Die Geometrie der Ellipse.

1. Die lineare Exzentrizität.
2. Die numerische Exzentrizität.
3. Die Mittelpunktgleichung.
   1. Kartesische Koordinaten
   2. Polarkoordinaten
4. Die Brennpunktgleichung.
   1. Kartesische Koordinaten
   2. Polarkoordinaten
5. Die Scheitelpunktgleichung.
6. Der Umfang der Ellipse.
7. Die Fläche des Ellipsensektors.
8. Die Kepler-Gleichung.

Unter den drei Kegelschnitten hat die Ellipse historisch eine herausragende praktische Bedeutung durch die Theorie zur Planetenbewegung von Johannes Kepler erhalten. Aus seinem Buch Epitomes Astronomiæ Copernicanæ habe ich die Darstellung des Liber Quintus erfasst. Hier entwickelt Keplerseine Argumentation, die schließlich in der Kepler-Gleichung mündet. Um die Entwicklung der Gedanken zu verstehen, muss man sich mit den geometrischen Eigenschaften vertraut machen.

Betrachten wir die Ellipse. Jeder Punkt P auf ihr hat von zwei Punk­ten F₁ und F₂ den gleichen Ab­stand r₁ + r₂ = 2 · a. (Auf dieser Definition basiert die Gärt­ner­kon­struk­tion der Ellipse.) Die Ellipse sieht aus, wie ein gestauchter Kreis. Statt eines Radius gibt es zwei, die große (a) und kleine (b) Halbachse heißen. Die beiden Punk­te F₁ und F₂ sind die Brenn­punkte der Ellipse. Sie liegen auf der Hauptachse und die schneidet die Ellipse in den Haupt­scheiteln S₁ und S₂. Die Ne­ben­ach­se steht auf der Haupt­achse senk­recht und geht durch den Mit­tel­punkt M der Ellipse. Ihre Schnittpunkte mit der Ellipse sind die Neben­scheitel N₁ und N₂. Es gilt im rechtwinkligen blauen Dreieck der Satz des Pythagoras: a² = b² + e², wobei e die lineare Exzentrizität genannt wird.

Hinweis:Bei einer gegebenen Ellipse findet man die Brennpunkte als Schnittpunkte eines Kreises mit dem Radius der großen Halbachse um einen Nebenscheitel mit der großen Achse.

Die charakteristischen Parameter der Ellipse

Die lineare Exzentrizität

Die Abstände der Brennpunkte F_{1, 2} vom Mittelpunkt sind gleich. Man nennt den Abstand MF₁ = MF₂ die lineare Exzentrizität e oder die Brennweite der Ellipse. Man berechnet e nach Pythagoras im recht­wink­ligen, blauen Dreieck. Da der Nebenscheitel N₁ ein Punkt auf der Ellipse ist, beträgt sein Ab­stand von den Brennpunkten 2 · a. Die Hypotenuse im blauen Dreieck hat also die Läge a, die senk­rechte Kathete ent­spricht der kleinen Halbachse. Also gilt b² + e²  = a², oder:

Die numerische Exzentrizität

Zur Navigation interessiert uns besonders der Abstand zweier Punkte auf der Ellipse. Aber schon die Be­rech­nung des Umfangs ist mit einfachen Mitteln nicht mehr zu bewerkstelligen. Das geht nur durch In­teg­rieren einer Differentialgleichung in Polarkoordinaten. Um die Formeln abzuleiten, brauchen wir noch die numerische Exzentrizität ε.

Die numerische Exzentrizität ε ist definiert als Quotient aus linearer Exzentrizität e und der Länge a der großen Halbachse:

Die Leitlinie l ist geometrisch am Kegel erkenn­bar. Sie liegt parallel zur Nebenachse und schnei­det die Apsiden­linie (x-Achse) so, dass ihr Ab­stand vom Scheitel S₂ sich zu dem des Brenn­punkts F₂ verhält wie die große Halb­achse a zur linearen Exzentrizität. Ihr Ab­stand vom Mit­tel­punkt M der Ellipse ist a² ⁄ e. Das Ver­hält­nis der Ab­stände jedes Punktes P auf der Ellipse vom Brenn­punkt F₂ und dieser Leitlinie ist konstant r₂ ⁄ d = konstant.

