Die Zahl π und die Sinustafeln

Heftige Diskussionen mit Besuchern dieser Site zu meiner Ableitung der Kepler-Gleichung zwangen mit zu meiner Verteidigung auf die Originalschriften zurückzugreifen, z. B. auf die Epitomes Astronomiae Copernicanae. Es stellte sich schnell heraus, dass die lateinische Sprache nicht die einzige Herausforderun ist: die geometrische und trigonometrische Argumentation ist schwer zu verstehen, weil die Bedeutung der Begriffe im Laufe der Zeit vergessen worden ist. So kamen über die Jahre De Conicis von Apollonius von Perga hinzu, und Georg Ludwig Frobenius′ Isagpge Prostaphaeretica, und das zugrunde liegende werk von Christian Longomontanus Astronomia Danica.

Die Suche nach π

Eine recht genaue Näherung der Zahl π wird Archimedes von Syrakus (287 - 212 v. Chr.) zugeschrieben. Er nutzte dem Kreis ein- bzw. umgeschriebene Polygone, denn deren Seitenlänge konnte er berechnen.

Das dem Kreis eingeschriebene Polygon

Im Beispiel ist ein zehnseitiges, regelmäßiges Polygon dem Kreis mit dem Radius r = 1 eingeschrieben, sodass die Ecken auf dem Kreisumfang liegen. Verbindet man dem Kreismittelpunkt M mit den beiden Ecken eier Seite des Polygons, so entsteht ein gleichschenkliges Dreieck ABM, mit den beiden Schenkeln MA = MB = r. Die Basis des Dreiecks ist die Polygonseite AB = s.

Zeichnet man nun die Winkelhalbierende BC des Winkels β bei B, so entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke ABC und BCM, die die Seite BC gemeinsam haben und einen gleichen Winkel (γ = ½·β). Die Dreiecke ABC und ABM sind ähnlich (sie haben eine gemeinsame Seitenlänge s und die den Basen gegenüberliegenden Winkel sind gleich, denn der Winkel γ = ½·β =  1 ⁄ 10 · 360° = 36°). Die Seiten haben die Längen AB = BC = AM = r. Damit ist AC = r - s.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und ABM folgt, dass die Verhältnisse entsprechender Seitenlängen gleich sind. Also: eine der gleichlangen Seiten im Dreieck AB = s bzw. BM = r zur jeweiligen Basis AC = r - s bzw. AB = s. Wie erhalten die Beziehung: r : s = s : (r - s). Diese Gleichung kann man nach s auflösen und erhält für r = 1 das Verhältnis von Kreisumfang zu seinem Durchmesser π = 3,09.

Das dem Kreis umschriebene Polygon

Um in diesem Falle die Länge der Polygonseite berechnen zu können, konstruiert man wieder Dreiecke. Diesmal steht der Radius r allerdings auf der Mitte einer Polygonseite senkrecht, d. h. die ist eine Tangente des Kreises. Die Tangente verlängert man und zieht eine weitere Speiche des Kreises bis zum Schnittpunkt B. Die Verbindungslinie des Mittelpunktes M mit einer Ecke C des Polygons halbiert den Winkel γ. Nun hat man zwei rechtwinklige Dreiecke DBM und DCM, die eine Kathete DM gemeinsam haben.

Nach dem 6. Buch Euclids, Satz 3, ist nun DC :BC = DM : BM. Leider hilft das nicht weiter. Wir kennen nur zwei Größen des Dreiecks: die Seite MD und den Winkel bei M — und zur eindeutigen Bestimmung eines Dreiecks braucht es drei. Gehen wir zu den Quellen: Archimedes hatte umfangreiche Messungen am Kreis und an Quadraten und Dreiecken vorgenommen. Er postuliert im Buch "Kreismessungen" einen Kreis, dessen Fläche etwas kleiner ist als die eines Dreieck mit dem Kreis­radius als der einen Kathete und dem Kreisum­fangs als der anderen. Dem Kreis umschreibt er ein Quadrat und verdop­pelt in einem Gedankenexperiment die Eckenzahl (also zum 8-, 16-, 32-, … bis zum 96-Eck) um einen Grenzwert für das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdruchmesser (π) zu finden. Archimedes behauptet nun (Satz 2 im Buch über Kreismessung), die Fläche des Kreises verhält sich zu der des umschriebenen Quadrats "sehr nahe wie 11 : 14".

