Theoremata Geometrica ad solutionem Triangulorum facientia, vel ad extra considerantur, & ideo priora & generaliora vocantur: vel Canonum confectionem, qui analyses triangulorum numeris expediunt, ingrediuntur; & ideo magis specialia sunt, quippe ad Sinus Tangentes & secantes unice restricta. Haec autem, ad superiorum differentiam, Enunciata nobis appellantur.

Theoremata.

Sinuum Tangentium & Secantium Definitiones.

Super A centro describatur Circulus BC, & in uno ejus Quadrante toti Pragmatriae suffecturo, concipiatur punctum quodcunque D, ducaturque AD radius, & ad oppositos Circuli Diametros DE & DF. Quoniam igitur Sinus rectus anguli seu arcus alicujus definiri potest, Linea recta a termino arcus propositi, sub eundem perpendiculariter in radium descendens, erit DE Sinus rectus arcus concepti DC, seu anguli DAC. Item DF Sinus rectus complementi arcus DC, id est arcus DB, seu anguli DAB.

Porro quia Sinus versus anguli seu arcus alicujus recte dici potest, Portio Semidiametri a termino sinus recti, in ea , ad .peripheriam continuata: igitur sinus versus arcus DC erit linea EC. Item Sinus versus complementi arcus DC, seu arcus DB, est linea FB. Notandum autem, quod licet sinus versi; quos nunc descripsimus, apud Maginum & alios in usu sint; nos tamen illis posthabitis, rectos perpetuo usurpamus. Tantum de sinibus vel lineis intra Quadrantem Circuli: Sequitur de Tangentibus, quippe lineis extra Circulum, item Secantibus per Circulum ductis.

Ulterius, ab A centro Circuli, per terminum arcus propositi D, linea AD infinite educatur, & erigantur a terminis diametri perpendiculares lineae CG, & BH , incidentes in infinite eductam AH. Quoniam igitur Tangens peripheriae alicujus est linea recta extremo Diametri (quippe ad quam dicta peripheria pertingit) perpendicularis in radium per arcus dati terminum continuatum; erit CG Tangens arcus CD, seu anguli DAE; item BH Tangens arcus ipsius complementi, nempe BD, seu anguli BAD.

Denique Secans peripheriae, quia recta linea est per peripheriae datum terminum in Tangentem ejusdem ducta, erit AG Secans arcus propositi CD, seu anguli DAE: Sed & AH Secans complementi ejusdem est, seu arcus BD, vel anguli BAD.

Hactenus Sinuum Tangentium & Secantium definitiones fuere; sequuntur; quae ex illis in analysin trianguli propositi emanant.

Enunciata.

Doctrina Prosthaphaeretica.

Fundamentum Prosthaphrereseos est, ut radius seu sinus totus, nempe numerus 10000000, ( vel ad plures siphras extensus) primo loco inter data Regulae aureae proportionis constituatur.

Radius autem inter διδόμενα conceditur, ut in triangulis rectangulis; vel non conceditur, ut in caeteris unica instituta proportione contentis. Rursus modo radius datur, vel primo loco Regulae, uti requiritur, apparet; vel saltim aliquo sequentium, & ideo heic translatione indiget. Quare juxta hanc considerationem Doctrina. haec ordine proponitur, & ad tres Regulas generales restringitur.

Prima Regula Prosthaphaereseos.

Quando radius primum obtinet Regulae locum , & duo sequentes termini sunt Sinus recti; perficitur prosthaphaeresis pro inventione termini quasi hoc modo.

Demonstratio & exemplum casus prioris.

Praecedentis praecepti declaratio in praesenti Diagrammate & adjecto exemplo satis manifesta est. Sit major arcus datorum DE grad. 65, minor vero FG gra. 54, quorum ille angulus est BAC; hic latus BA trianguli rectanguli BCA, cujus mensura est arcus FG, seu saltim sinus rectus ejusdem; & angulus ad C rectus; propositum est hinc invenire latus BC, & arcum eidem correspondentem; quod facile contingit per Enunciat. 2. & 1.

Idem per prosthaphaeresin.

Apodixis haec est, ut FH subtensa arcus FH ex aggregato & differentia, cujus summa dupla est arcus dati minoris FG, est ad FN , summam ex aggregati & differentiae Sinibus: Sic dimidium FH, hoc est, FL vel BA ad dimidium FN, id est FR seu BC quaesitum, per Theorem. 7.

Demonstratio & Exemplum casus posterioris.

Sit data primum obliquitas Solis maxima grad. 23 minut. 32, quae in adjecto Diagrammate per arcum D G, seu angulum B AC repraesentatur. Sit quoque major arcus datus BF grad. 50, cujus sinus rectus est: T F seu AB. Igitur in Triangulo rectangulo ACB quaeritur hinc sinus B C, unde postea ejus arcus constat, nempe declinatio Solis congruens 20 gr. 2. Facile autem per7 Theor. BC habetur hoc modo:

Sed per prosthaphaeresin hoc modo:

Apodixis & hic ex ipso Diagrammate patet, ac notis numerorum transactioni adscriptis. Nam quum oporteat RM aequalem esse B C: Erit primum ut F H ad dimidium F B; sic F N ad dimidium ejus F R. Sublata vero MN de F M, remanet L M, cujus semissis est R M aequalis B C.