Die Leitlinie l hat vom Scheitel S₂ den Abstand (a² ⁄ e) - a, und ein Ellipsenpunkt P den Abstand d = a² ⁄ e - x (x ist die x-Koordinate des Punktes P und entspricht der Strecke MP′). Die Ab­stände r₁ und r₂ des Ellipsenpunktes P von den beiden Brennpunkten F₁ und F₂ sind die Hypotenusen in den recht­wink­ligen Dreiecken F₁PP′ bzw. F₂PP′. Die beiden Dreiecke haben die Kathete y = PP′ ge­mein­sam, die an­de­ren Katheten haben die Längen F₁P′ = 2·e + (x - e) und F₂P′ = x - e.

Mit dem Satz des Pythagoras können wir nun zwei Gleichungen für die Kathete y aufstellen:

• im Dreieck F₁PP′: y² = r₁² - (2·e + (x - e))²
• im Dreieck F₂PP′: y² = r₂² - (x - e)²
• damit:
• r₁² - (x + e)² = r₂² - (x - e)²

Aufgelöst nach r₁² und ausmultipliziert ergibt: r₁² = r₂² + 4·e·x, oder r₁² - r₂² = 4·e·x = (r₁ + r₂)·(r₁ - r₂).
Da r₁ + r₂ = 2·a kann man die vorige Gleichung dividieren und erhält r₁ - r₂ = 2·e·x ⁄ a. Oder nach Ein­set­zen der Definition der Ellipse und aufgelöst: r₁ = a + e·x ⁄ a bzw. r₂ = a - e·x ⁄ a.

Diese letzte Gleichung kann man auf beiden Seiten mit a multiplizieren und nach x auflösen: x = (a² - r₁·a) ⁄e. Diesen Ausdruck für x setzt man in die Gleichung für den Abstand d des Ellipsenpunkts P von der Leit­linie ein, und erhält: d = r₁·(a ⁄ e). Daraus die Beziehung d ⁄ r₁ = a ⁄ e. Damit ist gezeigt, dass das Ver­hält­nis der Abstände eines beliebigen Ellipsenpunktes vom Brennpunkt und von der Leit­linie konstant ist, und nur von Parametern der Ellipse abhängt. Der Kehrwert dieses Verhältnisses wird nu­me­ri­sche Exzentrizität ε genannt. Anschaulich erkennt man die numerische Exzentrizität aus dem Bild der Entstehung der Kegelschnitte.

In der Abbildung oben iat auch eine geometrische Konstruktion der numerische Exzentrizität ein­ge­zeich­net. Man verlängert den Strahl vom entfernteren Brennpunkt F₁ zum Punkt P auf der Ellipse um den Ab­stand von P zum näheren Brennpunkt r₂, und erhält den Punkt R₁. Der Schnittpunkt einer Pa­ral­le­len zu PR₁ (= 2·a) durch den Mittelpunkt der Ellipse schneidet die Verbindungslinie von R₁ und F₂ im Punkt R₂, der auch auf dem Umkreis der Ellipse liegt. MF₂ = e und MR₂ = a. Mit Hilfe eines Pro­por­tional­lineals kann man nun das Verhältnis e ⁄ a berechnen. (Edmund Gunter erklärt das ausführlich im 2. Buch des Sectors, Kap. II unter 5.)

