ISAGOGE PROSTHAPHÆRETICA

Compendium illud TRIGONOMETRICUM, quod Cl.mus LONGOMONTANUS, in Astronomia Danica TRIBUS Regulis succincte proposuit, aliquanto uberius dilatans, & omnium casuum, qui occurrere possunt varietates, per SEPTEM Regulas, singulisq; addita exempla, dilucide explanans.

INVENTUM hoc sane ingeniosum, & ex ipsis Geometriæ fundamentis exstructum, uti sexcenta alia in Astronomicis feliciter partim restituta, partim recens inventa, debetur primo omnium Generoso illi Tychoni Brahæo, cujus nomen si dixero, satis eum laudavero. Is communicata cum Paulo Wittichio Uratislaviense, domestico suo opera, Studiosis adolescentibus, qui ipsi ad negocia Mathematica in celeberrimo illo URANIBURGO, dum (heu) erat, inserviebant, ad Sphæricorum triangulorum, ex observationum Coelestium ratiocinijs subinde enascentium, expeditiorem αναλυσιν (analysin) nonnulla hujus modi subsidia præscripsit quæ Potentissimi Regis Daniæ Christiani IV. in Academia Hafniensi Mathematicus excellentiss Christianus Sever. Longomontanus generaliora efficiens, TRIBUS Regulis pleraq; omnia ad Calculum Trigonometricum spectantia comprehendit. Quia vero istæ ob occurrentes datorum trigonicorum varietates aliquanto sunt breviores, quam ut inexercitatis primo aggressu satisfacere, & ad Omnem Calculi fortunam instruere possint, nos hac in re doctiss. cujusdam viri monita secuti, in SEPTEM REGULAS, isto ordine in singulis totius Trigonometriæ nostræ exemplis observato, bona illius Amici nostri omnium veterrimi, omnium carissimi, cum venia majoris perspicuitatis ac preciosiss temporis usuræ gratia amplificavimus.

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PRIMA REGULA.

Si fuerit in datorum dispositione ex Problematis præscripto, ut sinus totus ad sinum alicujus: Ita sinus alterius cujusdam arcus ad aliud, seponantur duo illi arcus, tanquam dati, qui ad ϖροσϑαφαιρέσιων (prosthaphairesion) requiruntur, minorq; addatur complemento majoris ad Quadrantem, & aggregati quæratur Sinus. Porro triplicis Cautelæ observatione opus erit.

PRIMA CAUTELA. Si minor arcus complemento majoris fuerit æqualis (quod fiet, quando duo arcus dati conjunctim Quadrantem conficiunt) semissis quæsiti sinus erit Quartus numerus proportionalis quæsitus.

Exemplum. Dantur trianguli αβγ Sphærici rectang. Basis αγ 66 gr. 29 pr. & angulus αγβ 23 gr. 31 pr. Quæritur per I. Prob. Sphær. Crus αβ

Vulgaris operatio. Ter. prop.

αβγ 90 gr.	αγβ 23 gr. 31 pr.	αγ 66 gr. 29 pr.
Si. t. 10,000,000.	Si. 3,990,158.	Si. 9,169,440.
Quartus 3,658,751. Sinus: Ejus arcus 21 gr. 27 pr. 41 sec. Crus αβ

Per ϖροσϑαφαιρέσιν (prosthaphairesin) res ita habet: datiq; arcus conjunctim Quadrantem complent.

Arcus major	66 gr. 29 pr.	Compl.	23 gr. 31 pr.
Arcus minor	23 gr. 31 pr.		23 gr, 31 pr.

		Aggreg.	47 gr. 2 pr.	Sinus	7,317,503
				Semis	3,658,751
Sinus idem qui ante.

Altera Cautela: Si minor arcus fuerit minor complemento majoris (quod accidit quando duo arcus dati conjunctim sunt Quadrante Circuli minores) subtrahatur minor arcus ex complemento majoris, ut emergat eorum arcuum, qui primum simul additi erant, differentia, cujus Sinus quæratur, isq; auferatur a superioris aggregati Sinus. Hujus residui semissis erit Quartus numerus quæsitus.

Exemplum. In Triangulo αβγ Sphær. rectang. nota sunt, basis αγ 30 gr. & angulus γαβ 33 gr. 41 pr.: Quæsitur per I. Prob. Sphær. Crus γβ.
Secundum vulgar. operat.

Ter. pro.	γβα 90 gr.	γβα 33 gr. 41 pr.	αγ 30 gr.
Si. t. 10,000,000		Si. 5,546,024	Si. 5,000,000
Quartus 2,773,012. Sinus: Ejus arcus 16 gr. 6 pr. Crus γβ

Quoniam arcus dati conjunctim sunt Quadrante Circ. minores compendium Prosthaphæreticum tale est.

Arcus major 33 gr. 41 pr.	Compl. 56 gr. 19 pr.
Arcus minor 30 gr. 0 pr.	Compl. 30 gr. 0 pr.

	Aggreg. 86 gr. 19 pr.	Sinus 9,979,343.
	Differ. 26 gr. 19 pr.	Sinus 4,433,320.

		Differ. 5,546,023.
		Semis 2,773,012.
		Sinus idem, cum ante invento.

Tertia Cautela: Si deniq; minor arcus fuerit major Complemento majoris arcus (idq; eveniet quando duo arcus dati conjunctim sunt Quadrante majores.) tollatur complementum majoris ex arcu minore, ut eorum arcuum, qui simul collecti fuerunt, habeatur differentia, cujus quæratur Sinus, isq; adjiciatur ad superioris aggregati Sinum. Hujus enim summæ semissis repræsentabit numerum Quartum proport. quæsitum.

Exemplum. in triang. αβγ Sph. rect. dantur, Basis αγ 20 gr. 56 pr. & angulus αγβ 71 gr. 15 pr. Per I. Prob. Sphær. datur etiam Crus αβ. Juxta Vulg. operat.

Ter. prop. αβγ 90 gr.	αγ 29 gr. 56 pr.	αγβ 71 gr. 15 pr.
Si. t. 10,000,000	Si. 4,989,920	Si. 9,496,301.
Quartum 4,725,105. Sinus: Ejus arcus 28 gr. 12 pr. Crus αβ

Siquidem dati arcus Quadrante sunt majores, Calculus Prosthaphæreticus ita se habet.

Arcus major 71 gr. 15 pr.	Compl. 18 gr. 45 pr.
Arcus minor 29 gr. 56 pr.	29 gr. 56 pr.

	Aggreg. 48 gr. 41 pr.	Sinus 7,510,722.
	Differ. 11 gr. 11 pr.	Sinus 1,939,490.

		Summa 9,450,212.
		Semis 4,725,106.
		Sinus, cum ante invento consentiens.

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SECUNDA REGULA.

Si, Sinu toto primum locum obtinente in Reg. proportionum, reliqui duo numeri, aut horum alteruter, non fuerint Sinus recti, sed vel Sinus Versi, vel Tangentes, vel Secantes, inquirendi sunt in Canone Sinuum illis numeris, tanquam forent Sinus recti, correspondentes arcus, & porro juxta præcedentem Regulam πρἃξις (praxis) instituenda. Hic tamen rursum duæ Cautelæ probe notentur.

Prior Cautela: Quando illi numeri singuli Sinum totum excesserint, a parte dextra seu fine illorum abjiciendæ sunt tot figuræ, quot satis sunt, ut residuum Sinu integro minus fiat & post juxta Primam Regulam procedendum.

Altera Cautela: Quot characteres a numeris abjecti fuerint, tot Siphræ invento Quarto ad finem rursus annectantur, & tunc numerus ita auctus, erit vel Sinus Versus, vel Tangens, vel Secans. Qualis nimirum juxta Problematis propositi leges Quartus ille numerus esse debet, cuius arcus ex competenti Tabula inquiratur.

Exemplum Primum, in quo adhibetur Sinus versus.

Dantur Trianguli αβγ Sphær. obliquang. anguli duo, βαγ 44 gr. 12 pr. βγα 23 gr. 31 pr. & latus αγ 40 gr. Ex his per XXIV. Prob. Sphær. datur etiam angulus tertius αβγ. Juxta secundum enim modum ejus per vulgarem πραγματείυν (pragmatyn) ita se habet Calculus.

Ter. prop. 90 gr.	βαγ 44 gr. 12 pr.	αγ 40 gr. 2 pr.
Si. t. 10,000,000	Si. R. 6,971,651.	Si. V. 2,343,296
Quartus 1,633,664.	Rursum sunt Ter. prop.
90 gr.	βγα 23 gr. 31 pr.
Si. t. 10,000,000	Si. R. 3,990,159.	1,633,664.

Quartus 651,858 differentia Sinuum versorum quæsiti anguli & differentia alterius utrius anguli, & reliqui ad semicir. complementi. Anguli autem βγα 44 gr. 12 pr. Complem. ad semicirculum est 135 gr. 48 pr. a quo sublatus angulus βαγ 23 gr. 31 pr. relinquit differentiam 112 gr. 17 pr. cuius sinus versus 13,791,870. Huic addita differ. inventa 651,858 componit Sinum versum 14,443,728 cujus arcus 116 gr. 23 pr. angulus quæsitus αβγ.

Per ϖροσϑαφαιρέσιν (prosthaphairesin) res ita conficitur.

Quoniam tertius numerus prioris vulgaris Operationis est sinus versus 2,343,296 proinde imaginabimur cum esse Sinum rectum, cui ex Canona Sinuum debetur arcus 13 gr. 33 pr. Jam secundum Primam Reg. ita procedimus.

Arcus major 44 gr. 12 pr.	Compl.	45 gr. 48 pr.
Arcus minor 13 gr. 33 pr.		13 gr. 13 pr.

		Aggreg 59 gr. 21 pr.	Sinus 8,602,975
		Different. 32 gr. 15 pr.	Sinus 5,336,145

			Differ. 3,266,820
			Semis 1,633,415 Quartus.
Rursum sunt, Term. proport.
βα 23 gr. 31 pr.
Si. t. 10,000,000		Si. R. 3,990,159		1,633,415

Concipiemus iterum, tertium esse Sinum rectum, cui ex Canone Sinuum competit arcus 99 gr. 24 pr.

