Erörterung über die Wissenschaft der Kombinatorik.

In der auf der Grundlage der Arithmetik das Lehrgebäuder der Verwicklungen und Umstellungen durch neue Vorschriften errichtet wird und der Gebrauch beider durch den Erdkreis der Wissenschaften dargestellt wird; auch werden neue Samen der Kunst zu denken, oder der logischen Erfindung gesäht.

Vorausgeschickt ist eine Zusammenfassung der Abhandlung, und in einem Anhang der Beweis für die Existenz Gottes, zur mathematischen Gewissheit ausgeführt.

Vom Autor Gottfried Wilhelm Leibniz
Magister der Philosophie in Leipzig und Bakkalaurat beider Rechte.

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Dem höchsten,großartigen, höchst zu bewundernden Herrn Martin Geier,
geweihter Doktor der heiligen Theologie, obersten Hofprediger des durchlauchtigsten Kurfürsten Sachsens; Beisitzer des obersten Dresdener Kabinetts, und kirchlicher Berater.
Dem unvergleichlichen Theologen:
seinem wahrhaften Förderer und größten Mäzen, über die empfangenen Wohltaten hinaus, Rechenschaft seiner Studien festzustellen,
hat der Autor gewollt.

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Zusammenfassung der Erörterung zur Kombinatorik

Die Grundlage dieser Lehre der Arithmetik. Deren Ursprung. Schlussfolgerungen aber gehören zur reinen Arithmetik, gebildet nach der Regel. Die Erläuterung neuer Begriffe. Was wir anderen verdanken. Fragestellung I. Die Schlussfolgerungen aus gegebener Anzahl und Exponent und in der Gattung die Verbindungen zu finden. Fragestellung II. Die Schlussfolgerungen aus der gegebenen Anzahl einfacher zu finden. Deren Gebrauch (1.) in der Trennung von zu findenden Arten: z. B. der Befehle, Elemente, Zahlen, Orgelregister, der unbedingten Regeln des Syllogismus, von denen es auf der Welt nach Johannes Hospinianus 512 gibt, 88 brauchbare nach uns. Neue Arten der syllogistischen Figuren nach Johannes Hospinianus: Barbari, Celaro, Camestros, und unsere. Die 4 Figuren des Galenos von Pergamon: Fresismo, Ditabis, Celanto, Colanto. Johann Christoph Sturm's neue Regeln aus unbegrenzten Begriffen, Daropti. Darstellung der Umwandlungen. Über die Vervielfältigung der Figuren in der Geometrie, durch übereinstimmende, auseinanderstrebende, zusammenzufügende. Die Kunst einen Rechtsfall zu formulieren. Aber die Theologie ist gleichsam eine Art Rechtswissenschaft; über das öffentliche Recht nämlich im Gottesstaat über die Menschen. (2.) zum Auffinden untergeordneter Arten zu den gegebenen Gattungen, die Brauchbarkeit der Untersuchungsregel durch gegebene Teilung. (3.) Der Gebrauch von Hauptsätzen und Beweismittel beim Finden. Die Kombinatorik des Ramon Llull, Athanasius Kircher, unserer, darüber im Folgenden: Es gibt zwei Wortverbindungen in den Hauptsätzen: tatsächlich und nein, oder + und -. Die Bildung von Kategorien in der Kombinatorik. Aufzufinden: von gegebener Festlegung oder Begriff; Begriffsbestimmungen oder gleichbedeutende Begriffe: von einem gegebenen Subjekt erklärt er im Hauptsatz HA, ebenso PA, ebenso N. Die Klassen der Zahlen, Anzahl der Begriffe in den Klassen: die Aussagen von einem gegebenen Subjekt im Hauptsatz UA, PA und N. Von zwei gegebenen Begriffen im notwendigen Hauptsatz UA und UN den seienden Gegenstand oder die mittleren Begriffe zu finden. Über die Stellung des Themas, oder das Verfahren die anschließenden Hauptsätze zu erzeugen und zu prüfen. Wunderbare Beispiele der Kategorien der Kombinatorik. Den Folgesatz über eine allgemeine Schrift eines jeglichen von jedermann zu lesen; der die Sprache kundig versteht, des Abts Alexandre de Cossé-Brissac Beispiel der Kombinatorik oder über die Kriegskunst nachzudenken, zu wessen auch immer Vorteil kommen durch Überlegung alle würdigen Herrscher in den Sinn. Über den Gebrauch konzentrischer Pappscheiben bei dieser Tätigkeit. Die Riegel dieser kunstvoll konstruierten Kombinationsschlösser, die ohne Schlüssel zu öffnen sind / Farbmischungen. Fragestellung III. Von der gegebenen Anzahl Klassen und einzelner Dinge, die Verknüpfungen der Klassen finden. Die Teilung in der Aufteilung zu ziehen, von der gewöhnlichen Teilung des Verständnisses. Die Anzahl der Denkweisen aus dem höchsten Guten aus Publius Terentius Varro bei Augustinus von Hippo. Dessen Überprüfung. Im gegebenen Gard der Blutsverwandtschaft die Anzahl (1.) die Verwandtschaftsverbindung in der Stellung 1. und 3. Grades und die Zuneigung, (2.) die Stellung der Verbindung der Personen 10. D dazu im Einzelfall künstlich erfunden. Fragestellung IV. Mit einer gegebenen Anzahl der Dinge die Veränderungen der Ordnung finden. Gleichwie der Gäste am Tisch 6 bei Jeremias Drexel, 7 bei Georg Philipp Harsdörffer, 12 bei Georg Henisch. Die Proteus-Verse, z. B. die von Bernardus Bauhusius, von Thomas Lansius, von Heinrich Christoph Ebell, von Giovanni Battista Riccioli, von Georg Philipp Harsdörffer. Das Vertauschen der Buchstaben des Alphabets, die Zusammenstellungen der Atome, die Mosaiksteinchen der Grammatik. Fragestellung V. Bei gegebener Anzahl Dinger die Veränderungen der Nachbarschaft zu finden. Der ehrenvollste Platz in einer Runde. Der syllogistische Zirkelschluss. Fragestellung VI. Begeben ist die Anzahl der zu verändernden Dinge, welche irgendetwas oder irgendwelche wiederholt werden, die Vertauschung der Reihenfolge zu finden. Gattungen der Hexameter 76. Des Hexameter 26. Deren Buchstaben dem vorhergehenden folgend übertrifft Publilius Optatianus Porfyrius: davon jener. Doppellaute aus der Schrift. Fragestellung VII. Veränderungen beim gegebenen Hauptsatz zu entdecken. Fragestellung VIII. Gewöhnliche Veränderungen dem gegebenen anderen Hauptsatz. Fragestellung IX. Hauptsätze, die gewöhnliche Veränderungen haben. Fragestellung X. Hauptsätze der brauchbaren und unbrauchbaren Veränderungen. Fragestellung XI. Unbrauchbare Veränderungen. XII. Brauchbare. Die Proteus-Verse des Publilius Optatianus Porfyrius (beiläufig dem Virgil), des Julius Caesar Scaliger (beiläufig dem Virgil), des Bernardus Bauhusius (beiläufig dem Ovid), des Gregor Kleppis (Verfahren zur Unterscheidung brauchbarer und unbrauchbarer), des Carl von Goldstein / Matthäus Reimer, des Christian Daum 4, deren beiden letzten mehr als Proteus.

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Einleitung.

Mit Gott!

Die Metaphysik, damit ich mit dem höchsten beginne, behandelt bald das Seiende, bald die Zustände des Seienden; weil aber die Zustände des natürlichen Körpers keine Körper sind, so sind die Zustände des Seienden keine Seienden. Der Zustand des Seienden ist aber (oder das Maß) durch eine andere unabhängige, die Qualität genannt wird, durch eine andere bezogene, und diese Eigenschaft bezieht sich entweder auf ihren Teil, den sie hat, Quantität, oder die Eigenschaft zu einer anderen Sache, Beziehung, um es gleichwohl genauer zu sagen, der zugrunde zu legende Teil ist gewissermaßen vom Ganzen unterschieden, auch die Menge der Sachen ist eine Beziehung zum Teil. Deswegen ist es offensichtlich, dass es weder die Qualität noch die Quantität, noch die Beziehung der Seienden sind, deren Behandlung aber in der bezeichneten Wirkung zur Metaphysik gehören. Ferner ist alle Beziehung entweder Vereinigung oder Zusammenhang. Aber die Dinge, zwischen denen eine Beziehung besteht, in der Vereinigung werden sie Teile genannt, zusammen mit der Vereinigung sind sie das Ganze. Mit diesem trifft zu, so oft wir vieles zugleich wie ein Gesamtes zugrunde legen. Aber das Eine wird verstanden, was wir auch immer durch eine einzige Tat des Verstands oder zugleich erwägen, z. B. auf welche Weise auch immer wir irgendeine beliebig große Zahl häufig blindlings durch einen gewissen Gedanken zugleich begreifen, freilich die Ziffern auf dem Papier zu lesen, für wen ist nicht klar zu erkennen, dass Methusalem freilich nicht ein Lebensalter zu verleihen wäre. Abgezogen aber von einem ist die Einheit, und das Ganze selbst abgezogen aus den Einheiten oder die Gesamtheit Zahl genannt wird. Die Menge ist also die Anzahl der Teile. Daher ist offensichtlich, dass in der Sache selbst die Menge und die Anzahl zusammenfallen, doch jene manchmal gleichsam äußerlich, dass durch die Beziehung oder das Verhältnis zu jenem beschrieben werden, im Hilfsmittel nämlich solange die Anzahl der Teile nicht erkannt wird. Und diese Ursache ist die scharfsinnige Lehre von den Verhältnissen und Proportionen, was zuerst René Descartes zur Entfaltung gebracht hat, danach Frans van Schooten d. J. in Regeln hergeleitet hat, und Erasmus Bartholin diese durch allgemeine mathematische Elemente, wie er es nennt. Und deswegen ist die Lehre von den Verhältnissen und Proportionen, oder die nicht beschriebene Menge; die Arithmetik von der beschriebenen Menge oder den Anzahlen; aber die Scholastiker haben fälschlich geglaubt die Zahl entsteht nur durch fortgesetzte Teilung und kann nicht auf unkörperliche angewandt werden. Die Zahl ist nämlich gleichsam ein gewisses unkörperliches Symbol, entstanden aus der Vereinigung irgendwelcher Seienden, z. B. Gott, Engel, Menschen, Bewegung, die gleichzeitig 4 sind. Weil demnach die Zahl irgendetwas völlig allgemeines wäre, aus gutem Grunde zur Metaphysik gehört, wenn man die Metaphysik als Lehre derer anerkennt, die allen Arten der Seienden gemeinsam sind. Denn die mathematische Wissenschaft (damit deren Name jetzt verstanden wird) um genau zu sprechen, ist nicht ein Lehrgebiet, sondern die Menge aus verschiedenen entnommenen Teilen von einzelnen Disziplinen in Bearbeitungen, die verdientermaßen nahe bei der Erkenntnis verschmolzen sind. Denn wie die Arithmetik wie auch die Analysis die Menge der Seienden behandeln, so behandelt die Geometrie die Menge der Körper, oder des Raumes, der von den Körpern aufgespannt ist. Die staatliche Einteilung aber der Lehrgebiete in Berufsgruppen, die eher nach der Zweckmäßigkeit der Lehre als der natürlichen Ordnung zugeschnitten ist, fehlte dass wir sie untergraben. Im Übrigen kann das Ganze selbst (und so die Anzahl oder Gesamtheit) völlig zerrissen werden in kleinere Teile, das ist die Grundlage der Zusammensetzungen, wenn man nur versteht dass selbst in den verschiedenen kleinsten alle gemeinsamen Teile gegeben werden, z. B. das Ganze sei A, B, C, es werden alle kleineren sein, deren Teile AB, BC, AC sein werden: und selbst der kleinsten Teile, oder für die Anordnung der geringsten zugrunde gelegten (nämlich der Gesamtheit) unter einander und mit dem Ganzen, die Zustand genannt wird, kann verändert werden. So entstehen zwei Arten Veränderungen, der Zusammenfassung und des Zustands. Und sowohl die Zusammenfassung wie der Zustand gehören zur Metaphysik, nämlich zur Lehre vom Ganzen und den Teilen, wenn sie an sich betrachtet werden; wenn wir aber die Veränderung betrachteten, das ist die Menge der Veränderung, auf die die Zahlen und die Arithmetik anzuwenden ist. Aber ich würde meinen, die Lehre der Zusammenfassung passt besser zur reinen Arithmetik, der Zustand zum geformten, denn auf diese Weise können die Gesamtheiten als eine Linie zu erzeugen verstanden werden. Obschon ich hier beiläufig anmerken möchte, die Gesamtheiten können entweder durch die Art der geraden Linie, oder als Kreis oder eine andere Linie oder Linien, die in sich zurückkehren oder eine geschlossene Figur dargestellt werden, die vorigen durch eine Art Anordnung im vollkommenen Zustand oder der Teile mit dem Ganzen; Die folgenden durch den bezogenen Zustand oder der Teile zu den Teilen, durch Nachbarschaft, auf welche Weise sie sich unterscheiden werden wir unten bei den Definitionen 4 und 5 erklären. An dieser Stelle reichen sie als Vorwort aus, wie diese in der Lehre der Materie deren Gebäude wäre, wird offensichtlich.

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Definitionen.

1. Die Veränderung an dieser Stelle ist die Umwandlung der Verhältnisse. Denn die Umwandlung heißt andere Substanzen, andere Menge, andere Eigenschaft; andere wandelt nichts in der Sache um, sondern nur bezüglich der gegenseitigen Anordnung, den Zustand, die Verbindung mit anderen irgendwo.
2. Die Veränderbarkeit ist selbst die Anzahl aller Veränderungen. Denn die Begriffe der Möglichkeiten an sich genommen bestimmen die Anzahl derer, denn dergestalt wird in der Mechanik häufig gesprochen, dass die Möglichkeiten zweier Maschinen das doppelte der einzelnen seien.
3. Zustand ist die örtliche Anordnung der Teile.
4. Der Zustand ist entweder absolut oder relativ bezogen: jenes der Teile zum Ganzen, dieses der Teile zu den Teilen. In jenem wird die Anzahl der Plätze und die Entfernung vom Anfang und vom Ende betrachtet, darunter wird weder der Anfang noch das Ende verstanden, sondern man betrachtet wie groß der Abstand der Teile von einem gegebenen Teil ist. Daher wird jenes durch eine Linie oder eine lineare Figur ausgedrückt, die nicht geschlossen sind und nicht in sich zurückgehen, und am besten durch eine gerade Linie; diese durch eine Linie oder eine geschlossene lineare Figur, und am besten durch einen Kreis. In jenem haben Vorrang und Nachrang das größte Verhältnis, in diesem keines. Deshalb hat man zu jenem höchste Ordnung gesagt.
5. Diesem die Nachbarschaft, jenem die Anordnung, diesem die Zusammensetzung. Deswegen unterscheiden sich die folgenden Zustände durch das Verhältnis der Anordnung: abcd, bcda, cdab, dabc. Aber in der Nachbarschaft wird keine Veränderung sondern ein Zustand verstanden, dieser nämlich: Weil der sehr witzige Friedrich Taubmann, als er Dekan der philosophischen Fakultät war, wird in Wittenberg gesagt öffentlich eine Reihe von Ankündigungen der Anwärter für das Lehramt einen Zuhörerkreis bildete mit einer Gliederung des Inhalts, den nicht die begierigen Leser nicht verstanden, der auf den Misthaufen gehörte.
6. Die Veränderbarkeit der Ordnung verstehen wir etwa, wenn wir die Veränderungen entsprechend der Bedeutung von z. B. 4 Dingen auf 24 Arten umgestellt werden können. [24 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4]
7. Die Veränderbarkeit der Verknüpfungen nennen wir Zusammenfassung, z. B. 4 Dinge können auf 15 verschiedene Weisen miteinander verbunden werden [1 + 2 + 4 + 8 = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ = 15].
8. Die Anzahl der zu verändernden Dinge nennen wir vereinfacht Anzahl, z. B. 4 im vorgestellten Falle.
9. Die Zusammenfassung ist die kleinste Einheit im größeren Gesamten, wie wir in der Einleitung dargelegt haben.
10. Dass aber eine gewisse Zusammenfassung bestimmt wird, ist das größere Ganze in gleiche untergeordnete Teile zu zerlegen damit die kleinsten (das ist welche nun allerdings nicht weiter geteilt werden), aus denen die Zusammenfassung oder das kleiner Ganze zusammengesetzt wird und deren unterschiedliche Anordnung verändert wird; weil daher das Ganze selbst weniger. Mehr oder weniger ist, je nachdem viele Teile an Stelle eines hinein gehen, nenne wir die Anzahl der gleichzeitig oder einmalig zusammenzufassenden Teile oder Einheiten den Exponenten, nach dem Beispiel der geometrischen Progression, zum Beispiel sei das Ganze ABCD. Wenn alle kleineren aus2 Teilen bestehen sollen, z. B. AB, AC, AD, BC, BD, CD, sei der Exponent 2, wenn aber aus 3, z. B. ABC, ABD, ACD, BCD, wird er Exponent 3 sein.
11. Bei gegebenem Exponenten werden wir die Zusammenfassungen so schreiben: wenn der Exponent 2 ist. Zusammen2fassung; wenn er 3 ist Zusammen3fassung; wenn er 4 ist Zusammen4fassung und so weiter.
12. Zusammenfassungen werden einfach aus den Exponenten aller Zusammenfassungen berechnet, z. B. 15 (für die Anzahl 4) die zusammengesetzt werden aus 4 (Einheit), 6 (Zusammen2fassung), 4 (Zusammen3fassung), 1 (Zusammen4fassung).
13. Eine brauchbare (unbrauchbare) Veränderung ist welche wegen der zugrundeliegenden Materie keinen Platz haben kann, z. B. 4 Bestandteile können 6 Mal zusammen2gefaßt werden; aber 2 Zusammen2fassungen sind unbrauchbar, von denen werden gegensätzliche Feuer, Wasser, Luft, Erde zusammen2gefaßt.
14. Die Klasse der Dinge ist weniger als das Ganze, sie besteht aus wenigsten drei übereinstimmenden Dingen, sowie aus Teilen, doch so dass die übrigen Klaasen gegensätzliche Dingen enthalten, z. B. oben in der Fragestellung 3, wo wir die Klassen der Meinungen im Bezug auf das höchste Gute bei B. Augustinus von Hippo abhandeln werden.
15. Der Hauptsatz der Veränderung ist die Stellung gewisser Teile; die Regel der Veränderung vom allem was sie in den meisten Veränderungen innehat, siehe unten in der Fragestellung 7.
16. Gemeinsame Veränderungen sind, in welchen viele Hauptsätze übereinstimmen, siehe unten Fragestellungen 8 und 9.
17. Ein gleichartiges Ding ist, was an der gegebenen Stelle gleich darstellbar ist außer im Hauptsatz, einstimmige aber was keine Gleichartigkeit hat, siehe Fragestellung 7.
18. Ein Hauptsatz wird vervielfältigbar genannt, dessen Teile verändert werden können.
19. Ein wiederholtes Ding ist, was in der gleichen Veränderung öfter gesetzt wird, siehe Fragestellung 6.
20. Wir bezeichnen durch das Symbol + die Addition, - die Subtraktion, ᴖ die Multiplikation, ᴗ die Division, f ist macht oder Summe, = die Gleichheit. Bei den beiden ersten und im letzten stimmen wir mit René Descartes, den Algebraikern und anderen überein; die anderen Symbole hat Isaac Barrow in seiner Euklid-Ausgabe , Cambridge, Oktav, im Jahr 1655.

