wird fortgesetzt).
Schöner ist diese Überlegung: wenn [sie] rechtwinklig sind, steckt die ganze Kugeln in den unvermischten Fasern fest, die längsten sind, sind die, die in den größten Umkreis der Kugel fallen, die kürzeren sind die am Rande, nach dieser Vereinbarung wäre nicht EG sondern IH die große Faser, aber auch, der Sinus von LC und KF, sind Merkmale der Sonnenstrahlen Æ und AI, die i C und F enden, das sind die seitlichen Fasern. Um wie viel also CL oder FK kleiner sind als GE oder HI, um so viel ist die aus den Sonnenstrahlen übertragene Kraft kleiner, und bewirkt dadurch ein Ungleichgewicht der Fasern, die auf den Körper wirken, als ob die Sonnenstrahlen selbst schräg einfielen. So bestimmt der Radius der Sonne selbst, der die seitlichen Fasern bestimmt, den Sinus, der ein Maß für die Kraft ist, den diese spüren.
Weiterhin wird jede natürliche oder künstliche Bewegung, in diesem oder jenem oder einem ähnlichen zusammenlaufenden Grunde, verteilt durch den Sinus des Winkels, wahrhaft ausschließ und augenscheinlichst ist die Bewegung oder die Kraft auf die Arme der Balkenwaage und der Schnellwaage. Deshalb ist diese Libration auch von großer Bedeutung zwischen natürlichen Bewegungen (freilich ist die librierende Kraft der Sonnenerscheinung eine beteiligte Größe und gewissermaßen, ohne materiell zu sein, körperlich; die Anordnung der Fasern in den Planeten ist andererseits körperlich), und es ist nicht sinnlos, sich die Libration wie die Balken einer Waage vorzustellen. Dies stimmt besonders für die Libration in Richtung Sonne, die Planeten auf ihrem langen Umlauf befördert, die der Grund ist für die Beförderung und die Abschwächung, und die Geschwindigkeit vergrößert und abbremst, und ahmt die Balken einer Waage nach, wie im Buch V, Seite 351 und 374 gesagt und unten häufig augenscheinlich wird.

Compara hanc librationis velocitatem cum rationibus libræ.
Linea ex Sole in fibras habet se instar manubrii in libra, fibræ ioatar brachii libræ, plagæ fibrarum instar lancium; et quod sunt in lancibus pondera, hoc sunt in planeta attractus ad Solem vel repulsio ab eodem, et utrumque quidem ex eodem rerum genere. Nam ut Sol trahit planetam, sic Terra trahit corpora, ob quem tractum corpora dicuntur gravia. Sol quidem planetam trahit ex una plaga, pellit ex altera, et hoc secundum magis et minus, Terra vero sine discrimine situs trahit pondera. Quod igitur est in libra ponderum inæqualitas, id est in planeta situs fibrarum ad Solem diversitas, ubi planeta idem repræsentat utrumque libræ pondus. Et quemadmodum in libra pondus gravius descendit ad Terram, levius ab ea discedit ascendens, sic in hoc negotio totus planetæ globus sequitur affectionem plagæ præpollentis. Ut si plaga familiaris plus trahitur a Sole, planeta totus accedit a Solem; sin plaga inimica plus pellitur, totus planetæ globus a Sole expellitur. Igitur etiam mensura, qua pugnant inter se pondera libræ, dominabitur in hujus attractionis et expulsionis dispensatione. Jam vero in libra ponderum victoria æstimatur sinu complementi anguli, qui est inter manubrium et brachium ponderis levioris, ut probabitur: quare etiam in libratione corporis planetæ versus Solem passio plagæ de fibra, Soli propioris, vincet passionem plagæ adversæ in proportione sinus complementi anguli, qui est inter radium Solis et fibram. Victoriæ vero effectus, in motu quidem planetarum, est fortitudo librationis cuique loco competens. Hæc igitur fortitudo, seu natum ex illa librationis incrementum, æstimabitur similiter sinu complementi anguli ad fibras.
Sit AD manabrium seu jugum, eique æqualia AB, AC brachia in eadem recta BC, H sit pondus levius, dependens a B, I pondus gravius. a C dependens. Quanta igitur est longitudo brachiorum BC, tantam habent altitudinem pondera (quæ potestate sunt in B, C punctis), de qua inter se contendant: sit ea DE. Nam si pondua majus totum assem vinceret, brachium BA jungeretur manubrio DA, et majus pondus C esset in loco altitudinis E elevaretque minus ad usque summum fastigium D; sed quia non totum assem vincit, ducta igitur a fine brachii B in manubrium DA perpendicularis BF ostendit, quod pondus B tollatur per partem altitudinis FA et tantum etiam C pondus deprimitur, scilicet per AG. Ut igitur est DF ad FE, sic est pondus H ad pondus I, et ut FE ad FG, sic pondus I ad excessum suum super H; et ut DE ad FG vel DA ad FA, sic summa ponderum ad excessum. At si BA statuitur esse sinus totus, FA erit sinus anguli FBA, qui est complementum anguli FAB.
Eodem modo si EA sit radius Solis, BC fibra magnetica corporis planetarii, H vel B vigor expulsionis minor, I vel C vigor attractionis major, quippe C Soli propius accipiatur quam B, tunc si BA refert attractionem valentissimam, angulo BAD nullo, AF repræsentabit tractionem, angulo BAF vel GAC existente.