Porro quum sinus totus primum regulae locum obtinet, & unus sequentium terminorum, vel etiam ambo, non sunt sinus recti, sed tangentes vel alii quicunq; numeri, modo non fuerint radio majores; tunc illis qui non sunt Sinus recti adduntur ad finem siphrae sufficientes, ut Sinibus aequentur, & si e Tabula Sinuum hisce arcus congruentes quaerantur, ac si Sinus recti essent, ac tractentur juxta praescriptam regulam primam prosthaphaereseos; & rursus numero quarto quaesito provenienti tot Siphrae auferantur, quot prius erant adjectae.

Exemplum I.

Sit trianguli plani rectanguli A B C data; praeter angulum rectum ad C, ·etiam Basis B A 351 p. Item angulus ad A grad. 24 1 quaeritur ex hisce latus B C.

Regula juxta 2 Enunciatum ita stabit.

Sed prosthaphaeresis ita habet, juxta 2 Casum.

Exemplum 2, ubi neuter sequentium terminorum est sinus rectus.

Sit in adjecto Orthogonio AB C, latus C A datum 8 p. angulus .autem ad A gr. 36 mi. 53; Ergo per 4 Theor. erit angulus ad B grad. 5 3 minut. 7 dum triangulum propositum planum fuerit, Sed si absque hoc angulo ex datis quaeratur latus B C, invenitur illud per 4 Enunciat. posito enim C A radio, erit B C Tangens anguli dati ad A; Nam

Prosthaphaeresis autem in hoc exemplo ex praecedente admonitione talis est.

Haec transfiguntur juxta 1 casum regulae, hoc modo:

Remotis igitur a sine sex siphris, provenit latus B C 6 p. Postremo, quando sequentes termini, dati radio majores reperiuntur, aut alter duntaxat major erit, aut uterque. Si alter tantum radio major fuerit, dividatur ille per radium, retentis scilicet in eodem tot numeris,qui siphrls in radio gradibus pares fuerint; & quotiente servato, cum retentis pro sinu recto ponendis proceditur.

Facta autem prosthaphaeresi, multiplicatur datus minor numerus per Quotientem prius servatum; factus inde ad inventum semissem additur, & provenit quartus Quaesitus.

Exemplum

In apposito Triangulo rectangulo Sphaerico A B C , dantur praeter rectum angulum ad C, etiam angulus ad A grad. 30 cum latere opposito B C grad. 23 min. 30. Unde quaeritur latus A C , per 4 Enunciat. Nam

Per Prosthaphaeresin sic praxis expeditur.

Quando vero uterque sequentium terminorum datorum radio major fuerit; Dividatur uterque seorsim per radium servatis quotis ; &; abscissorum quaerantur e tabula Sinuum arcus, per quos prosthaphaeresis juxta praescripta perficitur, invento autem semissi adduntur facti, qui fiunt tum ex quoto tertii numeri in residuum secundum, tum ex quoto secundi in totum tertium , aut versa vice, si iubet. Aggregatum autem ex illis tribus dabit quartum Quaesitum.

Exemplum.

Sit in triangulo A B C, angulo recto ad C, data Basis AB gra. 60 , angulus autem ad A grad.30.

Idem per prosthaphaeresin ex praescriptis.

Additus factus ex quoto tertii, nempe unitate, in residuum secundi 0000000, qui ideo est 0000000, .seu nullus;& ex tertio toto, nempe 17320508, per 2, utputa quorum de secundo. Est igitur in hoc exemplo idem factus, scilicet 34641016 quartus Quaesitus ut prius.

Succedit etiam in hisce Calculus, si demantur a fine numeri qui majores sunt radio, donec ad Sinus rectos redigantur.

Item si Tangens vel Secans sicubi in proportionem incidens, se duobus siphris ultra radium Circuli extenderit, ut primus ad Sinistram pro quoto habeatur, & ultimus ad dextram rejiciatur, reliqui vero pro Sinu recto sumantur. Srd praxis in hisce non tam praecise quaesita dabit, nisi arcus pro secundis rectissime fuerint emendati, & ex Opere Palatino depromti. Quod etiamsi pragmatriae Superiori contingat: tamen adhuc in illa prosthaphaeresis certior erit, & a vero sensibiliter non differet.

His igitur exemplis quae reliquimus, omnes casus prosthaphaereseos includuntur, ubicunque radius primum regulae locum obtinuerit.Et certe quanquam interdum exiguum aut nullum Compendium prosthaphaeresis afferat, ut in postremis hujus regulae casibus; tamen jucundum est, & ad xxx utile, illam sic universalem efficere, ut factus ex duobus quibuslibet numeris ad multiplicandum propositis per solam additionem & Subductionem obtingat. Quae praxis admodum expedita est:, quam soli Sinus recti, ut in primis exemplis, suffecerint.

Secunda Regula Prosthaphaereseos.

Quando Radius seu Sinus totus in secundo aut tertio loco Regulae ponitur, translatio adhibenda est, ut ille primum locum occupet, siquidem omnis prosthaphreresis radium primo loco ponendum efflagitat., ut supra dictum est. Translatio autem duobus praeceptis, sed unica demonstratione, nititur.

Primum praeceptum Translationis.

Si primum regulae locum occupet quicunque numerus Sinu toto major, huic e tabula Secantium arcus quaeratur, huiusque complementum pro radio est, in primum locum transponendo, & stabit exemplum ad primam regulam Prosthaphaereseos.

Secundum Praeceptum.