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Fragestellungen

Es gibt drei, die betrachtet werden müssen: Fragestellungen, Lehrsätze, Gebrauch; bei einzelnen Fragestellungen haben wir den Gebrauch angehängt; wo immer der Aufwand und der Lehrsatz als wert betrachtet wurde. Die Fragestellung aber fügen wir gewisse Überlegungen zur Lösung an. Von diesen verdanken wir einen früherer Teil den ersten, dem zweiten und dem dritten anderen, die übrigen haben wir selbst erforscht. Wer jene zuerst gefunden hat wissen wir nicht. Daniel Schwenter Deliciae physico-mathematicae oder mathematische und philosophische Erquickstunden l. 1. Sektion I Satz 32 sagt Gerolamo Cardano, Johannes Buteo und Niccolò Tartaglia ragen heraus. Jedoch finden wir nichts bei Gerolamo Cardano "Übungen zur Arithmetik", die er 1539 in Mailand herausgegeben hat. Besonders klar, was immer neulich gehalten wird, hat es Christophorus Clavius in "In Sphaeram Ioannis de Sacro Bosco commentarius" vorgetragen (Herausgegeben in Rom im Format Quart im Jahr 1585, Seite 33 und folgende).

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Fragestellung I.
Aus der gegebenen Anzahl und dem Exponenten die Zusammenstellungen zu finden.

Es gibt zwei Vorgehensweisen der Lösung, eine von allen Verknüpfungen, die andere nur aus den Zusammenstellungen: jene ist freilich allgemeiner, diese aber erfordert weniger Angaben, nämlich nur die Anzahl und den Exponenten, weil jene auch die gefundenen Verknüpfungen voraussetzt.

Die allgemeinere Vorgehensweise haben wir uns selbst ermittelt, die spezielle ist allgemein bekannt. Die Lösung für jene ist so beschaffen: "Die vorhergehenden Verknüpfungen des Exponenten und der gegebenen von der vorhergehenden Anzahl werden addiert, das Ergebnis werden die gesuchten Verknüpfungen sein." zum Beispiel soll die gegebene Anzahl 4 sein und der gegebene Exponent 3, werden sie zu der vorhergehenden Zahl 3 Zusammenstellungen von 2 3 und die Zusammenstellung von 3 1 (3 + 1 macht 4), das gesuchte Ergebnis wird 4 sein.

Aber weil die Verknüpfungen der vorhergehenden Zahl erforderlich sind, kann man die Tabelle אּ aufgestellt werden, in der die oberste Zeile enthält von links nach rechts die Zahlen von 0 bis einschließlich 12, denn wir haben gemeint, dass es leicht ist von hier fortzuschreiten, wie es leicht ist fortzusetzen; die Spalte äußerst links enthält von oben nach unten die Exponenten von 0 bis 12, die untere Zeile enthält von links nach rechts die einfachen Verknüpfungen.

Die übrigen Zeilen zwischen diesen enthalten die Zusammenstellungen von der gegebenen Anzahl die sich im Gipfel unbedingt entspricht, und dem Exponenten womit aus der linken Richtung. Die Begründung der Lösung, und die Grundlage der Tabelle wird offenbar sein, wenn wir es bewiesen haben werden, die Verknüpfungen der gegebenen Zahlen und des Exponenten entstehen aus der Summe der Verknüpfungen von der vorangehenden Zahl des Exponenten und den vorangehenden und den gegebenen. Denn es sei die gegebene Zahl 5, der gegebene Exponent 3, die vorhergehende Zahl wird 4 sein, diese hat 4 Zusammenstellungen von 3 nach Tabelle אּ, 6 Zusammenstellungen von 2. Nun hat die Nummer 5 alle Zusammenstellungen von 3 welche vorangehen nämlich 4 (denn im Ganzen wird auch der Teil umfasst), und außerdem so viel wie die vorhergehende Verknüpfungen von 2 hat, denn die neue Differenz um welche die Zahl 5 die 4 übersteigt, wird den einzelne Verknüpfungen von 2 dem hinzugefügt, macht eben so viele neue Zusammenstellungen von 3, nämlich 6 + 4 macht 10. Also Zusammenstellungen der gegebenen Anzahl u. s. w. Was zu beweisen war.

Wir fügen für mehr Klarheit die Tabelle בּ hinzu, wo wir auf den querliegenden Zeilen die Zusammenstellung von drei von 3, und von 4 und von 5 unterschieden haben, doch so wie die ersten Zusammenstellungen von 3 den folgenden gemeinsam seien, und als Folge in der gesamten Tabelle die Anzahl der Zusammenstellungen von 3 fünf wäre, und damit offenbar geworden wäre, welche Zusammenstellungen von 3 der folgenden Anzahlen aus der vorausgegangenen Zusammenstellungen von 2 durch Hinzufügen von einem einzigen neuen Fremden entstehen, in der Spalte nach unten strebend haben wir die Zusammenstellungen vom neuen Fremden unterschieden.

Wir werden hier Lehrsätze hinzufügen deren Tatsache aus der Tabelle אּ offensichtlich ist, der Grund aus der Grundlage der Tabelle:

1. Wenn der Exponent größer ist als die Zahl, ist die Zusammenstellung 0.
2. wenn er gleich ist, ist jene 1.
3. Wenn der Exponent um 1 kleiner als die Zahl ist, sind Zusammenstellung und Zahl dasselbe.
4. Allgemein gilt: Zwei Exponenten, in denen die Zahl zerlegt werden kann, oder die einander zur Zahl ergänzen, dieselben haben Verknüpfungen von jener Zahl. Denn weil bei den kleinen Exponenten 1 und 2, in die die Zahl 3 zerlegt wird, das aber wäre wirklich der Fall, nach Tabelle ח, die anderen aber entstehen durch Addition nach Fragestellung 1, wenn die gleichen (3 und 3) addiere die gleichen (oberhalb 1 und unterhalb 1), es werden gleiche erzeugt (3 + 1 macht 4), und ebenso wird es gemacht bei den übrigen bei Notwendigkeit.
5. Wenn die Zahl ungerade ist, werden darin zwei benachbarte Verknüpfungen gegeben, die sich nahezu gleich sind; wenn aber gerade, trifft das nicht zu. Denn die ungerade Zahl kann zerlegt werden in zwei benachbarte Exponenten die sich um 1 unterscheiden, z. B. 1 + 2 macht 3; die gerade aber kann es nicht, sie sind dieselben. Denn benachbarte, in welche sie halbiert werden gerade kann, sind dieselben. Weil also die ungerade Zahl in zwei Exponenten geteilt werden kann, haben hier zwei benachbarte Zusammenstellungen nach Lehrsatz 4, weil jene um 1 entfernt sind.
6. ie Zusammenstellungen nehmen zu bis zur Zahl die die Hälfte der Exponenten ist oder der Hälfte von zwei benachbarten von da an nehmen sie wieder ab.
7. Alle ersten Zahlen bemessen ihre besonderen Zusammenstellungen (oder vom gegebenen Exponenten).
8. Alle Zusammenstellungen sind einfach ungerade Zahlen.

Es verbleibt der andere der gewissermaßen besondere Teil der Fragestellung: " zu einer gegebenen Zahl A die Zusammenstellungen B zu finden. Die Lösung: Wird die Zahl mal genommen mit ihrer um 1 verminderten Zahl, davon die Hälfte wird das gesuchte sein, (A · (A - 1)) ⁄ 2 = B. es sei zum Beispiel die Zahl A = 6, 6 · 5 macht 30 ⁄ 2 macht 15." Zusammenstellungen von 2 der 6 Dinge abcdef aufgezählt werden; aber die erste Sache a genommen ergibt mit den anderen 5 Zusammenstellungen von 2, die Zahl ist um eins geringer; die zweite b vor die anderen gezogen nur 4, denn es kann nicht vor das vorangehende a gezogen werden, denn das würde zurückführen zur vorigen Zusammenstellung ba oder ab (denn diese unterscheidet sich nicht in Hinsicht der Zusammenstellung), also allein in den nachfolgenden die 4 ergeben, genauso die dritte c vor die folgenden gezogen macht 3, die vierte d ergibt 2, die fünfte e und letzte f ergibt 1. Es gibt daher 5 + 4 + 3 + 2 + 1 macht 15 Zusammenstellungen von 2. So ist offensichtlich, dass die Anzahl der Zusammenstellungen zusammengesetzt wird aus den Gliedern einer arithmetischen Reihe, deren Unterschied 1 ist, gezählt von 1 bis zur Zahl der Dinge einschließlich der Grenzen, oder aus allen Zahlen der Anzahl der kleineren Dinge zugleich zusammengezählt. Aber weil, wie die Arithmetiker gewöhnlich lehren, solche Zahlen werden in dieser Zusammenstellung zusammengezählt, dass die größte Zahl multipliziert wird mit der nächst größeren, halbiert wäre das gesuchte, und das nebenstehende ist freilich an dieser Stelle selbst die Zahl der Dingen, deshalb ist ebenso wenn man so sagen will, die Zahl der Dingen mit dem nächst kleineren zu multiplizieren, und die Hälfte wird das gesuchte sein.

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Fragestellung II.
Aus der gegebenen Anzahl die Zusammenstellungen einfacher zu finden.

Die gegebene Zahl soll gesucht werden unter den Exponenten einer geometrischen Reihe zur Basis 2, die Zahl oder das Glied dieser Reihe, das mit dem übereinstimmt aus dem Abschnitt um die Einheit verringert wird das gesuchte sein. Die Ursache, oder der Grund ist schwierig teils zu verstehen, teils wenn man sie versteht, zu erklären: die Tatsache ist mit Tabelle א offensichtlich. Denn immer einzelne gleichzeitig zugefügte Zusammenstellungen, von der zugefügten Einheit, stellen immer Glieder der geometrischen Reihe zur Basis 2 dar, deren Exponent die gegebene Zahl sei. Denn die Erklärung, wenn irgendein Neugieriger es erkunden würde, wird zu suchen sein in der Zerlegung in der üblichen italienischen Praxis der Arithmetik, vom Zerlegen (Faktorenzerlegung). Diese muss so beschaffen sein, dass das gegebene Glied der geometrischen Folge zuerst in ein Teil mehr zerlegt wird, als es Einheiten ihres Exponenten gibt, das heißt die Anzahlen der Dinge, welche immer gleich seien vom ersten zum letzten, das zweite dem vorletzten, das dritte dem vor-vorletzten und so weiter, solange bis entweder, wenn die Zahl der Dinge in geradzahlige zerlegt worden ist, der Exponent oder die Zahl der Dinge ungerade entsteht, in der Mitte entsprechen zwei Teile nach Fragestellung 1, Theorem 5 (z. B. 128 durch 7 in 8 Teile zerlegt werden gemäß Tabelle א: 1, 7, 31, 35, 21, 1), oder wenn in ungeradzahlige, entsteht durch den geradzahligen Exponenten, bleiben in der Mitte eines das keinem entspricht (z. B. 256 werden von 8 zerlegt in 9 Teile gemäß Tabelle א: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1). Irgendjemand glaubte, daraus sei offensichtlich ein neues Verfahren und dieses die vollständige Lösung der Fragestellung 1 oder aus dem gegebenen Exponenten einfach die Anzahl der Zusammenstellungen oder die Glieder der geometrischen Folge zur Basis 2 gemäß dem gegebenen Vorgehen; jedoch sind die Angaben nicht ausreichend, und dieselbe Zahl kann in wieder andere Teile zerlegt werden, doch nach derselben Regel.

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Anwendungen der Fragestellungen I und II.

Weil alles was ist oder gedacht werden kann, in der Regel aus Teilen zusammengesetzt würde entweder gegenständlich oder wenigstens gedanklich, ist es notwendig, welche sich durch die Beschaffenheit unterscheiden oder in denen unterscheiden, die andere Teile enthalten, und hier der Gebrauch der Zusammenstellungen, oder was an anderer Stelle, hier der Anordnungen, dort durch Verschiedenheit der Materie, hier der Form beurteilt wird. Allerdings werden durch den Einfluss der Zusammenstellungen nicht nur die Beschaffenheiten der Dinge gefunden, sondern auch die Eigenschaften, dass so beinahe der ganze erfinderische Teil der Logik dort auf einfache Begriffe, hier auf umschriebene begründet wird durch die Zusammenstellungen, mit einem Wort sowohl durch die Lehre der Zerlegungen wie durch die Lehre der Darlegungen. Geschweige denn, wie sehr der Teil logischer Analyse oder sorgfältige Beurteilung von syllogistischen Verfahren hoffen wir durch Untersuchung im Beispiel 6 darzustellen.

Bei der Zerlegung der Zusammenstellungen gibt es drei Verfahren: 1. Von der gegebenen Grundlage mit einer einzigen Zerlegung deren Beschaffenheit zu finden; 2. Durch viele gegebene Zerlegungen von derselben Gattung, die Art zu finden aus verschiedenen gemischten Zerlegungen, was wir jedoch für die Fragestellung 8 vorbehalten werden; 3. Von gegebenen Arten die untergeordneten Eigenschaften zu finden. Die Beispiele sind über die gesamte Philosophie verstreut, dass sie sogar der Jurisprudenz nicht fehlen werden wir zeigen, bei den Medizinern aber entstehen alle Vielfalten der zusammengesetzten Heilmittel und Pharmazeutika aus der Mischung verschiedener Zutaten, aber es ist die Aufgabe durch größte Urteilskraft die nützlichen Mischungen auszuwählen. Zuerst werden wir daher Beispiele dieser Überlegung auf die zu findenden Gattungen geben:

1. Bei den Rechtsberatern l. 2. D. Mandati et pr. J. de Mandato wird die folgende Aufteilung vorgeschlagen: der Auftrag wird auf 5 Weisen herbeigeführt: durch die Dank des Auftraggebers, des Auftraggebers und des Anwalts, eines Dritten, des Auftraggebers und des Dritten, des Anwalts und des Dritten. Die Hinlänglichkeit deren Aufteilung werden wir so versuchen zu finden: deren Grundlage ist sein Ende oder welcher Person die Begünstigung erwiesen wird, davon gibt es drei: Auftraggeber, Beauftragter und der Dritte. Die Zusammenstellungen der Dinge aber sind sieben: die drei Vereinigungen: mit nur einem 1) des Auftraggebers, 2) des Anwalts, 3) des Dritten wird Begünstigung erwiesen. Ebenso viele Zusammenstellungen von 2: 4) des Auftraggebers und des Anwalts, 5) des Auftraggebers und des Dritten, 6) des Anwalts und des Dritten Begünstigung. Zusammenstellungen von 3 gibt es eine, nämlich die 7. Sowohl des Auftraggebers als auch des Anwalts und des Dritten gleichzeitige Begünstigung. Ebenso viele Zusammenstellungen von 2: 4) des Auftraggebers und des Anwalts, 5) des Auftraggebers und des Dritten, 6) des Anwalts und des Dritten Begünstigung. Zusammenstellungen von 3 gibt es eine, nämlich die 7. sowohl des Auftraggebers als auch des Anwalts und des Dritten gleichzeitige Begünstigung sowohl des Auftraggebers als auch des Anwalts und des Dritten gleichzeitige Begünstigung. Hier weisen die Rechtsberater jene Vereinigung als unbrauchbar zurück, in der nur die Begünstigung des Anwalts berücksichtigt ist, weil der Rat wichtiger wäre als der Auftrag; es verbleiben deshalb 6 Arten, aber warum 5 übrigbleiben, die Zusammenstellung von 3 übergangen wird, weiß ich nicht.