Applica hæc etiam ad rationes stateræ.
Stateræ ratio est eadem, hac solummodo diversitate, quod in libra quidem jugum A est medium inter extremitates brachiorum B, C, ac proinde pondera inæqualia effecerunt, ut BC non maneret parallela horizonti: in statera vero ponderum linea manet horizonti parallela, sed jugum dividit longitudinem brachiorum non in medio, sed propius graviori ponderi, sic ut brachia permutatam habeant proportionem ponderum.
Ut si manubrium libræ DA sit æquale brachiis BA, AC, statera sic formabitur, pondera ista, ex B, C dependentia, suspensura ad æquilibrium horizontis. Ex D perpendicularis in BC ducta, quæ sit DK, erit manubrium, et brachia BK, KC; et ut DF prius ad FE, sic hic BK ad KC. Tunc ut BK minus brachium ad KC majus, sic pondus H minos ex C suspendendum ad pondus I majus ex B suspendendum.
Monendus est lector, difficilem esse experimentationem mechanicam, quia mechanice caveri non potest pondus et crassitudo ipsorum brachiorom: debebant autem geometrice constituere meram lineam sine pondere et latitudine. Cui impedimento quomodo ex parte occurrendum, videatur in Archimede.

Teneo mensuram fortitudinis seu incrementi librationis in quolibet situ fibrarum corporis planetæ, petendam a complemento anguli fibræ cum radio Solis; quia vero difficulter patescere videtur hic angulus, eo quod non tantum corpus continue transfertur de loco in locum, sed etiam ejus fibræ inclinantur, mensura hæc incerta eoque inepta videtur ad usum.
Imo propter hanc ipsam inclinationem fibrarum angulus iste in arcum orbitæ potest converti, ut ex hoc arcu prodeat idem sinus, eadem scilicet mensura, qua ratione ad usum illa fit accommodatissima.

Doce et demonstra hanc conversiionem anguli dicti in orbitam.
Memineris initio, cum planeta est. in apsidibus, hoc est in principio orbitæ, angulum inter radium Solis et fibram esse rectum. Rursum libro IV. fol 379: ostensum est, fibram NQ illius figuræ in ipsum. Solem A dirigi, seu cum radio Solis NA uniri, consumto hoc angulo, cum est peractus quadrans orbitæ PN ab apside P, ut ita arcus orbitæ ab apside metiatur complementum hujus anguli. Restat igitur hoc demonstrandum, etiam angulos intermedios fibræ cum Sole, ut HIA, inter rectum et nullum, a mediis arcubus orbitæ, ut PI, inter nullum et quadrantem, sic compleri, ut juncti faciant 90°.
Demonstraturque sic: fol. 380. est dictum, sicut est IS ad NB, sic esse sinum anguli HIS ad sinum anguli QNB fere. Id captus causa sic usurpatum fuit de IS et NB, quamvis vi speculationis physicæ verum sit potius de sinibus angulorum IAP, NAP. Jam vero etiam sinus AIB est ad sinum ANB anguli, sicut sinus anguli IAP ad sinum anguli NAP. (Ut enim BI ad BA, sic sinus BAI ad sinum BIA, et ut eadem BI vel BN ad BA, sic sinus BAN ad sinum BNA; ut igitur sinus BAI vel IAP ad sinum BAN vel NAP, sic sinus AIB ad sinum ANB.) Ergo comparatis inter se membris præmissis, invenietur HIS æqualis angulo AIB, et QNB angulo ANB, detractisque æqualibus, erit SIB æqualis angulo HIA (sicut analogice BNB angulo ANA). Sed ipsius SIB mensura est IN, quia ipsius SBI mensura est PI, ergo etiam ipsius HIA mensura erit IN, complementum arcus PI. Dato igitur arcu orbitæ PI, statim datur et SI sinus illius arcus, mensura scilicet incrementi librationis.

II. De summa librationis peractæ.

Teneo mensuram incrementi vel vigoris librationis ad quodvis momentum: velim vero scire mensuram partis de libratione peracta principio usque ad illud momentum.
Ea habetur ex ejusdem arcus de orbita confecti sinu verso. Nam sicut se habet tota longior diameter ellipsis ad librationem totam, seu quod eodem redit, semidiameter orbitæ ad eccentricitatem, sic etiam se habet sinus versus ejusque arcus, de orbita ab apside incipientis, ad partem librationis, quæ interim conficitur, dum planeta percurrit arcum illum.