Arcus major 23 gr. 31 pr.	Compl.	66 gr. 29 pr.
Arcus minor 9 gr. 24 pr.		9 gr. 24 pr.
	Summa	75 gr. 53 pr.	Sinus 9,698,011
	Differ.	57 gr. 5 pr.	Sinus 8,394,618

			Differ 1,303,393.
			Semis 651,697.	Differe. Sinum

Versor. &c. cui addita differentia altera Sinuum versorum angulorum 13,791,570 producit Sinum versum 14,443,567 cujus arcus 116 gr. 23 pr. angulus αβγ, uti prius &c.

Exemplum. aliud in quo adhibentur Tangentes.

In triang. αβγ sphær. rectang. nota sunt basis αγ 239 gr. 56 pr. & angulus adjacens αγβ 71 gr. 15 pr. Inde per II. Prob. Sphær. innotescit etiam Crus βγ. Sunt enim per Primum ejus modum Term. prop.

αβγ 90 gr.	αγβ 71 gr. 15 pr.	Compl. 18 gr. 45 pr.	αγ 29 gr. 56 pr.
Si. t. 10,000,000 -	Si. 3,214,395		Tang. 5,757,998
Quartum 1,850,884 Tangent: Ejus arcus 10 gr,. 29 pr. Crus βγ.

Compendium Prosthaphæreticum ita habet.

Tertio, utpote Tangenti 5,757,998, debetur ex Canone Sinuum quasi sinui arcus 335 gr. 9 pr. Medius utpote sinus præbet arcum 18 gr. 45 pr.

Arcus major 35 gr. 9 pr.	Compl.	54 gr. 51 pr.
Arcus minor 18 gr. 45 pr.		18 gr. 45 pr.

	Aggreg.	73 gr. 36 pr.	Sinus	9,593,140
	Differ.	36 gr. 6 pr.	Sinus	5,891,964.

			Differ.	3,701,176.
			Semis	1,850,588.	Tangens quæsita
Cujus arcus 10 gr. 29 pr. Crus βγ idem, cum prius invento.

Exemplum tertium, in quo adhibetur Secans cum Tangente:

Eodem Problemate juxta modum ejus alterum sunt in Trianguli αβγ solutione ex isdem datis hi Term. prop.

αβγ	αγβ	71 gr. 15 pr.	αγ	29 gr. 56 pr.	Compl.	60 gr. 4 pr
Si. t. 10,000,000		Sec. 31,110,047			Tang.	17,367,146.
Quartus 54,029,273. Tang. Ejus arcus 79 gr. 31 pr. Comp. 10 gr. 29 pr. Crus βγ.

Per ϖροσϑαφαιρέσιν (prosthaphairesin) ita res procedit.

Quoniam secans 31,110,047, est major sinu toto Unica figura, ideo ab ea tollimus Unam ultimam figuram dextrorsum, ut remaneat sinus 3,111,004, cui ex Tab. competit arcus 18 gr. 7 pr. simili modo, quia Tangens extremo loco posita sinu toto major est una figura. Quare ultimo charactere ab ea demto, manet residuum 1,736,714, cui ex Canone Sinuum debetur arcus 10 gr. 0 pr.

Arcus major	18 gr. 7 pr.	Compl.	71 gr. 53 pr.
Arcus minor	10 gr. 0 pr.		10 gr. 0 pr.

		Aggr.	81 gr. 53 pr.	Sinus	9,899,827.
		Differ.	61 gr. 53 pr.	Sinus	8,819,898.
				Differ.	1,079,929
				Semis	539,964.

Huic numero additis duabus Siphris loca abjectarum ante duarum figurarum, Unius a Secante, alterius a Tangente, conflatur Tangens 53,996,400, cui ex Tab. Tangent. competit arcus 79 gr. 31 pr. Ejus Complemen. 10 gr. 29 pr. Crus quæsitum βγ, idem quod ante.

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TERTIA REGULA.

Si in regula proport. se habuerit Sinus totus ad alium numerum Sinu toto minorem, quisquis ille sit, ut numerus Sinu toto major, quicunque & ille sic, ad alium; hoc pacto per ϖροσϑαφαιρέσιν (prosthaphairesin) operari poteris. Ex numero tertio, qui Sinu toto major est, serventur ultimi septem characteres, septem Siphris integri Sinus respondentes, reliquis, qui ad sinistram, superfuerit, in minorem numerum, qui terminorum proportionalium est medius, multiplicatis, factoq; servato. Quod si unitas superfuerit, multiplicatione nulla opus erit. Deinde erit: Ut Sinus totus ad datum numerum minorem; ita residuæ illæ septem figuræ ad Quartum: hoc est,Minoris illius numeri, qui in Reg. propor. medium locum tenet, ac Tertij in Tab. Sinuum arcus quærantur competentes, & cum his tanquam datis arcubus procedatur juxta PRIMAM Regulam. Invento Quarto numero addatur factus ex medio termino ante servatus, & Quartus ille numerus erit absolutus, cujus arcus juxta leges Trigonometricas investigetur.

Possunt nihilo minus termini in hanc Regulam cadentes per antecedentem etiam Regulam facilius supputari.

Exemplum. In præsenti Diagrammiate est illustris Stellæ in Cauda 5 Ascensio recta a Tropico 4 numerata 82 gr. 31 pr. 34 sec. arcus æquinoct. σ, ξ, & arcus αρ complementum maxima obliquitatis Eclipt. ad æquinoct. 60 gr. 28 pr. 30 sec. idem cum arcu meridiani, quando Colurus solstitiorum juxta primum Coeli motuum ad meridiem pertingit: Quæsitur arcus Eclipticæ ω, exhibens punctum ω, quod cum stella proposita meridianum transit. Sunt itaq. per Prius αξίωμα Coronidis Trigonometriæ nostræ, juxta Vulgarem operationem, Term. proport.

ασ 90 gr.	αβ 66 gr. 28 pr. 30 sec.	σξ 82 gr. 31 pr. 34 sec.
S. t. 10,000,000	-- Si. 9,168,859	-- Tang. 76,225,962.

Quartus 69,890,519. Tang. Ejus arcus 81 gr. 51 pr. 26 sec. ρω qui a ☉, 4ρ numeratus indicat 21 gr. 51 pr. 26 sec. 6 cum dicta stella culminare.

Per Compendium Prosthaphæreticum ita proceditur.

A tertio termino, qui Sinu toto major est, initialis nimirum 7. sublata, relinquit 6,225,962, cui numero tanquam Sinui arcus 38 gr. 20 pr. 2 sec. debetur. In medium autem terminum 9,168,859, ducta 7 faciunt 64,182,013, servanda. Medius item terminus, utpote Sinus, exhibet arcum 66 gr. 28 pr. 30 sec.

Arcus major	66 gr. 28 pr. 30	Compl.	23 gr. 31 pr. 30 sec.
Arcus minor	38 gr. 30 pr. 2		38 gr. 30 pr. 2

		Aggreg.	62 gr. 1 pr. 32	Sin.	8,832,000
		Differ.	14 gr. 58 pr. 32	Sin.	2,584,959

				Summa	11,416,959
				Semis	5,707,479

Huic numero additus factus ante servatus 64,182,013 componit Tangentem 69,890,492 cuius arcus 81 gr. 51 pr. 26 sec. plane idem qui ante.

Calculus ejusdem Exempli juxta præced. Secundam Reg.

A Tangente 76,225,962 remota finalis nota relinquit fictum Sinum 7,622,596, arcus 49 gr. 39 pr. 50 sec. Medij termini arcus habetur 66 gr. 28 pr. 30 sec.

Arcus major	66 gr. 28 pr. 30 sec	Compl.	23 gr. 31 pr. 30 sec
Arcus minor	49 gr. 39 pr. 50 sec		49 gr. 39 pr. 50 sec

		Aggreg.	73 gr. 11 pr. 20	Sin.	9,572,634
		Differ.	26 gr. 8 pr. 20	Sin.	4,405,486
				Aggreg.	13,978,120
				Semis	6,989,060

huic numero vice finalis characteris ante abjecti, addita Una Siphra componit Tangentem 69,890,600 cujus arcus 81 gr. 51 pr. 26 sec. Idem qui prius.

Et per hasce Regulas compendiosa per ϖροσϑαφαιρέσιν (prosthaphairesin) πραγματεία (pragmateia) ostensa est, si Sinus totus Terminorum proportionalium primus fuerit.

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QUARTA REGULA.

Quando Sinu toto medium aut extremum Terminorum proportionalium locum obtinente, Primus numerus major est secundo vel Tertio, minor tamen Sinu toto, fiat: Ut Sinus totus ad secantem complementi illius arcus, qui majori numero in Tabula Sinuum tanquam sinus respondet; Ita minor numerus ad aliud: hoc est, duo arcus, qui illi Secanti in tabula Secantium, minori autem numero in Tabula Sinuum debetur, seponantur quasi dati, & cetera fiant, ut in Prima Regula dictum est: hoc tamen observato, ut, quia primo numero accessit siphra, aut forte plures, ut is fieret Secans, Quarto producto totidem pariter Siphræ adjiciantur.

Exemplum. Dantur r. ob. Trianguli γβα. Sphær. rectang. Crus αβ 28 gr. 12 pr. & angulus oppositus αγβ 36 gr. 0 pr.: ex quib. per IV. Prob. Sphær. Crus etiam reliquum γβ innotescit. Sunt enim per III. ejus modum.

Term. proport. juxta Vulgar operat.

αγβ 36 gr. 0.	αβγ 90 gr.	αβ 28 gr. 12 pr.
Tang. 7,265,424	S. t. 10,000,000	Tang. 5,361,954.
Quartus 7,380,098. Sinus: Ejus arcus 47 gr. 33 pr. 44 sec. Crus γβ.

Compendium Prosthaphæreticum ita habet.

