Mechanica sive Motus Scientiae

Caput secundum.

De motu puncti super data linea in vacuo

Propositio 6.

Problema.

49. Ope penduli efficere ut corpus in data linea moveatur.

Constructio.

Sit AMB curva proposita in qua corpus moveri debeat; huius curvae construatur evoluta AOC, laminaque secundum eius figuram incuruetur et firmetur. Tum filum huic laminae circumducatur, quod altero termino ad laminam sit affixum, altero vero termino in A annexum habeat corpus movendum. Quando igitur corpus moveri incipit, perspicuum est id in curva AMB moveri debere, quia filum dum a lamina separatur hanc curvam evolutione describit. Q.E. Fac.

Corollarium 1.

50. Hac igitur ratione corpus in data curva progreditur, atque frictionibus non est obnoxium. Quare tali motu commodissime per experimenta effici poterunt, quae in theoria inueniuntur.

Corollarium 2.

51. Ex doctrina de evolutionibus intelligitur fili partem MO a lamina separatam, in curvam AMB esse normalem ipsumque eius radium osculi.

Corollarium 3.

52. Quo corpus in peripheria circuli AMB moveatur, lamina incurvata non est opus, sed filum altero termino C tantummodo in centro C peripheriae est figendum.

Corollarium 4.

53. Quia filum MO est radius osculi, vis centrifuga tota ad tendendum hoc filum impendetur. Quare hoc filum tum satis roboris habere, tum extensioni obnoxium non esse debet. Nisi enim eandem perpetuo longitudinem conseruet, curvam desideratam non describet.

Corollarium 5.

54. Accedente potentia absoluta, habebitur praeter vim centrifugam vis normalis, quae filum quoque tendet, si vi centrifugae fuerit conspirans. At si contraria fuerit minuet tensionem fili, imo etiam si maior fuerit, comprimet, qua casu evolutio nullius erit usus. Nam cum filum debeat esse flexile, compressioni resistere non poterit, neque ideo impedire, quo minus corpus a curva AMB versus evolutam recedat.

Scholion 1.

55. Praeter hanc difficultatem , ista curvarum per evolutiones generatio hoc quoque laborat defectu, quod linea recta produci nequeat; ad eam enim generandam filum requireretur infinite longum. Simili modo haec evolutio ad curvas accommodari non potest, quae alicubi radium osculi habent infinite magnum. Deinde etiam neque cuspide neque flexu contrario praeditae curvae hoc modo describi possunt. Quamobrem ita praxis locum tantum habet in curvis ubique finitam curvaturam habentibus, ad quod addi debet, ut pressio curvae totalis nusquam in curvae concauam partem dirigatur.

Scholion 2.

56. Hugenius, qui primus evolutionis doctrinam excoluit , statim eam ad hunc ipsum usum adhibuit; uti ex eius egregio opere de horologio oscillatorio apparet. Cum enim inuenisset oscillationes super cycloide omnes esse isochronas, motum super cycloide in horologia inferre volebat, quod per pendulum intra cycloides oscillans effecit. Cum enim cycloidis evoluta sit cyclois, hac ratione obtinuit , ut corpus filo annexum in cycloide moveretur.

Scholion 3.

57. In hoc autem pendulorum motu maxime notari conuenit, praeter corpus motum filum quoque moveri debere, id quod ad institutum huius libri, in quo de motu puncti tantum agetur, minime pertinet. Praeterea motus corporis pendulo annexi non est sibi parallelus, sed circularis circa centrum scilicet circuli curvam osculantis, qui motus pariter hoc loco non attingitur. Hoc igitur libro motum puncti duntaxat super linea vel superficie data examini subiiciemus, mentemque tam a motu fili, quam a motu circulari abstrahemus. In sequentibus autem motum pendulorum, ubi et motus fili et motus circularis in computum ducetur, ad motum puncti tantum reducemus , ita ut haec, quae hoc libro tractabuntur, nihilominus in praxi usum sint habitura. Quamobrem, ut iam monuimus, punctum motu sibi semper parallelo super curva seu superficie sine ulla frictione ferri est concipiendum.

Propositio 12.

Problema.

83. Sollicitetur corpus, quod super curva AM movetur, ubique a potentia MF cuius directio sit parallela axi AP; determinare celeritatem corporis in singulis punctis, atque tempus, quo curvae quaeuis portio describitur, nec non pressionem, quam curva in singulis punctis patitur.