Quo medio demonstratur hoc?
Mediante illa ipsa mensura incrementorum librationis, jam modo sua demonstratione munita.
Sit enim circulus perfectus PD, cujos centrum B, sitque A Sol, linea apsidum PBAR, et P, R summa et ima apsis, et AB eccentricitas, ejusque duplum PB sit libratio tota. Dividatur jam circulus in partes æquales minimas, initio a P facto, sintque PK, KG, GD, DN, NS, SR, et a divisionibus hisce ducantur ipsi PR perpendiculares KX, GF, DB, NA, SY.

Igitur per præmissa, ut sinus KX ad GF, DB, NA, SY, RR (punctum vice lineæ), sic sunt inter se librationis incrementa, ipsis arcubus PK, KG etc. respondentis, puta PM ad MI, IF, FQ, QV, VB, quod verum est eo respectu, quo respectu intelligitur fieri divisio in infinita, quando KX et RR æquales intelliguntur esse. Cum igitur puncta P, M, I, F, Q, V, E ponantur discriminare dicta librationis incrementa, transponantur ea in suas quæque distantias planetæ a Sole A. Centro scilicet A, intervallis AM, Al, AF, AQ, AV scribantur arcus ML, IH, FE, QO, VT, ut sic orbita planetæ elliptica descendere intelligatur ex P per L, H, E, O, T in R, erunt distantiæ planetæ a Sole AP, AL, A H, Æ, AO, AT, AR, arcuum vero dictorum PK, PG etc. sinus versi erunt PX, PF, PB, PA, PY, PR. Dico totam diametrum PR, ut sagittam arcus PDR, se habere ad totam librationem PB, sicut sagittæ singulorum arcuum se habent ad incrementa librationis singula, scilicet PX ad PM, sic PF ad PI, sic PB ad PF, sic PA ad PQ, sic PY ad PV.
Nam positum est, librationis partes PM, PI etc. esse in proportione sinuum KX, GF etc. Jam vero etiam totius sagittæ PR partes PX, PF etc. sunt in eadem proportione sinuum KX, GF etc. et cum eadem conditione divisionis infinitæ: ubi (non minus quam prius) punctum R sustinet vicem lineæ RR.
Ergo permutatim partes librationis in eadem proportione respendent partibus sagittæ, et per consequens quælibet portio librationis tota a principio P respondet sagittæ suæ toti in eadem proportione.

Unde scimus, partes PX, XF diametri PR, ut sagittæ consideratæ, esse in proportione sinuum KX, GF, qui eas determinant?
Demonstravit Pappus, Mathematicarum collectionum libro V. prop. 36: si sphæricum, quod intelligatur sub PGZ, planis parallelis quotcunque, ut KW, GZ etc. secetur, superficiem sphærici et axem sectionum, ut PR, secari in proportionem semper eadem: ut sicut est superficies sphærica KPW ad proportionem axis PX, sic etiam sit superficies KWZG ad portionem XF, et sic de ceteris.
Atqui si sphærica superficies intelligatur divisa in zonas infinitas æquelatas, erit quælibet zona, puta KW vel GZ, ut circulus aliquis latitudine carens. Sed circuli KXW, GFZ sunt inter se, causa longitudinis, ut eorum semidiametri KX, GF etc. quare etiam portiones axis PR respondentes, puta PX, XF, tuebuntur proportionem sinuum KX, GF, quibus determinantur.
Demonstrationem ejusdem theorematis per numeros et anatomiam circuli vide tentatam in Comment. Martis, capite LVII. Ibi loci videbatur hæc proportio nonnihil deficere, quia Pappum nondum legeram. Sed causa fuit, quia primam sagittam sumsi arcus non satis parvi, quod perinde est, ac si in Pappo divideres superficiem sphæricam in partes non minutiores, quam unius gradus latitudine. Tunc enim minimæ zonæ latitudo necessario prodiret dupla ejus, quod verum esset.

Etsi arcus circuli PK, KG et reliqui sumti sunt æquales, at arcus veræ orbitæ PL, LH etc. æquales esse non videntur, sed versus E majores: nihilne hoc turbat demonstrationie certitudinem?
Nihil. Nam quod arcus versus E sunt majores, id tribuendum est his ipsis librationibus, ut infra apparebit; idem vero sibi ipsi nec causa solitaria nec concurrens causa esse potest, ut omittam, quod turbela, si qua etiam esset admittenda, plane futura esset insensibilis.

III. De figura orbitæ.

III. Über die Form der Umlaufbahn.

Video mensuram librationis inesse in sinibus versis arcuum orbitæ ab apside inceptorum, ex principiis et causis motuum assumtis; superset ut probes, hac librationis forma constitui orbitam ellipticam, de qua dixisti testari observationes.
Ellipsin fieri orbitam planetæ PLHEOTR et oppositam, demonstratur a proprietatibus identicis hujus figuræ; quas proprietates exprimit libratio hactenus tradita.

