Mechanica sive Motus Scientiae

Caput secundum.

De motu puncti super data linea in vacuo

Propositio 6.

Problema.

49. Ope penduli efficere vt corpus in data linea moueatur.

Constructio.

Skizze

Sit AMB curua proposita in qua corpus moueri debeat; huius curuae construatur euoluta AOC, laminaque secundum eius figuram incuruetur et firmetur. Tum filum huic laminae circumducatur, quod altero termino ad laminam sit affixum, altero vero termino in A annexum habeat corpus mouendum. Quando igitur corpus moueri incipit, perspicuum est id in curua AMB moueri debere, quia filum dum a lamina separatur hanc curuam euolutione describit. Q.E. Fac.

Corollarium 1.

50. Hac igitur ratione corpus in data curua progreditur, atque frictionibus non est obnoxium. Quare tali motu commodissime per experimenta effici poterunt, quae in theoria inueniuntur.

Corollarium 2.

51. Ex doctrina de euolutionibus intelligitur fili partem MO a lamina separatam, in curuam AMB esse normalem ipsumque eius radium osculi.

Corollarium 3.

Skizze

52. Quo corpus in peripheria circuli AMB moueatur, lamina incuruata non est opus, sed filum altero termino C tantummodo in centro C peripheriae est figendum.

Corollarium 4.

53. Quia filum MO est radius osculi, vis centrifuga tota ad tendendum hoc filum impendetur. Quare hoc filum tum satis roboris habere, tum extensioni obnoxium non esse debet. Nisi enim eandem perpetuo longitudinem conseruet, curuam desideratam non describet.

Corollarium 5.

54. Accedente potentia absoluta, habebitur praeter vim centrifugam vis normalis, quae filum quoque tendet, si vi centrifugae fuerit conspirans. At si contraria fuerit minuet tensionem fili, imo etiam si maior fuerit, comprimet, qua casu euolutio nullius erit vsus. Nam cum filum debeat esse flexile, compressioni resistere non poterit, neque ideo impedire, quo minus corpus a curua AMB versus euolutam recedat.

Scholion 1.

55. Praeter hanc difficultatem , ista curuarum per euolutiones generatio hoc quoque laborat defectu, quod linea recta produci nequeat; ad eam enim generandam filum requireretur infinite longum. Simili modo haec euolutio ad curuas accommodari non potest, quae alicubi radium osculi habent infinite magnum. Deinde etiam neque cuspide neque flexu contrario praeditae curuae hoc modo describi possunt. Quamobrem ita praxis locum tantum habet in curuis vbique finitam curuaturam habentibus, ad quod addi debet, vt pressio curuae totalis nusquam in curuae concauam partem dirigatur.

Scholion 2.

56. Hugenius, qui primus euolutionis doctrinam excoluit , statim eam ad hunc ipsum vsum adhibuit; vti ex eius egregio opere de horologio oscillatorio apparet. Cum enim inuenisset oscillationes super cycloide omnes esse isochronas, motum super cycloide in horologia inferre volebat, quod per pendulum intra cycloides oscillans effecit. Cum enim cycloidis euoluta sit cyclois, hac ratione obtinuit , vt corpus filo annexum in cycloide moueretur.

Scholion 3.

57. In hoc autem pendulorum motu maxime notari conuenit, praeter corpus motum filum quoque moueri debere, id quod ad institutum huius libri, in quo de motu puncti tantum agetur, minime pertinet. Praeterea motus corporis pendulo annexi non est sibi parallelus, sed circularis circa centrum scilicet circuli curuam osculantis, qui motus pariter hoc loco non attingitur. Hoc igitur libro motum puncti duntaxat super linea vel superficie data examini subiiciemus, mentemque tam a motu fili, quam a motu circulari abstrahemus. In sequentibus autem motum pendulorum, vbi et motus fili et motus circularis in computum ducetur, ad motum puncti tantum reducemus , ita vt haec, quae hoc libro tractabuntur, nihilominus in praxi vsum sint habitura. Quamobrem, vt iam monuimus, punctum motu sibi semper parallelo super curua seu superficie sine vlla frictione ferri est concipiendum.


Propositio 12.

Problema.

83. Sollicitetur corpus, quod super curua AM movetur, ubique a potentia MF cuius directio sit parallela axi AP; determinare celeritatem corporis in singulis punctis, atque tempus, quo curuae quaeuis portio describitur, nec non pressionem, quam curua in singulis punctis patitur.

Skizze

Propositio 13.

Problema.