Propositio 13.

Problema.

93. Si potentia sollicitam fuerit uniformis et ubique deorsum tendat, determinare descensum corporis super data curva AM in A ex quiete incipientem, atque pressionem, quam curva, in singulis punctis M sustinet.

Corollarium 7.

102. Ex hoc perspicitur in circulo APPB omnes descensus per chordas AP ex puncto supremo A ductas, nec non omnes descensus per chordas ad punctum infimum B ductas aequalibus fieri temporibus; eo scilicet tempore, quo corpus per diametrum AB perpendiculariter delabitur.

Propositio 14.

Problema.

106. Si fuerint infinitae curvae similes AM, AM etc. ex puncto fixo A initium sumentes; inuenire curvam CMM, ab illis curvis arcus AM, AM etc. abscindentem, qui a descendente super iis corpore aequalibus temporibus percurrantur; existente ut ante potentia sollicitante uniformi et ubique deorsum directa.

Solutio.

Ex infinitis curvis datis sumatur una quaecunque AM, cuius parameter sit a. Positoque AP = x, et arcu AM = s et existente ut ante potentia sollicitante = g, descendat corpus super curva AM, erit celeritas in M debita altitudini gx, Tempus ergo descensus super AM erit = . Ab omnibus ergo curvis AM, AM etc. tanti arcus sunt abscindendi, ut pro iis sit quantitas constans. At ad alias curvas referetur, si praeter s et x etiam parameter a ponatur variabilis. Posito igitur in etiam a variabili, quantitas ponenda est constanti, nempe ei tempori quo omnes; descensus fieri debent. Sit hoc tempus = k erit k= in singulis curvis. Quare si ita differentietur ut etiam a variabile ponatur, hoc differentiale nihilo aequale est ponendum. Ad hoc differentiale inueniendum sit ds =pdx, eritque p, quia omnes curvae ponuntur similes, functio in qua a et x nullum dimensionum numerum simul constituunt. Habebimus ergo hoc differentiatum posito quoque a variabili dabit quod fieri debet =0. Quantitas q vero sequenti modo inuenietur. Quia est k=; in quantitate k, variabiles a et x dimensionum numerum constituent ½. Ostendi autem alibi in Tom. IX. Comment. tum fore Ex quo inuenitur . Habebitur ergo . Quae est aequatio pro curva quaesita. At si aequatio inter coordinatas x et y pro curva CMM desideretur, ex aequatione pro quaque curvarum AM, valor ipsius a in x et y inuentus substitui debet. Q. E. I.

Corollarium 1.

107. Aequatio etiam primo inuenta sufficit ad curvam CMM inueniendam. Nam pro quavis abscissa AP = x ex ea inuenitur a parameter eius curvae AM, cuius punctum M respondens assumtae abscissae x est in curva quaesita CMM.

Corollarium 2.

108. Cum autem haec aequatio sit differentialis, ideoque ad plures curvas pro constante quae adiicitur, pertineat; notandum est in additione constantis, eam tantum solutioni esse convenientem, quae pro data curva seu pro dato ipsius a valore det abscissam x tantum arcum AM abscindentem, qui tempore k descensu absoluatur.

Corollarium 3.

109. Si tempus k aequale esse debeat tempori descensus per verticalem AC=b, erit k=. Quo valore substituto habebitur aequatio . In cuius integratione id est faciendum, ut curva per punctum C transeat.

Scholion 1.

110. Erit autem semper recta verticalis AC species curvarum AM; quae oritur , si parameter a vel infinite magna vel infinite parua accipiatur. Quare commodissime tempus constans k per descensum per verticalem AC, quippe speciem curvarum AM, exprimitur. Atque in constructione aequationis inuentae tanta constans est addenda, ut posito x=b, fiat a vel infinitum vel nihil, prout ille vel iste valor ipsius a recta AC respondeat.

Scholion 2.

111. Si reipsa potest integrari,ne data quidem aequatione opus est, ad quam inueniendam opus fuit q determinare. Nam si integrale ipsius iterum differentietur posito quoque a variabili reipsa obtinetur q; atque hoc differentiale tantum nihilo aequale esset ponendum. Commodissime vero his casibus problema soluetur, si integrale ipsius statim ipsi k vel aequale ponatur, et loco a eius valor in x et y substituatur ex aequatione pro curvis datis. Atque hoc modo solutio in promtu est non solum pro curvis similibus, sed dissimilibus etiam, si modo tempora descensus per quantitates finitas exprimi possunt.