Von Sehnen und Kreisbögen

Die von Hipparch (190-120 v. Chr.) wohl als erstem berechneten Sinustabellen stellen den Anfang der Trigonometrie dar. Bis in die Neuzeit wurde allerdings die Länge einer Kreissehne als "Sinus" bezeichnet, d. h. die Länge war nicht nur vom Winkel, sondern auch vom Kreisradius abhängig. Da die Ableitungen und die Nomenklatur auch von Johannes Kepler verwendet worden sind, sei sie hier dargestellt (nach Petrus Apianus: Introductio Geographica, Ingolstadt 1533.)

• ac est tota diameter circuli similiter linea bd.
• ac ist der ganze Durchmesser des Kreises und gleich der Linie bd.
• ae est semidiameter circuli.
• ae ist der Halbmesser des Kreises.
• abcd est periferia sive circumferentia circuli.
• abcd ist der Rand oder der Umfang des Kreises.
• fg est chorda arcus fb.
• fq ist die Sehne des Bogens fb.
• fv est sinus rectus primus arcus fb.
• fv ist der erste wahre Sinus des Bogens fb.
• fx est sinus rectus secundus ipsius arcus fb.
• fx ist der zweite wahre Sinus desselben Bogens fb.
• bv est sinus versus sive sagitta arcus fb.
• bv ist der Versin oder Pfeil des Bogens fb.
• hi est chorda arcus hfbgi.
• hi ist die Sehne des Bogens hfbgi
• ht est sinus arcus hb.
• ht ist der Sinus des Bogens hb.
• hy est sinus complementi vel sinus secundus arcus hb.
• hy ist der Sinus des Komplements oder zweiter Sinus des Bogens hb.
• bt est sinus versus vel sagitta arcus hb.
• bt ist der Versin oder Pfeil des Bogens hb.

Als "Sinus" wird die Halbsehne HT (Sehne oder Chord ist HI) des Kreisbogens HB bezeichnet, der durch den Winkel ∢HEB am Mittelpunkt E des Kreises aus dem Umfang geschnitten wird.

Die Sehnentabelle des Hipparch ist verloren; Gerald James Toomer hat in "Journes through Mathematics (2011)" versucht, die Argumentation nach zu voll­ziehen. Wenn CD = d der Durchmesser eines Kreises ist, dann hat die Sehne AC eines rechten Winkels ∢AMC = 90° die Länge S(90°) = ½ · d · √2 (mit dem Satz des Pythagoras). Die Sehne DE zu einem Winkel ∢DME = 60° hat die Länge S(60°) = ½ · d (DEM ist gleichseitig). Nun ist auch die Sehne CE über dem Komplementärwinkel ∢EMC = 180° - ∢DME: DE² + CE² = d² (Satz von Thales: ∢DEC = 90°).
Mit einer ähnlichen Argumentation findet man auch eine Formel für halbe Winkel.

Wenn die Länge der Sehne AC zum Winkel ∢AMC bekannt ist und BM den Winkel ∢AMC halbiert, so gilt nach dem Satz von Thales für die Sehne AB = BC: BC² = EC² + EB² (∢BEC = 90°!) und EC = ½ · AC (siehe Sätze über Kreis und Gerade). Und da EB = MB - ME = ½ · - ½ · AD (AD ist die Sehne des Kom­ple­men­tär­winkels ∢AMD zu ∢AMC). Mit diesem Formelsatz (und einiger Mühe) kann man eine Sehnentabelle mit einer Win­kel­schrittweite von 7½° berechnen. Mit der späteren Erkenntnis, dass die Sehne über dem halben Winkel halb so lang ist wie die über dem ganzen, konnte Aryabhata (476-550) die Tabelle auf eine Schrittweite von 3¾° erweitern.