Ich sehe das Maß der Libration hängt mit dem Cosinus des Bahnbogens von der Apsis aus zusammen, aus Prinzip und auf Grund der angenommenen Bewegung; es ist zu beweisen, dass die Libration der Grund für die ellptische Bahnform ist, die ich durch Beobachtung beweisen werde.
Die Ellipse ist die Planetenbahn PLHEOTR und umgekehrt, was durch gleiche Besonderheiten der Figur gezeigt wird; diese von der Libration verursachten Besonderheiten wurden bis hier berichtet.

Quæ sunt ellipseos identicæ proprietates?
1. Constat ex Apollonii Pergæi Conicis, ellipsin, cui circulus est circumscriptus, communi diametro, qui est ellipseos longior, secare ordinatim applicatas ad illam diametrum in eadem omnes proportione segmentorum.
Ut si sint ordinatim applicatæ ad PR lineæ KX, GF, DB, NA, SY, si quidem linea curva PLHEOTR est ellipsis, oportet esse ut DB ad BE, sic GF ad FH et KX ad XL, sic etiam NA ad AO et SY ad YT.
2. Habet ellipsis duo puncta, ex quibus illa veluti centris describitur, quæ focos appellare soleo. Lineæ igitur ex binis focis ad quodcumque punctum ellipsis, aut etiam ex uno foco ad opposita ex centro ellipsis puncta ductæ, semper junctæ sunt æquales diametro longiori: unde fit, ut cum ducuntur ad illa puncta ellipsis, quæ sunt in diametro breviore media inter vertices, quælibet illarum æquet semidiametrum circuli.
Ut si sit A focus, B centrum circuli, AB, BF æquales, erit F focus alter, et AH, HF junctæ erunt æquales diametro PR; sic etiam AL, LF, et AO, OF; quare cum BE sit semidiameter brevior et E punctum in ea, erunt Æ, EF æquales et utraque æqualis semidiametro BP, BR vel BD.
Hoc sic applicatur ad planetas, quod observationes testari diximus, planetas tunc distare a Sole (foco altero hujus ellipsis) semidiametro circuli eccentrici, cum quadrantem orbitæ ab apside P præcise confecerunt.

Welche Größen sind bei der Ellipse gleich?

1. Nach [dem Werk des] Apollonios von Perge "Kegelschnitte" steht fest, eine Ellipse, der ein Kreis umschrieben ist mit dem Durchmesser der langen Ellipsenachse, schneidet die eingezeichneten Ordinaten [Anm.: gemein sind die Sehnen senkrecht zur Apsidenlinie] im Verhältnis zu deren Durchmesser in Abschnitte.
   Wie wenn die auf PR angewandten Ordinaten die Linien KX, GF, DB, NA, SY sind, und wenn die gekrümmte Linie PLHEOTR die Ellipse ist, ist es angemessen wie DB [sich verhält] zu BE, so [verhält sich] GF zu FH und KX zu XL, und ebenfalls NA zu AO und SY zu YT.
2. Die Ellipse hat zwei Punkte, aus denen jene Zentren gleichwie beschrieben werden, die wir gewöhnlich Brennpunkte nennen. Eine Linie, die beide Zentren mit einem beliebigen Punkt auf der Ellipse verbindet, oder vielmehr auch von einem Brennpunkt zum gegenüberleigenden durch das Zentrum der Ellipse gezogen wird, verbindet immer den gleichen längeren Durchmesser: woher gezogen, wenn sie durch jene Ellipsenpunkte gezogen wird, die auf dem kürzeren Durchmesser zwischen den Scheiteln liegen, jeder beliebige jener entspricht dem Radius des Kreises. [Anm.: "Die Summe der Länge der Fahrstrahlen eines Ellipsenpunktes entspricht der großen Achse der Ellipse" und die Entferung der Nebenscheitel vom Brennpunkt ist gleich der großen Halbachse.]
   Es sei A ein Brennpunkt und B der Mittelpunkt des Kreises, dann sind AB und BF gleich [lang], sei F der andere Brennpunkt, und werden AH und HF verbunden, ist die [Länge der] Verbindungslinie gleich dem Durchmesser PR ; ebenso [die Längen der Verbindungslinien] AL [mit] LF, und AO [mit] OF; ebenso mit BE als kürzere Achse und E ein Punkt auf dieser, werden Æ, EF auch gleich sein und ebenso gleich dem Halbmesser BP, BR oder BD.
   Das, auf Planeten angewandt, was wir als durch Beobachtung bestätigt nennen, haben die Planeten alsdann einen Abstand zur Sonne (dem anderen Brennpunkt dieser Ellipse), der dem Halbmesser des exzenrischen Kreises entspricht, der dem Quadranten des Umlaufes von der Apsis P entspricht.

Erläuterung: Kepler führt hier axiomatisch Erkenntnisse des Apollonios von Perge (ca. 262 v. Chr. bis ca. 190 v. Chr.) über die Ellipse auf:

1. In einer von einem Umkreis umgebenen Ellipse werden Kreissehnen senkrecht zur großen Hauptachse von Kreis und Ellipse geschnitten: das Verhältnis des gröeren Abschnittes auf der Halbsehne zur Halbsehne ist für alle Sehnen konstant und gleich dem Verhältnis von kleiner zu großer Halbachse: HF:GF = EB:BP. (Apollonius, 1. Buch, Lehrsatz 15)
2. Die Summe der Verbindungslinien eines Punktes auf der Ellipse mit den beiden Brennpunkten ist gleich der großen Achse der Ellipse, oder dem Durchmesser des Umkreises.