Die Ellipse ist ein affines Abbild des Kreises — man staucht den Kreis einlang einer der Achsen und er­hält die Ellipse. Daher spielt der Kreis, aus dem die Ellipse ent­stan­den ist, für viele Berechnungen der Ellipse nach der Euclidschen Trigonometrie eine aus­schlag­ge­ben­de Rolle. Beispiele sind Kepler, Newton und Gauss. Der Durchmesser des Umkreises ist gleich der großen El­lip­sen­achse, die Mittelpunkte von Ellipse und Umkreis fallen zusammen. Nach Appolonius von Perge verhalten sich die Sehnen von Ellipse und Kreis, die senkrecht auf der großen Achse stehen, wie die kleine zur großen Halb­achse der Ellipse. Die Sehne, die durch einen der Brenn­punkte der El­lip­se geht, heißt Ellipsenparameter 2·p. Man berechnet sie im rechtwinkligen Dreieck ΔP'F₁M aus der großen und der kleinen Halbachse, a bzw. b, nach dem Satz von Pythagoras. Bekannt sind ja die Hypotenuse r = a und die Strecke MF₁ = e (die lineare Ex­zen­tri­zi­tät); daraus erhält man die Länge der Halbsehne F₁P', und die verhält sich zur Ellip­sen­halb­sehne F₁P wie die große Halbachse der Ellipse a zur kleinen b.

• 
• Also: p = b² ⁄a.

Dieser Zusammenhang von Ellipse und Umkreis ermöglichte Kepler, seine Gesetze mathematisch abzuleiten (ebenso verwenden Newton und Gauss den "Ellipsenparameter").

Die sieben Bücher des Appolonius von Perge sind im Web zu finden.

Die Mittelpunktgleichung der Ellipse.

Kartesische Koordinaten

Die Ellipse wird definiert als die Kurve, auf der für alle Punkte P(x,y) die Summe der Abstände zu den bei­den Brennpunkten F_1,2 konstant ist PF₁ + PF₂ = r₁ + r₂ = konstant. Diese Konstante ist das zweifache der großen Halbachse a: r₁ + r₂ = 2 · a.

Mit dem Lot von P auf die x-Achse er­zeu­gen wir zwei rechtwinklige Drei­ecke, die r₁ bzw. r₂ als Hypotenuse haben, und eine Kathete gemeinsam haben (deren Länge ist y). Wir können den Satz des Py­tha­go­ras anwenden und erhalten:

Mit der Definition der Ellipse (r₁ + r₂ = 2·a) erhalten wir durch Umformen und Einsetzen die Mit­telpunktsgleichung der Ellipse:

Mit dieser Gleichung können wir nun die Koordinate x oder y eines Punktes P(x,y) aus der jeweils anderen berechnen, der auf der Ellipse mit den Halbachsen a und b liegt.

Carl Friedrich Gauss leitete hieraus eine lineare Ellipsengleichung ab, die er differenzieren konnte:

• r + αx + βy = γ

Dabei ist r der Fahrstrahl des Planeten, α · x = r₁ und β · y = r₂.

Polarkoordinaten

Polarkoordinaten beschreiben die Lage eines Punktes durch den Abstand ρ vom Koordinatennullpunkt und den Winkel φ, den dieser vom Mittelpunkt ausgehende Strahl mit der x-Achse einschließt. Auf der Ellipse muß man nun einen Ausdruck für den Abstand ρ und den Winkel φ finden.

Die Ellipse kann man als ge­stauch­ten Kreis ansehen; alle y-Ko­or­di­na­ten der Punkte auf einer Ellipse sind im Ver­hält­nis y : η = b : a verkürzt. Läßt man einen Strahl von Mit­tel­punkt der El­lip­se um den Winkel α laufen, dann kann man die Ko­or­di­na­ten eines Punktes P(ξ,η) auf der Ellipse durch die Ko­or­di­na­ten von Schnittpunkten auf den In­kreis (blau) und dem Um­kreis (grün) ausdrücken. Die y-Koordinate η ist identisch mit der y-Koordinate des Punktes auf dem Inkreis (Radius b): η = y = b · sin α.