Verbesserungen machte Ptolemäus mit der Anwendung des nach ihm benannten Lehrsatzes (Im Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Ptodukte der gegenüberliegenden Seiten.).

• AD · BC + AB ·CD = AC · BD
• Nun setzen wir die Sehnen mit den Kreisbögen gleich — wie die Griechen das auch taten, und Johannes Kepler ebenso. Also: Kreisbogen {AB} = Sehne AB = Winkel α, {AC} = AC = γ, {BD} = BD = (180° - α), {CD} = CD = (180° - γ), {AD} = AD = d, {BC} = BC = (γ - α).
  Eingesetzt in die Formel aus dem Satz des Ptolemäus ergibt
• d · (γ - α) + α · (180° - γ) = γ · (180° - α)

Die Gleichung enthält außer dem Kreisdurchmesser d nur noch die Kreisbögen (Winkel). Allerdings ist die Differenz γ - α nicht auflösbar. Wir brauchen also noch die Summe der Winkel γ + α. Das erreichen wir, wenn wir den Kreisdurchmesser d als eine der Diagonalen des Sehnenvierecks nehmen. Mit {AB} = AB = α, {AD} = AD = β, {BC} =BC = (180° - α), {CD} = CD = (180° - β), {BD} = BD = (α + β) und {AC} = AD = d ergibt der Satz des Ptolemäus:

• β · (180° - α) + α · (180° - β) = d · (α + β)

Nun konnte Ptolemäus auch den Bogen über einem Winkel von 36° als Seite eines dem Kreis eingeschriebenen Zehnecks be­rech­nen, und mit den oben erläuterten Gleichungen für halbe Win­kel auch die Bögen über 6°, 3°, 1½° und ¾°. Durch Inter­po­la­tion erhielt er auch den Bogen über 1°. Zur Erstellung der Sehnentafel teilte Ptolemäus den Durchmesser des Kreises in 120 Teile d = 120^p und konnte so die Länge der Sehne einer Bogenlänge zuordnen. Das sieht dann so aus (Auszug):

Im Rahmen der damaligen Meßgenauigkeit auf ½° war es so möglich, seine Welttheorie durch Beobachtung zu bestätigen. is auf einige Neuberechnungen nach anderen Methoden (z. B. durch Aryabhata) oder mit größerer Genauigkeit (längerer Radius ergibt mehr Stellen) haben sich die Sinustabellen nicht wesentlich weiterentwickelt. Die von Al Zarquali zusammengestellten Canones Sive Regulae Super Tabulas Toletanas waren die Grundlage der Astronomie bis in die Zeit von Johannes Regiomontanus.

Der veröffentlichte im Eigenverlag (vermutlich 1475 in Nürn­berg) die Tabulae Directionum et Profectionum (Auszug aus Tabula Sinus Recti: per gradus et singula minuta divisa) mit einem Kreisdurchmesser von 120.000 Teilen. Die Sinus-Tabllen hat Regiomontanus bis zu einem Radius von 10.000.000 berechnet (man bedenke den Rechenaufwand!). Aber mit diesen genauen Daten konnte er die Ephemeriden der Sterne so exakt voraus berechnen, dass die Tabellen den Entdeckern zur Navigation dienten. Christopher Columbus (1492 - 1504), Vasco da Gama (1497 - 1524), Amerigo Vespucci (1497 - 1504) und wohl auch vielen anderen.

Sein Werk De triangulis omnimodus libri quinque. (1464) war eine kritisch kommentierte Zusammenfassung der damals bekannten Trigonometrie. Es wurde sehr populär in Europa und begründete seinen Ruf als herausragender Mathematiker, ob­wohl die Behandlung der sphärischen Trigonometrie wohl auf der — auch schon kritisch-verbesserten — des Jabir ibn Aflah beruhte.

Johannes von Gmunden gibt in seinem Werk Tractatus de Sinibus, Chordis et Arcubus (1437) eine Zusammenfassung der Berechnungsmethoden auf der Basis Euclids und der Arbeiten des Al-Zarkali. Zuerst definiert er den Sinus rectus als die halbe Sehne des doppelten Bogens (abgekürzt crd) (sinus rectus α = ½ · crd 2 · α, d. i. HT), den Sinus versus (sin vers α = 1 - cos α, d. i. ST), den Sinus totus (= sin 90°, d. i. HG), und die Kardaga (= crd 15°, d. i. NP).