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2. Die Anzahl der Urstoffe, oder die veränderbaren Arten einfacher Körper leitet Aristoteles im 2. Buch " Über das Entstehen und das Vergehen" mit dem Pytagoräer Ocellus Lucanus aus der Anzahl der Grundeigenschaften ab, welche er vier zu sein unterstellt, sowie von derGrundlage, doch diese durch Gesetze, dass 1) ein beliebiges zusammengesetzt würde aus zwei Eigenschaften und nicht aus mehr oder weniger; daher ist es offensichtlich die Vereinigungen von 2, Vereinigungen von 3 und 4 sind zuverwerfen, einzig die Vereinigungen von 2 sind beizubehalten, welche 6 sind; 2) dass niemals in einer Verbindung von 2 gegensätzliche zusammen kommen, daher werden wiederum zwei Verbindungen unbrauchbar, weil zwischen diesen zwei gegensätzliche Grundeigenschaften angegeben werden, deshalb verbleiben 4 Verbindungen von 2, das ist die Anzahl der Grundstoffe. Wir haben eine Übersicht dazu gefügt (siehe die Seite neben dem Titel dieser Abhandlung), in der die Abstammung aus den Grundeigenschaften gut gezeigt wird. Ferner wie Aristoteles aus diesen jene, so Galenos von Pergamon aus jenen 4 Temperamenten, und deren verschiedenen Mischungen die nachfolgenden Mediziner hervorgebracht haben, denen allen sich schon im vorigen Jahrhundert Claudius Campensius in " Betrachtungen des Natürlichen bei Aristoteles" entgegengestellt hat und Galenos von Pergamon Zugabe zu den Kommentaren dessen in den "Lehrsätze des Hippocrates" herausgegeben im Oktav in Lyon im Jahre 1576.

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3. Gewöhnlich werden Zahlen von den Arithmetikern unterschieden in Zahlen im Sinne des Wortes (natürliche Zahlen) wie 3, Brüche wie ⅔, irrationale wie √3, das ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 3 ergibt, wie sie in der Natur nicht vorkommt, aber durch Entsprechung verstanden wird, und benannte, die andere geformt nennen, z. B. Quadrat, Kubik, und Pronische Zahl. Aus der Mischung derer macht Gerolamo Cardano in Kapitel 2 seiner "Praxis der Arithmetik" elf gemische Arten. Es gibt deshalb im Ganzen 15 Zusammenstellungen, nämlich 4 Vereinigungen, die wir benannt haben, 6 Zusammenstellungen von 2: ganze Zahl und Bruch, z. B. 3 ⁄ 2 oder 1 ½; ganze Zahl und Wurzel Zahl, z. B. 7 · √3, ganze Zahl und Potenz, z. B. 3 + a³; Wurzel Zahl und Potenz, z. B. 3. Potenz von 7; 4 Zusammenstellungen von 3: ganze Zahl und Bruch und Wurzel Zahl, ganze Zahl und Bruch und Potenz, ganze Zahl und Wurzel Zahl und Potenz, Bruch und Wurzel Zahl und Potenz; 1 Zusammenstellung von 4: ganzer Zahl und Bruch und Wurzel Zahl und Potenz. An Stelle des Ausdrucks: Zahl, wird angemessener der Begriff: ganze Zahl eingesetzt werden. Schon ist 4 + 6 +4 + 1 macht 15.

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4. Das Register, auf deutsch ein Zug, wird in pneumatischen Orgeln ein gewisser Henkel genannt, durch dessen Öffnung der Ton verändert wird, allerdings nicht die Melodien an sich oder in Hinsicht auf die Tonhöhe, sondern durch das Verhältnis der Kanäle, wie die Art der Schwebung, nach Art dämpfend u. s. w. bewirkt werden. Solche sind durch den Fleiß der Jüngeren über 30 gefunden worden. Deshalb sollen in irgendeiner Orgel so viele wie 12 einfache, ich behaupte dass in der Welt gewissermaßen 4.095 sein werden; denn so viele sind die einfachen Verknüpfungen der 12 Dinge nach Tabelle א, die bedeutenden Organisten, öffnen nun manchmal mehr, manchmal weniger, manchmal diese manchmal jene gleichzeitig , um die Töne zu verändern.

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5. Thomas Hobbes Elementorum Philosophiae Sectio Prima De Corpore Teil 1, Kapitel 5. Die Dinge, deren Begriffe im Vordersatz beginnend gegeben werden, oder in seinem Stile, bezeichnete, deren Namen gegeben werden, teilt in Körper (das sind Substanzen, denn alle Substanz ist selbst ein Körper), Eigenschaften, Vorstellungen und Namen, und so gehören Namen entweder der Körper, z. B. Mensch, oder der Eigenschaften, z. B. alles Gegenstandslose, Vernunft, Bewegung, oder Vorstellungen, auf welche sich Raum, Zeit, alle fühlbaren Eigenschaften u. s. w. beziehen oder Namen, bezieht er auf welche sich sekundäre Absichten. Weil diese untereinander sechsmal zu zweien verbunden werden, entstehen ebenso viele Arten der Behauptungen, und diesen hinzugefügt, wenn sie zu einheitlichen Begriffen verbunden werden (und der Körper einem Körper zugeteilt wird, die Eigenschaft der Eigenschaft, die Vorstellung der Vorstellung, die sekundäre Kenntnis der sekundären Kenntnis), nämlich 4, entstehen 10. Aus diesen werden einzigen einheitlichen Begriffen nützlich verbunden beobachtet Thomas Hobbes. Was, wenn es so ist, wie es die sichere und allgemeine Philosophie verkündet, das Abstrakte und das Konkrete, die Eigenschaft und die Substanz, die erste und die sekundäre Erkenntnis schlecht gegenseitig erklärt werden, wird dies nützlich sein zur Erfindungskunst der Behauptungen, oder der Auswahl der Verbindungen: dem Erkennen der brauchbaren aus unzähligen Bagatelldingen; darüber unten.

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6. Ich komme zu einem kaum weniger verwickelten Beispiel der Verbindungen: der Bestimmung der Anzahl der Verfahren unbedingter Syllogismen. In welche Sache Johannes Hospinianus von Stein neue Überlegungen ausgelöst hat, Professor für Orgel in Basel, ein Mann der geringsten gewöhnlichen Betrachtungen in einem wenig beachteten Büchlein, herausgegeben im Oktavformat in Basel im Jahre 1560 mit dem Titel: "es gibt nicht bloß 36 gute und schlechte unbedingte Syllogismen", wie Aristoteles mit Deutern gelehrt zu haben gesehen wird, sondern 512, von denen allerdings 36 anerkannt würden, die übrigen werden alle verworfen.

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   Danach bin ich auf desselben "Über dialektische Widersprüche" gestoßen, herausgegeben nach dem Tod des Autors in Basel, im Oktav, im Jahre 1576, wo er in dialektischen Fragesätzen und dem Buch über die ausgezeichneten Regeln aufgestellt hatte, er verteidigt gleichsam wie eine Schutzrede, auf 23 Fragestellungen beruhend; er verspricht dort auch ein Buch über die Möglichkeiten zum Auffinden und Beurteilen, und seine Vorlesungen in einem umfassenden Werk mit einer lateinischen Fassung, die unveröffentlichten Vorlesungen, die ich vielleicht vom Autor wichtiger abgefasst erachte als vollkommenen. Aber wenn es auch nötig ist die Veränderung der Reihenfolge zu behandeln, welche er in der Fragestellung 4 beurteilt, weil aber die wichtigsten Teile von den Verbindungen geschuldet sind, werden wir sie hier darstellen. Als der Titel dessen Buchs über die Verfahren sich zuerst erschienen ist, haben wir ehe wir hinein gesehen haben, haben wir nach unseren mitgeteilten auf diese Weise die Berechnung unterzogen: Das Verfahren ist die Gliederung oder die Form des Syllogismus, durch Überlegung des Umfangs und der Beschaffenheit: Vom Umfang her ist die Darlegung aber entweder allgemeingültig oder gilt nur zum Teil oder ist unbestimmt oder einzigartig; wir werden aus Gründen der Kürze die Anfangsbuchstaben verwenden: U allgemeingültig , P gilt nur zum Teil , I unbestimmt , S einzigartig ; von der Beschaffenheit sind sie entweder bejahend oder bejahend, A bejahend , N verneinend . Ein Syllogismus hat aber 3 Behauptungen, deshalb ist der Syllogismus von der Aussage des Umfangs entweder gleich oder ungleich: 1) der Syllogismus ist so beschaffen: U, U, U. 2. P, P, P. 3. I, I, I. 4. S, S, S, von denen 19 brauchbar sind. 2) der erste und vierte sind ungleich entweder zum Teil oder im Ganzen: zum Teil, wenn jede der beiden Behauptungen vom gleichen Umfang ist, die dritte unterschiedlich.

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   Und in einem solchen Fall sind zwei Arten des Umfangs im gleichen Syllogismus, wiewohl eine zweimal wiederholt wird, das alles trifft auf verschiedene Art zu, so oft 4 Dinge das ist Arten dieser Umfänge U, P, I, S auf verschiedene Art zusammensetzbar sind nämlich 6Mal, und im einzelnen Fall sind es 2, weil bald dieses zweimal wiederholt wird, bald jenes, im anderen einfach erscheinend; also 6 · 2 macht 12. Und auch wiederum so in einzelnen, das Verhältnis der Anordnung, die Veränderungen sind 3, denn z. B. dieses U, U, P, wird entweder wie so angeordnet, oder so: P. U. U, oder so: U, P, U; also 12 · 3 macht 36. Aus diesen sind brauchbar 18: 2. U(S) U(S) S(U) 2. U(S) S(U) U(S) 2. S(U) U(S) U(S) 4. U(S) U(S) P oder I: 4. U I(P) I(P) oder an Stelle U, S. 4. I(P) U J(P) und S an Stelle U.
   

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   Sie sind im Ganzen ungleich, solange keines mit dem anderen aus der gleichen Bedeutung ist, und so geht ein beliebiger Syllogismus 3 Arten ein, so oft wie andere so oft können 4 Dinge zu 4 vereinigt werden, nämlich 4 Mal. Drei aber werden im Verhältnis der Ordnung 6 Mal verändert, z. B. U, P, I; U, I, P; P, U, I; P, I, U; I, U, P; I, P, U. Also 4 ·  6 macht 24. Aus denen sind 12 brauchbar. 2: U, P(I.) I(P), 2. I(P) U. P. (I); ebenso viele wenn man für U S setzt. 4 + 4 macht 8. 2. U(S) S (U)P; ebenso viele wenn man für P I setzt. 2 + 2 macht 4. Zählen wir jetzt zusammen: 4 + 36 + 24 macht 64. Diese sind nur die Veränderungen des Umfangs. Von denen sind brauchbar: 2 +  18 +  12 macht 32. Die übrigen fallen unter Regel 1 aus reinen besonderen folgt nichts; 2. Die Schlussfolgerung übertrifft keine von den Prämissen im Umfang, wenn sie auch vielleicht manchmal von beiden übertroffen wird, wie beim Barbari.
   Ferner gibt es nur zwei Verschiedenheiten bei der Beschaffenheit, A und N, Behauptungen aber 3, daher bedarf es der Wiederholung, und entweder ist das Verfahren ähnlich, das heißt von derselben Beschaffenheit, oder unterschiedlich: dies ist nichts anderes als Veränderung, weil es niemals i, dem Ganzen, sondern immer in einem Teil unterschiedlich ist, denn niemals sind alle Behauptungen unterschiedlich, weil es nur 2 Verschiedenheiten gibt. Es gibt 2 gleiche Arten: A, A, A; N, N, N; 2 ungleiche: A, A, N oder N, N, A; ungleich wird einzig das Verhältnis der Ordnung 3mal verändert, z. B. A, A, N; N, A, A; A, N, A. Also 2 · 3 macht 6 + 2 macht 8. So oft wird die Beschaffenheit verändert. Von denen sind 3 Veränderungen brauchbar: A A A; N A N; A N N, nach Regel 1 aus den nur verneinenden folgt nichts; 1. Die Schlussfolgerung folgt zum geringeren Teil aus der Beschaffenheit. Aber weil das Verfahren die gleichzeitige Veränderung der Beschaffenheit und des Umfangs ist, und so lassen einzelne Veränderungen des Umfangs einzelne der Beschaffenheit zu, daher 64 · 8 macht 512. Die Anzahl aller brauchbaren und unbrauchbaren Verfahren.

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   Aus diesen findet man die brauchbaren so: multipliziere die brauchbaren Veränderungen des Umfangs mit der Beschaffenheit, 32 · 3 macht 96; vom Produkt ziehe alle Verfahren ab, die im Frisesmo enthalten sind, das ist welche zwar im Verhältnis der Beschaffenheit A, N, N sind, im Verhältnis des Umfangs aber ein Hauptsatz I oder P ist, im Untersatz aber U oder S, und die Schlussfolgerung I oder P, was so viele sind 8. Denn der Frisesmo ist, wenn auch das Verfahren an sich gewissermaßen stockend ist, dennoch in keiner Figur ist, siehe unten, jetzt 96 - 8 macht 88. Die Anzahl brauchbarer Verfahren von Johannes Hospinianus, dem unser Verfahren unbekannt war, ist es anders, aber auf Umwegen gelungen. Zuerst untersucht er deshalb im Kapitel 2 und 3 die 36 aristotelischen Verfahren aus der Verknüpfung U, P, I unter Auslassung von S und der Schlussfolgerung; von denen sind 8 brauchbar UA, PA im Darius und im Datisus, PA, UA im Disamis, UA, UN im Camestres, UN, UA im Celarent, Cesare, Felapton, UA, IN im Baroco, UN, IA in Ferio, Festino, Ferison, IN, UA im Bocardo. Zu denen addiert er im Kapitel 4 einzigartige ähnliche gleichee SA, SA, SN, SN, 2 ungleiche aus drei Arten einzeln umgedreht, und zu beliebigen entweder A oder N z.B. 3 · 2 · 2 macht 12 + 2 macht 14.

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   Von diesen lässt Johannes Hospinianus nur UA, PA zu und setzt sie in den Darii. Weil einzelne mit teilweise zutreffenden gleich zu setzen sind, sagt er, mit der allgemeinen Lehre der Logik, was wir jedoch bald als falsch zu sein zeigen werden. Im Kapitel 5 fügt Johannes Hospinianus den einzelnen eben so viele ungleiche hinzu, nämlich 14, aus denen Johannes Hospinianus nur SN, UA zulässt in den Bocardo, ebenso UN, SA in den Ferio. In Kapitel 6 zählt er bei zugefügter Schlussfolgerung gleichsam nochmals beginnend die gleichen ähnlichen Verfahren 4 · 2 macht 8, von diesen sind brauchbar nur UA, UA, UA im Barbara, Johannes Hospinianus zufolge ähnliche ungleiche sind entweder aus allen ungleichen, darüber unten, oder zum Teil, von denen nun, wo zwei Behauptungen von demselben Umfang sind, die dritte wie auch immer verschieden; und dann vorausgesetzt dass nur zwei allgemein gültig sind, eine unbestimmt, in welchem Falle die Verfahren 6 sind (denn eine wird entweder an den Anfang, oder in die Mitte, oder ans Ende gesetzt 3, und immer sind entweder alle A oder N 3 · 2 macht 6) oder im Gegenteil sind es auch 6 nach Kapitel 7 macht 12. Aus den vorhergehenden ist nur 6 brauchbar UA, IA, IA im Darii und Datisi, ebenso IA, UA, IA im Disamis, ebenso UA, UA, IA im Darapti, und wie Johannes Hospinianus nicht unpassend sagt, im Barbari. Gewiss weil aus der Behauptung UA zwei PU folgen, eine umgekehrt, entsteht hier ein Verfahren des mittelbaren Baralip; abwechselnd mit der untergeordneten 1 z. B. Alle Tiere sind körperlich. Alle Menschen sind Tiere. Also Irgendein Mensch ist körperlich. Daher entsteht dieser Barbari. Eben so viele, nämlich 12, Verfahren gibt es durch den Katipel 8, wenn zwei U und ein P verknüpft werden, oder umgekehrt; und diese sind brauchbare Verfahren, die in der nächsten Mischung sind, wenn man für I P setzt. Eben so viele, nämlich 12, Verfahren gibt es nach Kapitel 8, wenn zwei U und ein S nach Kapitel 9 verbunden werden, und weil Johannes Hospinianus S für P hat, glaubt er es gibt nur ein brauchbares Verfahren im Darii UA, SA, SA, siehe unten. Ebenso 12 IIP oder PPI alle unbrauchbar nach Kapitel 10. Ebenso 12 IIS oder SII, alle, wie von ihm geglaubt wird, unbrauchbare nach Kapitel 11. Ebenso 12 PPS oder SSP, alle, wie von ihm geglaubt wird, unbrauchbare nach Kapitel 12. Nun macht 6 · 12 macht 72 + 8 macht 80, die Anzahl der ähnlichen Verfahren zu den zugefügten Veränderungen der Schlussfolgerung. Unähnliche Verfahren sind entweder gleich oder ungleiche. Gleiche sind aus nur entweder U oder P oder I oder S, 4 Arten die durch das Verhältnis der Beschaffenheit so verändert werden: NNA, ANN usw. 6mal, wie wir vorher gesagt haben Nr. 20 nun 6 · 4 macht 24, siehe Kapitel 13 brauchbar ist: UA, UN, UN im Camestres.