Die x-Ko­or­di­na­te des Punktes P(ξ,η) auf der Ellipse ist gleich der x-Ko­or­di­na­te des Punktes auf dem Umkreis (Radius a). Damit lauten die Trans­for­ma­tions­glei­chun­gen:

• x = ξ = a · cos α
• y = η = b · sin α

Mit dem Pythagoras erhält man für den Abstand ρ des Ellipsenpunktes vom Mittelpunkt den Ausdruck:

• ρ² = a²·cos²α + b²·sin²α

Nun brauchen wir noch eine Beziehung zwischen dem Winkel α in dieser Gleichung und dem Polarkoordinatenwinkel φ. Der ist gegeben durch die Definition tan φ = η/ξ = b·sin α / a·cos α. Durch Umformen und Einsetzen bekommt man schließlich die Polargleichung der Ellipse ( mit ε numerische und e lineare Exzentrizität):

Diese Gleichung beschreibt ebenfalls die Ellipse, nur sind die Koordinaten eines Punktes auf ihr durch den Abstand ρ vom Mittelpunkt und den Winkel φ zwischen ρ und der x-Achse angegeben.

Die Brennpunktgleichung der Ellipse.

In der Schule lernte man zu meiner Zeit außer der Mittelpunktsgleichung noch die Scheitelgleichung der Ellipse. Viel interessanter ist die Brennpunktsgleichung: sie ist die Schlüsselformel für die Vorhersage von Sternenorten. Der Grund hierfür sind das 1. und 2. Keplersche Gesetz: die Erde bewegt sich auf einer El­lip­sen­bahn um die Sonne, die in einem der beiden Brennpunkte der Bahnellipse steht. Das zweite Kep­ler­sche Gesetz ist in der Kepler-Gleichung bereits enthalten.

Kartesiche Koordinaten.

Um die Brennpunktgleichung in karthesischen Koor­di­naten zu entwickeln, wählt man einen der Brenn­punkte als Ursprung des Koordinatensytems. In dem gelben Dreieck ΔF₁F₂P sind bekannt:

• die Summe der blauen Fahrstrahlen r₁ und r₂ aus der Definition der Ellipse: r₁ + r₂ = 2·a (a ist die große Halb­achse der Ellipse),
• und
• die Länge der Seite F₁F₂ = 2 · e (e ist die lineare Exzentrizität).

Der Umfang U des Dreiecks ΔF₁F₂P ist also konstant für alle Punkte P_{x, y} auf der Ellipse: U = r₁ + r₂ + 2 · e.

Für den Fall P′_x = 2 · e, so ist P′_y = p, der Ellipsenparameter. Der Ausdruck für den konstanten Umfang U ergibt sich in diesem Fall zu: U = r₁ + p + 2 · e. Und da in diesem Sonderfall das Dreieck ΔF₁F₂P′ rechtwinklig ist, kann man die Länge von r₁ angeben: r₁² = p² + 4 · e².

Da U eine Konstante für alle Punkte P_{x, y} ist, und nur von den beiden Ellipsenhalbachsen a und b abhängt, kann man mit dem rechtwinkligen, schraffierten Dreieck ΔF₁P_xP mit der Beziehung zwischen der Hypotenuse r₂ und den Katheten eine Gleichung aufstellen, die die Länge des Fahrstrahls r₁ mit der y-Koordinate des Punktes P korreliert (ist allerdings etwas aufwändiger). Das Ergebnis ist: r₁ + e · y = p.

Eine Formel der Ellipse in karthesischen Koordinaten mit dem Ursprung in einem der Brenn­punkte ist nur in der Form der Kepler-Gleichung möglich! — und die ist transzendent und daher nicht lösbar.

Polarkoordinaten.

Hier braucht man die Polargleichung, die als Ursprung den Brennpunkt hat. Die Brennpunktsgleichung in kathesischen Koordinaten ist offensichtlich ungebräuchlich (— jedenfalls habe ich nur einen Hinweis bei Carl Friedrich Gauss gefunden). Die Ableitung erfolgt ähnlich wie bei der Mittelpunktgleichung.