93. Si potentia sollicitam fuerit vniformis et vbique deorsum tendat, determinare descensum corporis super data curva AM in A ex quiete incipientem, atque pressionem, quam curva, in singulis punctis M sustinet.

Skizze

Corollarium 7.

102. Ex hoc perspicitur in circulo APPB omnes descensus per chordas AP ex puncto supremo A ductas, nec non omnes descensus per chordas ad punctum infimum B ductas aequalibus fieri temporibus; eo scilicet tempore, quo corpus per diametrum AB perpendiculariter delabitur.

Skizze

Propositio 14.

Problema.

106. Si fuerint infinitae curuae similes AM, AM etc. ex puncto fixo A initium sumentes; inuenire curuam CMM, ab illis curuis arcus AM, AM etc. abscindentem, qui a descendente super iis corpore aequalibus temporibus percurrantur; existente vt ante potentia sollicitante vniformi et vbique deorsum directa.

Solutio.

Skizze

Ex infinitis curuis datis sumatur vna quaecunque AM, cuius parameter sit a. Positoque AP = x, et arcu AM = s et existente vt ante potentia sollicitante = g, descendat corpus super curua AM, erit celeritas in M debita altitudini gx, Tempus ergo descensus super AM erit = Formel01. Ab omnibus ergo curuis AM, AM etc. tanti arcus sunt abscindendi, vt pro iis sit Formel01 quantitas constans. At Formel01 ad alias curuas referetur, si praeter s et x etiam parameter a ponatur variabilis. Posito igitur in Formel02 etiam a variabili, quantitas Formel01 ponenda est constanti, nempe ei tempori quo omnes; descensus fieri debent. Sit hoc tempus = k erit k=Formel02 in singulis curuis. Quare si Formel01 ita differentietur vt etiam a variabile ponatur, hoc differentiale nihilo aequale est ponendum. Ad hoc differentiale inueniendum sit ds =pdx, eritque p, quia omnes curuae ponuntur similes, functio in qua a et x nullum dimensionum numerum simul constituunt. Habebimus ergo Formel02 hoc differentiatum posito quoque a variabili dabit Formel03 quod fieri debet =0. Quantitas q vero sequenti modo inuenietur. Quia est k=Formel04; in quantitate k, variabiles a et x dimensionum numerum constituent ½. Ostendi autem alibi in Tom. IX. Comment. tum fore Formel05 Ex quo inuenitur Formel06. Habebitur ergo Formel07. Quae est aequatio pro curua quaesita. At si aequatio inter coordinatas x et y pro curua CMM desideretur, ex aequatione pro quaque curuarum AM, valor ipsius a in x et y inuentus substitui debet. Q. E. I.

Corollarium 1.

107. Aequatio etiam primo inuenta Formel08 sufficit ad curuam CMM inueniendam. Nam pro quauis abscissa AP = x ex ea inuenitur a parameter eius curuae AM, cuius punctum M respondens assumtae abscissae x est in curua quaesita CMM.

Corollarium 2.

108. Cum autem haec aequatio sit differentialis, ideoque ad plures curuas pro constante quae adiicitur, pertineat; notandum est in additione constantis, eam tantum solutioni esse convenientem, quae pro data curua seu pro dato ipsius a valore det abscissam x tantum arcum AM abscindentem, qui tempore k descensu absoluatur.

Corollarium 3.

109. Si tempus k aequale esse debeat tempori descensus per verticalem AC=b, erit k=Formel09. Quo valore substituto habebitur aequatio Formel10. In cuius integratione id est faciendum, vt curua per punctum C transeat.

Scholion 1.

110. Erit autem semper recta verticalis AC species curuarum AM; quae oritur , si parameter a vel infinite magna vel infinite parua accipiatur. Quare commodissime tempus constans k per descensum per verticalem AC, quippe speciem curuarum AM, exprimitur. Atque in constructione aequationis inuentae Formel11 tanta constans est addenda, vt posito x=b, fiat a vel infinitum vel nihil, prout ille vel iste valor ipsius a recta AC respondeat.

Scholion 2.

111. Si Formel12 reipsa potest integrari,ne data quidem aequatione opus est, ad quam inueniendam opus fuit q determinare. Nam si integrale ipsius Formel12 iterum differentietur posito quoque a variabili reipsa obtinetur q; atque hoc differentiale tantum nihilo aequale esset ponendum. Commodissime vero his casibus problema soluetur, si integrale ipsius Formel12 statim ipsi k vel Formel13 aequale ponatur, et loco a eius valor in x et y substituatur ex aequatione pro curuis datis. Atque hoc modo solutio in promtu est non solum pro curuis similibus, sed dissimilibus etiam, si modo tempora descensus per quantitates finitas exprimi possunt.