Terminorum translatio sic fiat, ut primo loco ponatur Sinus totus, altero Tangens major per additam unam siphram aucta, instar Secantis, 72,654,240 tertio Tangens minor, qua in Sinum transmutata concipiatur. Jam Secanti 72,654,240 respondet arcus in Tabl Secantium 82 gr. 5 pr. 30 sec. Cujus sumitur complement. 7 gr. 54 pr. 30 sec. Tangenti in Sinum transfigurata 5,361,954, debetur ex Canone Sinuum arcus 32 gr. 25 pr. 30 sec. Habemus jam duos arcus Primæ Regulæ adaptatos.

Arcus major	32 gr. 25 pr. 30 sec.	Compl.	57 gr. 34 pr. 30 sec.
Arcus minor	7 gr. 54 pr. 40 sec.		7 gr. 54 pr. 40 sec.

		Aggreg.	65 gr. 29 pr. 10 sec.	Sinus	9,098,607.
		Differ.	49 gr. 39 pr. 50 sec.	Sinus	7,622,605.

				Differ.	1,476,002
				Semis	738,001

huic Semissi annexa Una Siphra ad finem, propterea quod Tangenti primo loco posita adjecta etiam fuit Una Siphra, ut fieret ea Secans, efficit Sinum 7,380,010 cujus arcus 47 gr. 33 pr. 41 sec. est crus γβ idem cum ante invento.

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QUINTA REGULA.

Quando primus numerus minor est Secundo vel Tertio, & minor Sinu toto, tunc si major quidem numerorum fuerit minor Sinu toto, fiat, Ut Sinus totus ad Secantem complementi illius arcus ,qui minori numero tanquam Sinui in Tabula Sinuum respondet: Ita major numerus ad aliud: hoc est: duo arcus, tum qui illi Secanti, tum qui majori numero in Sinuum Canone respondent, seponantur, ut dati, & cetera fiant pro re nata secundum ea, quæ antea in Prima aut Secunda Reg. sunt proposita.

Si vero Primus terminus minor fuerit; major autem numerus major Sinu toto, detrahatur ex eo minor aliquoties, donec numerus reliquus Sinu toto minor sit: Vel, subtrahatur Sinus totus, quoties fieri potest: fiatq; rursum: Ut Sinus totus ad Secantem complementi illius arcus, qui datorum numerorum minori tanquam Sinui respondet; ita reliquus numerus majoris ad aliud, uti dictum est, inventoq; numero Quarto adjiciatur Sinus integer totis, quoties minor numerus ex majore ablatus est, ut totus quartus numerus quæsitus conficiatur.

Sin deniq; tam primus terminorum quam extremus totum Sinum excesserint, primus autem tertio minor, Primi quasi Secantis (nisi fuerit Secans) quæratur arcus & hujus complementum. Deinde tertio numero auferatur finalis nota aut Una, aut plures, donec remaneat Sinus, cujus quæratur arcus: & cum inventis binis arcubus juxta Primam regulam procedatur. Invento autem numero adjiciantur loco abjectæ antea Unius aut plurium figurarum tot Siphræ, ut legitimus numerus Quartus proveniat.

Exemplum Primi Casus: Dantur Triang. αβγ. Sphær. rectang, basis γα 84 gr. 50 pr. & Crus γβ 84 gr. 22 pr. datur itaq. angulus etiam βγα per XIV. Prob. Sphær. Nam per IV. ejus modum sunt Term. proport.

γα 84 gr. 50 pr.	Compl.	50 gr. 10 pr.	γβα	90 gr.	βα 84 gr. 22 pr.	Compl.	5 gr. 38 pr.
Tang. 904,204				S. t. 10,000,000		Tang. 986,383.
Quartus 10,908,855, Secans: Ejus arcus 23 gr. 33 pr. 13 sec. angulus βγα.

Compendium ϖροσϑαφαιρέσιως (prosthaphairesios) tale est.

Primus terminorum duabus Sipheris auctus producit Secantem 90,420,400, cujus arcus 83 gr. 39 pr. 1 sec. Compl. 6 gr. 22 pr. 59 sec. Tertio numero 986,383, tanquam Sinui respondet arcus 5 gr. 39 pr. 39 sec.

Arcus major	6 gr. 22 pr. 59 sec.	Compl.	83 gr. 39 pr. 1 sec.
Arcus minor	5 gr. 39 pr. 69 sec.		5 gr. 39 pr. 69 sec.

		Aggreg.	89 gr. 18 pr. 40 sec.	Sinus	9,999,277
		Differ.	77 gr. 59 pr. 22 sec.	Sinus	9,781,093.

				Different.	218,184
				Semis	109,092.

cui numero adjectæ dua Siphra, quæ primo etiam termino accessere, constituunt Secantem 10,909,200 cujus arcus 23 gr. 33 pr. 28 sec. angulus βγα quadrante saltem Unius minuti ab ante invento differens.

Exemplum Secundi casus, in quo primus numerus minor est; Sinu toto, Ultimus vero Sinu toto major.

dantur Trianguli αβγ Sphær. rectang. Crura duo, γβ 80 gr. 38 pr. & αβ 61 gr. 46 pr. Quæritur angulus αγβ per XVI. Prob. Sphær. Nam juxta modum ejus III. sunt Term. proport.

γβ	80 gr. 38 pr.	αβγ	90 gr.	αβ	61 gr. 46 pr.
Sin.	9,866,671	S. t.	10,000,000	Tang.	18,623,894
Quartus 18,875,560. Tangens: Ejus arcus 62 gr. 1 pr. 10 sec. angulus βαγ.

Compendium ϖροσϑαφαιρέσιως (prosthaphairesios) tale est.

Primus termin. Una Siphera auctus suppeditat Secantem 98,666,710 cujus arcus 84 gr. 11 pr. Complem. 5 gr. 49 pr. Ab ultimo 18,623,894 sublatus terminus primus 9,866,671 semel, relinquit 8,757,223, cujus residui arcus ex Tabula Sinuum est 61 gr. 7 pr. 50 secun.

Arcus major	61 gr. 7 pr. 50 sec.	Compl.	28 gr. 52 pr. 10 sec.
Arcus minor	5 gr. 49 pr. 0 sec.		5 gr. 49 pr. 0 sec.

		Aggreg.	34 gr. 41 pr. 10	Sinus	5,690,802
		Differ.	23 gr. 3 pr. 10	Sinus	3,915,788

				Different.	1,775,014
				Semis	887,507

Huic numero additus integer Sinus semel, propterea quod minor numerus semel a majori fuerat sublatus, componit 1,887,507, cui rursum ad finem apposita Siphra, quï eadem primo quoq. termino, ut is Secans fieret, accessit, componit Tangentem 18,875,070, cuius arcus 65 gr. 5 pr. 10 sec. angulus βαγ idem qui prius.

Exemplum Tertij Casus, in quo primus terminus est minor tertio, Uterque vero Sinu toto major.

In triang. αβγ Sphær. rectang. dantur, basis αγ 30 gr. 8 pr. 55 sec. & Crus βγ 111 gr. 33 pr. 52 sec. Quæsitur angulus βαγ per XV. Prob. Sphær. Sunt enim per V. eijus modum Term proport.

αγ	30 gr. 8 pr. 55 sec.	αβγ	90 gr.	βγ	11 gr. 33 pr. 52 sec.
Comp.	59 gr. 51 pr. 5 sec.			Comp.	78 gr. 26 pr. 8 sec.
Secant.	19,910,618	S. t.	10,000,000	Sec.	49,882,776.

Quartus 25,053,354. Secans: Ejus arcus 66 gr. 28 pr. 30 sec. Compl. 23 gr. 31 pr. 30 sec. angulus βαγ.

Calculus Prosthaphæreticus talis est.

Primus Terminus utpote Secans habet arcum 59 gr. 51 pr. 5 sec. Compl. 30 gr. 8 pr. 55 sec. Ultimus finali decurtatum est 4,988,277: hujus arcus ex Canone Sinuum 29 gr. 55 pr. 21 sec.

Arcus major	30 gr. 8 pr. 55 sec.	Compl.	59 gr. 51 pr. 5 sec.
Arcus minor	29 gr. 55 pr. 21 sec.		29 gr. 55 pr. 21 sec.

		Aggreg.	89 gr. 46 pr. 26 sec.	Sinus	9,999,921
		Differ.	29 gr. 55 pr. 44 sec.	Sinus	4,989,248

				Differ.	5,010,673
				Semis	2,505,337

Huic apposita siphra ab finalem tertio ademtam, conflatur Secans, 25,053,370: Cujus arcus 66 gr. 28 pr. 30 sec. Compl. 23 gr. 31 pr. 30 sec. ang. βαγ idem qui ante.

zur Übersetzung des Abschnitts

SEXTA REGULA.

Si primus terminorum proport. tertio major minorve, erit quoq; major toto Sinu, atq; idem etiam Secans, ejus arcus utpote dati complementum erit unus arcuum ad xxx requisitorum. Si vero primus non fuerit Secans,sed alius quidam, ejus tanquam Secantis, quæratur arcus ex canone Secantium,cujus complementum dabit in proportione ϖροσϑαφαιρέσιν (prosthaphairesin) medium terminum loco Sinus integri in primum locum jam transferendi, ultimo assignato illi, qui in Vulgari operatione ultimus erat, cujus tanquam Sinus (modo Sinum totum non excesserit) arcus, erit alter ille juxta Primam Regulam cum prius invento arcu usurpandus.

Sin extremus Terminorum Sinu integro itidem major fuerit, quæratur primum Sinus complementi, quod Secanti respondebat: deinde extremus Terminus per Sinum totum dividatur, Quotus autem emergens in Sinum modo inventum multiplicetur, facto servato. Residui autem numeri tanquam Sinus ex Canone Sinuum quæratur arcus, isq; unum arcum in ϖροσϑαφαιρέσιως (prosthaphairesios) negocio exhibebit,alterum complemento Secantis præbente. Peracta juxta Primam Regulam operatione, numero producto addatur factus ante servatus & aggregatum suppedicabit Quartum Terminum quæsitum.

Si deniq; terminorum tertius Sinu toto major hac ratione fuerit, ut abjectus ex eo Sinus totus non relinquat numerum, qui convenienter in Canonem Sinuum immitti, ejusq; arcus excerpi queat, tollatur ab eo finalis nota, & residui ex Tabula Sinuum arcus quæratur, ac porro cum arcubus procedatur, uti oportet.