Si numerus in primae regulae loco reperiatur, Radio seu Sinu toto minor, addatur huic siphrae una aut plures, donec e tabula Secantium arcus ei congruus extrahi possit; hujusque complementum similiter subit in locum Radii, eumque in primum locum Regulae transmutat, & stabit heic quoque exemplum ad primam regulam prosthaphaereseos. Qua peracta, apponantur ad quartum quaesitum tot siphrae, quot antea numero Sinu toto minori addebantur.

Demonstratio hujus regulae. dependet a sexto Enunciato. Diagrammate namque ejus loci heic repetito, quando ibidem ostensum fit, quod radius AD medium fuerit inter Secantem AG, arcus scilicet DC; & DF Sinum rectum complementi arcus ejusdem DC; ita ut quemadmodum AG ad AC, sic rursus AC seu AD ad DF. Igitur posito radio seu sinu toto AD pro Secante AG, erit ED Sinus rectus complementi arcus GC dati , per datum AG secantem, quem in primo loco regulae pro radio AD positum esse simulamus.

Exemplum Casus Prioris, ubi primus in regula numerus est major.

Sit triangulum sphaericum rectangulum ABC dati anguli ad A, gr. 30; & lateris oppositi BC grad. 25 min. 39 sec. 32. Quaeratur hinc per 6 Enunciat. Basis AB. Ideo proportio talis est:

Prosthaphaeresis sic habet.

Sec. 20.000.000 Respondet gr. 60 min. 0 ejus complem. gra 30 ponitur loco radii in primum locum promoti, & stat proportio, ut

Quia etiam tertius numerus superat Sinum totum, dividatur ille juxta praeceptum supra positum per radium, hoc modo: 23.094.008 S. R. abscissorum arcus est grad. 18 min. 2-, alter erat gr. 30.

Exemplum Casus Posterioris, quando numerus primo loco positus minor est radio.

Sint Trianguli Orthogonii Sphaerici ABC; duo latera circa rectum ad C data , nempe AC grad. 6o, BC grad. 30, unde quaeritur angulus ad A, per 4 Enunciatum, hoc modo:

Prosthaphaeresis ita habet.

Tertia Regula Prosthaphaereseos.

Quando radius seu sinus totus nullibi in regula proportionum reperitur, tunc duplex prosthaphaeresis adhibenda est.

Ratio est, quod primus cum secundo vel tertio reducitur ad alios duos terminos, quorum primus est sinus totus, atque ita demum exemplum ad primam regulam adaptatur.

Demonstratio in proportione numerorum seu quatuor regulae proport. terminorum satis evidenter offertur, ut sint termini regulae proportionis absq; unitate cum siphris hujusmodi : 8¹ . 12² . 9³ . (13½⁴ qui quotus ut se in eadem ratione habeat ad 10, ut 8 ad 12 (nam 9 & 13½ cum illis in eadem ratione sunt, nempe 1½, seu sub sequi altera) 10 vel radius interseritur, & regula ita formatur.

Iterata itaque prosthaphaeresi quartus numerus inventus, cum eo, qui in priore radio cessit, juxta primam regulam transigendus est, & sic omnis varietas quae incidere potest, secundum eandem primam regulam judicabitur:

Exemplum.

Sit Triangulum planum scalenum datorum duorum angulorum: ad A gr. 20, ad B gr. 60, cum latere, BC 125 p. :Et quaeritur latus C A. Igitur per 2-Enunc. erit.

Per Prosthaphaeresin. I.

Sec. 34.202.010 respond. arcus grad. 73 min. 0 & compl. hujus gr. 17 m. 0 minor arcus. Major arcus grad 60 min. 0. Ergo

Deinde,

Atqui in his tribus regulis Prosthaphreresis nostra usitata consistit; quippe quae ad quartum terminum in regula proportionis ubique inquirendum subsidium magnum, in magnis praesertim numeris, affert, ubi creteroquin multiplicatio & divisio molestae forent. In collatione autem numerorum per exempla data, illud unicum discrepantiolam peperit, quod Sinus tangentes & secantes, atque arcus hinc provenientes, pro secundis minutiis sicubi adhaerentibus emendare fere supersederim, paradigmatis per prosthaphaeresin tantum relinquendis contentus. Proinde ἀκριβέιαν qui urget canonem operis Palatini accedat, aut ex aliis sinus accurate pro secundis corrigat, & sic collationis veritatem praecisius experietur.

Tantum de analysi Triangulorum in genere per solam prosthaphaeresin, quae e superioribus commodissime adhiberi posse intelligitur, quando radius seu sinus totus primo loco in regula haberi poterit, & reliqui termini dati quoque sinus recti fuerint: sequitur nunc solutio Triangulorum in specie propositorum:

Haec διδόμενα & ζητώμενα speciatim in singulis triangulis respicit. Et quoniam e consectario Definitionis trianguli intelligitur sex in eo considerari. Itim initio membri hujus secundi, tria ad quodvis triangulum solvendum data requiri, ut reliqua tria latentia in lucem proferantur; recte per διδόμενων varietatem in speciebus triangulorum planorum & Sphaericorum analysi proceditur,

Deinde quoniam triangula rectangula magnum per se usum habent: & interdum reliquis solvendis opportune inserviunt; Proinde ipsorum analyses tam in planis, quam m sphaericis merito praecedent. Hisce consideratis, Dogmata sequentia pragmatriae solutionis triangulorum in utraque specie discentibus maxime accommodata dabimus.

Allgemeine Lehrsätze.

die zur Berechnung der Dreiecke dienen.