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   Unähnliche ungleiche sind entweder aus allen ungleichen, weil keine Behauptung anders ist als gleich, darüber unten, oder aus einem Teil, wie zwei gleich seien, eine ungleich, dazu jetzt. Und wir haben gesagt alle Veränderungen des Umfangs gehen zurück, über diese in ähnlichen aus Kapiteln 7, 8, 9, 10, 11, 12 auf einzelne von beiden gegensätzlichen; die Verfahren aber bewirken hier mehr als dort, wegen der hinzukommenden Veränderung der Beschaffenheit. Es war daher im Kapitel 7 UUI oder umgekehrt IIU. Die Anordnung des Umfangs wird 3mal verändert, weil z. B. I alsbald am Anfang, alsbald in der Mitte alsbald am Ende gesetzt wird.Ferner wird die Verknüpfung der Beschaffenheit sowohl 2mal verändert, NNA oder AAN, als auch die Reihenfolge 3mal wie oben gesagt, das Setzen von A oder N an den Anfang oder die Mitte oder das Ende, also3 ·  2 ·  3 macht 18 von UUI, und dagegen auch 18 von IIU macht 36 nach Kapitel 14. Die vorigen 18 brauchbaren haben die Verfahren: UA, UN, IN; oder anstelle IN, PN oder SN, und sie sind nach Art des Camestres, wie oben der Barbari; UN, I(PS)A, I(PS)N in Ferio, Festino und Ferison, der jedoch zuletzt keinen Platz in S hat; I(PS)N, UA, I(PS)N im Bocardo. Ähnlich haben UUP oder PPU 36 Verfahren. Die brauchbaren haben wir kurz zuvor durch P in () bezeichnet. Ähnlich machen UUS oder SSU ebenfalls 36 Verfahren nach Kapitel 15. Die brauchbaren Verfahren haben wir im vorigen mit S gekennzeichnet. IIP oder PPI machen genauso 36 nach Kapitel 16, die Verfahren sind alle unbrauchbar. IIS und SSI und PPS und SSP machen 2 · 36 = 72 Verfahren nach Kapitel 17, die alle unbrauchbar sind. Hierhin haben wir immer wieder die ungleichen verschoben aus dem Ganzen, wo keine Behauptung im selben Syllogismus vom gleichen Umfang ist, sie sind aber entweder ähnlich oder unähnlich; die ungleichen aus den ganzen gleichen sind: UIP, deren Form 12 Verfahren hat, denn 3 Dinge verändern ihre Anordnung 6mal, die Beschaffenheit aber wird 2mal verändert; also 6 · 2 macht 12 nach Kapitel 18, wo die unbrauchbaren sind: UA, I(PS)A, P(IS)A, UA, P(IS)A, I(PS)A im Darii und Datisi; I(PS)A, UA, P(IS)A, P(IS)A, UA, I(PS)A im Disamis, außer was den Untersatz in der dritten Form nicht mit S beginnt; UPS und UIS, die 24 Verfahren haben nach Kapitel 10. Die brauchbaren haben wir vorher durch S gekennzeichnet. IPS, welche 12 Verfahren hat nach Kapitel 20; aber alle sind gemäß Johannes Hospinianus unbrauchbare.

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   Die unähnlichen sind insgesamt ungleich durch dasselbe Verfahren, wie die gleichen: UIP welches die Anordnung 6mal verändern, die Beschaffenheit aber verändern sie 6mal; also 6 · 6 macht 36 nach Kapitel 21. Brauchbare Verfahren sind: UA, I(PS)N,P(IS)N im Baroco; UN, I(PS)A, P(IS)N im Ferio, Festino und Ferison. I(PS)N, UA, P(IS)N im Bocardo. UIS und UPS. 36 · 2 macht 72 nach Kapitel 22. Brauchbare Verfahren haben wir vorher durch S und P und I in () gekennzeichnet. IPS hat 36 Verfahren nach Kapitel 23, alle unbrauchbar gemäß der Lehre von Johannes Hospinianus. Zählen wir nun alle berechneten Verfahren von Kapitel 6 bis einschließlich 23 zusammen (denn die vorhergehenden sind auf diese zurückgegangen) 80 + 24 + 36 + 36 + 36 + 36 + 72 + 12 + 24 + 12 + 36 + 72 + 36. Oder 80 + 12 · 36 macht 512. Von diesen Betrachtungen des Johannes Hospinianus loben wir einige, einige wünschen wir uns. Wir loben die Erfindung neuer Verfahren: Barbari, Camestres, Celaro, Cesaro; wir loben was er richtig erkannt hat, Verfahren, für die sie gewöhnlich Namen erfunden haben, z. B. Darii u. s. w. halten sich für unzählige Verfahren gleichsam Abstammung zur Art, denn unter Darii ist enthalten dieser neue aus dessen Annahme: UA, IA, IA; UA, SA, SA; UA, PA, PA; UA, IA,SA; UA, SA, IA; UA, JA, PA; UA, PA, IA; UA, SA, PA; UA, PA, SA. Aber wir können es nicht auf gleiche Weise prüfen, weil er einzelne vergleicht mit besonderen, welche Sache alle seine Überlegungen verwirrt, und bewirkt seine brauchbaren Verfahren nur wenig richtig, wie bald ersichtlich wird. Hier bekennt er selbst i, Kapitel 22 Seite 430 in "Über den Streit der Dialektiker" sich zu irren und er lässt 38 brauchbare Verfahren zu, nämlich 2 mehr als die vorigen 36. 1. Im Darapti, weil aus nur UA SA geschlossen wird, weil ja Christus so geschlossen hätte Lukas 23, Verse 37, 38; 2. im Felapton, weil aus UN und UA geschlossen wird, SN weil Paulus Römer 9, Vers 13 geschlossen hat. Wenn wir auch erkennen so wird es gewöhnlich verstanden, erachten wir alle anderen für wahrer. Nämlich diesen: Sokrates ist der Sohn des Sophroniskos von Alopeke, wenn es aufgelöst wird etwas gemäß des Verfahrens von Johann Raue, wird man es so haben: Wer auch immer Sokrates ist, ist der Sohn des Sophroniskos von Alopeke. Und es wird nicht schlecht gesagt: Jeder Sokrates ist der Sohn des Sophroniskos von Alopeke, wenn er auch der einzige wäre, (denn wir sprechen nicht vom Namen, sondern über jenen Menschen) ähnlich wie wenn ich sagte: Dem Titius gebe ich alle Kleider, die ich habe, ich vermache sie, wenn ich auch ein einziges hätte, wer bezweifelt es ist ihm geschuldet? Allerdings verweilt er den Rechtsberatern zufolge an der Universität in einer I. Stadt 7. D. weil allgemein der hochgeschätzte Name August Benedict Carpzov Seite 11, Kapitel VI, Definition 17. Denn der Ausspruch: alles, verursacht nicht die Vielzahl sondern das Verständnis einzelner. Allerdings unterstellt Sokrates hätte keinen Vater gehabt, sage ich so richtig: Der Sohn aller Sophroniskos von Alopeke ist Sokrates. Was wir über diese Behauptung sagen werden: Ist dieser Mensch gelehrt? Woraus wir richtig schließen werden: Petrus ist dieser Mensch, also ist Petrus gelehrt. Der Ausdruck dieser ist aber eine einzigartige Bezeichnung. Deshalb hören wir allgemein sagen: jede einzigartige Behauptung ist im Verhältnis des Verfahrens im Syllogismus für das allgemeine zu halten, ebenso jede unbestimmte für eine den Teil betreffende. Daher zählt er indes nur 36 brauchbare Verfahren, es sind jedoch 88, darüber oben, nichtsdestoweniger unter Auslassung von Veränderungen die aus der Figur entstehen. Denn die zu verschiedenen Figuren gehörenden Verfahren, das ist die zum Umfang und der Beschaffenheit gehörigen, sind einfach eines, z. B. Darii und Datisi. Die einfachen Verfahren aber benenne ich, nicht durch berechnete Veränderung der Figuren, die Geformten dagegen sind solche Verfahren der Figuren, welche sie gewöhnlich zählen. Handle also, dass nicht was unvollständig wäre, und zu dem wir herabstiegen solange der Schwung währte. Für die Figur werden drei Begriffe gefordert: der Vordersatz, den wir mit dem griechischen μ Vordersatz, den Untersatz den wir mit dem lateinischen M Untersatz bezeichnen werden, dem Mittleren mit dem deutschen 𝔐 Mittelbegriff, und einzelne zweimal. Daraus werden 3 Verknüpfungen von 2 gemacht, die hier Behauptungen genannt werden, deren letzte die Schlussfolgerung ist, die vorigen Prämissen. Die allgemeinen Regeln um jede Figur von 2 zusammenzustellen sind: 1. niemals werden zwei gleiche Begriffe von zusammengestellt, denn keine Behauptung ist MM oder Untersatz Untersatz. 2. M Untersatz und 𝔐 Mittelbegriff werden ausschließlich in der Schlussfolgerung zusammengestelltgestellt, so dass immer M vorangestellt wird nach der Methode M𝔐. 3. in den Prämissen werden in der 𝔐 und M zusammengestellt, in der zweiten M und μ.Denn ich halte es nicht für eine Veränderung der Figur, jedes mal wenn irgendwer die Prämissen umstellen, und anstelle dessen: B ist C, A ist B, also A ist C, stellen sie so: A ist B, B ist C, also A ist C, wie Petrus Ramus, Pierre Gassendi es anordnen, ich weiß nicht welcher J. C. E. das sonderbare Büchlein herausgegeben hat, und schon seit Alkinoos stellen sie immer den Obersatz nach, den Untersatz vor. Aber das verändert nicht die Figur, im Übrigen wären so viele Figuren, wie die Rhetoriker als Veränderungen zählen, solange im gewöhnlichen Leben die Schlussfolgerung bald am Anfang, bald in der Mitte, bald am Ende welche sie beachten.

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   Es ist somit offensichtlich, dass die Veränderung der Figuren aus der Anordnung des Mittelbegriffs in den Prämissen entsteht, wenn sie nur dem Vordersatz vorangestellt wird, dem Untersatz nachgestellt wird, welche das I. aristotelische Verfahren ist, im Vorder- und Untersatz nachgestellt, welches das II. aristotelische Verfahren ist, beiden vorangestellt, welches das III. ist, dem Vordersatz nachgestellt, dem Untersatz vorangestellt, welches das IV. des Galenos von Pergamon ist (irrtümlich von Johannes Hospinianus in " De Controversiis dialecticis" Fragestellung 19 dem Johannes Duns Scotus zugeschrieben, weil dieser ihn an Averroës erinnert hätte) was Thomas Hobbes bestätigt in "Erster Teil der Grundlagen der Philosophie über Körper" Kapitel 4, Abschnitt 11 bestätigt. Sie werden so bezeichnet werden: I. 𝔐 Mittelbegriffμ Vordersatz·M Untersatz𝔐 Mittelbegriff, M Untersatzμ Vordersatz, II. μ VordersatzM Untersatz, M Untersatz𝔐 Mittelbegriff, M Untersatzμ Vordersatz III. 𝔐 Mittelbegriffμ Vordersatz, 𝔐 MittelbegriffM Untersatz, M Untersatzμ Vordersatz. IV. μ Vordersatz𝔐 Mittelbegriff, 𝔐 MittelbegriffM Untersatz, M Untersatzμ Vordersatz. Der IV. Figur widerspreche ich inzwischen mit Gegnern in einem: Die vierte Figur ist genau so gut wie die erste selbst; allerdings wenn nur nicht des Prädikats, wie man allgemein gewohnt ist, sondern des Subjekts, wie Aristoteles wir diejenige aussagten, aus IV wird I gemacht und umgekehrt. Denn Aristoteles ist gewohnt diese z. B. die Behauptung: alles α ist β als alles β ist in α enthalten auszusprechen. Die Bezeichnung der vierten Figur entsteht so: 𝔐 Mittelbegriff ist dann enthalten in μ Vordersatz, M Untersatz, ist dann enthalten in 𝔐 Mittelbegriff, also M Untersatz ist μ Vordersatz; oder wie die Schlussfolgerung auch so ausgedrückt wird, die umzustellenden Vordersätze und die Schlussfolgerung wird sein: Also μ Vordersatz ist dann in M Untersatz enthalten. Dasselbe kann mit anderen Figuren gemacht werden, welches Kunststück bisher niemand beachtet hat.

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   Im übrigen entsteht die zweite aus der ersten, aus umgestellten Obersätzen; die dritte durch umgestellte Untersätze; die vierten aus umgestellter Schlussfolgerung, aber hier wird ein anderer Syllogismus erzeugt, weil es eine andere Schlussfolgerung ist. So dass dessen vierte Verfahren als mittelbare Verfahren der ersten Figur zu bezeichnen sind wie sie gewöhnlich genannte werden, wenn man nur den Vordersatz dem Untersatz voranstellt, nicht umgekehrt, dass allein wegen dieses Grundes gewöhnlich gegen den Brauch aller dieser Figuren, dass die vierte des Galenos von Pergamon vermieden würde, Tatsache ist, z. B. es sei der Syllogismus im Baralip: jedes Tier ist ein Wesen, jeder Mensch ist ein Tier, also jedes Wesen ist ein Mensch. Sicher ist Wesen ein untergeordneter Begriff, deshalb ist die Prämisse in die er eingefügt wird, eine nachgeordnete, und als Folge ist die Behauptung diese: Jedes Tier ist ein Wesen, sie kann nicht vom ersten auf den zweiten Platz gesetzt werden, dann wird ganz leibhaftig die vierte Figur hervorgehen.

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   Wegen dieser Umstellung der Behauptungen, welche die Syllogismen gewöhnlich in den Celantes setzen, sind sie im Fapesmo, anstelle von Frisesmo ist Fresismo zu sagen, anstelle von Datibis Ditabis; Baralip bleibt. Das sind die Verfahren der vierten Figur, denen ich Celanito und Colanto zufüge. Es werden zugleich 6 Verfahren sein: die ersten sind 6: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaro; die zweiten 6 Verfahren: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaro, Camestres; die dritten Verfahren ebenfalls 6: Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison. So wird ein bisher unbekannter Gleichklang der Figuren entdeckt, denn einzelne Verfahren sind gleichwertig. 1) in der erste und der zweite Figur ist aber immer ein Vordersatz U allgemeingültig ; 2) die erste und dritte ist immer ein Untersatz A bejahend ; 3) in der zweiten ist die Schlussfolgerung immer N verneinend ; 4) in der dritten ist die Schlussfolgerung immer P gilt nur zum Teil ; in der vierten ist die Schlussfolgerung niemals U allgemeingültig A bejahend , im Hauptsatz niemals P gilt nur zum Teil N verneinend , und wenn der Untersatz N verneinend ist, ist der Obersatz U allgemeingültig A bejahend . Infolge dieser Regeln wird gemacht, dass nicht jede beliebiger der 88 brauchbaren Verfahren in jeder beliebigen Figur ihren Platz hat; ohnehin wären die brauchbaren Verfahren 4&nbsP,· 96 macht 348. Die Verfahren aber werden in der brauchbaren und unbrauchbaren Welt gebildet 512 · 4 macht 2048. Welche aber in welcher Figur brauchbar sind lehrt das gegenwärtige Schema:

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   0

   4

   3

   2

   1

   8

   UA, UA, UA.

   SA, SA, SA.

   UA, UA, SA.

   UA, SA, UA.

   SA, UA, UA.

   SA, SA, UA.

   SA, UA, SA.

   GA. SA, SA.

   1 …

   —

   —

   —

   Barbara.

   8

   UN, UA, UN.

   SN, SA, SN.

   UN, UA, SN.

   UN, SA, UN.

   SN, UA, UN.

   SN, SA, UN.

   SN, UA, SN.

   UN, SA, SN.