Exemplum primi Casus, in quo tertius Sinu toto minor est.

Trianguli αβγ Sphær. rectang. Crus γβ 36 gr. 19 pr. & angulus adjacens αγβ 23 gr. 31 pr. patefaciunt per XII. Prob. Sphær. angulum reliquum γαβ. Nam per III. ejus modum sunt juxta Vulgarem operat. Termin proport.

αβ	36 gr. 19 pr.	αβγ	90 gr.	βαγ	23 gr. 31 pr.
Sec.	12,410,705	S. t.	10,000,000	Si.	3,990,159

Quartus 3,215,095 Sinus: Ejus arcus 18 gr. 45 pr. 15 sec. Compl. 71 gr. 14 pr. 45 sec. ang. γαβ.

Compendium Prosthaphæreticum ita habet.

Secantis arcus 36 gr. 19 pr. Compl. 53 gr. 41 pr. Unus arcuum: alter datur.

Arcus major	53 gr. 41 pr.	Compl.	36 gr. 19 pr.
Arcus minor	23 gr. 31 pr.		23 gr. 31 pr.

		Aggreg.	59 gr. 50 pr.	Sinus	8,645,673
		Differ.	12 gr. 48 pr.	Sinus	2,215,485

				Differ.	6,430,188
				Semis.	3,215,094

Exemplum Secundi casus, in quo Tertius, itidem cum primo, Sinu toto major est.

datur Triang. αβγ Sph. rectang. angulus Uterq; obliquus, αγβ 23 gr. 31 pr. & βαγ 66 gr. 38 pr. Quæritur basis αγ per X. Prob. Sphær. Nam per modum ejus III. sunt juxta Vulg. πραξιν (praxin) Ter prop.

βαγ	66 gr. 38 pr.	αβγ	90 gr.	βγα	23 gr. 31 pr.
				Compl.	66 gr. 29 pr
Tang.	23,145,565	S. t.	10,000,000	Tang.	22,980,141
Quartus 9,928,529. Sinus: Cujus arcus 83 gr. 8 pr. 45 sec. Compl. 6 gr. 51 pr. 15 sec. Bas. αγ

προσϑαφαιρέσις (prosthaphairesis) ita procedit.

Primi numeri tanquam Secantis arcus est 64 gr. 24 pr. 52 sec. Compl. 25 gr. 35 pr. 52 sec. Tertius per Sinum totum, qui medius est Terminorum, divisus, producit in Quoto 2, residuis manentib. 2,980,141, cui numero tanquam Sinui respondet arcus 17 gr. 20 pr. 18 sec. Complemento autem Secantis 25 gr. 35 pr. 52 sec. ex Tabula Sinuum excerptus respondet Sinus 4,320,507, qui multiplicatus per Quotum 2, facit 8,641,014 servanda.

Arcus major	25 gr. 35 pr. 52 sec.	Compl.	64 gr. 24 pr. 8 sec.
Arcus minor	17 gr. 20 pr. 18 sec.		17 gr. 20 pr. 18 sec.

		Aggreg.	81 gr. 44 pr. 26 sec.	Sinus	9,896,276
		Differ.	47 gr. 3 pr. 50 sec.	Sinus	7,321,137

				Differ	2,575,139
				Semis	1,287,569

Huic Semissi additus factus ante servatus 8,641,014, componit Sinum 9,928,583, cujus arcus 83 gr. 8 pr. 54 sec. Compl. 6 gr. 51 pr. 6 sec. Basis αγ a prius inventa saltem 9 sec. deficiens.

Exemplum Tertij Casus.

Trianguli αβγ Sph. rect. dantur Crus &947;β 11 gr. 33 pr. 52 sec. & basis γ͍ 30 gr. 8 pr. 55 sec. Quæritur Crus reliquum αβ per III. Prob. Sphær. Nam per Ult. ejus modum sunt juxta Vulgar. operat. Term. proport.

γα	30 gr. 8 pr. 55 sec.	γβα	90 gr.	γβ	11 gr. 33 pr. 52 sec.
Sec.	11,564,362	S. t.	10,000,000	Sec.	10,207,383
Quartus 8,826,585, Sinus: Ejus arcus 28 gr. 2 pr. 13 sec. Crus βα

Calculus Prosthaphæreticus ita perficitur.

Primus terminus, utpote Secans, præbet arcum 30 gr. 8 pr. 55 sec. Compl. 59 gr. 51 pr. 5 sec. Tertius itidem Secans quoniam per Sinuum integrum divisus, relinquit 0,207,383, cujus arcus ex Canone Sinuum haberi non potest, proinde a Secante illa finalis remota, relinquit Sinum 1,020,738, cujus arcus 5 gr. 51 pr. 31 sec.

Arcus major	59 gr. 51 pr. 5 sec.	Compl.	30 gr. 8 pr. 55 sec.
Arcus minor	5 gr. 51 pr. 31 sec.		5 gr. 51 pr. 31 sec.

		Aggreg.	36 gr. 0 pr. 26 sec.	Sin.	5,878,872
		Differ.	24 gr. 17 pr. 24 sec.	Sin.	4,113,553
				Differ.	1,765,319
				Dimid.	882,659

cui apposita Siphra loco ejus, qua a Tertio fuit abjecta, componit Sinum 8,826,590 cujus arcus 28 gr. 2 pr. 13 sec. Cus βα idem cum prius invento.

Notandum hic; quod onmia Exempla, quæ in alterum hujus Regulæ membrum cadunt per Tertiæ præceptum pari dexteritate, minori opera supputari possunt.

zur Übersetzung des Abschnitts

SEPTIMA REGULA.

Si deniq; contigerit, ut nullus termin. proportionalium sit Sinus totus, duplici xxx labore opus erit, ut nimirum juxta ea, quæ in proxime præcedentibus tribus Regulis fuerunt exposita, primum Termin. efficias secantem cujus arcus complementum, arcuum ad ϖροσϑαφαιρέσιως (prosthaphairesios) pertinentium Unus erit; alterum suppeditabit ex Canone Sinuum Terminus tertius, ad formam Sinus, si eam non habuerit, redactus: Et sic juxta Regularum trium priorum aliquam exibit numerus, cujus tanquam Sinus quæratur conveniens arcus, isq; in altera ϖροσϑαφαιρέσει (prosthaphairesei) arcuum Unus erit, reliquum subministrante itidem ex Tabula Sinuum termino medio primitus dato, Sinus speciem, si eam non habuerit, induente: & sic quoq; stabunt ad hanc alteram ϖροσϑαφαιρέσιν (prosthaphairesin) requisita. Producto adnectantur tot Siphræ, tum quod ad formandam Secantem primi termini ante fuerunt adhibitæ, tum quot figuræ a fine tertij medijq; terminorum primum datorum fuerant abjectæ, ut sinus forma relinqueretur. Hujus ultima Regulæ Usus tam Patet, ut non ad Sphærica solum Triangula, sed plana etiam sese extendat, quando nimirum ex datis lateribus angulum datum comprehendentibus anguli reliqui juxta præscriptum DECIMI SEXT Prob. sunt determinandi.

Exemplum ex classe Triangulorum planorum desumtum.

In Triang. βαγ plano obliquangulo vario dantur Latera duo, βγ 980,635, αγ 193,490, & angulus per ista comprehensus αγβ 222 gr. 47 pr. 58 sec: ex quibus per XVI. Prob. Plan. invenitur angulus αβγ Vulgaris operatione per hosce Term. proport.

587,063		393,572		Tang.	49,595,714
Quartus 33,249,386. Tang. Cujus arcus 73 gr. 15 pr. 39 sec.

Prior ϖροσϑαφαιρέσις (prosthaphairesis) ita perficitur.

Primo terminorum 587,063 addita dua Siphra efficiunt Secantem 58,706,300, eijus arcus 80 gr. 11 pr. 33 sec. Compl. 9 gr. 48 pr. 27 sec. arcus quæsitorum Unus. A tertio termino, qui Sinu tot major est, 49,494,714 dextrorsum ablata una figura, relinquit Sinum 4,959,517, cujus arcus 29 gr. 42 pr. 58 sec. ad ϖροσϑαφαιρέσιν (prosthaphairesin) pertinentium alter.

Arcus major	29 gr. 53 pr. 58 sec.	Comp.	60 gr. 16 pr. 2 sec.
Arcus minor	9 gr. 48 pr. 27 sec.		9 gr. 48 pr. 27 sec.

		Aggreg.	70 gr. 4 pr. 29 sec	Sinus	9,401,378
		Differ.	50 gr. 27 pr. 35 sec	Sinus	7,711,772

				Differ.	1,689,606
				Semis	844,803

hujus tanquam Sinus arcus est 4 gr. 50 pr. 46 sec. arcuum Unus ad alteram ϖροσϑαφαιρέσιν (prosthaphairesin) requisitus. Terminorum autem primitus datorum medio 393,572 tanquam Sinui, competit arcus 2 gr. 15 pr. 20 sec.

Jam altera ϖροσϑαφαιρέσισ (prosthaphairesis) ita peragitur.

Arcus major	4 gr. 50 pr. 46 sec.	Compl.	85 gr. 9 pr. 14 sec.
Arcus minor	2 gr. 15 pr. 20 sec.		2 gr. 15 pr. 20 sec.

		Aggreg.	87 gr. 24 pr. 34 sec.	Sinus	9,989,780
		Differ.	82 gr. 5 pr. 54 sec.	Sinus	9,923,283

				Differ.	66,497
				Semis	33,249

huic adfigenda sunt tres Siphra, dua quidem ob totidem primo termino, ut is fieret Secans, additus; & Una propter figuram tertio termino addendam, ut is fieret Sinus; & emergit quæsitus numerus 33,249,000 Tangens, cujus arcus 73 gr. 15 pr. 39 sec. idem cum eo, quem Vulgaris operatio producebat.

Exemplum aliud ex Sphæricis petitum.

In Triang. αβγ Sphær. rectang. dantur, basis αγ 30 gr. 8 pr. 55 sec. & crus αβ 11 gr. 33 pr. 52 sec. Quæritur angulus αγβ per XV. Prob. Sphær. nam per X. ejus modum sunt juxta consuetam operationem Term. prop.