Die geometrischen Lehrsätze sind zur Lösung der Dreiecke aufgestellt, entweder werden sie äußerlich betrachtet und deswegen erste und allgemeinere genannt, oder zur Vollendung in Verzeichnisse eingehen, die die Untersuchungen der Dreiecke durch Zahlen darlegen; und deshalb sehr besonders sind, da sie ja einzig auf Sinus, Tangens und Sekans beschränkt sind. Diese aber, zum Unterschied der höheren, werden unsere Sätze genannt.

zurück zum Originaltext

Die Lehrsätze.

Eine gerade oder kreisförmige Linie, die auf eine gleichartige trifft, erzeugt zwei gleiche Winkel zwischen den beiden Geraden.
Also zu einer gegebenen jener, ist das Komplement zum Halbkreis der anderen gegeben oder zu 180°.
Die Winkel an der Spitze sind gleich; deshalb sind durch einen gegebenen der vier Winkel, die am Schnittpunkt zweier gleichartiger Linien gebildet werden, die drei übrigen gegeben, der erste an sich: denn sie sind Komplemente des gegebenen zum Maß des ganzen Kreises, ferner insbesondere durch den vorausgeschickten Satz.
Jedes vorgeschlagene Dreieck kann in zwei rechtwinklige zerlegt werden, durch das Lot von einem Winkel auf die gegenüberliegende Seite; passend nämlich, dass der rechte Winkel dem gegebenen gegenüber läge.
In jedem ebenen Dreieck sind drei Winkel gleich zwei rechter Winkel, oder 180°. Deshalb sind in einem geradlinigen Dreieck zwei Winkel gegeben, ist der dritte das Komplement zu den beiden rechten oder 180°.
In einem sphärischen Dreieck sind drei Winkel größer als zwei rechte. Wo anzumerken ist, was auch über irgendein sphärisches Dreieck geometrisch und genau wahr gewesen wäre: denn in einem ziemlich schmalen sphärischen Dreieck, wo keine der Seiten ein Grad überstiege, kaum oder nie, würde zwar ein so großer Überschuss der drei Winkel über die beiden rechten gefunden werden, und deshalb unterscheidet sich die Lösung irgendeines sphärischen Dreiecks von der Berechnung eines ebenen nicht.
Eine gerade Linie, die Parallelen schneidet, erzeugt daher hier gleiche Winkel.
Wenn innerhalb eines geradlinigen Dreiecks eine Parallele zu einer Seite gezogen wird, schneidet sie die übrigen Seiten proportional. Denn so entstehen auf beiden Seiten gleichwinklige Dreiecke, und deshalb haben sie proportionale Seiten.
Weil jede Berechnung für Winkel durch gerade Linien gemacht wird, wird in der Untersuchung der ebenen Dreiecke offenbar; bei sphärischen aber zugleich durch Winkel und Bögen oder Seiten, wird deren Sinus, d. i. im Halbkreis der Sehnen, oder Tangenten oder auch Sekanten, ersetzt. Aber welche diese Linien gewesen wären, und auf welche Weise sie der Untersuchungsmethode angepasst werden müssen, wird jetzt kurz dargestellt.

zurück zum Originaltext

Die Definitionen von Sinus, Tangens und Sekans.

Um den Mittelpunkt A wird ein Kreis BC gezeichnet, es ist ausreichend, zu Vereinfachung in einem dessen Quadranten, wird irgendein Punkt D genommen, und der Radius AD gezogen, und zu den gegenüberliegenden Durchmessern des Kreises DE und DF. Weil demnach der Sinus des Bogens oder irgendeines Bogens bestimmt werden kann, wird eine gerade Linie vom Endpunkt eines ausgewählten Bogens, senkrecht auf denselben auf dem Radius gefällt, DE wird der Sinus des gewählten Bogens DC sein, oder des Winkels DAC. Ebenso ist DF der Sinus des komplementären Bogens DC, d. i. des Bogens DB, oder des Winkels DAB.

Weil ferner der Versin irgendeines Winkels oder Bogens recht genannt werden kann, ist der Abschnitt des Halbmessers vom Ende des Sinus auf jener zur Kreislinie fortgeführten: also wird der Versin des Bogens DC die Strecke EC sein. Ebenso der Versin des zu DC komplementären Bogens, oder der Bogen DB, ist die Linie FB. Es ist aber anzumerken, was obgleich die Versine, welche wir jetzt beschrieben haben, sind bei Magini und anderen im Gebrauch; wir stellen jene hintan, und verwenden jedoch den echten Sinus. So viel zum Sinus oder den Linien innerhalb des Quadranten des Kreises: es folgt zu den Tangenten, nämlich den Linien außerhalb des Kreises, ebenso zu den durch den Kreis hindurch gezogenen Linien, den Sekanten.

Weiterhin, die Linie AD aus dem Mittelpunkt des Kreises A durch den Endpunkt D des gewählten Bogens wird unendlich herausgezogen, und eine senkrechte Linie CG vom Schnittpunkt des Durchmessers errichtet, und die Linie BH, die die ins Unendliche verlängerte Linie AH schneiden. Weil demnach der Tangens irgendeines Durchmessers eine gerade Linie außerhalb der Kreisbahn ist (er berührt nämlich die genannte Kreislinie) die senkrecht auf dem fortgeführten Radius durch den Endpunkt des gegebenen Bogens ist; CG wird der Tangens des Bogens CD sein, oder des Winkels DAE; ebenso ist BH der Tangens des komplementären Bogens selbst, nämlich BD oder des Winkels BAD.