   2 …

   —

   —

   Cesare.

   Celarent.

   8

   UA, UN, UN.

   SA, SN, SN.

   UA, UN, SN.

   UA, SN, UN.

   SA, UN, UN.

   SA, SN, UN.

   SA, UN, SN.

   UA, SN, SN.

   3 …

   —

   —

   Camestres.

   —

   8

   UA, UA, PA.

   UA, UA, IA.

   SA, SA, PA.

   SA, SA, IA.

   UA, SA, IA.

   UA, SA, PA.

   SA, UA, IA.

   SA, UA, PA.

   4 …

   Baralip.

   Darapti.

   —

   Barbari

   8

   UN, UA, PN.

   UN, UA, IN.

   SN, SA, PN.

   SN, SA, IN.

   UN, SA, IN.

   UN, SA, PN.

   SN, UA, IA.

   SN, UA, PN.

   5 …

   Celanto.

   Felapt.

   Cesare.

   Celaro.

   8

   UA, UN, PN.

   UA, UN, IN.

   SA, SN, PN.

   SA, SN, IN.

   UA, SN, IN.

   UA, SN, PN.

   SA, UN, IN.

   SA, UN, PN.

   6 …

   Fapesmo.

   —

   Camestres.

   —

   8

   UA, IA, IA.

   UA. PA, PA.

   UA, PA, IA.

   UA, IA, PA.

   SA, IA, IA.

   SA, PA, PA.

   SA, PA, IA.

   SA, IA, PA.

   7 …

   —

   Datisi.

   —

   Darii.

   8

   UN, IA, IN.

   UN, PA, PN.

   UN, PA, IN.

   UN, IA, PN.

   SN, IA, IN.

   SA, PA, PN.

   SN, PA, IN.

   SN, IA, PN.

   8 …

   Fresismo.

   Ferison.

   Festino.

   Ferio.

   8

   UA, IN, IN.

   UA, PN, PN.

   UA, PN, IN.

   UA, IN, PN.

   SA, IN, IN.

   SA, PN, PN.

   SA, PN, IN.

   SA, IN, PN.

   9 …

   —

   —

   Baroco.

   —

   8

   IA, UA, IA.

   PA, UA, PA.

   IA, UA, PA.

   PA, PA, UA.

   IA, SA, IA.

   PA, SA, PA.

   IA, SA, PA.

   PA, SA, IA.

   10 …

   Ditabis.

   Disamis.

   —

   —

   8

   IN, UA, IN.

   PN, UA, PN.

   IN, UA, PN.

   PN, PA, UN.

   IN, SA, IN.

   PN, SA, PN.

   IN, SA, PN.

   PN, SA, IN.

   11 …

   Colanto.

   Bocardo.

   —

   —

   Es verbleibt

   8

   IA, UN, IN.

   PA, UN, PN.

   IA, UN, PN.

   PA, UN, IN.

   IA, SN, IN.

   PA, SN, PN.

   IA, SN, PN.

   PA, SN, IN.

   12

   Frisesmo.

   —

   —

   —

   In der [Tabelle] sind alle brauchbaren Verfahren beschrieben, aus denen acht immer ein allgemeines Bildungsverfahren darstellen, solche aber nenne ich jene gewöhnlich benannten, in denen U und S, ebenso I und P für ein und dasselbe gehalten werden: Die Zeilen der Verfahren selbst bestehen aus vier Gruppen von Dreien, in jeder der Zeilen stimmen im Umfang überein, unterscheiden sich für drei jener brauchbaren durch die Unterschiede der Beschaffenheit. Aber die Dreiergruppen unterscheiden sich untereinander durch den Umfang, in die Reihenfolge gestellt die wir über die Veränderungen finden, auf deren vier alle vorher gefundenen zurückgeführt werden, weil hier U und S, ebenso I und P zurückgeführt werden auf dieselben. An den Rand einer beliebigen Zeile haben wir die gebildeten allgemeinen Verfahren gestellt, in deren besonderes Verfahren es fällt. In der obersten haben wir die Nummer der Figur bezeichnet.

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   Daraus wird aber offensichtlich, dass die gebildeten Verfahren allgemein sind entweder einzige oder entsprechende, und diese entweder 2 oder 3 oder 4, je nachdem mehre oder weniger einer Zeile sind entgegengesetzte. Einzelne der Zeilen haben weiterhin ein einfaches allgemeines Verfahren, das wir durch Anwendung von Vokalen erklären können, wie gewöhnlich, wenn A sei UA (oder SA), E sei UN (oder SN), I sei P (oder I)A, O sei P(I)N (so werden außerdem 4 Vokale ausgelassen U für IA, Y für IN, OY oder sein SA, ω für SN; welche zur Erklärung von Johannes Hospinianus Johann Regius gesetzt hat, siehe "Commentariorum Ac Disputationum Logicarum" Buch 4 Fragestellung 5), und so ist das Verfahren der Zeile 1 AAA, 2. EAE. 3. AEE, 4. AAI, 5. EAO, 6. AEO, 7. AII, 8. EIO, 9. AOO, 10, IAI, 11, AEE, 12. IEO, durch die verworfenen Konsonanten nämlich aus den gewöhnlichen Sprachen, in denen die Scholastiker durch geeignete Figur, durch Vokale einfache Verfahren bezeichnet haben. Aber das letzte Verfahren: IEO, das wir Fresesmo genannt haben, und in die Nullte Figur angeordnet haben, ist deswegen unbrauchbar, weil der Oberbegriff P ist (daher hat er keinen Platz in 1 und 2), der Unterbegriff aber N (daher hat er keinen Platz in 1 und 3), wenn er auch nach den Regeln der Verfahren nicht unbrauchbar wäre. Was aber in den 4 keinen Platz hat, zeige ich mit dem Beispiel: Ein gewisses Seiendes ist ein Mensch, kein Mensch ist dumm, also ist ein gewisses Dummes kein Seiendes.

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   Und auch hier werde ich beiläufig einen brauchbaren Rat zur Verfügung stellen, der und sogar durch dieses Beispiel bewiesen wird, auf dem der Beweis beruht, wenn ich so sagen will, oder eine Kunst das vorgeschlagene Verfahren zu prüfen, und wo immer nicht die Formen, sondern durch die Kraft des Stoffs schließt er, gegenwärtig schneller zu finden ist, wie bei den Logikern insofern zu lesen ich mich nicht erinnere. In Kürze: Für UA wird die Behauptung genommen, die nicht erlaubt die Materie einfach umzuwandeln, z- B. wird dies besser genommen: Jeder Mensch ist ein Tier, als: Jeder Mensch ist ein verständiges Tier, und damit wird eine entlegenere Art genommen, dies wird man für genauer halten. Für UN würden ein solche ausgewählt, welche Art voneinander verneint würde wie besonders zueinander benachbarte unter derselben nächsten Art, z. B. der Mensch ist eine Bestie, und die nicht durch Umkehrung in UA umwandelbar sei oder deren unbegrenzter Begriff weder ein Subjekt noch ein Merkmal wäre. Für P(I)A wird immer genommen ein solches, das nicht ein Unterbegriff irgendeines UA wäre, sondern in dem von der Art wie die besondere Gattung äußerst allgemein gesprochen wird. Für (I)PN wird genommen, was nicht irgendeinem UN nachgeordnet ist, und dessen unbegrenzter Begriff keiner von beiden ist, und in dem die Gattung von der Art am weitesten entfernt verneint wird.

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   Was wir über das Vermeiden von unbegrenzten Begriffen gesagt haben, deren Überlegung wird jetzt offensichtlich werden. Es ist hervor gegangen eines gewissen Johann Christoph Sturm "Zusammenstellung der Allgemeinbegriffe oder der euklidischen Metaphysik", herausgegeben in Oktav in Den Haag im Jahre 1660 (1661) bei Adriaan Vlacq. Dem er von ihm dargelegte neue syllogistische Verfahren angehängt hat, die alle entsprechend der üblichen Lehre in der einen oder beiden der beiden Regeln der Bedeutung anzustoßen scheinen. Aus rein negativen folgt nichts; und: die Schlussfolgerung folgt der Bedeutung aus der schwächeren Prämisse. Denn dass das Argument richtig fortschreitet, oder die bejahende unbegrenzte Behauptung des Gegenstands annimmt, der für eine begrenzte Negative stünde, oder umgekehrt, z. B. sind sie gleichbedeutend. Irgendein kein Stein ist ein Mensch, und irgendein Stein ist kein Mensch (aber ich merke an, dass in umfassendem Gegenteil nicht fortzufahren ist, z. B. jeder Stein ist kein Mensch, also ist alles, was kein Stein ist, ein Mensch); entweder nähme er eine Verneinende des unbegrenzten Prädikats an für das bejahende begrenzte oder das Gegenteil, z. B. sind sie gleichbedeutend: jeder Philosoph ist nicht kein Mensch, und: er ist ein Mensch; oder 3. Oder er nimmt anstelle des gegebenen das umgekehrte als dessen Umkehrung. Nun wird UA durch Umkehrung umgewandelt in UN, U und PN in PA, so ist es einfach aus rein negativem das Bejahende hervorzubringen, wenn dessen Verneinungen so beschaffen sind, dass sie für das Bejahende stehen; ebenso aus A und N das Bejahende hervorzubringen, wenn diese für das Negative stünden. So ist offensichtlich, alle jene 8 Veränderungen der Beschaffenheit brauchbar sein werden, und als Folge werden die brauchbaren Verfahren 32 · 8 macht 256 sein nach unserer Berechnung. Ähnlich wird die Überlegung zu dessen Syllogismus sein, über den die Logiker streiten: Wer auch immer nicht glaubt, wird verdammt, Die Juden glauben nicht, also werden sie verdammt. Aber dessen Lösung ist vorschnell, der Untersatz ist bejahend, weil der mittlere Begriff bejaht wird vom nachfolgenden. Der mittlere Begriff aber ist nicht: zu glauben, sondern: nicht zu glauben, denn das ist im Obersatz vorhanden gewesen. Ich kann hier nicht das Verfahren Darapti aus der geistreichen Erfindung unseres berühmten Jakob Thomasius übergehen. Dieser hat erkannt aus Petrus Ramus "Scholae Dialecticae" Buch 7, Kapitel 6 Seite 214 Marginalie, die Umwandlung kann im Syllogismus gezeigt werden durch Hinzufügen der gleichen Behauptung, z. B. UA in PA so: jedes α ist γ, jedes α ist α (wenn man im 3. Verfahren des Darapti, oder jedes γ ist γ, wenn im 4. Verfahren des Baralip), also ein gewisses γ ist α. Ebenso PA in PA so: ein gewisses α ist γ, jedes α ist α (wenn man im 3. Verfahren des Disamis will, oder jedes γ ist γ, wenn im 4. Verfahren des Ditabis), also ein gewisses γ ist α. Ebenso UN in UN (im 2. Cesare) so: Kein α ist γ, jedes γ ist β, also ist kein γ ein α. Ebenso PN entweder im 3. Baroco so: jedes α ist α, ein gewisses α ist nicht γ, also ein gewisses γ ist nicht α (oder im 4. Colanto: ein gewisses α, ist nicht γ, jedes γ ist γ, also ein gewisses γ ist kein α.) Ebenso hat er sich deshalb in der Umwandlung durch Umkehrung versucht, z. B. dessen PN: irgendein Mensch ist nicht gelehrt, in dieser PA des unbegrenzten Subjekts: ein gewisses nicht gelehrtes ist ein Mensch. Der Syllogismus im Darapti wird so beschaffen sein: Jeder Mensch ist ein Mensch, ein gewisser Mensch ist nicht gelehrt, also ein gewisser der nicht gelehrt ist, ist ein Mensch. Zwei Dinge müssen hier jedoch beachtet werden, der Untersatz wird gemäß der Lehre von Johann Christoph Sturm gewissermaßen als anderes gesetzt gelten: ein gewisser Mensch ist nicht gelehrt; darauf wird alles besser so gesagt: dessen Behauptung: Irgendein Mensch ist nicht gelehrt, umgewandelt durch Umkehrung ins verneinende ist sie auch passend: ein gewisses nicht gelehrtes ist nicht kein Mensch, und durch Umwandlung durch Umkehrung muss die umgekehrte identische sein, das zeigt der Syllogismus nun nicht so sehr im Darapti, sondern im Baroco: Jeder Mensch ist nicht kein Mensch (das ist: jeder Mensch ist ein Mensch), ein gewisser Mensch ist nicht gelehrt, also was nicht gelehrt ist ist nicht kein Mensch (das ist ein gewisses nicht gelehrtes ist ein Mensch).

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   Übrigens meine ich, dass jene Verfahren von Johann Christoph Sturm nicht durch Überlegung der Form, sondern der Bedeutung schließen, weil was entweder begrenzte oder unbegrenzte Begriffe wären, sich nicht auf die Form der Behauptung oder die Verbindung oder die Bezeichnung bezieht, sondern auf die Begriffe. Wir werden endlich aufhören mit den Verfahren, denn wenn wir auch hoffen wenigstens die gewöhnlichen angeführt zu haben, denn es hat auch die Neuheit in sich den Verdruss. Vom Vorhaben aber abgelassen zu haben wird mancher sagen, der alles aus der vertrauten Lehre der Veränderungen die ich erforscht habe gesehen hätte, die fast einzig durch alles unbegrenzte gehorchenden sich den Sinn ableitet, und die Harmonie der Welt und den innersten Aufbau der Dinge und die Folge der Formen versteht, dessen unglaublicher Nutzen endlich durch die vollkommene Philosophie, oder nahezu vollkommene richtig beurteilt werden wird.

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7. Der 7. Gebrauch ist nämlich bei zu verschränkenden geometrischen Figuren, in welcher Angelegenheit Johannes Kepler das Eis in 2. Buch der "Fünf Bücher der Harmonie der Welt" gebrochen hat. Durch diese Verknüpfungen kann nicht nur durch neue grenzenlose Lehrsätze die Geometrie bereichert werden, denn die neue Verknüpfung erzeugt eine neue zusammengesetzte Figur, deren nun zu betrachtenden Eigenschaften, erstellen wir neue Theoreme, wir denken uns neue Beweise aus, aber auch (wenn es freilich wahr ist, dass bedeutendes aus geringem zusammengesetzt wird, sei es dass man dieses Atome oder Moleküle nennt) ist es der einzige Weg in die Geheimnisse der Natur einzudringen, weil durch diese gesagt wird, dass jeder einzelne die vollkommenere Sache erkennt, durch die Teile der großen Sache und Teile der Teile, er deren Figuren und Stellungen verstanden hat. Diese Erwägung der Figuren ist zuerst gegenstandslos in der Geometrie oder Stereometrie zu erforschen: von da an, wenn man sich der Naturwissenschaft und dem Dasein zuwendet, oder das, was wirklich in den Körpern gefunden wird, wird offenbar die Tür der Physik weit, und das Aussehen der Bestandteile, und der Ursprung und die Mischung der Eigenschaften und der Ursprung der Mischung und die Mischung der Mischungen, alles was uns bisher an der Natur rätselhaft erschien.

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   Was das betrifft werden wir einen kurzen Vorgeschmack geben, durch die wir vieles verstehen würden: jede einfache Figur ist entweder geradlinig oder gekrümmt. Denn alle symmetrischen Geradlinigen, sind gemeinsam Grundlage aller: das Dreieck. Aus dessen verschiedenen passenden Verknüpfungen entstehen alle zusammentretenden geradlinigen Figuren (das ist die nicht lückenhaften = geschlossenen Figuren). Aber von den Kurven kann weder der Kreis in ein Oval u. s. w. noch umgekehrt überführt werden, auch nicht zu etwas gemeinsamen. Keines der beiden aber ist einem Dreieck und zusammengesetzten Dreiecken symmetrisch. Weiterhin ist ein beliebiger Kreis zu irgendeinem Kreis symmetrisch, denn ein beliebiger kann irgendeinem konzentrisch zu sein verstanden werden; Das Oval aber oder die Ellipse sind diesen symmetrisch welche konzentrisch verstanden werden; so ist auch jedes Oval nicht dem Oval symmetrisch usw. Das zu den einfachen; nun zu den Verknüpfungen. Die Verknüpfung ist entweder deckungsgleich oder lückenhaft; übereinstimmend dann, weil die äußeren Linien der zusammengesetzten Figuren oder die Umfänge niemals einen äußeren Winkel bilden, sondern immer einen inneren. Äußerlich aber wird ein Winkel gebildet, indem ein Bruchteil des Kreises zwischen die gezogenen Linien des Winkels beschrieben aus dem Schnittpunkt gleichwie dem Mittelpunkt, er fällt außerhalb der Figur, zu deren Umfang die den Winkel bildenden Linien gehören: innerhalb, weil innen. Nicht geschlossen ist eine Verknüpfung, wenn irgendein Winkel außerhalb gebildet wird. Bei Sternbildern aber ist die Verknüpfung eine offene, alle deren Radien (das ist die Linie die die Sternbilder umgibt den äußeren Winkel bildend) sind gleich, so dass wenn es einem Kreis eingeschrieben wird, er über all diesen Radius berührt. Übrigens nenne ich die offenen Verknüpfung der Figuren Geflechte, besonders die kongruenten Figuren. Denn es gibt sowohl einige gebildete Geflechte, als auch offene Figuren die ich zum Gegensatz zusammentretende nenne.