αγ	30 gr. 8 pr. 55 sec.	αγ	30 gr. 8 pr. 55 sec.	βγ	11 gr. 33 pr. 52 sec.
Compl.	59 gr. 51 pr. 5 sec.	Compl.	59 gr. 51 pr. 5 sec.	Compl.	78 gr. 26 pr. 8 sec.
Tangens	17,217,222	Sinus	8,647,256	Secans	49,882,776
Quartum 25,053,352. Secans: Ejus arcus 66 gr. 28 pr. 20 sec.. Comp. 23 gr. 31 pr. 30 sec. angulus βαγ.

Compendium ϖροσϑαφαιρέσιντικὀν (prosthaphairetikon) ita habet.

Primo termin. 17,217,222 in Tab. Secantium immisso respondet arcus 54 gr. 29 pr. 32 sec. Comp. 35 gr. 30 pr. 28 sec. Ultimo finali Charactere imminuto 4,988,277 ceu Sinui debetur arcus 29 gr. 55 pr. 21 sec.

Arcus major	35 gr. 30 pr. 28 sec.	Compl.	54 gr. 29 pr. 32 sec.
Arcus minor	29 gr. 55 pr. 22 sec.		29 gr. 55 pr. 22 sec.

		Aggreg.	84 gr. 24 pr. 53 sec.	Sin.	9,952,524
		Differ.	24 gr. 34 pr. 11 sec.	Sin.	4,158,002

				Differ.	5,794,522
				Semis	2,897,261

Ejus arcus ex Canone Sinuum petitus 16 gr. 50 pr. 30 sec. Medius Term. utpote Sinus exhibet arcus 59 gr. 51 pr. 5 sec.

Arcus major	59 gr. 51 pr. 5 sec.	Compl.	30 gr. 8 pr. 55 sec.
Arcus minor	16 gr. 50 pr. 30 sec.		16 gr. 50 pr. 30 sec.

		Aggreg.	46 gr. 59 pr. 25 sec.	Sinus	7,312,379
		Differ.	13 gr. 18 pr. 25 sec.	Sinus	2,302,677

				Differ.	5,010,702
				Semis	2,505,351

Huic numero adnexa Una Siphra, ob eam, quæ Tertio termino ablata fuit, componit Secantem 25,053,510: Ejus arcus 66 gr. 28 pr. 30 sec. Compl. 23 gr. 31 pr. 30 sec. angulus βαγ, idem cum Vulgariter quæsito.

Et hactenus doctrina ϖροσϑαφαιρέσεων (prosthaphaireseon) Trigonometricam sit exposita: de quibus tamen minus in pulvere hoc versatos serio moneo, parce provideq; ijs ut utantur compendijs, præsertim ubi vel primus Terminorum, vel reliqui in Universum Sinus integri nulli fuerint, cum & magnam ista curam ac circumspectionem, & frequentem ad Tabulas Sinuum ac Secantium recursum, paremq; fere in maxima exemplorum turba temporis ac laboris impensam cum Usitata suppurandi forma requirant: nisi forte examinis aut voluptatis gratia hujus modi exercitiorum variationes instituere voluerint: Siquidem prosperato temporis operæq; compendio utriusq; dispendium, ob hallucinationis facilitatem haud raro experientur; inprimis quando animus non fuerit serenus ac præsens, sed in diversa ob curarum aliarum nubila ac ventos distractus. Potius itaq; tum aut Vulgarem operandi modum evidenti faciliq; demonstrationi innitentem sequamur; aut quæ eundem ad scopum, pari semitæ rectitudine, admiranda calculi facilitate deducunt, Logarithmorum compendia,vera temporis ac laborum compendia, amplectamur.

Ut jam integra, de triangulis a nobis instituta tractatio, Lectori uno in conspectus sit, sequentibus duabus Tabellis eam exhibemus.

Einführung in die Prosthaphaerese.

Jene trigonometrische Sammlung, die der berühmte Longomontanus in seiner dänischen Astronomie in drei Regeln knapp vorgelegt hat, ziemlich ausführlich erweiternd und alle Fälle, die in der Verschiedenheit auftreten können, durch sieben Regeln, denen jeweils Beispiele hinzugefügt werden, klar erläuternd.

Diese durchaus geistreiche Erfindung, die auf den Grundlagen der Geometrie errichtet worden ist, wie sechshundert andere in der Astronomie teils erfolgreich wiedrhergestellt, teils neu entdeckt, ist in vor allem dem edlen Tycho Brahe zu verdanken, dessen Namen ich, wenn ich ihn ausgesprochen haben werde, gebührend gepriesen haben werde. Dieser hat seine Arbeit seinem Helfer Paul Wittich aus Breslau mitgeteilt, von den jungen Gelehrten, die selbst ach so lange zur mathematischen Tätigkeit in jenem berühmten Uranienburger Observatorium waren, sie betrieben zur leichteren Analyse der sphärischen Dreiecke, die aus den Berechnungen der Beobachtungen der Himmelskörper immer wieder entstanden, einige dieser Hilfmittel des Verfahren hat er vorgegeben, welche der herausragendste Mathematiker Christian Severin an der Universität Kopenhagen des mächtigen dänischen Königs Christian IV. allgemeiner vollendend. Durch drei Regeln hat er die meisten aller Untersuchungen zu trigonometrischen Berechnungen erfasst. Weil diese aber wegen der vorkommenden Mannigfaltigkeit der gegebenen Dreiecke ein wenig zu knapp sind, als dass sie den Ungeübten im ersten Herangehen befriedigten, und bei allen Berechnungen den Erfolg weisen könnten, haben wir die Ermahnung eines gewissen in der Sache sehr gelehrten Mannes befolgt, und auf sieben Regeln erweitert, diese der Reihe nach in je einem Beispiel unserer gesamten Trigonometrie berechnet, mit aller guten Gunst jenes unseres guten und teuersten Freundes, mit größter Deutlichkeit und zum Gebrauch um der sehr wertvollen Zeit willen.

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Erste Vorschrift.

Wenn durch die Anordnung die Angaben aus der beschriebenen Aufgabestellung gewesen wären, wie sich der Sinus totus zu irgendeinem Sinus verhält: so der gewisse andere Sinus des Bogens zu einem anderen, zwei dieser Bögen werden verworfen, gleich wie die gegebenen, die zur Prosthapharaese benötigt werden, und der kleinere wird zum Komplement des zum Quadranten größeren hinzugezählt, und und die zusammengenommenen sind der Sinus der gesucht wird. Allerdings bedarf es der Beachtung dreier Vorsichtsmaßregeln.

Erste Vorsichtsmaßregel.

Wenn der kleinere Bogen dem Komplement des größeren gleich sein wird (was sein wird, jedesmal wenn zwei der gegebenen Bögen zusammen einen Quadranten bilden) die Hälfte des gesuchten Sinus wird die vierte Proportionale der gesuchten Nummer sein.

Beispiel.

Gegeben sind im rechtwinkligen sphärischen Dreieck αβγ die Basis αγ 66° 29′ und der Winkel αγβ 23° 31′. Gesucht ist der Schenkel αβ nach der 1. Aufgabe im sphärischen Dreieck.

Gewöhnliches Verfahren. Dritte Aufgabe.

αβγ 90°	αγβ 23° 31′	αγ 66° 29′
Sinus totus 10.000.000	Sinus 3.990.158	Sinus 9.169.440
Sinus der 4. Proportionalen: 3.658.751. Dessen Bogen 21° 41′ ist der Schenkel α..

Es wird der Seitensinussatz im schiefwinkligen spärischen Dreieck angewandt: die Sinuswerte der Seiten verhalten sich wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.

Mit der Prosthaphaerese verhält es sich so: die gegebenen Winkel werden mit dem Komplementär-Quadraten verbunden.

größerer Winkel 66° 29′	Komplement	23° 31′
kleinerer Winkel 23° 31′		23° 31′

		Zusammen 47 ° 2′	Sinus 7.317.503
			die Hälfte 3.658.751
Der Sinus ist derselbe wie vorher.

Die andere Vorsichtsmaßregel.

Wenn der kleinere Bogen kleiner als das Komplement des größeren gewesen wäre (was jedes mal geschieht wenn zwei gegebene Bögen zusammen ein Viertel des kleineren Kreises betragen) der kleinere Bogen wird vom Komplement des größeren abgezogen, so dass deren Bogen entsteht, die zuerst zusammen addiert waren, der Unterschief, dessen Sinus gesucht wäre, und dieses wird vom vorigen zusammengesetzten Sinus abgezogen. Die hälfte dessen Rests wird die gesuchte vierte Zahl sein.

Beispiel.

Im rechtwinkligen sphärischen Dreieck αβγ sind bekannt, die Basis αγ 30° und der Winkel γαβ 33° 41′. Gesucht ist der Schenkel γγ durch die Aufgabe I. der sphärischen Trigonometrie.

Gemäß dem gewöhnlichen Verfahren. Dritte Aufgabe.

3. Aufg.	γβα 90°	γαβ 33° 41′	αγ 30°
	Sinus tot. 10.000.000	Sinus 5.546.024	Sinus 5.000.000
Der vierte Sinus: 2.773.012. Dessen Bogen 16° 6′ ist der Schenkel γβ.

Weil ja die gegebenen Bögen zusammen ein Viertel des kleineren Kreises sind ist der Vorteil der Prosthaphaerese so.

größerer Bogen	33° 41′	Komplement	56° 19′
kleinerer Winkel	30° 0′		30° 0′

		Zusammen	86° 19′	Sinus	9.979.343
		Unterschied	26° 19′	Sinus	4.433.320

				Unterschied	5.546.023
				die Hälfte	2.773.012
				der Sinus ist dergleiche wie vorher gefunden.

Die dritte Vorsichtsmaßregel.

Wenn schließlich der kleinere Bogen größer wäre als das Komplement des größeren Bogens (und das tritt ein wenn zwei gegebene Bögen zusammen größer sind als der Quadrant.) würde das Komplement des größeren vom kleineren Bogen weggenommen, so dass deren Bögen, die zugleich zusammengefasst worden wären, er hat den Unterschied, dessen Sinus gesucht wird, und dieser wird zu dem obigen zusammengesetzten Sinus hinzugefügt. Denn die Hälfte deren Summe wird die gesuchte vierte proportionale Zahl darstellen.