Schließlich ist der Secans periphär, weil er eine gerade Linie ist vom gegebenen Endpunkt der Kreisbahn zum Tangens desselben gezogen, es wird AG der Sakans des gewählten Bogens CD sein, oder des Winkels DAE. Aber auch AH ist der Sekans dessen Komplements, oder des Bogens BD, oder des Winkels BAD.

Insoweit sind die Definitionen des Sinus, Tangens und Sekans gemacht worden; und es folgen welche sich aus diesen bei der Berechnung des gewählten Dreiecks ergeben.

zurück zum Originaltext

Die Sätze.

Zu dem Sinus, Tangens oder auch Sekans irgendeines Winkels, wird im Verzeichnis desselben Winkels der Sinus, Tangens und Sekans des Komplements zu 90° gegeben; wie dem gegebenen Sinus DE der Bogen CD, ist der Bogen CD selbst gegeben, und deshalb dessen Komplement DB, und folglich der Sinus dessen DF. Ebenso gelingt es, die Tangenten und Sekanten aus der Liste zu verschaffenden, wenn sie zum Gebrauch verlangt werden, wem auch die Verbesserung durch Sekunden und Minuten empfohlen werden wird, wenn mindestens zur Hauptrolle oder deren Teile, sich die Zahlen erweitern.
Jeder Sinuswert des Winkels steht im Verhältnis der Seite von dem derselben Winkel aufgespreizt wird; und umgekehrt.
Deshalb durch Umwandlung der Terme nach der Regel der Proportionalität, dass der Sinus eines einzigen gegebenen Winkels zum anderen Sinus wird; so eine gegebene Seite zur anderen gesuchten Seite derer, die von deren Winkel des Dreiecks aufgespreizt werden.
Aber dieser Satz, dessen Gebrauch sehr häufig ist, wird mit der 7. Theorie so bewiesen.
Es sei ABC irgendein Dreieck, und die Seite AB wird bis E gezogen, sodass AE gleich lang ist wie BC. Weiterhin AE und BC so gleich gemacht, und von deren aufgestellten Radien wird der Bogen EH beschrieben, der das Maß ist des Winkels bei A, dessen Sehne ist EF, und der Bogen BG, der das Maß für den Winkel bei C ist, dessen Sehne ist BD. Deshalb ist im rechtwinkligen Dreieck AEF, weil BD parallel ist zur Basis EF, wird die Seite AB das Gegenüberliegende zum Winkel bei C, zur Sehne BD sein desselben Winkels. So die Seite AE, das ist, nach der Hypothese, BC, das dem Winkel bei A gegenüberliegt, zur Sehne desselben Winkels, nämlich EF, was zu beweisen war.
Wenn der gegebene Winkel ein stumpfer gewesen wäre, ist mit dessen Komplement zum Halbkreis, das ist, 180°, zu arbeiten.
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist eine der Seiten am rechten Winkel auf dem Radius gelegen, oder dem ganzen Sinus, es wird der andere rechte am Tangens des Winkels sich gegenüber sein, wie in der hier vorletzten Abbildung zurückgerufen. Denn durch die gelegte Seite des Dreiecks im Viereck AED mit dem Radius AE, wird DE der Tangens des Winkels DAE sein. Ober DE auf den Radius gelegt, wird AE der Tangens des Winkels ADE nach dessen 7. Lehrsatz sein.
Mit demselben Schluss ist der Radius AC die mittlere Proportionale zwischen dem Tangens GC des Bogens DC und dessen komplementären Tangens BH. Denn wie CG zu AC, so verhält sich AB zu BH.
Der Radius ist die mittlere Proportionale zwischen dem Sekanten des Winkels und dem wahren Sinus desselben Winkels, wie in derselben Abbildung. Denn wie sich der Sekans des Winkels an A zu dem Radius AC verhält, so wie andererseits der Radius AD zum wahren Sinus DE desselben Winkels bei A.
Deshalb gilt im rechtwinkligen sphärischen Dreieck, wie sich der Radius AD zum Sinus des Winkels DAE verhält, nämlich DE, so verhält sich der Sekans AG des übrigen Winkels ADE, oder FAD, zum Sekans der Seite AE, d. ist, der gegenüberliegenden Seite zum übrigen Winkel bei D.

Da nun durch diese wenigen Sätze, gleichsam einige Richtungsweisende der Berechnung, wird die Berechnung in der Regel ausgeführt, also solange wir uns der Sammlung widmen, werden die anderen Verhältnisse, die aus den Sinus, Tangens und Sekanten untereinander an vielen Stellen auftreten immer gefunden werden können, es wird darüber hinwegzusetzen sein.

zurück zum Originaltext

Die Lehre von der Prosthaphaerese.

Die überall passenden darzustellenden goldenen Regeln.

Die Grundlage der Prosthaphaerese ist, dass der Radius oder ganze Sinus, nämlich die Zahl 10.000.000 (oder um mehrere Ziffern ausgedehnt) an die erste Stelle unter den Gegebenen des Verhältnisses der goldenen Regel aufgestellt werde.