Durch Konstruktionen nach Euklid (Quadrat über einer Strecke, gleichflächiges Rechteck, u. s. W.) bestimmt er

• NP = sin 30° = ½ · CE = ½ · r.
• NQ = sin 60° = √(r² - NP²).
• HT = sin 45° = ½ · √(2 · r²).
• ½ · AM = sin 15° = √(OM² + OA²).

Nun argumentiert er Al-Zarkali folgend im roten Kreis mit dem eingeschriebenen Sechseck. Die Bögen über den Seiten des Sechsecks (z. B. BN) lassen sich leicht halbieren (z. B. CN) und so erhält man Bögen, die 15° entsprechen. Beginnend mit dem Punkt A:

• Sinus der 1. Kardaga: sin 15°
• Sinus der 2. Kardaga: sin 30° - sin 15°
• Sinus der 3. Kardaga: sin 45° - sin 30°
• Sinus der 4. Kardaga: sin 60° - sin 45°
• Sinus der 5. Kardaga: sin 75° - sin 60°
• Sinus der 6. Kardaga: sin 90° - sin 75°

und behauptet analog Al-Zarkali ohne Beweis:

• sin 15° = sin vers 90° - sin vers 75°
• sin 30° = sin vers 75° - sin vers 60° + sin vers 90° - sin vers 75°
• …
• sin vers 45° = 1 - cos 45° = sin 60° -sin 45° - sin 75° - sin 60° + sin 90° - sin 75°

Mit den Formeln sin² α = sin 30° sin vers 2 · α und sin² (90° - α) = 1 - sin² α berechnet Johannes von Gmunden nun die Sinusse der Vielfachen von sin 3° 45′ und erstellt Tabellen.

Als im Jahre 1515 das Amalgest des Ptolemäus in lateinischer Sprache gedruckt in Europa verbreitet wurde, und die Messungen Ungereimtheiten offenbarten, begann die "Renaissance der Astronomie" in Europa. Regiomontanus publizierte eine Zusammenfassung (Epitoma Johanis De Monte Regio in Amalgesti Ptolomei, undatiert) und Nicolaus Copernicus reformierte das Weltbild: die Planeten bewegen sich auf Kreisbahnen um die Sonne.

Inzwischen waren auch die astronomischen Meßgeräte weiter entwickelt worden, deren gesteigerte Meßgenauigkeit auch präzisere Sinustabellen verlangten und genauere Berechnungen ermöglichten. Tycho Brahe vermaß die Planetenbahnen so genau, dass erneut Widersprüche zwischen Theorie und Beobachtung auftraten. Die löste Johannes Kepler mit dem Postulat elliptischer Planetenbahnen um die Sonne. Seine "Ephemeriden" erlaubten so genaue Vorhersagen, dass die römische Kirche ihren Widerstand gegen das heliozentrische Weltbild aufgab.

Leider stieg mit den Ellipsenbahnen auch der Rechenaufwand. Zwar hatte im Jahre 1510 Johannes Werner die "Prosthaphaerese" erfunden (oder wiederentdeckt), die das Multiplizieren vielstelliger Zahlen auf die Addition von Sinuswerten aus den Sinustabellen reduzierte, aber das vermied eher Multiplikationsfehler als es schnell und bequem war. Die gesteigerte Genauigkeit der astronomischen Messungen verlangten höhere Genauigkeit der Rechnungen. Typisch wurden die Aufgaben im Poldreieck nach dem Seitensinussatz mit 7-stelligen Sinuswerten gerechnet.

Die Prosthapaerese

Mit diesen Sinustabellen konnte man einfach die Aufgaben im sphärischen Dreieck berechnen. Statt der umständlichen Multiplikation und Division von Sinuswerten gab es eine geniale Abkürzung: die Prosthaphairese.

Quelle: Astronomia Danica des Christian Longomontanus.

© Rainer Stumpe, URL: www.rainerstumpe.de/
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