Demonstra, quod repræsententur hæ ellipticæ proprietates in orbita planetæ, quæ ex illis librationibus nascitur.
Describatur igitur legibus hactenus traditis nova figura, centro scilicet B circulus PDR, quem tangere debeat ellipsis, cujus sit longior diameter PR, et in ea A focus seu locus Solis. Agatur ipsi PR perpendicularis per B, quæ sit DT, erit in ea diameter brevior. Et quia BA eccentricitas est dimidium librationis, tanta igitur competet perfecto quadranti; planeta igitur, in lineam DB incidens, distabit a Sole minus quam in P, differentia BA, distabit igitur quantitate BP, quare intervallum æquale ipsi BP ex A extendatur in DB, sitque terminus ejus E. Planetæ igitur orbita secabit DB in E. Rursum assumatur arcus circuli PG ejusque sinus seu ordinatim applicata GFZ et sinus versus PF. Fac igitur ut BP ad PF, sic BA, dimidiam librationem, ad partem ipsi PG competentem, qua ablata ab AP, residuum ex A in GF extendatur incidatque terminus in H. Dico, ut DB est ad BE, sic etiam esse GF ad FH. Scribantur enim quadrata, super GF quidem GIOF, super HF vero HK, ut sit gnomon HIK; deinde G cum A. et cum B connectatur, et ex A perpendicularis in GB continuatam exeat, quæ sit AC.
Dico initio, quadratum ab AC æquale esse gnomoni HIK.
Nam quia factum est, ut BP ad PF, sic BA ad differentiam linearum AP, AH, quare etiam ut PB ad BF, sic BA ad excessum, quo AR adhuc superat BP. At etiam ut PB seu GB ad BF, sic AB ad BC, quia GFB et ACB rectangula æquales habent angulos GBF et ABC ad verticem. Ergo BC æquat portionem, qua AH superat BP; at et CG superat BP, hoc est BG, eadem portione BC, quare æquales sunt GC et HA. Sed quadratum rectæ GC una cum quadrato perpendicularis AC juncta æquant quadratum rectæ GA. Ex altera vero parte quadratum ab AF cum quadrato ab FG junctim æquant quadratum ejusdem GA. Ergo æqualia sunt duo quadrata a GF et ab FA juncta junctis quadratis a GC et a CA. Aequalis igitur auferantur, hinc quadratum ab GC, inde quadratum ab æquali linea AH, id est duo quadrata et ab AF et ab FH, scilicet HK: restat hic quadratum ab AC, illic gnomon HIK.
Hinc jam facile pertexitur reliquum demonstrationis propositæ.
Nam ut unus sinus GF ad suam perpendicularem AC, sic omnes alii ad suas ex A. Ut igitur quadratum sinus GO ad quadratum ab AC, id est ad gnomonem HIK, ita omnium sinuum quadrata ad suos gnomones: quare etiam ablatis gnomonibus, ut unius sinus GF quadratum GO ad quadratum HK ipsius FH, a distantia HA planetæ a Sole determinatæ, ita uniuscujusque sinus quadratum ad minoris a sua distantia determinatæ quadratum. Quorum vero quadrata sunt inter se proportionalia, illa ipsa ut latera sunt proportionalia inter se. Ut igitur GF ad FH, portionem ab AH terminatam, sic quilibet sinus, ut DB ad BE, portionem a sua Æ determinatam: quæ ratio est genuina ellipseos.
Altera proprietas ellipsis per se patet.
Ad præscriptum enim legum librationis (quia scilicet in quadrante orbitæ PE consumi debet dimidia libratio ipsi BA æqualis) residuæ BP æqualem ex A in DB extendimus, scilicet Æ. Nam quia A focus unus, si ipsi BA statuatur æqualis in BP ex B extensa, designabitur focus alter, cujus ab E distantia erit æqualis ipsi Æ, et junctæ æquabunt diametrum: quod fit in ellipsi.