Exemplum 1.

112. Si omnes hae curvae AM fuerint rectae diuersimode ad verticalem AC inclinatae , erit y=nx et ubi n tanquam parameter est consideranda. Erit ergo quod aequale poni debet ipsi . Erit itaque x(x+n2) = b. Cum autem n sit quantitas variabilis, ponatur pro ea valor y/x- ex aequatione y=nx: quo facto prodibit pro curva CMM aequatio inter coordinatas orthogonales x et y ista y² + x² =bx, quae est pro circulo, cuius diameter est recta AC = b.

Scholion 3.

113. Hic casus est ille ipse casus ante pertractatus (102), ibi enim ostensum est corpus per omnes chordas in circulo ex puncto supremo eductas aequalibus temporibus descendere. Pertinet hic quidem casus non ad curvas similes; sed hoc exemplum attulimus ad casum Scholii 2. illustrandum, quia pro rectis hisce tempora descensus finitis quantitatibus exprimuntur. Sequentia exempla vero curvas similes, uti propositio postulat, complectentur.

Exemplum 2.

114. Sint curvae AM, AM omnes circuli tangentes verticalem AC in A. Ponatur radius cuiusque eorum =a, erit atque . Hi circuli vero omnes sunt curvae similes, quia a, y et x in aequatione eundem dimensionum numerum tenent, seu homogeneitatem complent sola. Radius igitur a tanquam parameter variabilis debet tractari. Habetur autem ex illa aequatione , quare erit , ideoque praescriptam habet proprietatem, ut a et x dimensionum numerus sit nullus. Hanc ob rem pro curva CMM haec habebitur aequatio , seu haec . Quae aequatio construi potest, posito enim x = au, prodit in qua indeterminatae sunt a se inuicem separatae. Quo autem aequatio inter coordinatas x et y pro curva CMM obtineatur, ponatur loco a valor et loco da eius differentiale . Quibus substitutis sequens prodit aequatio differentialis . Quae ita integrari debet ut posito x=b fiat y=0, quia curva per punctum C transire debet.

Corollarium 4.

115. Ex hac aequatione tangens curvae CMM in singulis punctis cognoscitur, et ex positione tangentis innotescit angulus AMM, quo curva CMM quamlibet datarum intersecat. Erit scilicet tangens anguli AMM=. Hic ergo angulus est rectus in C, ob x=b, seu curva CMM in C ad AC est normalis.

Corollarium 5.

116. Si b vel maior vel minor accipiatur curva CMM alia quoque erit, hocque modo infinitae orientur curvae a circulis arcus isochronos abscindentes. Haeque curvae omnes inter se erunt similes, ob parametrum b, quae in aequatione cum x et y homogeneitatem constituit. Data ergo una curva CMM innumerabiles aliae ex ea construi possunt, abscissis scilicet et applicatis curvae CMM in eadem ratione augendis vel diminuendis, in qua AC seu b augetur vel diminuitur.

Exemplum 3.

117. Sint curvae AM, AM omnes cycloides cuspides in A habentes et tangentes verticalem AC in A. Posita parametro cuiusque cycloidis AM seu dupla diametro circuli generatoris=a; erit ex natura cycloidis atque ; hincque . Hoc ergo casu est , functio ipsarum a et x nullius dimensionis ut requiritur. Quare pro curva CMM reperitur ista aequatio seu . Si aequatio inter coordinatas orthogonales x et y desideretur, ex aequatione seu huius differentiali posita quoque a variabili, valor ipsius a debet substitui. Haec vero aequatio differentiata posito a quoque variabili dat seu . Quae abit in hanc . Superior vero per multiplicata praebet hanc, . Hae duae aequationes additae dant aequationem integrabilem , cuius integralis est . Ex qua valor ipsius a erutus fit et . Quibus valoribus in aequatione , quae oritur ex duabus differentialibus eliminato da, substitutis prodibit aequatio pro curva quaesita CMM.

Corollarium 6.