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   Nun gibt es die Lehrsätze:

   1. Wenn zwei unsymmetrische Figuren sich berühren wird (denn die Verknüpfung ist entweder eine unmittelbare Berührung, oder eine mittelbare, zwischen dem dritten und dem ersten, jedes mal ist das dritte mit dem zweiten verbunden, und das zweite entweder mittelbar oder unmittelbar mit dem ersten), eine offene Verknüpfung bewirkt.
   2. Die Berührung aller Kurven untereinander ist offen, außer die eine wird mit einer Bereich anderer Symmetrie zur gegebenen konzentrisch umgeben.
   3. Jede Berührung der Kurven mit Geraden ist offen, außer die Geraden werden in die Mitte des Bereichs gelegt. Den Bereich aber nenne ich den Rest in der Figur der größeren Kurve, ausgenommen die konzentrische der kleineren. Bei der Berührung der Geraden wird aber entweder der Winkel vom Winkel, oder der Winkel der Linie eingesetzt.
   4. Wenn der Winkel dem Winkel einbeschrieben wird oder der Linie, ist die Berührung in einem Punkt.
   5. Die offene Berührung aller Kurven untereinander ist in einem Punkt.
   6. In gleicher Weise ist die Berührung aller derer mit einer Geraden auch nicht offen.
   7. Eine Linie kann nur mit einer Linie der gleichen Art überlagert werden, z. B. eine Gerade mit einer Geraden, eine Kurve mit der gleichen Art und des gleichen Abschnitts.
   8. Wenn eine Linie mit einer gleichen überlagert wird, ist die Berührung geschlossen, wenn sie ungleich ist, offen.

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   Es ist aber zu beachten, dass viele Figuren an einem Punkt ihrer Winkel zusammengesetzt werden können, das Geflecht aller ist äußerst offen. Aber deshalb kann auch gemacht werden, dass zwei oder mehr Berührungen offen wären, eine dritte oder mehrere kämen hinzu, und erzeugte eine Figur, oder geschlossene Verknüpfung. So dass eine neue Betrachtung entsteht, welche Figur oder Geflecht durch welche Zugabe aus dem Geflecht eine Figur machen würde, was verstanden zu haben von großer Bedeutung ist für die zu vollendende Öffnung der Dinge. Es verbleibt, dass wir aus unseren Anweisungen aufstellen, zu der erforderlich ist dass die Anzahl der Figuren bestimmt wird zum vollendeten Geflecht, und die zu verknüpfenden Figuren bestimmt werden; denn jede der beiden anderen ist unendlich. Aber das ist jedem beliebigen leicht gemäß der abgezählten Fälle und Lehrsätze zu zeigen; uns reicht es für andere eilende eine Skizze gezogen zu haben zur Behandlung der bisher gewöhnlich vernachlässigten Geflechte. Es geziemte sich vielleicht diese Lehrmeinung durch Schemata zu veranschaulichen, aber die Verstehenden werden es nicht benötigen; die Unerfahrenen, wenn dieser Fall eintritt, werden so viel zu verstehen nicht beurteilen.

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8. Der achte Gebrauch ist bei den Rechtsberatern in der Fallgestaltung. Denn nicht immer ist ausschließlich auf den Gesetzgeber zu warten, wenn nur ein Fall auftauchte, und es ist besser sich auf die Gesetze der Klugheit zu verlassen so sehr als möglich am Anfang ohne Fehler zu setzen, als auf die Einschränkung und Richtigstellung des Glücks. Selbst wenn ich verschwiege, dass die Rechtslage in einem beliebigen Staat deshalb besser ist, wo sie weniger im Ermessen des Richters liegt. Platon im Buch 9 über die Gesetze, Aristoteles Buch I über Rhetorik, Giacomo Menochio "Über die willkürlichen Fragen und Fälle der Richter" Buch 1 Vorwort Nr. 1.

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   Ferner wird die Kunst der gestalteten Fälle in unserer Lehre über die Verknüpften begründet. Denn die Rechtsgelehrtheit ist in anderen ähnlich der Geometrie, ferner ist was diese als Bestandteile hat, bei der anderen der Fall. Bestandteile sind einfache, in der Geometrie Figuren: Dreieck, Kreis, u. s. w. in der Rechtsgelehrtheit: Verfahren, Zusage, Rechtsübertragung, u. s. w. Die Fälle: die Verknüpfung derer, die nach beiden Seiten unendliche variabel sind. Die Bestandteile der Geometrie hat Euklid zusammengestellt, die Bestandteile des Rechts sind in deren Sammlung enthalten, auf beiden Seiten werden jedoch außerordentlich Fälle zugemischt. Aber die einfachen Begriffe in der Rechtswissenschaft, durch deren Mischung weitere entstehen, und gleichsam die Gemeinplätze, und die höchsten Arten zu sammeln hat Bernardus von Lavinheta begonnen, ein Mönch aus dem Orden der Minoriten, in der Sammlung der Ars Magna des Llull, siehe diesen.

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   Wir sehen das so: Begriffe deren Verknüpfung in der Rechtspflege entsteht durch die Verschiedenheit der Fälle sind: Personen, Gegenstände, Taten, Recht. Die Arten der Personen sind bald natürliche wie: Mann, Frau, Zwitter, Ungeheuer, Tauber, Stummer, Blinder, Kranker, Neugeborener, Knabe, Jüngling, Bursche, Mann, Greis, so wie auch andere zu wünschende Unterschiede aus dem Körperlichen, die einen besonderen Einfluss auf das Recht hätten; bald künstliche, allerdings Lebensarten, Körperschaften oder Vereine und ähnliches. Berufsbezeichnungen gehören nicht zu dieser, weil sie verknüpft werden aus Fähigkeit und Verpflichtung; aber zum Recht.

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   Dinge sind bewegliche, unbewegliche, teilbare (einheitliche), unteilbare, körperliche, unkörperliche, und insbesondere: der Mensch, das zahme Tier, das Wildtier, das Raubtier, der Schädling; das Pferd, das Wasser, Grund und Boden, das Meer u. s. w., und insgesamt alle Dinge, zu denen es ein besonderes Recht gibt. Deren zu suchenden Unterschiede stammen von den Physikern.

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   Die Geschäftsvorgänge (aber nicht die Handlung oder der Zustand) ist zu erwägen wie natürliche: so teilbare, unteilbare es verbleiben vollendete Abschlüsse oder sie sind vorübergehend gemacht; Besitztum das ein materielles Eigentum ist, Übergabe, Diebstahl, Gewalt, Mord, Verletzung; Schuld, hierhin der Umstand der Zeit und des Ortes, diese Unterschiede sind ebenso aus der Physik zu verlangen; zu den moralischen: so sind Taten freiwillige, erzwungene, unumgängliche, vermischte, bedeutende, unbedeutende; unter den bedeutenden Worte, Ratschläge, Aufträge, Anweisungen, Versprechungen, Annahmen, Verabredungen. Diese ganze Vielfalt der Worte und die Bedeutung von den Sprachlehrern. Endlich haben Geschäftsvorgänge entweder eine Wirkung des Rechts oder nicht und jene gehören allerdings zur Liste der Gesetzessammlung die sie erzeugen, diese sind von staatlichen und moralischen reich aufzuzählen.

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   Der Gegenstand der Rechte werden auf gleiche Weise aufgezählt oder unterschieden nach der Art. Und diese sind freilich z. B. gegenständliche, persönliche; reine, verbreitete, unbestimmte; bewegliche oder einer Person oder einer Sache zugehörige u. s. w. Gattungen z. B. uneingeschränkt Besitzrecht, Nutzungsrecht; Lehndienste mit Sachen oder persönlich; oder Nießbrauch; Eigentumsnutzung, das Recht in Besitz zu nehmen, die Verabredung durch Verjährung zu erwerben; Zwang, Verpflichtung (tätig genommen); Dienstzwang, Leitungszwang, Möglichkeit Zwang auszuüben. Ferner die gemäß dem Gesetz das zu anzuwenden ist angewandten Rechtsgeschäfte sind folgende: Beschwerde, oder das Recht den Wunsch darzulegen vor Gericht, dessen Art gemäß der Begründung der Ordnung: Klage, Verteidigung, Gegendarstellung, u. s. w. nämlich in der Verhandlung; bald in Schriftform oder anderen außerhalb des Termins; das Bittgesuch für die Vorladung durchzusetzen zur Überprüfung, u. s. w. Aber die Sammlung der Gesetze wird nur aus der Rechtswissenschaft vollzogen.

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   Wir haben hier schnell alles angeführt was in den Sinn kommt, wenigstens dass unser Verstand erkannte; andere einfache Begriffe können durch eigenen Fleiß ergänzt werden. Wir haben hier schnell alles angeführt was in den Sinn kommt, wenigstens dass unser Verstand erkannte; andere einfache Begriffe können durch eigenen Fleiß ergänzt werden. Aber so dass er bloß diese Begriffe verwendet, die umgekehrt wieder einfache sind, das ist deren Vorstellung nicht aus anderen einheitlichen zusammengesetzt wird, obgleich an allgemeinen Stellen, deren Anordnungen gegenwärtig auf einen sehr mächtiger Kunstgriff zurückgeht, wird es möglich sein die umfassten Begriffe durch einfache sehr benachbarte auch gleich wie einen eigentümlichen Titel anzuordnen, z. B. die Entschädigung, die zusammengesetzt wird aus der Verpflichtung des Titius dem Gaius und desselben Gaius dem Titius in der teilbaren Sache , einheitlich oder gleichmäßig, die von beiden in höchster Eintracht gelöst wird. (vgl. G. W. Leibniz: De Casibus Perplexis, XVIII)

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   Aus der Verknüpfung von 2, oder, 3 u. s. w. deren einfachen Begriffe, bald mit sich selbst mehrfach wiederholt, bald mit anderen und in derselben Zusammenstellung, durch Veränderung der Stellung schreitet die Ordnung des Falls fast grenzenlos fort wer sieht das nicht? Sogar wer dies genauer untersuchen wird, wird Regeln finden zur Ermittlung einzigartigere Fälle u. s. w., wir haben einiger dieser Art zusammengefasst, aber bisher unvollendetere, als dass wir wagen sie anzufügen.

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   Entsprechend ist die Überlegung der Begriffe in der Theologie, die geradezu irgendwie eine spezielle Rechtswissenschaft ist, aber mit derselben grundsätzlichen Bedeutung der anderen. Denn es ist wie ein gewisses Lehrgebiet des öffentlichen Rechts, das die Menschen im Staat Gottes festhält, wo die Ungläubigen gleichsam Widerspenstige sind, die Kirche wie die guten Untertanen, die geistlichen Personen, sogar auch die öffentlichen Würdenträger wie die untergeordneten Würdenträger, Exkommunikation wie Kirchenbann, die Lehre von der Heiligen Schrift und dem Wort Gottes wie von den Gesetzen und deren Auslegung; vom Kanon welcher die ursprünglichen Gesetze, von den grundsätzlichen Irrtümern gleichsam von den Kapitalverbrechen, vom letzten Gericht des jüngsten Tages wie vom Gerichtsprozess und dem vorherbestimmten Ende, von der Erlass der Sünden wie von Recht zu begradigen, von der ewigen Verdammnis wie von der Todesstrafe u. s. w.

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9. So weit zum Gebrauch der Verknüpfungen in den Einteilungen zu findenden; es folgt die neunte Anwendung: Aus den gegebenen Arten der Teilung, die vorläufige Einteilung oder untergeordnete Gattungen und Arten zu finden. Und zwar wenn nämlich die Teilung, deren Arten gegeben sind, die Dichotomie ist, hat die Fragestellung keine Bedeutung, denn diese ist auch nicht weiter kürzbar; wenn aber eine Polytomie ganz und gar.

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   Denn es ist die Trichotomie unter den Polytomien die kleinste, oder drei Arten der gegebenen Gattung: a, b, c; die Verknüpfung von 3 dieser ist deshalb so viel wie 1 in der obersten gegebenen Gattung; die Vereinigungen aber 3; dort geht die höchste Gattung selbst hervor, hier die unterste Art selbst, zwischen die Verknüpfung von 3 aber und die Vereinigung es verbleibt nur die Verknüpfung von 2. Aber es gibt 3 Verknüpfung von 2 für drei Dinge, daher entstehen 3 dazwischen liegende Gattungen, nämlich abgeleitet oder die folgende nächste Gattung ab, ebenso die folgenden bc, ebenso die folgenden ac. Ab er zu einer Gattung wird benötigt, dass sie bald einzelnen entspricht, bald dass es von allen angenommen entgegengesetzt veränderbar sei.

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   Durch ein Beispiel wird die Sache deutlicher. Der gegebene Gattungsbegriff sei der Staat, er wird 3 Arten haben, an der Stelle A die Monarchie, als B die Oligarchie, Polyarchie oder die Aristokratie, an Stelle von C die Panarchie; denn zweimal werden wir bequemst von den Begriffen Gebrauch machen, damit es ersichtlich wird, und vom Begriff der Panarchie wenn auch in anderem Sinne, wird von Bruder Patritius im Band seiner eigentümlichen Werke so betitelt, in dem er die himmlischen Rangordnungen erklärt hat. So wie von der Bezeichnung der Polyarchie gewöhnlich für Oligarchie und Panarchie gebraucht wird von Marcus Zuerius van Boxhorn im Buch 2 Kapitel 5 des Werks "Staatliche Ordnungen" also 1) die nachgeordnete Gattung die folgende AB oder der Monarchie und der Adelsherrschaft sei die Oligarchie.

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   Denn es herrschen entweder nicht alle: Oligarchie oder aber einer: Monarchie, oder viele: Oligarchie, Polyarchie, oder alle: Panarchie. 2) die folgende nachgeordnete Gattung BC wird die Polyarchie sein; denn es regiert entweder einer: Monarchie, oder viele: Polyarchie (in der entweder nicht alle: Polyarchie. Oligarchie, oder alle: Panarchie). 3) die nachgeordnete Gattung folgende AC ist der oberste Staat. Denn die Art des Staates die eine liegt zwischen der Aristokratie (daher auch der doppelte Name: Oligarchie Polyarchie), die andere die höchste. Die äußersten aber sind in denen einer regiert, ebenso in denen alle regieren.

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   So haben wir in den geringsten offenbar die Polytomie, Trichotomie dem Gebrauch der Verknüpfungen folgend gemacht, wie viele, bitte ich sehr, in der Einteilung der Eigenschaften in 11 Arten, sie werden von anderen ähnlichen Veränderungen sein? Wo nicht nur einzelne Verknüpfungen von 2, sondern auch von 3 u. s. w. bis zu Verknüpfungen von 10, und es werden durch berechnete Gattung in der Höhe und durch schwache Arten in der Welt die Verknüpfungen oder die möglichen Gattungen und Arten 2047 sein.

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   Denn unser Sinn ist sicherlich so sehr schöpferisch beim Ableiten, dass er aus wie vielen gegebenen Dingen auch immer, die Gattung derer finden kann, das ist die gemeinsame Vorstellung von einzelnen und außer denselben keine. Allerdings wenn er es auch nicht finden würde, wird Gott es wissen, die Engel werden es finden; deshalb ist es die Grundlage aller derartiger Abstraktionen.

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   Diese ergeben eine so große Mannigfaltigkeit der nachgeordneten Gattungen, dass in vorläufig Eingeteilten oder in zu erstellenden Tabellen, auch beim Finden von irgendjemandem gegebenen in den untersten Arten der Einteilung betreten die Autoren verschiedene Wege die Brauchbarkeit, und sie gelangten alle nichtsdestoweniger bei denselben Unterarten. Das wird erkennen, wer die Scholastiker nach der Anzahl der Kategorien der Kardinaltugenden befragt, der von Aristoteles erkundenden abgezählten Tugenden, Stimmungen u. s. w.

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10. Es ist Zeit von den Einteilungen zu den Aussagesätzen zu kommen, ein anderer Teil der logischen Erfindungen. Der Aussagesatz besteht aus dem Subjekt und dem Prädikat, deshalb sind alle Aussagesätze Verbindungen von 2. Deshalb ist die Fragestellung der analytischen Logik der Aussagesätze zu lösen: 1) zu dem gegebenen Subjekt die Prädikate; 2) zu dem Prädikat die Subjekte zu finden, und von beiden bald bestätigend bald verneinend.