Exemplum 1.

112. Si omnes hae curuae AM fuerint rectae diuersimode ad verticalem AC inclinatae , erit y=nx et Formel14 ubi n tanquam parameter est consideranda. Erit ergo Formel15 quod aequale poni debet ipsi Formel16. Erit itaque x(x+n2) = b. Cum autem n sit quantitas variabilis, ponatur pro ea valor y/x- ex aequatione y=nx: quo facto prodibit pro curua CMM aequatio inter coordinatas orthogonales x et y ista y2 + x2 =bx, quae est pro circulo, cuius diameter est recta AC = b.

Scholion 3.

113. Hic casus est ille ipse casus ante pertractatus (102), ibi enim ostensum est corpus per omnes chordas in circulo ex puncto supremo eductas aequalibus temporibus descendere. Pertinet hic quidem casus non ad curuas similes; sed hoc exemplum attulimus ad casum Scholii 2. illustrandum, quia pro rectis hisce tempora descensus finitis quantitatibus exprimuntur. Sequentia exempla vero curuas similes, vti propositio postulat, complectentur.

Exemplum 2.

Skizze

114. Sint curuae AM, AM omnes circuli tangentes verticalem AC in A. Ponatur radius cuiusque eorum =a, erit Formel17 atque Formel18. Hi circuli vero omnes sunt curuae similes, quia a, y et x in aequatione eundem dimensionum numerum tenent, seu homogeneitatem complent sola. Radius igitur a tanquam parameter variabilis debet tractari. Habetur autem ex illa aequatione Formel19, quare erit Formel20, ideoque praescriptam habet proprietatem, vt a et x dimensionum numerus sit nullus. Hanc ob rem pro curua CMM haec habebitur aequatio Formel21, seu haec Formel22. Quae aequatio construi potest, posito enim x = au, prodit Formel23 in qua indeterminatae sunt a se inuicem separatae. Quo autem aequatio inter coordinatas x et y pro curua CMM obtineatur, ponatur loco a valor Formel24 et loco da eius differentiale Formel25. Quibus substitutis sequens prodit aequatio differentialis Formel26. Quae ita integrari debet ut posito x=b fiat y=0, quia curua per punctum C transire debet.

Corollarium 4.

115. Ex hac aequatione tangens curuae CMM in singulis punctis cognoscitur, et ex positione tangentis innotescit angulus AMM, quo curua CMM quamlibet datarum intersecat. Erit scilicet tangens anguli AMM=Formel27. Hic ergo angulus est rectus in C, ob x=b, seu curua CMM in C ad AC est normalis.

Corollarium 5.

116. Si b vel maior vel minor accipiatur curua CMM alia quoque erit, hocque modo infinitae orientur curuae a circulis arcus isochronos abscindentes. Haeque curuae omnes inter se erunt similes, ob parametrum b, quae in aequatione cum x et y homogeneitatem constituit. Data ergo vna curua CMM innumerabiles aliae ex ea construi possunt, abscissis scilicet et applicatis curuae CMM in eadem ratione augendis vel diminuendis, in qua AC seu b augetur vel diminuitur.

Exemplum 3.

117. Sint curuae AM, AM omnes cycloides cuspides in A habentes et tangentes verticalem AC in A. Posita parametro cuiusque cycloidis AM seu dupla diametro circuli generatoris=a; erit ex natura cycloidis Formel28 atque Formel29; hincque Formel30. Hoc ergo casu est Formel31, functio ipsarum a et x nullius dimensionis vt requiritur. Quare pro curua CMM reperitur ista aequatio Formel32 seu Formel33. Si aequatio inter coordinatas orthogonales x et y desideretur, ex aequatione Formel34 seu huius differentiali posita quoque a variabili, valor ipsius a debet substitui. Haec vero aequatio differentiata posito a quoque variabili dat Formel35 seu Formel36. Quae abit in hanc Formel37. Superior vero per Formel38 multiplicata praebet hanc, Formel39. Hae duae aequationes additae dant aequationem integrabilem , cuius integralis est Formel40. Ex qua valor ipsius a erutus fit Formel41 et Formel42. Quibus valoribus in aequatione Formel43, quae oritur ex duabus differentialibus eliminato da, substitutis prodibit Formel44 aequatio pro curua quaesita CMM.