Zum Unterschied ist jedoch das gelbe Dreieck ΔF₁F₂P schiefwinklig, und wir müssen den Cosinussatz anwenden:

r₁² = (2 · r₂)² + (2·e)² - 2 · 2 · e · r₂ · cos(180° - φ)

Ausmultiplizieren und Auflösen nach r₂ liefert:

Teilt man die rechte Seite durch a, erhält man mit e²/a = ε:

In der Form ähnelt diese Brennpunktgleichung der Mittelpunktgleichung.

Diese polare Brennpunktsgleichung der Ellipse könnte man nun wieder differenzieren und integrieren. Aber die Hauptanwendung ist die Bestimmung des Ortes der Erde auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne in Abhängigkeit von der Zeit. Dieses Problem hatte schon Johannes Kepler, und er hat eine Lösung gefunden — ohne Differenzialrechnung (die war noch nicht erfunden, das haben erst 50 Jahre später von Issac Newton und Gottfried Wilhelm Leibnitz entwickelt). Keplers Methode ist hier erklärt.

Die Scheitelgleichung der Ellipse.

Verlegt man den Ursprung des kar­tesi­schen Ko­or­dina­ten­systems vom Mit­tel­punkt M der Ellipse in einen der Haupt­schei­tel S_{1, 2}, kann man die "Schei­tel­glei­chung" der Ellipse ableiten. Die Ke­gel­schnitte lassen sich über ihre Schei­tel­glei­chungen vergleichen. Zur Ab­lei­tung verwenden wir eine Trans­la­tion des Ursprungs im Mittelpunktsystem M(ξ η) in das Scheitelsytem S(x, y). Die y-Koordinate ist gleich der η-Koordinate, die ξ-Koordinate wird zu x-Koordinate durch Addition der Strecke MS₁ = a (große Halbachse).

Aus der Mittelpunktsgleichung oben wird, mit den Koordinaten ξ und η: durch Einsetzen von ξ = x - a und η = y:

• .

Nach Auflösen der Gleichung nach y² erhält man:

• .

Jetzt erinnert man sich an den Ellipsenparameter p: p = b² ⁄ a, substituiert ihn in der Formel und erhält: y² = 2·p·x - p·x² ⁄ a, die Scheitelgleichung der Ellipse.

Der Umfang der Ellipse.

Diese polare Mittelpunktsgleichung hat den Vorteil, dass man sie differenzieren kann (zum Formalismus s. a. Loxodrome). Integriert man dann das Differenzial, erhält man entweder die Länge des Ellipsenbogens, oder die Fläche über der Winkeländerung.

Bei der (terrestrischen) Navigation interessiert ausschließlich die Länge des Bogens (also die Entfernung zwischen den Punkten P₁(ρ₁,α₁) und P₂(ρ₂,α₂), die der Winkeländerung Δα entspricht. Dieses Integral hat die Form:

Es ist allerdings nicht analytisch zu lösen (ausser in den Grenzen zwischen 0° und 90°, also für den Vier­tel­bo­gen). Man muß den Wurzelausdruck in eine konvergierende Reihe entwickeln, und deren Glieder ein­zeln integrieren. So erhält man für die Bogenlänge der Ellipse die Formel:

Man sieht, das ist recht aufwändig zu berechnen. Zudem macht man einen Fehler, wenn man die Reihe nach einer endlichen Zahl Glieder abbricht. Integriert man diese Gleichung von 0° bis 360°, erhält man den Umfang der Ellipse.

Wie groß ist der Fehler? Berechnen wir die Reihenglieder für den Polumfang des WGS84 Ellipsoids.

Wir erkennen, dass das zweite Glied eine Korrektur des Polumfangs von etwa 100 m, das dritte eine von 20 cm beiträgt. Zum Vergleich ergibt die Näherungsformel einen Polumfang, der etwa dem des Rei­hen­ab­bruchs nach dem ersten Glied entspricht. Der Umfang eines Kreises mit Radius der kleinen Halbachse ist etwa 70 km kürzer als der Ellipsoidumfang (ist ja auch noch ganz ordentlich!).