Beispiel.

Im gegebenen rechtwinkligen sphärischen Dreieck αβγ sind gegeben die Basis αγ 20° 56′ und der Winkel αγβ 71° 15′. Auch nach der gegenenen 1. Sphärischen Aufgabe der Schenkel αβ. Gemäß dem gewöhnlichen Verfahren.

3. Aufg.	;αγβ 90°	αγ 29° 56′	αγβ 71° 15′
	Sinus tot. 10.000.000	Sinus 4.989.920	Sinus 9.496.301
Der vierte Sinus: 2.773.012. Dessen Bogen 28° 12′ ist der Schenkel αβ.

Weil ja die gegebenen Bögen zusammen größer als der Quadrant sind, ist die prosthaphaeretische Berechnung so.

größerer Bogen	71° 15′	Komplement	18° 45′
kleinerer Winkel	29° 56′		29° 56′

		Zusammen	48° 41′	Sinus	7.510.722
		Unterschied	11° 11′	Sinus	1.939.490

				Summe	9.450.212
				die Hälfte	4.725.106
				der Sinus stimmt mit dem vorher gefundenen überein.

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Zweite Vorschrift.

Wenn man zuerst den Ort durch rechten Winkel nach den Proportionalregeln erhält, sind die beiden übrigen Nummern, oder der der eine der beiden, keine rechten Winkel, sondern Versines oder Tangens, oder Secanten, jene Zahlen sind in den Tabellen der Sinuswerte zu suchen, gleich wie die Sinuswerte, die zu den Bögen gehören, und dann ebtsprechend der Praxisregel anzuordnen. Hierbei sind aber andererseits zwei Vorsichtsmaßregeln gut zu beachten.

Erste Vorsichtsmaßregel

Jedesmal wenn jene einzelnen Zahlen den rechten Winkel übersteigen, sind vom rechten Teil oder deren Ende so viele Ziffern zu streichen, wie nötig sind, dass der Rest vom ganzen Sinus kleiner würde und danach ist gemäß der ersten Regel vorzugehen.

Zweite Vorsichtsmaßregel

Wie viele Stellen von den Zahlen gestrichen werden müssen, so viele Ziffern werden der gefundenen vierten Proportionalen am Ende weiderum angefügt, und darauf die so vermehrte Zahl, wird entweder der Versinus oder der Tangens oder der Secans sein. Welche allerdings je nach den Gesetzen der gestellten Aufgabe die vierte Proportionale jener Zahl sein muß, deren Bogen aus der geeigneten Tabelle gesucht wird.

Erstes Beispiel, in dem der Versin angewandt wird.

Gegeben sind im schiefwinkligen sphärischen Dreieck αβγ zwei Winkel βαγ 44° 12′, βγα 23° 31′ und die Seite αγ 40°. Aus diesen Angaben ist auch nach der XXIV. Aufgabe im sphärischen Dreieck der dritte Winkel αβγ gegeben. Denn entsprechend dem zweiten Verfahren ist dessen Berechnung nach der gewöhnlichen pragmatischen Verfahren so.

3. Lehrs.	90°	βαγ 44° 12′	αγ 40° 2′
	Sinus 10.000.000	Sinus 6.971.651	Versin 2.343.296
4. Proport. 1.633664		Anderers, sind nach 3. Lehrs.
	90°	βγα 23° 31′
	Sinus 10.000.000	Sinus 3.990.159	1.633.664

Die vierte Proportionale 651.858 ist die Differenz der Versine des gesuchten Winkels und die Differenz eines der beiden anderen Winkel, und der Rest das Komplement zum Halbkreis. Das Komplement des Winkels βαγ 44° 12′ zum Halbkreis ist 135° 48′ die Differenz 112° 17′ bleibt übrig, deren Versin ist 13.791.870. Diese zur gefundenen Differenz 651.858 addiert bildet den Versin 14.442.728 dessen Bogen 116° 23′ ist der gesuchte Winkel αβ^.

Durch die Prosthaphaerese wird das so ausgefürt.

Weil die dritte Zahl der vorigen gewöhnlichen Rechnung der Versin 2.343.296 ist deswegen stellen wir uns vor dass es ein Sinus ist, zum dem aus dem Berzeichnis der Sinusse der Bogen 13° 33′ gehört. Nun verfahren wir nach der ersten Regel so.

Größerer Bogen	44° 12′	Komplement	45° 48′
Kleinerer Bogen	13° 33′		13° 33′
		Zusammen	59° 21′	Sinus	8.602.975
		Differenz	32° 15′	Sinus	5.336.145

				Differenz	3.266.830
				Hälfte	1.633.415	4. Proport.
		Wiederum sind die propotionalen Terme
				βα	23° 31′
	Sinus tot.	10.000.000		Sinus rect. 3.990.159		5.633.415

Wiederum werden wir den dritten als Sinus auffassen, dem nach dem Verzeichnis der Sinusse der Bogen 99° 24′ entspricht.

Größerer Bogen	23° 31′	Komplement	66° 29′
Kleinerer Bogen	9° 24′		9° 24′

		Summe	75° 53′	Sinus	9.698.011
		Differenz	57° 5′	Sinus	8.394.618
				Differenz	1.303.393
				Hälfte	651.697

zu unterscheiden der Versine usw. dem die Differenz der anderen Winkel Versine 13.791.570 erzeugt den Versin 14.443.567 dessen Bogen 116%deg; 23′ den Winkel αβ͏, gleich wie vorher usw.

Das andere Beispiel, in dem die Tangens angewandt werden.

Im rechtwinkligen sphärischen Dreieck sind bekannt die Basis αγ 239° 56′ und der anliegende Winkel αγβ 71° 15′. Deshalb ist auch nach dem 2. Lehrsatz der sphärischen Trigonometrie der Schenckel γβ. Bekannt. Denn sie sind durch das erste Verfahren dessen Lehrsatzes gegeben.

αβγ	90°	αγβ	71° 15′	Komplement	18° 45′		αγ	29° 56′
ganzer Sinus	10.000.000		Sinus	3.214.395			Tangens	5.757.998

4. Proportionale 1.850.884, Tangens: dessen Bogen 10° 29′ ist der Schenkel βγ

Der kürzere prosthaphaeretische Weg geht so.

Drittens, wie nämöich der Tangens 5.757.998 bestimmt wird aus dem Verzeichnis der Sinusse als gleichsam der Sinus des Bogens 335° 9′. Die Mitte des Sinus ergibt nämlich den Bogen 18° 45′.

größerer Bogen	35° 9′	Komplement	54° 51′
kleinerer Bogen	18° 45′		18° 45′
		Zusammen	73° 36′	Sinus	9.593.140
		Differenz	36° 6′	Sinus	5.891.964

				Differenz	3.701.176
				Hälfte	1.850.588	der gesuchte Tangens

Dessen Bogen 10° 29′. Der Schenckel βγ ist der gleiche wie der vorher gefundene.

Drittes Beispiel, in dem der Sekans mit dem Tangens angewandt werden.

In derselben Aufgabe sind entsprechend dem Verfahren dessen anderes die Lösung im Dreieck αβγ aus denselben Angaben diese Begriffe des Lehrsatzes.

αβγ	90°		αγβ	71° 15′		αγ	29° 56′	Komplement	60° 4′
Sinus tot.	10.000.000		Sekans	31.110.047		Tangens	17.367.146

4. Proport. 54.029.273, Tangens. Dessen Bogen 79° 31′, Komplement 10° 29′ ist der Schenkel βγ

In der Prosthaphaerese geht man so vor.

Weil der Secans 31.110.047 um eine Ziffer größer ist als der ganze Sinus, deshalb nehmen wir die letzte rechte Ziffer davon weg, so dass der Sinus 3.111.004 verbleibt, dem nach der Tabelle der Bogen 18° 7′ auf die gleiche Weise entspricht, weil der Tangens am äußersten Rand um eine Ziffer größer ist als der gesamte Sinus. Daher bleibt wenn die letzte Stelle von ihm abgeschnitten ist ein Rest 1.736.714, von dem nach dem Verzeichnis der Sinus ein Bogen 10° 0′ verbleibt.

größerer Bogen	18° 7′	Komplement	71° 53′
kleinerer Bogen	10° 0′		10° 0′
		Zusammen	81° 53′	Sinus	9.899.827
		Differenz	61° 53′	Sinus	8.819.989

				Differenz	1.079.929
				Hälte	539.964

Dieser Zahl werden beide Ziffern an der Stelle hinzugefügt, an der die beiden Ziffern vorher abgeschnitten worden sind, die eine vom Sekans, die andere vom Tangens, der Tangens wird erweitert zu 53.996.400, dem nach der Tangenstabelle ein Winkel von 79° 31′ entspricht. Dessen Komplement von 10° 29′ ist der gesuchte Schenkel βγ, derselbe wie vorher.

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Dritte Vorschrift.

Wenn nach der Regel der Proportionalität der gesamte Sinus sich zu einer anderen Zahl kleiner als der ganze Sinus, wie eine Zahl größer als der ganze Sinus, alle die und jene so, zu einem anderen; kann man unter dieser Bedingung mit Prosthaphaerese arbeiten. Von der dritten proportionalen Zahl, die größer ist als der ganze Sinus, werden die letzten sieben Ziffern erhalten, sieben Ziffern die vollständig dem Sinus entsprechen, die übrigen, die links stehen, werden übrig sein, mit einer kleineren Zahl, die der Mittelwert der proportionalen Terme ist, multipliziert, und das gemacht, wird sie bewahrt. Was wenn es die Einheit übersteigt, keiner Multiplikation bedürfen wird. Ferner wird gelten: Wie der ganze Sinus zur gegebenen kleineren Zahl sich verhält, so die verbliebenen sieben Ziffern zur vierten Proportionalen: das heißt, die Bögen der kleineren jener Zahl, die die Mitte der Proportionalregel innehat, oder die zu den Dritten passen, werden in der Sinustabelle gesucht, und mit diesen gleichsam gegebenen Bögen wird gemäß der Ersten Regel fortgefahren. Zu dieser gefundenen vierten Zahl wird das vorher gespeicherte aus dem Mittelwert der Terme addiert, und jene vierte Zahl wird dargestellt sein worden sein, deren Bogen gemäß den trigonometrischen Gesetzen untersucht würde.