Zeige, was diese elliptischen Größen in der Planetenbahn repräsentieren und welche von ihnen aus der Libration resultieren.
Um die Formeln bis hier her zu beschreiben, zeichnen wir eine neue Abbildung, der Mittelpunkt des Kreises PDR ist selbstverständlich B, und er fällt mit dem Mittelpunkt einer Ellipse zusammen, deren längerer Durchmesser PR ist, und in ihrem Brennpunkt A steht die Sonne. Wir errichten eine Senkrechte zu PR in B, die DT sei, auf der liege der kürzere Durchmesser [der Ellipse]. Und weil die Exzentrizität BA [= e] die Hälfte der Libration ist, diese Größe entspricht einem vollständigen Quadranten [des Kreises]; deshalb ist der Planet, der auf der Linie DB steht, dort weniger weit entfernt von der Sonne [in A] als in P, der Unterschied ist BA, [[Anm.die Strecke AD = BP = a; in P ist die Entfernung von der Sonne also AP = a + e] er ist daher um die Länge BP entfernt, welche Entfernung selbst gleich ist BP von A nach DB abgetragen, und der Endpunkt davon ist E. [Anm.: Die Entfernung eines Punktes im Nebenscheitel der Ellipse vom Brennpunkt ist gleich der großen Halbachse BP.] Die Planetenbahn schneidet daher DB in E. Wieder wird der Kreisbogen PG [für den Planetenort H] und die [Kreis-]Sehne GFZ als Koordinate [Maß] genommen, für den Bogen über PF. Man konstruiert [eine Strecke], die sich zu BA, der Hälfte der Libration, verhält wie BP [= a] zu PF, [der zum Bogen] PG gehörenden Strecke, die von AP abgezogen wird und von A zur [Sehne] GF hin abgetragen wird und auf dieser in H endet. Ich sage, wie sich DB zu BE verhält, so verhält sich auch GF zu FH. Wird deshalb ein Quadrat errichtet über GF, wie GIOF, über HF wie HK, dann sei HIK das Gnomon; dann wird G mit A und mit B verbunden, und in A das Lot auf das verlängerte GB errichtet, welches AC sei.
Ich sage zunächst, dass das Quadrat von AC gleich ist dem Gnomon HIK.
Denn es ist eine Tatsache, wie [sich] BP zu PF [verhält], so [verhält sich] BA zur Differenz der Strecken AP und AH, [und es verhält sich] ebenfalls wie BA zum Überschuß, um den AH noch BP übertrifft. Weiterhin [verhält sich] PB oder GB zu BF wie AB zu AC, weil die [Dreiecke] GFB und ACB rechtwinklig, und die Winkel GBF und ABC an der gemeinsamen Spitze gleich sind. [Anm.: Es handelt sich um "Scheitelwinkel"; zusammen mit dem rechten Winkel in beiden Dreiecken sind sie "ähnlich" (da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, stimmen sie in allen drei Winkeln überein!), und das Verhältnis der Hypothenusen GB bzw. AB ist wie das der Katheten BF bzw. AC.] Also gleicht BC dem Verhältnis, um welches AH BP übersteigt; weiterhin übersteigt CG auch BP um BG, um den Anteil BC, wodurch GC und HA gleich sind. Aber das Quadrat der Strecke GC zusammen mit dem Quadrat der Senkrechten AC ist gleich dem Quadrat GA. [Anm.: Pythagoras: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.] Andererseits sind die Quadrate von AF und FG zusammen ebenfalls gleich dem Quadrat der gleichen [Strecke] GA. Also sind die die beiden Quadrate von GF und von FA verknüpft mit den Quadraten von GC und von CA. Diese Gleichsetzungen kann man weiterführen: ausgehend vom Quadrat von GC, oder vom Quadrat der Strecke AH, es sind die beiden Quadrate von AF und von FH, selbstverständlich HK: es verbleibt dieses Quadrat von AC, jenes Gnomon HIK.
Ab hier ist es einfach, den Rest der These zu zeigen.
Denn wie sich eine Sehne GF sich zur zugehörigen Senkrechten AC verhält, so [verhalten sich] alle anderen zu [den zugehörigen Senkrechten] aus A. Wie deshalb das Quadrat GO über der Sehne zum Quadrat über AC, das ist das Gnomon HIK, und ebenso alle Sehnenquadrate zu ihren Gnomonen: verringern wir deshalb das Gnomon der einen Sehne GF deren Quadrat GO um das Quadrat HK von FH, um die Entfernung HA des Planeten von der Sonne zu bestimmen, so wird mit [dem Unterschied von] einem einzigen Sehnenquadrat zu seinem kleineren das Quadrat der Entfernung bestimmt. Weil die Quadrate zu einander proportional sind, sind auch deren Seiten zu einander proportional. Wie sich also GF zu FH verhält, das Verhältnis das AH bestimmt, so [verhält sich] jede beliebige Sehne, wie DB zu BE, das Verhältnis das Æ bestimmt: dieses Verhältnis liegt der Ellipse zu Grunde.
Weitere Eigenschaften der Ellipse.
Um die gleiche Formel der Libration fortzuschreiben (die selbstverständlich beim Fortschreiten im Quadranten PE des Umlaufes die Libration verringert bis sie gleich BA ist) für die Reste von BP verlängern wir von A aus nach DB, was selbstverständlich Æ ergibt. Denn weil A der eine Brennpunkt ist, wenn BA selbst gleich gesetzt wird von B aus in BP, was als der andere Brennpunkt festgesetzt ist, dessen Abstand von E gleich ist Æ, und die Verbindungen mit dem Durchmesser ausgeglichen werden: das passt in die Ellipse.