Der Radius aber wird unter den gegeben erlaubt, wie in den rechtwinkligen Dreiecken; oder nicht erlaubt, wie bei den übrigen die eine einzige aufgestellte Proportion erfordern. Wird andererseits nur der Radius gegeben, entweder an erster Stelle der Regel, ist offenkundig die Benutzung erforderlich; oder mindestens die irgendwohin nachfolgenden, verlangt es deshalb jetzt durch Umwandlung. Deshalb neben dieser Erwägung wird die Lehre in folgender Reihenfolge vorgestellt, und auf drei allgemeine Regeln beschränkt.

zurück zum Originaltext

Die erste Regel der Prosthaphaerese.

Wenn der Radius den ersten Platz der Regel erhält, und zwei folgende Terme echte Sinus sind, wird die Prosthaphaerese zum Finden der Terme nach diesem Verfahren ausgeführt.

Der kleinere Bogen der übrigen gegebenen. Und das Komplement des größeren werden zueinander addiert und abgezogen, und die Summen ebenso wie die Differenzen der Bögen werden als Sinus gesucht.
Wenn der kleinere Bogen größer wäre als das Komplement des größeren, oder gleich, wird die Hälfte der zusammengeführten Sinus der gesuchte vierte Term. Also werden sie für den gefundenen Sinus addiert, u.s.w.
Wenn aber der kleinere Bogen kleiner sein wird als das Komplement des größeren, wird die Hälfte der Differenz der gesuchte vierte Term sein. Also für den gefundenen Sinus werden sie voneinander abgezogen, u.s.w.

zurück zum Originaltext

Darstellung und Beispiel des ersten Falls.

Die Erklärung der vorhergehenden Vorschrift ist im hilfreichen Diagramm und nebenstehenden Beispiel ausreichend deutlich dargestellt. Es sei der größere der gegebenen Bögen DE, 65°, der kleinere aber FG, 54°, deren Winkel ist jener BAC; jetzt ist die Seite BA des rechtwinkligen Dreieck BCA, dessen Maß ist der Bogen FG, oder jedenfalls dessen echter Sinus; und der Winkel bei C ist ein rechter; die Aufgabe deshalb die Seite BC zu finden, und den zugehörigen Bogen; was leicht mit den Sätzen 1 und 2.

Sinus tot.	BA oder FG	BAC oder ED	BC
Denn wie 90	zu 54°	so 65°	zu 47° 9½′
10.000.000	Sinus 8.090.170	Sinus 9.063.078	Sinus 7.332.184

Dasselbe durch Prosthaphaerese.

GF	54°	kleiner Bogen
GK	25°	Komplem. des großen Bogens
FK	79°	zusammen		9.816.272	FM
			als Sinus
KH	29°	zusammen		4.848.096	HZ oder MN

			Summe Sinus	14.664.368	FN
			Hälfte	7.332.184	FR oder BC, gesucht

Der Beweis ist folgender, wie die Kreissehne FH des Bogens FH aus dem Sinus der Summe und Differenz, dessen Summe das Doppelte ist des gegebenen kleineren Bogens FG, sich verhält zu FN, der Summe aus der Addition und der Differenz der Sinus; so die Hälfte von FH, das ist, FL oder BA zur Hälfte von FN, das ist FR oder das gesuchte BC nach dem 7. Lehrsatz.

Darstellung und Beispiel des zweiten Falls.

Es seien gegeben zuerst die größte Schiefe der Sonnenbahn 23° 32′, die in der nebenstehenden Abbildung durch den Bogen DG, oder den Winkel BAC dargestellt wird. Es sei auch der größre Bogen BF, 50°, gegeben, dessen wahrer Sinus TF oder AB ist. Deshalb wird im rechtwinkligen Dreieck ACB dann der Sinus BC gesucht, weshalb dann dessen Bogen feststeht, die Deklination der Sonne nämlich entspricht 20° 2. Es wird BC aber leicht nach dem 7. Theorem erhalten.

AG	GV oder GAD	EF	BC
wie Sinus tot.	zu 23° 32′	so 50°	zu 17° 48′ 36″
10.000.000	Sinus 3.992.826	Sinus 7.660.445	Sinus 3.058.683

Aber durch Prosthaphaerese auf diese Weise.

FG	Kompl. größerer Bogen	40°
GD	kleinerer Bogen	23° 32′
FD	Summe der Bögen	63° 32′	Sinus	8.951.939	FM
DH	Differenz der Bögen	16° 28′	Sinus	2.834.574	HZ	oder MN

			Differenz	6.117.165	LM
			Hälfte	3.058.682	RM	oder BC

Der Beweis ist auch hier aus dem Diagramm offensichtlich, und zwar aus dem Vergleich der bekannten Glieder der Zahlen. Denn weil RM gleich BC sein muß: Wird erstens wie FH zur Hälfte FB, so FN zur Hälfte dessen FR. Aber MN abgezogen von FM bleibt LM, dessen Hälfte ist RM gleich BC.

Ferner weil der ganze Sinus nach der Regel die erste Stelle erhält, und einer der folgenden Terme, oder auch beide, sind sie keine rechten Sinus, sondern Tangens oder andere irgendwelche Zahlen, nur sind sie nicht größer als der Radius; dann werden zu den anderen die keine echten Sinus sind hinreichend Ziffern ans Ende addiert, damit sie den Sinus gleichgemacht werden, und wenn aus der Tabelle der Sinus diese übereinstimmenden Bögen gesucht, und wenn sie echte Sinus wären, und sie werden gemäß der vorher beschriebenen ersten Regel der Prosthaphaerese behandelt; und wiederum von der gesuchten vierten Zahl so viele entstandenen Ziffern weggenommen, wie vorher angehägt worden waren.

zurück zum Originaltext

Beispiel 1.