Dennoch lassen sich die unter diese Regel fallenden Terme mithilfe der vorhergehenden Regel leichter berechnen.

Beispiel.

In der vorliegenden Abbildung wird dargestellt die Rektaszension des Sterns im Schweif des Löwen 5 vom Wendekreis des Krebses 4 gezählt 82° 31′ 34″, der Himmelsäquator σ, ξ, und der Bogen αρ das Komplement der größten Schiefe der Ekliptik zur Zeit der Tag- und Nachtgleiche ist 60° 28′ 30″ ist der gleiche mit dem Meridianbogen, jedesmal wenn den Solistitiummeridianen gemäß der Bewegungen des Himmels den Süden erreicht: gesucht wird der Bogen der Ekliptik ω, der den Punkt ω darstellt, was weil der vorgeschlagene Stern durch den Meridian geht. Deshalb sind nach dem vorigen Axiom des Endes unserer Trigonometrie, gemäß der gewöhnlichen Rechnung, proportionale Terme.

ασ	90°		αρ	66° 28′ 30″		σξ	82° 31′ 34″
Sinus totus	10.000.000		Sinus	9.168.859		Tangens	76.225.962

Die vierte Proportionale ist der Tangens 69.890.510. Dessen Bogen ρω ist 81° 51′ 26″ weil von der Sonne ☉ gezählt 4ρ 21° 51′ 26″ ergibt 6 mit dem genannten Stern kulminiert.

Mit dem kürzeren Weg der Prosthaphaerese wird so vorgegangen.

Von dem dritten Term, der größer als der ganze Sinus ist, wird allerdings die 7 entfernt, es verbleibt 6-225.962, zu dieser Zahl gehört der Bogen des Sinus 38° 20′ 2″. Im mittleren Term aber 9.168.859, wird die 7 abgezogen sie machen das zu speichernde 64.182.013. Der mittlere Term ebenso, wie nämlich der Sinus, zeigt den Bogen 66° 28′ 30 ″.

größerer Bogen	66° 28′ 30″	Komplement	23° 31′ 30″
kleinerer Bogen	38° 30′ 2″		38° 30′ 2″

		Zusammen	62° 1′ 32″	Sinus	8.832.000
		Differenz	14° 58′ 32″	Sinus	2.584.959

				Summe	11.416.959
				die Hälfte	5.708.479

Zu dieser Zahl wird die vorher erhaltene 64.182.013 addiert sie bildet den Tangens 69.890.492 dessen Bogen 81° 51′ 26′ ist genau derselbe wie vorher.

Dieselbe Rechnung desselben Beispiels gemäß der vorangegangenen zweiten Regel.

Von dem Tangens 76.225.962 wird die letzte entfernt es verbleibt der gebildete Sinus 7.622.596, dessen Bogen 49° 39′ 50″. Der Bogen des Mittelwertes wird zu 66° 28′ 30″ erhalten.

größerer Bogen	66° 28′ 30″	Komplement	23° 31′ 30″
kleinerer Bogen	49° 39′ 50″		49° 39′ 50″

		Zusammen	73° 11′ 20″	Sinus	9.572.634
		Differenz	26° 6′ 20″	Sinus	4.405.486

				Zusammen	13.978.120
				die Hälfte	6.989.060

Dieser Zahl wird anstelle der letzten Ziffer, die vorher verworfen wurde, eine Ziffer addiert und bildet den Tangens 69.890.600, dessen Bogen ist 81° 51′ 26″;. Dasselbe wie vorher.

Und mit diesen Vorschriften ist gezeigt worden, dass die sorgfältige Prosthaphaerese vorteilhaft ist, wenn der ganze Sinus der erste der proportionalen Terme sein wird.

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Vierte Vorschrift.

Jedesmal, wenn vom ganzen Sinus ein mittlerer oder äußerer Platz der proportionalen Terme einnimmt, wird die erste Zahl größer als die zweite oder dritte, jedoch kleiner als der ganze Sinus gemacht. Wie der ganze Sinus zum Sekanten des Komplements jenes Bogens sich verhält, der der größeren Zahl in der Sinustabelle gleich wie der Sinus entspricht; so verhält sich die kleinere Zahl zum anderen: das heißt: zwei Bögen, die jener Sekanten in der Tabelle der Sekanten, aber einer kleineren Zahl in der Sinustabelle bestimmt wird; sie werden beiseitegelegt als gleichsam gegebene, und sie kämen weiter vor, wie in der ersten Vorschrift gesagt worden ist: dies beachtet, dass weil von der ersten Zahl eine Ziffer hinzugekommen ist, oder vielleicht mehrere, damit es einen Sekans ergibt, dem vierten Produkt würden ebenso viele Ziffern zugleich zugefügt werden.

Beispiel.

Es sind gegeben im rechtwinkligen sphärischen Dreieck γβα, der Schenkel des rechten Winkels αβ 28° 12′ und der diesem gegenüberliegende Winkel αγβ 36° 0′: aus denen nach der 4. Aufgabe der sphärischen Trigonometrie auch der verbliebene Schenkel γβ bekannt wird. Denn sie sind nach III. dessen Maßstab.

Die proportionalen Terme gemäß der gewöhnlichen Vorgehnsweise.

αγβ	36° 0′		αβγ	90°		αβ	23° 12′
Tangens	7.265.424		Sinus totus	10.000.000		Tangens	5.361.954

Der vierte Sinus 7.380.098: dessen Bogen 47° 33′ 44″ ist der Schenkel γβ

Der kürzere prosthaphaeretische Weg geht so.

Die Verschiebung der Terme geschieht so, dass an die erste Stelle der ganze Sinus gesetzt wird, zum andern wird der größere Tangens durch Addition einer Ziffer erweitert, so groß wie der Sekans, 72.654.240, drittens der kleinere Tangens, der in einen Sinus umgewandelt verstanden wird. Schon entspricht dem Sekanten 72.654.240 der Bogen 82° 5′ 30″ in der Tabelle der Sekanten. Dessen Komplement 7° 54′ 30″ wird genommen. Dem in einem Sinus umgewandelten Sinus 5.361.954, wird aus dem Verzeichnis der Sinus ein Bogen 32° 25′ 30″ gegeben. Nun haben wir zwei nach der ersten Regel angepasste Bögen.

Größerer Bogen	32° 25′ 30″	Komplement	57° 34′ 30″
kleinerer Bogen	7° 54′ 40″		7° 54′ 40″

		Zusammen	65° 29′ 10″	Sinus	9.098.607
		Differenz	49° 39′ 50″	Sinus	7.622.605

				Differenz	1.476.002
				Hälfte	738.002

Dieser Hälfte wird eine Ziffer am Ende angehängt, deswegen weil dem Tangens, der an erster Stelle steht, auch eine Ziffer angehängt worden ist, damit er der Sekans würde, es erzeugt den Sinus 7.380.010 dessen Bogen 47° 33′ 41″ der Schenkel γβ ist, derselbe wird vorher gefunden.

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Fünfte Vorschrift.

Immer wenn die erste Zahl kleiner ist als die zweite oder dritte, und wenn sie kleiner als der ganze Sinus ist, dann wird gemacht, wenn zum Beispiel die größere der Zahlen kleiner als der ganze Sinus wäre, wie der ganze Sinus zum komplementären Sekans dessen Bogens, der der Zahl des kleineren Sinus in der Sinustabelle entspricht: so wie die größere Zahl zu dem anderen: das ist: zwei Bögen werden entfernt, die bald jenem Sekans, bald die der größeren Zahl im Verzeichnis der Sinus entsprechen, damit die gegebenen und die übrigen nach den entstandenen Umständen gemäß jener, die vorher in der ersten oder zweiten Vorschrift dargelegt worden sind.

Wenn aber der erste Term kleiner wäre, aber größer als der ganze Sinus, würde von diesem kleineren mehrmals abgezogen, so lange bis die restliche Zahl kleiner als der ganze Sinus ist: oder der ganze Sinus wird abgezogen, so oft das gemacht werden kann: und es entstünde wiederum: wie der ganze Sinus zum komplementären Sekans jenes Bogens, der den kleineren Zahlen gleich wie dem Sinus entspricht, wie die größere restliche Zahl zum anderen, wie gesagt worden ist, und von der gefundenen vierten Zahl dem ganze Sinus vollkommen hinzugefügt wird, so oft die kleinere Zahl von der größeren abgezogen worden ist, so dass die ganze gesuchte vierte Zahl gebildet würde.

Wenn aber endlich ebenso der erste der Terme wie der letzte den ganzen Sinus übertroffen hätten, der Erste aber kleiner als der dritte, ist der Bogen des ersten Sekans gesucht (es sei denn es wäre der Sekans gewesen), und dessen Komplement. Dann wird die dritte Zahl vergrößert durch eine oder mehrere Ziffern am Ende, so lange bis der Sinus verbleibt, dessen Bogen gesucht wird., und mit den beiden gefundenen Bögen wird nach der ersten Regel fortgefahren. Von der gefundenen Zahl werden aber an der Stelle die vorher abgezogene eine oder mehrere Zahlen oder Ziffern angefügt, dass sie die rechtmäßige vierte Zahl ergäben.

Beispiel des ersten Falls.

Gegeben sind das rechtwinklige sphärische Dreieck αβγ, die Basis γα 84° 50′ und der Schenkel γβ 84° 22′, deshalb ist auch der Winkel βγα nach der XIV sphärischen Aufgabe gegeben. Denn nach IV deren Verfahren sind die Terme proportional.

γα	84° 30′	Komplement	50° 10′	γβα	90°	βα	84° 22′	Komplement	5° 38′
Tangens	904.204		Sinus tot.	10.000.000		Tangens	986.383

Der Vierte 10.908.855, Sekans dessen Bogen 23° 33′13″ ist der Winkel βγα.

Der kürzere prosthaphaeretische Weg geht so.