Anmerkung: Die Erläuterung ist auf einer separaten Seite.

Quæ est proportion DE, latitudinis lunulæ ab ellipsi de circulo resectæ, ad eccentricitatem BA?
Eceentricitas BA est medio loco proportionalis inter DE et ET. Eodem modo etiam omnis perpendicularis, ut AC, est medium proportionale inter GH et HZ residuum subtensæ.
Nam rectangulum sub GH et HZ æquale est gnomoni HIK. Sed hic gnomon est æqualis quadrato AC, ergo et rectangulum GHZ est eidem AC quadrato æquale. Sunt ergo continue proportionales GH, AC, HZ.

In welchem Zusaammenhang stehen DE, die Breite der Sichel, die die Elipse aus dem Kreis schneidet, zur Exzentrizität BA?
Die Exzentrizität BA ist das Maß des Verhältnises zwischen DE und ET. In gleicher Weise ist auch jede Senkrechte, wie AC, das Maß des Verhältnises zwischen GH und HZ und begrenzt das Ausmaß.
Denn das Rechteck aus GH und HZ ist gleich dem Gnomon HIK. Aber dieses Gnomon ist gleich dem Quadrat von AC, also ist auch das Rechteck GHZ dem Quadrat von AC gleich. Damit sind GH, AC und HZ stetig proportional.

De longitudine hujus orbitæ ellipticæ ejusque partium quid tenebo?
Sectis figuris circuli et ellipsis per infinitas GF, DB ordinatim applicatas, primæ portiones in P desinentes (ut GP ad PB) erunt ut GF ad FH, ultimæ in D, E desinentes (ut GD ad HE) erunt inter se æquales, ita proportio DB ad BE, incepta a P, paulatim obliteratur, inque D, E in meram æqualitatis proportionem vauescit. Integri vero arcus a P incepti proportionem inter se habent compositam ex omniam minimarum particularum proportionibus omnibus, eoque nunquam penitus exuunt totam proportionem DB ad BE. Nam quadrantes DP ad PE et sic etiam tota circularis linea ad totam ellipticam est ut DB ad medium arithmeticum inter DB, BE, quod est paulo longius quam medium proportionale.

Was wissen wir über die Länge dieses Ellipsenbogens und seine Einteilung?
Der Kreis und die Ellipse werden durch die angewandten Ordinaten GF und DB unendlich [oft] geteilt, die vorgenannten Teilungen (wie GP sich zu PB [verhält]) hören bei P auf und [verhalten sich] wie GF zu FH, die nachgenannten [Teilungen] enden in D und E (wie GD sich zu HE [verhält]) und [die Verhältnisse] sind unter einander gleich, so wird das Verhältnis DB zu BE, angefangen bei P, allmählich ausgelöscht, bei D, E, bis die Gleiche des Verhältnises verschwindet. Die Bögenlängen [des Kreises und der Ellipse], die in P anfangen, haben untereinander ein Verhältnis das zusammengesetzt ist aus allen kleinsten Stückchen aller Verhältnisse, und die übersteigen niemals das Verhältnis DB zu BE. Denn die Quadranten DP und PE und ebenso alle von P ausgehenden Kreis- und Ellipsenbögen [verhalten sich] wie DB zum arithmetischen Mittel von DB und BE, das geringfügig länger ist als die mittlere Proportionalität.

Quia etiam plani elliptici usus erit, quæro, in qua proportione sit planum ellipsis ad planum circuli, adeoque planum segmenti cujsque de semicirculo ad planum segmenti de semiellipsi, ab eadem ordinatim applicata facti?
Demonstrat Apollonius in Conicis, ubique obtinere proportionem diametri longioris ad breviorem. Ut ei sint ordinatim applicatæ DB, GF: ut est DB ad BE, sic est area semicirculi PDR ad aream semiellilpseos PER, et sicut GF ad FH, hoc est DB ad BE, sic esse et segmentum semicirculi GPF ad segmentum semiellipsis HPF, sic etiam majus semicirculi segmentum GRF ad majus semiellipsis segmentum HRF.
Secetur jam semicirculis per rectam GA, semiellipsis vero per rectam HA: erunt triangula HAF, GAF ejusdem altitudinis FA, quare ut basis GF ad FH basin, sic area GAF ad aream FAH. Atqui ut GF ad FH, sic etiam area GPF ad aream FPH, quare ut GF ad FH vel ut DB ad BE, sic etiam composita area PGA ad compositam PHA.