Gegeben sei ein ebenes rechtwinkliges Dreieck ABC, weiterhin der rechte Winkel bei C, auch die Basis BA 351 p. Ebenso der Winkel bei A 24°: gesucht wird aus den Angaben die Seite BC.

Die Regel gemäß dem 2. Satz erscheint so.

C	BA	CAB	BC
wie 90	zu	so 24°	zu 143 in der Regel
Sinus tot. 10.000.000	351 p.	Sinus 4.067.366

Aber die Prosthaphaerese geht gemäß dem 2. Fall so.

Komplement des gegebenen Winkels		66° 0′
BA 3.510.000 als Sinus	bzw. der Bogen	20° 33′

	zusammen	86° 33′	Sinus	9.981.877
	Differenz	41° 27′	Sinus	7.126.385
	Diff. der Sinus		Sinus	2.855.492
	Hälfte			1.427.746
Also werden die letzten vier Ziffern entfernt, ergibt die gesuchte Seite BC ist 143 p.

Beispiel 2, wobei keiner der nachfolgenden Terme ein Sinus ist.

Es sei im nebenstehenden rechtwinkligen Dreieck ABC die Seite CA mit 8 p. gegeben, aber der Winkel bei A mit 36° 53′. Also wird nach derm 4. Theorem der Winkel bei B 53° 7′ sein, wenn das gewählte Dreieck eben gewesen ist. Aber wenn ohne diesen Winkel aus den Angaben die Seite BC gesucht wird, wird sie mit dem 4. Satz gefunden, denn CA als Radius gesetzt, wird BC der Tangens des gegebenen Winkels bei A gefunden; denn

C	BAC	CA	BC
wie 90	zu 36° 53′	so 8 p.	zu 6 p.
Sinus tot. 10.000.000	Tangens 7.503.663

In diesem Beispiel aber ist die Prosthaphaerese nach der vorangegangenen Warnung so beschaffen.

CA 8.000.000	Sinus dessen Bogen	53° 7′ +
CAB Tangens 7.503.663	gleich wie Sinus des Bogen	48° 38′ -

Dies wird umgeformt auf diese Weise gemäß dem 1. Fall der Regel:

48° 38′	kleinerer Bogen
36° 53′	Komplem. des größeren

85° 31′	zusammen	Sinus	9.9969.402

11° 45′	Differenz	Sinus	2.036.418
		Summe der Sinus	12.005.819
		Hälfte	6.002.909	das gesuchte

Werden deshalb sechs Ziffern vom Sinus gestrichen, entsteht die Seite BC zu 6 p. Schließlich, weil die folgenden Terme, größer als der Radius gefunden werden, entweder nur der eine größer wäre, oder beide. Wenn nur die eine größer als der Radius gewesen wäre, wird diese durch den Radius geteilt, den erhaltenen Zahlen allerdings in derselben so viele, wie Ziffern im Radius gleicher Grade gewesen sind und durch den bewahrten Quotienten, mit den erhaltenen als rechter Sinus gesetzt wird vorgegangen.

Aber die Prosthaphaerese ausgeführt, wird die kleinere gegebene Zahl mit dem vorher gemerkten Quotienten multipliziert; dieses Ergebnis wird zur gefundenen Hälfte addiert, und ergibt den gesuchten vierten Term.

Beispiel.

Im nebenstehenden sphärischen rechtwinkligen Dreieck ABC sind außer dem rechten Winkel bei C, auch der Winkel bei A zu 30° mit der gegenüberliegenden Seite BC zu 23° 30′ gegeben. Deshalb wird die Seite AC nach dem 4. Satz gesucht. Denn

C rechter Winkel	Kompl. des Tangens BAC	Tangens BC	Sinus CA
wie 90°	zu 60°	so 23° 30′	zum nächsten 48° 51½
Sinus tot, 10.000.000	Tangens 17.320.508	Tangens 4.348.124	Sinus 7.531.081

Durch Prosthaphaerese wird die Aufgabe so erledigt.

Tangens	17.320.508	Sinus	entsp. Bogen	47° 4′
Tangens	4.348.124	Sinus	entsp. Bogen 25° 46′
		Kompl. größerer Bogen	42° 56′
		kleinerer Bogen	25° 46′

		zusammen	68° 42′	Sinus	9.316.913
		Differenz	17° 10′	Sinus	2.951.523 subt.

				Differenz	6.365.390
				Hälfte	3.182.695
		Kleinerer multipl. mit dem Quotienten nämlich 1.			4.348.124

			gesuchter Sinus		7.530.819 fast wie vorher

Jedes Mal wenn jeder der beiden folgenden gegebenen Terme größer als der Radius gewesen wäre, wird jeder der beiden für durch den Radius dividiert und man merkt sich die Quotienten; und die abgeschnittenen Bögen werden aus der Tabelle der Sinus gesucht, durch welche die Prosthaphaerese gemäß der Vorschrift ausgeführt wird, aber der gefundenen Hälfte werden die erzeugten addiert, welche bald aus dem Quotienten der dritten Zahl im Rest der zweiten gemacht werden, bald aus dem Quotienten des zweiten im ganzen dritten, oder umgekehrt, wenn er es verlangt. Die Zusammenfassung jener drei wird den gesuchten vierten Term ergeben.

Beispiel.