Der erste der Terme wird um zwei Ziffern erweitert und ergibt den Sekans 90-420.400, dessen Bogen ist 83° 39′ 1″, das Komplement 6° 22′ 59″ Die dritte Zahl 986.383 wie dem Sinus gehört zum Bogen 5° 39′ 39″.

größerer Bogen	6° 22′ 59″	Komplement	83° 22′ 55″
kleinerer Bogen	5° 39′ 39″		5° 39′ 39″

		Zusammen	89° 18′ 40″	Sinus	9.999.277
		Differenz	77° 59′ 22″	Sinus	9.781.093

				Differenz	218.184
				Hälfte	109.092

Welcher Zahl zwei Ziffern hinzugefügt werden, die auch dem ersten Term hinzukommen, sie bilden den Sekans 10.909.200, dessen Bogen 23° 33′ 28″ ist. Der Winkel βγα unterscheidet sich im Quadranten wenigstens um eine Minute vom vorher gefundenen.

Beispiel des zweiten Falls, in dem die erste Zahl kleiner ist als der ganze Sinus, die letzte aber größer als der ganze Sinus.

Gegeben sind im rechtwinkligen sphärischen Dreieck αβγ zwei Schenkel γβ 80° 38′ und αβ 61° 46′. Gesucht wird der Winkel αγβ durch die XVI sphärischen Aufgabe. Denn gemäß dessen Verfahren III. sind die Terme proportional.

βγ	80° 38′		αβγ	90°		αβ	61° 46′
Sinus	9.866.671		Sinus tot.	10.000.000		Tangens	18.623.894

Der Vierte 18.875.560 Tangens. Dessen Bogen 62° 1′ 10″ ist der Winkel βαγ.

Der kürzere prosthaphaeretische Weg geht so.

Der erste Term um eine Ziffer vergrößert ergibt den Sekans 98.666.719, dessen Bogen ist 84° 11′, das Komplement 5° 49&prime. Vom letzten wird der erste Term 9,866,671 einmal abgezogen, es verbleibt 8.757.223, dessen Rest den Bogen aus der Tabelle der Sinus 61° 7′ 50″ ist.

größerer Bogen	61° 7′ 50″	Komplement	28° 52′ 10″
kleinerer Bogen	5° 49′ 0″		5° 49′ 0″

		Zusammen	34° 41′ 10″	Sinus	5.690.802
		Differenz	23° 3′ 10″	Sinus	3.915.788

				Differenz	1.775.014
				Hälfte	887.507

Dieser Zahl wird der vollständige Sinus einmal addiert, weil was einmal die kleinere Zahl von der größeren abgezogen worden ist, ergibt 1.887.508, dem wiederum am Ende eine Ziffer angehängt wird, die ebenso dem ersten auch dem letzten, damit dieser Sekans entsteht, hinzukommt, es bildet den Tangens 18.875.070, dessen Bogen 65° 6′ 10″ ist der Winkel βαγ, derselbe wie vorher.

Beispiel des dritten Falles, in dem der erste Term kleiner ist als der dritte, beide aber größer als der ganze Sinus.

Im rechtwinkligen Dreieck αβγ sind gegeben die Basis αγ 30° 8′ 55″ und der Schenkel β&947; 111° 33′ 52″. Gesucht wird der Winkel βαγ durch die sphärische Aufgabe XV. Denn es sind nach der fünften deren Verfahren dessen Terme proportional.

αγ	30° 8′ 55″	αβγ	90°	βγ	11° 33′ 52″
Komplement	50° 51′ 5″			Komplement	78° 26′ 8″
Sekans	19.910.618	Sinus tot.	10.000.000	Sekans	49.882.776

Der Vierte 25.053.354 Sekans. Dessen Bogen 66° 28′ 30″, Komplement 23° 31′ 30″ ist der Winkel βαγ.

Die Berechnung mit der Prosthaphaerese ist so.

Der erste Term nämlich der Sekans hat einen Bogen von 59° 51′ 5″, das Komplement 30° 8′ 55″. Der letzte ist am Ende verkürzt 4.988.277: dessen Bogen aus der Liste der Sinus 29° 55′ 21″.

größerer Bogen	30° 8′ 55″	Komplement	59° 51′ 5″
kleinerer Bogen	29° 55′ 21″		29° 55′ 21″

		Zusammen	89° 46′ 26″	Sinus	9.999.921
		Differenz	29° 55′ 44″	Sinus	2.505.337

				Differenz	5.010.673
				Hälfte	2.505.337

Diesem wird die Ziffer vom letzten dem dritten weggenommenen angehängt, erweiter den Sekans 25.053.370. dessen Bogen ist 66° 28′ 30″, das Komplement 23° 31′ 30″ ist der Winkel βαγ, derselbe wie vorher.

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Sechste Vorschrift.

Die Quelle ist als PDF-Datei bei der Elektronischen Bibliothek Schweiz hinterlegt.

Übersetzung.
Verzeichnis der Worte mit Übersetzung.
	Auszug aus: Clavis Universi Trigonometrica: per quam Coeli ag Terræ adyta recludi. Georg Ludwig Frobenius Hamburg, 1634


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Clavis Universi Trigonometrica: per quam Coeli ag Terræ adyta recludi.

Georg Ludwig Frobenius

Hamburg, 1634

ISAGOGE PROSTHAPHÆRETICA

Compendium illud TRIGONOMETRICUM, quod Cl.mus LONGOMONTANUS, in Astronomia Danica TRIBUS Regulis succincte proposuit, aliquanto uberius dilatans, & omnium casuum, qui occurrere possunt varietates, per SEPTEM Regulas, singulisq; addita exempla, dilucide explanans.

PRIMA REGULA.

Vulgaris operatio. Ter. prop.

Per ϖροσϑαφαιρέσιν (prosthaphairesin) res ita habet: datiq; arcus conjunctim Quadrantem complent.

SECUNDA REGULA.

Exemplum. aliud in quo adhibentur Tangentes.

Compendium Prosthaphæreticum ita habet.

Exemplum tertium, in quo adhibetur Secans cum Tangente:

Per ϖροσϑαφαιρέσιν (prosthaphairesin) ita res procedit.

TERTIA REGULA.

Per Compendium Prosthaphæreticum ita proceditur.

Et per hasce Regulas compendiosa per ϖροσϑαφαιρέσιν (prosthaphairesin) πραγματεία (pragmateia) ostensa est, si Sinus totus Terminorum proportionalium primus fuerit.

QUARTA REGULA.

Compendium Prosthaphæreticum ita habet.

QUINTA REGULA.

Exemplum Secundi casus, in quo primus numerus minor est; Sinu toto, Ultimus vero Sinu toto major.

Compendium ϖροσϑαφαιρέσιως (prosthaphairesios) tale est.

Exemplum Tertij Casus, in quo primus terminus est minor tertio, Uterque vero Sinu toto major.

Calculus Prosthaphæreticus talis est.

SEXTA REGULA.

Exemplum primi Casus, in quo tertius Sinu toto minor est.

Compendium Prosthaphæreticum ita habet.

Exemplum Secundi casus, in quo Tertius, itidem cum primo, Sinu toto major est.

προσϑαφαιρέσις (prosthaphairesis) ita procedit.

Exemplum Tertij Casus.

Calculus Prosthaphæreticus ita perficitur.

SEPTIMA REGULA.

Exemplum ex classe Triangulorum planorum desumtum.

Prior ϖροσϑαφαιρέσις (prosthaphairesis) ita perficitur.

Jam altera ϖροσϑαφαιρέσισ (prosthaphairesis) ita peragitur.

Exemplum aliud ex Sphæricis petitum.

Compendium ϖροσϑαφαιρέσιντικὀν (prosthaphairetikon) ita habet.

Einführung in die Prosthaphaerese.

Erste Vorschrift.

Erste Vorsichtsmaßregel.

Beispiel.

Gewöhnliches Verfahren. Dritte Aufgabe.

Mit der Prosthaphaerese verhält es sich so: die gegebenen Winkel werden mit dem Komplementär-Quadraten verbunden.

Die andere Vorsichtsmaßregel.

Beispiel.

Gemäß dem gewöhnlichen Verfahren. Dritte Aufgabe.

Weil ja die gegebenen Bögen zusammen ein Viertel des kleineren Kreises sind ist der Vorteil der Prosthaphaerese so.

Die dritte Vorsichtsmaßregel.

Beispiel.

Weil ja die gegebenen Bögen zusammen größer als der Quadrant sind, ist die prosthaphaeretische Berechnung so.

Zweite Vorschrift.

Erste Vorsichtsmaßregel

Zweite Vorsichtsmaßregel

Erstes Beispiel, in dem der Versin angewandt wird.

Durch die Prosthaphaerese wird das so ausgefürt.

Das andere Beispiel, in dem die Tangens angewandt werden.

Der kürzere prosthaphaeretische Weg geht so.

Drittes Beispiel, in dem der Sekans mit dem Tangens angewandt werden.

In der Prosthaphaerese geht man so vor.

Dritte Vorschrift.

Beispiel.

Mit dem kürzeren Weg der Prosthaphaerese wird so vorgegangen.

Dieselbe Rechnung desselben Beispiels gemäß der vorangegangenen zweiten Regel.

Und mit diesen Vorschriften ist gezeigt worden, dass die sorgfältige Prosthaphaerese vorteilhaft ist, wenn der ganze Sinus der erste der proportionalen Terme sein wird.

Vierte Vorschrift.

Beispiel.

Die proportionalen Terme gemäß der gewöhnlichen Vorgehnsweise.

Der kürzere prosthaphaeretische Weg geht so.

Fünfte Vorschrift.

Beispiel des ersten Falls.

Der kürzere prosthaphaeretische Weg geht so.

Beispiel des zweiten Falls, in dem die erste Zahl kleiner ist als der ganze Sinus, die letzte aber größer als der ganze Sinus.

Der kürzere prosthaphaeretische Weg geht so.

Beispiel des dritten Falles, in dem der erste Term kleiner ist als der dritte, beide aber größer als der ganze Sinus.

Die Berechnung mit der Prosthaphaerese ist so.

Sechste Vorschrift.