Weil es noch bei der Fläche der Ellipse üblich ist, frage ich, in welchen Verhältnis steht die Ellipsenfläche zur Kreisfläche, und wie [verhalten sich] die Flächen der Kreissegmentes zu den Ellipsensegmenten, die durch die Ordinaten gebildet werden?
Apollonios zeigte in [seinem Buch] "Kegelschnitte", man erhält überall das Verhältnis von längerer zu kürzerer Achse. Wenn diese angewandten Ordinaten DB und GF seien: wie [sich] DB zu BE [verhält], so [verhält sich] die Fläche des Halbkreises PDR zur Fläche der Halbellipse PER, so wie [sich] GF zu FH [verhält], so [verhält sich] DB zu BE, so ist [sowohl das Verhältnis der Flächen] des Kreissegmentes GPF zum Ellipsensegment HPF, und auch des größeren Kreissegmentes GRF zu der des größeren Ellipsensegmentes HRF.
Wird dann der halbkreis durch die Gerade GA geteilt, und die zugehörige Halbellipse durch HA: werden die Dreiecke HAF und GAF mit der [gemeinsmæn] Höhe gebildet, und ist das Verhältnis der Basen wie GF zu FH oder DB zu BE, ebenso ist das Verhältnis der Flächen PGA und PHA.

Velim denique scire etiam proportionem linearum ex centro figuræ in circumferentiam ellipticam ad semidiametrum circuli.
Breviesima quidem, ut BE, minor est semidiametro BD latitudine tota lunulæ DE. At reliquæ omnes, ut BH, minus a BG semidiametro absunt, quam est quovis loco latitudo lunulæ, ut GH.
Trianguli enim GHB duo latera GH, BH juncta oportet superare tertium GB. Major est igitur proportio defectus in E ad defectum in H, quam DE ad GH; hæc vero est sinuum DB ad GF.
Vicissim quadratorum GF et HF proportio est dupla ipsarum GF ad HF. Additis vero BF quadratis ad quadrata GF et HF, summæ quadraterum constituunt proportionem minorem: quare et eorum latera GB, BH minorem constituent proportionem, quam GF, FH. Quo major igitur BF, hoc magis minuitur proportio GB ad BH, ut non æquet GF ad FH. Et vicissim, quo magis crescit PF, hoc magis etiam cresci proportio GB, BH, appropioquans proportioni GF, FH. Sed PF crescit a P tarde, prope DB velociter. Ergo si GH ubique maneret ejusdem quantitatis, tarde variaret defectum HB circa P, velociter circa D. At non manet GH, sed crescit circa P velociter, circa E tarde, scilicet cum ipsis sinibus GF, DB. Rursum igitur defectus HB crescit circa P velociter, circa E tarde. Minor igitur est proportio defectus EB ad defectum HB, quam sagittæ PB ad PF sagittam. Atqui etiam arcus DP ad PG proportio major quidem est, quam sinus DB ad sinum GF, minor vero, quam sagittæ BP ad sagittam FP. Ergo proportio defectus linearum BH appropinquat proportioni graduum PG. Vergit tamen venius D quidem ad proportionem sinuum DB ad GF, at versus P ad proportionem sagittarum BP ad FP.

Was man schließlich noch über die Verhälntnisse der Strecken aus dem Zentrum der Abbildung zum Umfang der Ellipse und dem Radius des Kreises weiß.
Kurz dargestellt es ist BE um die Breite DE des Keils kleiner ist als der Radius BD. Dagegen sind alle übrigen, wie BH, überall kleiner als der Radius BG, jenach der Länge des Keils, wie GH [Anm.: gemeint ist offensichtlich die Länge des Bogens von P aus.].
Denn die Dreiecke GHB haben die Seiten Gh und BH gemeinsam und es ergibt sich die dritte GB. Das Verhältnis der Unterschiede in E ist deshalb größer als in H, um den Unterschied von DE und GH; dieses [Verhältnis] ist wie der Sinus von DB zu GF.
Einerseits ist das Verhältnis der Quadrate aus GF und HF das Doppelte [des Verhältnisses] von GF zu HF. Wird das Quadrat von BF zu den Quadraten von GF und HF addiert, ergeben die Summen der Quadrate das kleinere Verhältnis: wie ihre Seiten GB, BH das kleinere Verhältnis aufstellen, wie GF und HF. Und andererseits, je mehr PF wächst, umso mehr wächst auch das Verhältnis GB zu BH, und es ist nicht gleich [dem Verhältnis] GF zu FH. Aber PF wächst bei P langsam, nahe DB schneller. Also wenn GH überall diese Größ bliebe, würde der Unterschied HB bei P langsamer, bei DB schneller wachsen. Dagegen bleibt GH nicht gleich, sondern wächst um P schneller, um E langsamer, selbstverständlich zusammen mit dem Sinus von GF und DB. Umgekehrt also nimmt der Unterschied HB um P schneller, um E langsamer zu. Gering ist daher das Verhältnis EB zu HB, wie des Pfeiles PB zum Pfeil PF. Dennoch ist das Verhältnis des Bogens DP zu PG gerade gröer, als der Sinus DB zum Sinus GF, kleiner aber, als der Pfeil BP zum Pfeil FP. Also kommt das Verhältnis der Abnahme der Strecke BH dem Anteil des Kreisbogens nahe. Steht doch gerade bei D im Verhältnis des Sinus DB zu GF, dagegen gegen P [hin] bei dem Verhältnis der Pfeile BP zu FP.

Liber V Altera Pars.