Es sei im rechtwinkligen Dreieck ABC, der rechte Winkel bei C, und die Basis AB zu 60° gegeben, der Winkel bei A aber zu 30&fdeg;.

Aus diesen wird der restlich Winkel bei B gesucht. Also nach den Sätzen 5 und 6 ist.

C	BA	Komplem. A	B
wie 90	zu 60°	so 60	zu 73° 54′
Sinus tot. 10.000.000	Sekans 20.000.000	Tangens 17,320.508	34.614.016

Das gleiche durch Prosthaphaerese aus den vorgenannten.

20.000.000	Sinus	zugehöriger Bogen	0° 0′
17.320.507	Sinus	zugehöriger Bogen	47° 4′
		dessen Komplem.	42° 56′
		kleinerer Bogen	0° 0′

	Zusamm. der Bögen		42° 56′	Sinus	6.811.470
	Differ. der Bögen		42° 56′	Sinus	6.811.470	subtrah.
			Differenz der Sinus		0.000.000
				Hälfte	0.000.000

Die Addition vom dritten Quotienten, nämlich die Einheit, zum Rest des zweiten 0.000.000, die ebenfalls 0.000.000 ist, oder Null; aus dem ganzen dritten, nämlich 17.320.508, nach 2. nämlich welcher zum zweiten. Es ist daher in diesem Beispiel ebenso gemacht, offenbar 34.641.016, der gesuchte vierte Term wie vorher.

Es gelingt auch in der vorliegenden Rechnung, wenn vom Ende die Zahlen, die größer sind als der Radius, solange sie zum wahren Sinus zurückgebracht werden.

Ebenso wenn der Tangens oder Sekans irgendwo im Verhältnis zusammenfallen, sich um 2 Ziffern über den Radius des Kreises erstrecken, dass zuerst für die linke Seite des Quotienten gehalten würden, der letzte zur rechten verschoben würde, die übrigen aber für den wahren Sinus genommen würden. Aber das Verfahren wird in diesen Fragen nicht so sehr abgekürzte geben, außer die Bögen wären auf die Sekunden genau fehlerfrei, und aus dem Pfälzischen Werk entnommen. Was wenn auch mit höchster Sachkunde gelänge: dennoch wird es weiterhin in jener Prosthaphaerese sicherer sein und vom Wahren nicht wahrnehmbar abweichen.

Somit in diesen Beispielen welche wir hinterlassen haben, sind alle Fälle der Prosthaphaerese eingeschlossen, bei denen der Radius den ersten Platz innegehabt hätte. Und sicherlich jedoch manchmal einen geringem oder keinen Vorteil der Prosthaphaerese hinzufügt, wie in den letzten dieser Fälle der Regel, dennoch beliebt ist und zur Untersuchung brauchbar, jene allgemeine so zu beweisen, dass aus zwei beliebigen Zahlen, die zur Multiplikation gewählt wurden, nur durch Addition und Subtraktion erhält. Welches Verfahren ist in hohem Grade entwickelt worden, weil einzig die wahren Sinus genügt hätten, wie in den ersten Beispielen.

zurück zum Originaltext


	© Rainer Stumpe, URL: www.rainerstumpe.de/ Datenschutzerklärung

Auszug aus Astronomia Danica

Theoremata Generalia.

Theoremata.

Sinuum Tangentium & Secantium Definitiones.

Enunciata.

Doctrina Prosthaphaeretica.

Prima Regula Prosthaphaereseos.

Demonstratio & exemplum casus prioris.

Idem per prosthaphaeresin.

Demonstratio & Exemplum casus posterioris.

Sed per prosthaphaeresin hoc modo:

Exemplum I.

Regula juxta 2 Enunciatum ita stabit.

Sed prosthaphaeresis ita habet, juxta 2 Casum.

Exemplum 2, ubi neuter sequentium terminorum est sinus rectus.

Prosthaphaeresis autem in hoc exemplo ex praecedente admonitione talis est.

Haec transfiguntur juxta 1 casum regulae, hoc modo:

Exemplum

Per Prosthaphaeresin sic praxis expeditur.

Exemplum.

Idem per prosthaphaeresin ex praescriptis.

Secunda Regula Prosthaphaereseos.

Primum praeceptum Translationis.

Secundum Praeceptum.

Exemplum Casus Prioris, ubi primus in regula numerus est major.

Prosthaphaeresis sic habet.

Exemplum Casus Posterioris, quando numerus primo loco positus minor est radio.

Prosthaphaeresis ita habet.

Tertia Regula Prosthaphaereseos.

Exemplum.

Per Prosthaphaeresin. I.

Deinde,

Allgemeine Lehrsätze.

Die Lehrsätze.

Die Definitionen von Sinus, Tangens und Sekans.

Die Sätze.

Die Lehre von der Prosthaphaerese.

Die erste Regel der Prosthaphaerese.

Darstellung und Beispiel des ersten Falls.

Darstellung und Beispiel des zweiten Falls.

Beispiel 1.

Die Regel gemäß dem 2. Satz erscheint so.

Aber die Prosthaphaerese geht gemäß dem 2. Fall so.

Beispiel 2, wobei keiner der nachfolgenden Terme ein Sinus ist.

In diesem Beispiel aber ist die Prosthaphaerese nach der vorangegangenen Warnung so beschaffen.

Beispiel.

Durch Prosthaphaerese wird die Aufgabe so erledigt.

Beispiel.

Das gleiche durch Prosthaphaerese aus den vorgenannten.

Auszug aus
Astronomia Danica