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    Das hat Ramon Llull im Opusculum Raymundinum de Auditu Kabbalistico, Tractat 1, Kapitel Abbildung 1 Seite 46 erkannt, und wo er die vorigen wiederholt auf Seite 239 der Ars Magna. Dieses, damit er zeige, vie viele neue Vordersätze aus jenen seinen sehr allgemeinen Begriffen: Güte, Größe, Dauer u. s. w. entstehenm, welche einzelnen von einzelnen erklärt werden können sagt er, er zeichnet einen Kreis dem er eine regelmäßige neuneckige Figur einschreibt, an jede Ecke schreibt er einen Begriff, und von jeder Ecke zu jeder anderen zieht er eine gerade Linie. Es gibt 36 solcher Linien, so viele wie Verknüpfungen von 2 für 11 Dinge. Und weil die Stellung in jeder beliebigen Vereinigungen von 2 zweifach verändert werden kann, oder ein beliebiger Vordersatz einfach verwandelt wird, erzeugt er 36 · 2 macht 72, das ist die Anzahl der llullianischen Vordersätze. Allerdings wird der gesamte Kunstgriff Ramon Llulls von solchen Verknüpfungen vollendet, siehe dessen Werke in Strasburg im Jahre 1698 im Oktavformat herausgegeben Seiten 49, 53, 68, 136, die wiederholt werden auf den Seiten 240, 244, 245. Ebenso hat er eine übereinstimmende Tabelle erstellt mit 84 Spalten, deren jede 20 Verknüpfungen enthält, in denen zählt er die Zusammenstellungen von 4 seiner Ordnung mit alphabetischen Buchstaben bezeichnet; diese Tabelle nimmt die Seiten 260 bis 266 ein. Eine Tabelle der Zusammenstellungen von 3 aber findet man bei Heinrich Cornelius, gen. Agrippa von Nettesheim in "Kommentare zu Raymund Llulls kurze Kunst", die 9 Seiten einnimmt, von Seite 863 bis einschließlich 871. Dieselben führt zum größten Teil aus, aber kürzer Johann Heinrich Alsted in "Der Aufbau der Kunst Llulls" enthalten in dessen Sammlung der "Kunst zu erinnern" Seite 47 und folgende.

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    Es gibt aber diese einfachen Begriffe:

    1. I. Vollkommene Eigenschaften: Güte, Größe, Dauer, Macht, Weisheit, Wille, Tugend, Wahrheit, Ruhm;
    2. II. Bezogene: Verschiedenheit, Eintracht, Gegensatz, Grundsatz, Vermittelndes, Ende, Mehrheit, Gleichheit, Minderheit;
    3. III. Fragen: wer von beiden, was, von wem, warum, wie viel, wie beschaffen, wann, wo, auf welche Weise (mit wodurch);
    4. IV. Subjekte (Handelnde): Gott, Engel, Himmel, Mensch, Vorstellung, Wahrgenommene, Lebende, Grundlegende, Benutzbare;
    5. V. Tugenden: Gerechtigkeit, Klugheit, Mut, Mäßigung, Glaube, Hoffnung, Nächstenliebe, Geduld, Barmherzigkeit;
    6. VI. Sünden: Habgier, Fresssucht, Verschwendung, Hochmut, Verdruss, Missgunst, Zorn, Lüge, Unbeständigkeit.

    Wenn auch Janus Cäcilius Frey in "Via ad divas scientias artesque, linguarum notitiam, extemporaneos sermones nova et expedita" Teil XI, Kapitel I die 3. Und 6. Klasse auslässt.

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    Weil somit in den einzelnen Klassen 9 Dinge sind, und 9 Dinge 511 einfache Verknüpfungen haben, werden in einzelnen Klassen ebenso viele Verknüpfungen sein, ferner ist herzuleiten nach Fragestellung 3 Klasse für Klasse 511 · 511 · 511 · 511 · 511 · 511 macht 17.804.320.388.674.561, die sechste Potenz von 511. Dass ich alle jene Veränderungen beiseitelasse, durch die der gleiche Begriff wiederholt wird, ebenso durch die eine Klasse wiederholt wird, oder aus einer Klasse mehrere Begriffe eingesetzt werden.

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    Und diese sind nur Verknüpfungen, zu denen ich sagen würde es sind Veränderungen der Stellung, wenn sie in Verknüpfungen gezogen werden würden. Und deshalb werde ich hier nebenbei die Fragestellungen erklären: "Die Veränderungen der Stellung oder die Anordnungen in Verknüpfungen zu ziehen, oder von gewissen gegebenen Dingen alle Veränderungen ebenso der Verknüpfung oder der Materie, wie den Platz oder die Form ist zu finden. Alle einzelnen Verknüpfungen der gegebenen Anzahl werden zusammengezählt (z. B. von der Anzahl 4: 4 Vereinigungen, 6 Zusammenstellungen von 2, 4 Zusammenstellungen von 3, 1 Zusammenstellung von 4) es wäre die Veränderung der Anordnung einzelner Exponenten gefragt nach Fragestellung 4 unten (z. B. 1 gibt 1, 2 gibt 2, 3 gibt 6, 4gibt 24), diese wird multipliziert mit der Verknüpfung ihrem einzelnen oder über den gegebenen Exponenten (z. B. 1 · 4 macht 4, 2 · 6 macht 12, 4 · 6 macht 24, 1 · 24 macht 24). Die Zusammenstellung aller Faktoren wird aus der Zusammenführung der Anordnungen in Verknüfungen gemacht, das ist das gesuchte (z. B. 4 + 12 + 24 + 24 macht 64)". Aber von den Begriffen Ramon Llulls wünsche ich mehr.

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    Denn dessen Vorgehen ist mehr auf die zu erörternde Kunst aus der Zeit gerichtet, als die vollkommene Wissenschaft von der gegebenen zu erfassenden Sache, wenn nicht aus Absicht Ramon Llulls, sicher aus der seiner Anhänger. Die Anzahl der Begriffe hat er nach Ermessen bestimmt, daher sind es 9 in den einzelnen Klassen. Warum hat er unter die absoluten Prädikate, die völlig abstrakt sein sollen, Wohlwollen, Wahrheit, Weisheit, Mut, Ruhm zusammengenommen, warum hat er Schönheit ausgelassen, oder Figur, warum Anzahl? Den relativen Prädikaten hätte er sehr viel mehr zurechnen müssen, z. B. den Grund, das Ganze, den Teil, das Erforderliche, u. s. w. Darüber hinaus Mehrheit, Gleichheit, Minderheit ist nichts anderes als Übereinstimmung und Unterschied der Größe. Zu den Fragen nach den vollständigen Prädikat-Klassen gehört: wer von beiden es wäre, ist des Daseins, das die Dauer an sich zieht; was des Wesens; warum, des Grundes, von wem, des Objekts; Wie viel, der Größe, wie beschaffen, der Beschaffenheit, die die Gattung der absoluten Prädikate ist; wann, der Zeit; wo, des Ortes; auf welche Weise, der Form; mit wem, des Begleiters: alle Begriffe sind, welche entweder bezogen sind auf Prädikate, oder darauf gerichtet. Und warum er wie lange auslässt, ob es nicht mit der Dauer zusammenfiele? Warum er also andere gleiche Übereinstimmung dazu gibt, schließlich werden auf welche Weise und mit wem unglücklich vermischt.

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    Die letzten Klassen aber, Sünden und Tugenden sind geradewegs vom Allgemeinwissen so weit unentdeckt. Auch ist die berichtigende Durchsicht selbst derer wie ist sie zum Teil unvollständig, zum Teil überflüssig! Er hat die ersten 4 der Kardinaltugenden betrachtet, dann 3 theologische, warum nun aber Geduld zugefügt wird, die von der Tapferkeit umfasst wird wie man sagt; warum die Frömmigkeit, das ist die Liebe Gottes, die in der Nächstenliebe enthalten ist? offenbar um die Lücke zu den Neun auszufüllen. Warum hat er auch die Sünden selbst nicht als Gegenteil der Tugenden betrachtet? Als ob wir nicht verstünden, dass in der Tugend das Gegenteil, und in der Sünde die Tugend ist? aber in den Sünden werden 27 herausstehen. Denn es gibt hauptsächlich diese Grade des Seins: Gott, Engel, Himmel (nach der peripatetischen Lehre ein unzerstörbares Seiendes), Mensch, vollkommene Bestie (oder eine Vorstellung habend), unvollständige (oder nur einen Sinn, gleich wie sie von den Zoophyten erzählen), Pflanzen. Die gemeinsame Form der Körper (welche aus der Zusammenmischung der Grundstoffe entstehen, die sich auf alle unbelebten beziehen.), Die künstlichen (die er Werkzeuge nennt). Diese sind es deren Verknüpfung Ramon Llull benutzt, über die das Urteil, jedenfalls ausgereift, des ehrwürdigen Mannes Pierre Gassendi in einem besonderen Kapitel der Werke seiner epikureische Logik T. 1. Deshalb hat vor einiger Zeit Giordano Bruno (Nolano) im Vorwort der Durchforschung auf Seite 684. es die Kunst der Verknüpfung von 2 Ramon Llulls genannt.

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    Aber ich meine, es ist was der unsterbliche Athanasius Kircher jene seine lange versprochene große Kunst des Wissens, oder neue Pforte der Wissenschaften, durch den Titel Verknüpfungen von2 gezeigt hatte, welche über alle Dinge durch grenzenlose Überlegungen erörtert wird, und die Zusammenfassung aller Erkenntnis enthalten kann (auf diese Weise hat Pierre Grégoire aus Toulouse seine Syntax der wunderbaren Kunst beschrieben) unter der Bezeichnung Verknüpfung von 2 gezeigt hat. Deshalb wünsche ich eines, dass ein Mann mit riesigem Verstand erhabener als sowohl Ramon Llull als auch Pierre Grégoire aus Toulouse in das innerste der Dinge eindränge, und was wir zuvor angenommen haben, deren Entwürfe wir hergeleitet haben, welche wir unter unsere Wünsche setzen, vollendete, was über den verhängnisvollen Erfolg dessen bei der Erklärung der Wissenschaften nicht anzuzweifeln ist. Und wir haben uns dies gewiss nicht vorgenommen nicht sowohl der vermehrten Arithmetik, und wenn wir es auch gemacht haben, als der analytischen Logik die Quellen zu öffnen, durch die Aufgabe des Herolds die Fliehenden, und was in der Liste der Wünsche von seinem Zuwachs der Wissenschaften Francis Bacon, Baron Verulam gemacht hat, was für hinreichend zu halten ist, wenn der Argwohn solcher Künste von den Menschen erzeugten, wie er mit unglaublichem Erfolg der menschlichen Art anderes hervorbrächte.

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    Deshalb betreibe denn der Kombinatorik (denn so wollen wir lieber, denn nicht jede Verknüpfung ist eine Zusammenstellung von 2) dass uns das Festzustellende sichtbar werde, zeichnen wir einen ersten Entwurf. Der gründlichste Untersucher der Grundlagen in allen Dingen Thomas Hobbes hat verdientermaßen alle Werke unseres Verstands als Berechnung gesetzt, aber diese werden erlangt entweder durch die Summe zu addieren oder die Differenz zu subtrahieren; in "Erster Teil der Grundlagen der Philosophie über Körper" Kapitel 1 Absatz 2. Deshalb gibt es auf welche Weise auch immer zwei hauptsächliche Zeichen der Algebraiker und der Analytiker + und -, dergestalt zwei gewissermaßen Verknüpfungen ist und ist nicht: jenes setzt der Verstand zusammen, dieses trennt er. In diesem Sinne ist deshalb dieses "Ist" und "ist nicht" keine passende Verbindung, sondern Teil des Merkmals; es gibt aber zwei Verknüpfungen, eine benannt "nicht", die andere unbenannt, sie wird aber eingeschlossen in "ist", jedes Mal selbst nicht zugefügt: "nicht", was er selbst gemacht hat, dass dieses "Ist" für eine Verbindung gehalten werde. Wir könnten einen Hilfsausdruck anwenden: "in der Tat", z. B. Der Mensch ist in der Tat ein Tier. Der Mensch ist nicht ein Stein. Aber dies nebenbei.

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    Ferner wenn aus diesen feststeht alles würden zuwege gebracht, um dessen Kunst Kategorien aufzustellen und wie das Thema der Analyse anzuwenden ist. Die Analyse ist dies:

    1. Jeder gegebene Begriff wird in formale Teile zerlegt, oder dessen Definition würde aufgestellt werden; diese Teile aber wiederum in Teile oder die Definition der Definition der Begriffe; so lange bis zu den einfachen Teilen oder unbestimmten Begriffen. Denn ού δεἰ παντὀς ὃρον ζητεἰν; und die letzten jener Begriffe werden nicht mehr durch die Definition, sondern durch Entsprechung verstanden.
    2. Alle gefundenen Hauptbegriffe werden in eine Klasse gelegt, und sie würden bezeichnet werden mit gewissen Merkmalen; es wird bequem sein sie zu nummerieren.
    3. Unter die Hauptbegriffe werden nicht nur Dinge gegeben, sondern auch Verfahren und Betrachtungen.
    4. Weil alle entstandenen Begriffe den Abstand zu den Hauptbegriffen verändern, je nachdem aus den vielen hauptbegriffen sie zusammengesetzt werden, oder je nach dem was der Exponent der Verknüpfung ist, daher sind so viele Klassen zu machen, wie es Exponenten gibt, und in jede Klasse werden Begriffe zusammengefasst, die aus der selben Zahl erster zusammengesetzt wurden.
    5. Die entstandenen Begriffe wird man nicht anders als durch Verknüpfung von 2 beschreiben können, wie die zuschreibenden Hauptbegriffe, aus denen sie zusammengesetzt wurden, und weil die Hauptbegriffe durch Zahlen bezeichnet sind, würden zwei Zahlen den zwei Begriffen zugeschrieben werden.
    6. Aber die durch Verknüpfung von 3 entstandenen Begriffe oder auch die Verknüpfungen anderer größerer Exponenten, oder Begriffe die in der 3. und folgenden Klasse sind, einzelne können ebenso oft unterschiedlich geschrieben werden, wie viele hat ein Exponent Verknüpfungen einfach betrachtet nicht mehr wie der Exponent, aber wir die Anzahl der Dinge. Der Gebrauch IX hat hier seine Grundlage, z. B. sollen die ersten Begriffe mit diesen Zahlen bezeichnet 3, 6, 7, 9, und es wäre der entstandene Begriff in der dritten Klasse, oder die durch Verknüpfung von 3 gebildeten, nämlich aus 3 einfachen 3, 6, 9, und es seien in der zweiten Klasse die Verknüpfungen diese: [1] 3 6 [2] 3 7 [3] 3 9 [4] 6 7 [5] 6 9 [6] 7 9. Ich behaupte jene gegebenen Begriffe der dritten Klasse können entweder so geschrieben werden: 3 6 9, alle sind einfache auszudrücken; oder einen einfachen auszudrücken, und an Stelle der beiden übrigen einfachen eine Verknüpfung von 2 zu schreiben, z. B. so: ½ 9 oder 3⁄2 6 oder 5⁄2 3. Was diese gleichsam Brüche bedeuten wird gleich gesagt werden. Aber um wieviel die Klasse von der ersten entfernter ist, desto größer ist die Veränderung. Denn immer sind die Begriffe der vorhergehenden Klasse gewissermaßen untergeordnete Arten zu den gewissen Begriffen der nachfolgenden Veränderung.
    7. Jedes Mal wenn der entstandene Begriff außerhalb seiner Klasse erwähnt wird, wird er nach Art des Bruchs geschrieben, dass die obere Zahl oder der Zähler die Nummer der Stelle in der Klasse ist; die untere oder Nenner, die Nummer der Klasse.
    8. Es ist bequemer, in den darzustellenden gebildeten Begriffen nicht alle Hauptbegriffe, sondern die dazwischen liegenden zu schreiben, wegen der Vielzahl, und aus diesen jene sich zeigen die am meisten von der Sache verstehen. Aber alle Hauptbegriffe zu schreiben ist grundlegender.
    9. 9) Diese können so aufgestellt werden, dass alle Subjekte und Prädikate gefunden werden, sowohl die bekräftigenden wie die negierenden, sowohl die allgemeinen wie die eingeschränkten. Denn die Prädikate der gegebenen Subjekte sind alle Hauptbegriffe dessen; ebenfalls alle ähnlichen gebildeten von den Hauptbegriffen, deren sind alle Hauptbegriffe in den gegebenen gegeben. Wenn also der gegebene Begriff, der ein Subjekt sein muss, als Hauptbegriff geschrieben worden ist, ist es leicht diejenigen ersten zu finden, die von selbst vorhergesagt würden, die gebildeten aber auch zu finden wird gegeben, wenn in den anzuordnenden Verknüpfungen die Reihenfolge bewahrt worden ist. Wenn der gegebene Begriff zu den gebildeten geschrieben worden ist, oder zum Teil zu den gebildeten, zum Teil zu den einfachen, jeder der hervorgehoben werden wird von dessen gebildeten, wird von den gegebenen hervorgehoben werden. Und diese sind freilich alle Prädikate der weiteren von den engeren, die Bekanntmachung aber ist gleich von den gleichen, weil die Definition von dem Begriff, das ist entweder sind alle der Hauptbegriffe dessen oder gebildete, oder die gebildeten und einfachen, in denen alle jene Hauptbegriffe enthalten sind, werden festgelegt von dem gegebenen. Diese sind so viele, wie von den Verfahren die wir gerade gesagt haben, es kann ein Begriff geschrieben werden.