Ich vermute, das (zivile) GPS arbeitet mit der Näherungsformel, und hat deshalb einen Fehler von (min­de­stens) 100 m. Das differentielle GPS (DGPS) erlaubt eine weitgehende Korrektur; entsprechend aus­ge­rüste­te Geräte haben wohl auch leistungsfähigere Rechner, die bis zum zweiten oder dritten Glied der Reihe rechnen, und so auf Fehler unter 1 m kommen können.

Die Fläche des Ellipsensektors.

Etwas einfacher ist die Fläche des Ellipsensektors zu berechnen. da wir es an anderer Stelle brauchen, soll hier nach dem gleichen Formalismus auch die Fläche des Kreissegmentes berechnet werden.

Die Fläche des blauen Sektors des Kreises soll berechnet werden. Die Funktion des Kreises lautet:

• .

In differenzierter Form und nach Substitution von x = r · cos φ und dx = r · sin φ:

• 
• (Zur Erinnerung: sin² φ + cos² φ = 1)

Integrieren mit den Grenzen φ = 0 bis φ ≤ 90° ergibt die Fläche F:

In den Grenzen φ = 0° bis φ = 90° = π ⁄ 2 erhalten wir für ¼ der Kreisfläche:

• F ⁄ 4 = (r² ⁄ 2) · sin (π ⁄ 2) · cos (π ⁄ 2) + π ⁄ 2 = (r² ⁄ 2) · (π ⁄ 2);
• F = π · r².

Die Fläche des gelben Ellipsensektors erhalten wir analog aus der Funktion der Ellipse:

Differenzieren und Substituieren von x = a · cos φ, dx = a · sin φ dφ ergibt:

Integrieren mit den Grenzen φ = 0 bis φ ≤ 90° ergibt die Fläche F:

Die Ellipse bei Apollonius von Perga

Die verschiedenen Parameter der Ellipse versteht man leichter, wenn man ihre Definition aus dem Werk "De Conicis" (Über die Kegelschnitte) von Apollonius von Perga anschaut. Apollonius lebte um 247 v. Chr. (ca. 262 bis ca. 190) und lebte überwiegend in Alexandia und Pergamon. Er verfasste ein acht Bücher über Kegelschnitte, deren Originale verloren sind. Sie lassen sich jedoch rekonstruieren aus den kommentierten Bearbeitungen arabischer (Thebit ben Corah, 830) und persischer (Abalphat von Ispahan (994), Nasireddin von Tus (1259)) Mathematiker. In Europa erkannte Regiomontanus (1436 bis 1476) die Bedeutung der Werke Apollonius und plante eine Übersetzung ins lateinische (zu der es nicht kam). Eine lateinische Ausgabe der ersten vier Bücher der "Conicis" erschien 1566 herausgegeben vom Venetianer Federicus Commandinus Urbinas (im Internet verfügbar) — gerade rechtzeitig für Johannes Keplers Astronomia Nova, der sich mit seiner Ableitung der Ellipsenbahn explizit auf Apollonius bezieht.

Da er in Alexandria mit Schülern des Euklid (um 300 v. Chr.) zusammen kam, bezog sich Apollonius auf dessen Definition im XI. Buch, Definition 18, des Kegels: "Wenn ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete als Achse gedreht wird, beschreibt die Hypotenuse eine Kegeloberfläche (Mantel des Kegels)." In seinen Büchern zu Kegelschnitten untersucht Apollonius nun die Schnittlinien des Kegelmantels, wenn der durch verschieden geneigte Ebenen geschnitten wird. Er findet und benennt so die Parabel (Lehrsatz 11), die Hyperbel (Lehrsatz 12) und die Ellipse (Lehrsatz 13).

Transscription mit freundlicher Hilfe von Walther Frederking — der außer Latein auch Griechisch kann.

© Rainer Stumpe, URL: www.rainerstumpe.de/
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