118. Ex hac aequatione inuenitur tangens anguli, quem curva CM cum applicata PM constituit nempe . Deinde etiam innotescit tangens anguli, quem cyclois AM cum applicata PM constituit. Ex aequatione cycloidis erit nimirum . Eliminato vero a erit ista tangens = . Quare cum horum angulorum alter alterius sit complementum, sumto illius deinceps posito, erit angulus, quem curva CMM cum qualibet datatarum AM constituit, rectus. Consequenter curva CMM est traiectoria orthogonalis omnium cycloidum datarum AM, AM &c.

Corollarium 7.

119. Sumto AC alius magnitudinis, aliae quoque curvae CMM prodibunt, et sic infinitae traiectoriae orthogonales inueniuntur, quae omnes inter se sunt similes. Data ergo una facile quotquot libuerit, construere licebit.

Scholion 4.

120. Omnes hae curvae arcus abscindentes isochronos, quaecunque fuerint curvae secandae, semper construi possunt, etiamsi id ex aequatione non appareat. Per quadraturas enim ex datis curvis arcus possunt abscindi, qui dato tempore descensu absoluantur, hocque modo puncta quotlibet curvae quaesitae inueniuntur. Si quidem curvae secandae sunt algebraicae, aequatio pro curva secante semper ita est comparata, ut factis debitis substitutionibus indeterminatae a se inuicem possint separari. At si curvae secandae differentiali aequatione exprimantur, aequatio differentialis pro curva secante rarissime separationem indeterminatarum admittit. Causa est, quod peculiari modo, quo in hoc cycloidum casu usus sum, parameter a eliminari debeat; eaque substitutio ad separationem non deducat.

Scholion 5.

121. Deinde obseruandum est, omnes curvas arcus isochronos abscindentes, quarum numerus pro vario ipsius b valore est infinitus, inter se similes esse, si quidem curvae secandae fuerint tales. Colligitur hoc ex generali aequatione in qua cum p sit functio ipsarum a et x nullius dimensionis quantitates a, b et x homogeneitatem constituunt. At ex aequatione curvarum secundarum, quia in ea a, x et y ubique eundem dimensionum numerum conficere ponuntur, valor ipsius a erit functio ipsarum x et y unius dimensionis. Quare eo substituto loco a habebitur aequatio pro curva secante, in qua b, x et y ubique eundem dimensionum numerum constituunt. Consequenter b variabili posito oriuntur infinitae curvae similes inter se respectu puncti A. Data ergo unica, reliquae facile ex similitudinis ratione describuntur.

Scholion 6.

122. Materia haec de arcubus isochronis abscindendis iam praeterito seculo est pertradata in Act. Erud. Lips. A. 1697. a Cel. Ioh. Bernullio, atque postmodum in Comment. Acad. Paris. a Cel. Saurino, qui vero alia methodo sunt vsi. Ego vero eam adhibui methodum, quam in nostris Comment. pro A. 1734. tradidi, tanquam commodissimam ad huiusmodi problemata soluenda. In his vero locis Viri Cel. curvas quoque similes tantum, ut ego, considerauerunt, sine dubio, quia pro curvis dissimilibus solutio sit nimis difficilis et saepe etiam vires superat. Vocantur vero in locis citatis hae curvae synchronae, quia arcus simul percursi abscinduntur.

Scholion 7.

123. Ex mea dissertatione Tomi IX. Comment. Acad. Petrop. [Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolotanae, Tom. IX, 1764, S. 3 ff] apparet, has curvas synchronas simili modo posse inveniri, si curvae datae etiam non fuerint similes, sed eiusmodi tamen, ut posito ds=pdx, in p quantitates a et x datum dimensionum numerum constituant; tum enim aeque facile valor literae q inuenitur. ut si numerus dimensionum ipsarum a et x in p fuerit n, aequatio pro curva secante reperietur haec . Quare si fuerit n=-½, ut si fuerit , erit ideoque x=ma, seu x in data ratione ad parametrum a est capiendum: quo igitur casu constructio synchronarum est facillima. At si p non huiusmodi habuerit valorem, ex supra citata dissertatione mea intelligitur, quo modo in aequationem quaesitam sit inquirendum.

Quelle:

Mechanica sive Motus Scientia Analytice exposita Auctore Leonhardo Eulero. Tomus II. Petropolis 1736

© 2021 Dr. Rainer Stumpe