Corollarium 6.

118. Ex hac aequatione inuenitur tangens anguli, quem curua CM cum applicata PM constituit nempe Formel45. Deinde etiam innotescit tangens anguli, quem cyclois AM cum applicata PM constituit. Ex aequatione cycloidis erit nimirum Formel46. Eliminato vero a erit ista tangens = Formel47. Quare cum horum angulorum alter alterius sit complementum, sumto illius deinceps posito, erit angulus, quem curua CMM cum qualibet datatarum AM constituit, rectus. Consequenter curva CMM est traiectoria orthogonalis omnium cycloidum datarum AM, AM &c.

Corollarium 7.

119. Sumto AC alius magnitudinis, aliae quoque curuae CMM prodibunt, et sic infinitae traiectoriae orthogonales inueniuntur, quae omnes inter se sunt similes. Data ergo vna facile quotquot libuerit, construere licebit.

Scholion 4.

120. Omnes hae curuae arcus abscindentes isochronos, quaecunque fuerint curuae secandae, semper construi possunt, etiamsi id ex aequatione non appareat. Per quadraturas enim ex datis curuis arcus possunt abscindi, qui dato tempore descensu absoluantur, hocque modo puncta quotlibet curuae quaesitae inueniuntur. Si quidem curuae secandae sunt algebraicae, aequatio pro curua secante semper ita est comparata, ut factis debitis substitutionibus indeterminatae a se inuicem possint separari. At si curuae secandae differentiali aequatione exprimantur, aequatio differentialis pro curua secante rarissime separationem indeterminatarum admittit. Causa est, quod peculiari modo, quo in hoc cycloidum casu usus sum, parameter a eliminari debeat; eaque substitutio ad separationem non deducat.

Scholion 5.

121. Deinde obseruandum est, omnes curuas arcus isochronos abscindentes, quarum numerus pro vario ipsius b valore est infinitus, inter se similes esse, si quidem curuae secandae fuerint tales. Colligitur hoc ex generali aequatione Formel48 in qua cum p sit functio ipsarum a et x nullius dimensionis quantitates a, b et x homogeneitatem constituunt. At ex aequatione curuarum secundarum, quia in ea a, x et y ubique eundem dimensionum numerum conficere ponuntur, valor ipsius a erit functio ipsarum x et y vnius dimensionis. Quare eo substituto loco a habebitur aequatio pro curua secante, in qua b, x et y vbique eundem dimensionum numerum constituunt. Consequenter b variabili posito oriuntur infinitae curuae similes inter se respectu puncti A. Data ergo vnica, reliquae facile ex similitudinis ratione describuntur.

Scholion 6.

122. Materia haec de arcubus isochronis abscindendis iam praeterito seculo est pertradata in Act. Erud. Lips. A. 1697. a Cel. Ioh. Bernullio, atque postmodum in Comment. Acad. Paris. a Cel. Saurino, qui vero alia methodo sunt vsi. Ego vero eam adhibui methodum, quam in nostris Comment. pro A. 1734. tradidi, tanquam commodissimam ad huiusmodi problemata soluenda. In his vero locis Viri Cel. curuas quoque similes tantum, vt ego, considerauerunt, sine dubio, quia pro curuis dissimilibus solutio sit nimis difficilis et saepe etiam vires superat. Vocantur vero in locis citatis hae curuae synchronae, quia arcus simul percursi abscinduntur.

Scholion 7.

123. Ex mea dissertatione Tomi IX. Comment. Acad. Petrop. [Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolotanae, Tom. IX, 1764, S. 3 ff] apparet, has curuas synchronas simili modo posse inveniri, si curuae datae etiam non fuerint similes, sed eiusmodi tamen, vt posito ds=pdx, in p quantitates a et x datum dimensionum numerum constituant; tum enim aeque facile valor literae q inuenitur. Vt si numerus dimensionum ipsarum a et x in p fuerit n, aequatio pro curua secante reperietur haec Formel49. Quare si fuerit n=-½, vt si fuerit Formel50, erit Formel51 ideoque x=ma, seu x in data ratione ad parametrum a est capiendum: quo igitur casu constructio synchronarum est facillima. At si p non huiusmodi habuerit valorem, ex supra citata dissertatione mea intelligitur, quo modo in aequationem quaesitam sit inquirendum.


Quelle:
Mechanica sive Motus Scientia Analytice exposita Auctore Leonhardo Eulero. Tomus II. Petropolis 1736

© 2021 Dr. Rainer Stumpe Valid HTML