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    Aus diesen wird nun einfach sein, durch die Zahlen alle Prädikate zu erforschen, die von jedem gegebenen Subjekt erklärt werden können, oder alle U A. Die Aussagen von dem gegebenen Subjekt, allerdings von der ersten der einzelnen Klassen bis einschließlich zu der gegebenen Klasse, werden die Zahlen selbst in der Reihenfolge ihrer Nenner oder Exponenten gesetzt, z. B. 1. (für die erste Klasse), 2. (für die zweite Klasse), 3. 4. u. s. w. Jedem einzelnen würde so wie nicht mehr länger dem Exponenten, sondern wird ihre einfache Verbindung mit der Zahl zugewiesen z. B. 1 3 7 15, 6 Verbindungen von 2, 4 Verbindungen von 3, 1 Verbindung von 4; die einzelnen einfachen Verknüpfungen der Klassen werden multipliziert mit der besonderen Verknüpfung der höchsten Klasse, die den gleichen Exponenten mit der Zahl ihrer Klasse hat, z. B. 1 · 4 macht 4, 3 · 6 macht 18, 4 · 7 macht 28, 15 · 1 macht 15; die Addition aller Faktoren wird die Anzahl aller Prädikate des gegebenen Subjekts sein, so dass es für die Aussage UA ist, z. B. 4 + 18 + 28 + 15 macht 65.

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    Die Prädikate für die Aussagesätze PA oder die Anzahl der besonderen verstärkenden Aussagesätze werden so untersucht: die Prädikate UA des gegebenen Begriffs werden gefunden, wie vor kurzem gesagt worden ist, und die Subjekte UA, wie in Kürze erklärt werden wird; beide Zahlen werden addiert, weil aus dem Aussagesatz UA PA entsteht, entweder durch einfache Umkehrung, oder durch Unterordnung; das Ergebnis wird das gesuchte sein.

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    Die Subjekte im Aussagesatz UA des gegebenen Begriffs sind entweder alle gebildeten Begriffe, in denen der gegebene Begriff enthalten ist, welche nur in aufeinander folgenden Klassen vorkommen, und daher entsteht ein engeres Subjekt, oder alle gebildete Begriffe die die gleichen einfachen Begriffe mit dem gegebenen enthalten, mit einem Wort die Definitionen desselben Begriffs, oder die Veränderungen diesen zu schreiben, dass sie gegenseitig gleiche Subjekte sind.

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    Die Anzahl der Subjekte werden wir so berechnen: man finde die Anzahl aller Klassen. Von diesen gibt es so viele, wie erste Begriffe in der ersten Klasse sind, z. B. gibt es in der ersten Klasse so viel wie 5 Begriffe, wird es auf der Welt 5 Klassen geben, nämlich in der ersten Vereinigungen, in der zweiten Verknüpfungen von 2, in der dritten Verknüpfungen von 3, in der vierten Verknüpfungen von 4, in der fünften Verknüpfungen von 5. So wird auch die Anzahl aller folgenden Klassen gefunden werden, durch Subtraktion der Zahl der Klasse der gegebenen Begriffe, z. B. 2 von der Anzahl der universellen Klassen 5, es verbleibt 3. Die Anzahl der Klassen aber oder der Hauptbegriffe unterstellen wir als Anzahl der Dinge, die Anzahl der Klasse dem Exponenten, es wird die Anzahl der Begriffe in der Klasse dasselbe sein mit den besonderen Verknüpfungen durch die Anzahl und den Exponenten, z. B. von 5 Dingen gibt es 5 Vereinigungen, 10 Verknüpfungen von 2 und 3, 5 Verknüpfungen von 4, 1 Verknüpfung von 5; deshalb werden so viele in einzelnen Klassen sein dem Exponenten entsprechend den Begriffen, vorausgesetzt dass es 5 erste Begriffe gibt. Außerdem wird der gegebene Begriff, dessen Subjekt gesucht wird, dem Hauptsatz wird der Verknüpfungen entsprechen; die engeren Subjekte durch die Verknüpfungen selbst ist nämlich der gegebene Hauptsatz. Deswegen werden wir die engeren Subjekte der gegebenen Begriffe finden, wenn wir diese Fragestellung lösen können:

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    "Bei gegebenem Vordersatz die Verknüpfungen zu finden, ist teils einfach (so werden wir alle engeren Subjekte finden) teils besonders, oder bei gegebenem Exponenten (so werden wir jene finden die in der gegebenen Klasse sind). Die Fragestellung werden wir hier sofort vorläufig lösen, wenn dessen Gebrauch offenbar ist, dass wir wo nicht ohne gesetzt hätten, durch neue Beispiele nötig hätten. Die Lösung ist daher diese: von der Anzahl der Dinge, z. B. 5: a, b, c, d, e wird der Exponent des gegebenen Vordersatzes abgezogen, z. B. a, b 2 - 5 macht 3 oder a 1 - 5 macht 4. Wir nehmen an, dass der gegebene Vordersatz entweder eine Vereinigung ist, oder eine Verknüpfung von 2; denn die Schlussfolgerung verlangt dass es so ist. Der Untersatz wird ebenso vom Exponenten abgezogen, von dem auf gleiche Weise der Exponent des gegebenen Vordersatzes. Wenn deshalb welcher Exponent auch immer gegeben wäre, in dessen Schlussfolgerungen jedes Mal der gegebene Vordersatz wiedergefunden werden würde wäre die Behauptung zu finden, es würde die Schlussfolgerung des so viel kleiner gegebenen Exponenten gesucht werden, wie viel ist der Exponent des gegebenen Vordersatzes, in der Anzahl der Dinge, die wäre auf gleiche Weise so viel kleiner als die gegebene, wie viel der Exponent des gegebenen Vordersatzes ist nach Tabelle א in der Fragestellung 1, das gefundene wird das sein was gesucht wurde. Aber wenn die Verknüpfungen des gegebenen Vordersatzes einfach in allen Verknüpfungen der gegebenen Zahl jeden beliebigen Exponenten, sei die Schlussfolgerung zu finden, die Verknüpfung der Anzahl der Dinge, durch die gegebene so große Anzahl des Untersatzes, so viel ist der Exponent des gegebenen Vordersatzes, es wird das gesuchte sein."

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    Z. B. wird bei 5 Dingen a, b, c, d, e durch Vereinigung der gegebene Vordersatz a gefunden 1 durch Wechsel (der ist Nichts oder Nichts von 4); der gegebene Vordersatz a b durch Wechsel keine (welche ist über keine Auswahl von 3, wenn ich so sagen soll,); in Verknüpfungen von 2 derer wird durch 4 Wechsel gefunden (welche die Verknüpfungen von 4 sind) diese 1 (welche keine Auswahl von 3 ist), in Verknüpfungen von 3 sind diese 6 (Verknüpfungen von 4) diese 3, (Vereinigung von 3), in Verknüpfungen von 4 jenes 4 (Verknüpfung von 3 von 4) dieses 3 (Verknüpfung von 3), in Verknüpfungen von 5 nach beiden Richtungen 1 im Wechsel (dort Verknüpfung von 4, hier Verknüpfungen von 3 von 3). Diese Verknüpfungen sind bei gegebenem Exponenten, und durch Zusammenfassung deren einfache Verknüpfungen entstehen sie, aber auch so: in den einfachen Verknüpfungen von 5 Dingen (derer 3 sind) wird durch 15 Wechsel gefunden (einfache Verknüpfung von 4), durch 7 Wechsel (einfache Verknüpfung von 3). Diese Verknüpfungen sind die Anzahl der engeren Subjekte des gegebenen Begriffs.

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    Gleiche Subjekte, jedes mal wenn die Definitionen mit Definitionen unterlegt werden, werden sie nach dem gleichen Verfahren gefunden, wie oben die gleichen Prädikate. Denn die gleichen Begriffe werden veränderlich bewahrt durch Umfang und Beschaffenheit, deshalb werden aus Prädikaten Subjekte gemacht und umgekehrt, die Prädikate aber sind so viele, wie gegebene Begriffe (deren Subjekte gesucht werden) die ersten Begriffe haben einfache Verknüpfungen, z. B. a + 1 + ab + 2. Durch zu den engeren zugefügten gleichen Subjekten 1 + 15 macht 16, 2 + 7 macht 9, erzeugt die Anzahl aller Subjekte des gegebenen Begriffs, welchen zu finden das Ziel war. Die so weit universellen Subjekte, die eingeschränkten bleiben übrig, diese sind so viele wie die eingeschränkten Prädikate.

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    Die verneinenden Prädikate und Subjekte werden so gefunden: sie werden berechnet aus gewissen gegebenen Hauptbegriffen wie durch die Anzahl der Dinge aller Begriffe sowohl Haupt- wie gebildete Begriffe, so wie die einfachen Verknüpfungen, z. B. wenn die Hauptbegriffe 5 wären, werden es 31 sein; vom Produkt werden alle universellen bejahenden Prädikate und die engeren universellen bejahenden Subjekte abgezogen; der Rest werden alle verneinenden Prädikate sein. Von den Subjekten umgekehrt. Die verneinenden besonderen werden aus den universellen berechnet, wie oben PA aus UA. Wir haben aber die identischen Vordersätze UA übergangen, derer sind so viele wie einfache Verknüpfungen der Hauptbegriffe, oder wie insgesamt die sowohl Haupt- wie gebildeten Begriffe, weil ein beliebiger Begriff entweder ein Haupt- oder ein von sich gebildeter Begriff genannt wird. Außerdem haben wir aus den Verknüpfungen jene ausgelassen, in denen der gleiche Begriff wiederholt wird, welche Wiederholung in einigen die Veränderung im Unendlichen erzeugt, wie bei Zahlen und geometrischen Figuren.

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    Ferner ist das Verfahren die Argumente zu finden dieses: Es soll jeder gegebene Begriff wie das Subjekt A sein und ein anderer wie beschaffen auch immer wie das Prädikat B sein, gefragt ist der Mittelbegriff: Der Mittelbegriff wird ein Prädikat des Subjekts sein und ein Subjekt des Prädikats, das heißt, der wie auch immer beschaffene Begriff enthält A und ist in B enthalten. Aber man sagt ein Begriff ist in einem Begriff enthalten, wenn alle dessen Hauptbegriffe in jenem sind. Grundlegend aber ist die Darlegung, wenn jeder der beiden Begriffe in erste aufgelöst wird, wird offensichtlich der eine des anderen entweder ein Teil ist oder derselben Teile. Die Anzahl der Mittelbegriffe aber werden wir so finden: Subjekt und Prädikat sind entweder in derselben Klasse, oder in verschiedenen. Wenn in dergleichen, müssen beide Begriffe gebildet sein, und die Veränderung wenigstens der Beschreibung oder der Definition desselben Begriffs, sie werden deshalb zwei Definitionen desselben Begriffs sein können die nur durch einen dritten von einander unterschieden werden. Demnach wird von Anzahl der Definitionen des gebildeten Begriffs, den wir oben im Absatz 69 untersucht haben wird 2 abgezogen, der Rest wird die Anzahl der möglichen Mittelbegriffe zwischen zwei gleichen Begriffen sein.

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    Wenn sie dagegen nicht in derselben Klasse sind, wird das Prädikat in der Klasse des kleineren Exponenten, das Subjekt in der größeren Klasse sein. Würde nun das Prädikat untergeordnet werden wie der Vordersatz der Verknüpfung, der Exponent der Klasse des Subjekts würde für die Anzahl der Dinge unterstellt. Alle besonderen Schlussfolgerungen des gegebenen Vordersatzes werden aus einzelnen Klassen von der Klasse des Prädikates zur Klasse des Subjekts eingeschlossen gefunden; in einzelnen Klassen werden die Schlussfolgerungen des gegebenen besonderen Vordersatzes in einfache Schlussfolgerungen des Exponenten seiner Klasse multipliziert mit der Anzahl der zugrunde gelegten Dinge. Alle Faktoren zusammengezählt, vermindert um 2 wird das gesuchte sein.

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    Das Prädikat aber vom Subjekt zu verneinen finden wir einfach: wenn beide vom aufgelösten Begriff in den ersten ist offenbar, dass keines von beiden vom anderen enthalten wird. Denn die negativen können so geprüft werden: alle Prädikate des Subjekts werden gefunden, mit dem von allen verneinte Prädikat, ebenso viele zu prüfende Mittelbegriffe sind verneinend. Alle Subjekte des Prädikats werden gefunden, weil alle vom Subjekt verneint werden, sind auch ebenso viele zu prüfende Mittelbegriffe verneinend. Deshalb werden wir aus beiden berechneten Anzahlen der zu untersuchenden die negativen haben.Endlich ist diese anzuwendende, dass die ganze verwirrende Kunst gerichtet ist auf die Lehrsätze, oder die Vordersätze, die in ewig wahr sind, oder nicht dem Ermessen Gottes, sondern auf ihrer Natur beruhen. Aber alle einzelnen Vordersätze sind gewissermaßen historisch, z. B. Augustus sei der Herrscher der Römer gewesen, oder Beobachtungen, das sind allgemeine Vordersätze, aber deren Wahrheit ist nicht im Wesen, sondern im Sein begründet, jede einzelne ist gewissermaßen zufällig wahr, das ist durch die Willkür Gottes, zum Beispiel alle erwachsenen Menschen in Europa haben die Erkenntnis Gottes. Für solche wird kein Beweis gegeben, sondern eine Annahme, wo nicht was manchmal die Wahrnehmung durch Beobachtung durch Beteiligung eines Lehrsatzes bewiesen werden kann.

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    Endlich ist diese anzuwendende, dass die ganze verwirrende Kunst gerichtet ist auf die Lehrsätze, oder die Vordersätze, die in ewig wahr sind, oder nicht dem Ermessen Gottes, sondern auf ihrer Natur beruhen. Aber alle einzelnen Vordersätze sind gewissermaßen historisch, z. B. Augustus sei der Herrscher der Römer gewesen, oder Beobachtungen, das sind allgemeine Vordersätze, aber deren Wahrheit ist nicht im Wesen, sondern im Sein begründet, jede einzelne ist gewissermaßen zufällig wahr, das ist durch die Willkür Gottes, zum Beispiel alle erwachsenen Menschen in Europa haben die Erkenntnis Gottes. Für solche wird kein Beweis gegeben, sondern eine Annahme, wo nicht was manchmal die Wahrnehmung durch Beobachtung durch Beteiligung eines Lehrsatzes bewiesen werden kann.

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    Zu solchen Beobachtungen gehören alle besonderen Vordersätze, die nicht verändert sind oder einem allgemeinen untergeordnet sind. Hier ist deshalb offensichtlich, in welchem Sinne gesagt würde ein einzelner ist kein Beweis, und warum der äußerst gründliche Aristoteles die Ränge der Beweismittel in den Topica gesetzt hätte, wo auch die Vordersätze zufällig sind und die Beweismittel wahrscheinlich. Aber nur die Definition der Beweise ist einzig am Platze. Aber weil es über die zu zeigende Sache jene sind die nicht aus deren Mutterleib ausgesucht werden, z. B. Christus ist in Bethlehem geboren, niemand wird sich durch diese Definitionen wenden, aber die historische Materie wird ausreichen als Erinnerungsort. Nun ist das der Ursprung der Ränge der Topiken, und in einzelnen der größten, durch die alle die Quellen seien, wir hätten wiederholt gezeigt, wenn wir nicht gefürchtet hätten, dass wir nicht im Fortgang der Rede von aller Leidenschaft darzulegen weggerissen würden.

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    Wenigsten mit einem Wort werden wir anzeigen, dass alles aus der Lehre der Metaphysik zur Beziehung des Seins zum Sein zu wiederholen ist, so dass zwar aus den Beschaffenheiten der Beziehungen der Absätze, aus den Lehrsätzen aber einzelner das meiste gebildet würde. Ich meine dieses gesehen zu haben, gegen den Brauch der Lexikographen des sehr wahrhaften Johann Heinrich Bisterfeld in Phosphorus catholicus seu Artis meditandi epitome herausgegeben in Leiden im Jahre 1657, welches durch Eindringen und Umschreiben begründet ist, wie er sagt, allgemein ist alles in allem, durch Ähnlichkeit ebenso wie auch durch Unähnlichkeit aller mit allen, deren Grundlagen: ist die Beziehung.

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    Wer dieses Büchlein gelesen hätte, verstünde den Gebrauch der Kunst der Verknüpfung mehr und mehr. Jener scharfsinnige Mann, den wir oft genannt haben, Johannes Hospinianus, hat ein Buch versprochen über das Auffinden und die Bewertung von Möglichkeiten, in dem er die Verbesserung der Topik vorbereitet hatte, und er hatte die 180 Absätze geprüft, die höchsten 2,796, siehe Dialektische Streitfrage Seite 442. Diesen erachte ich zum Schaden für die Zierde der Angelegenheit der Logik niemals herausgegeben. Daher werden wir übergehen, weil wir eine erste Kostprobe einer gewissen Anwendung der Kunst der Verknüpfung von 2 gegeben haben.

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    Die Mathematik wurde spontan dem Streben angemessen angesehen: daher haben wir nicht von den Hauptbegriffen einfach begonnen, sondern von den ersten zur Mathematik; auch haben wir nicht alle aufgestellt, sondern welche wir zum Hervorbringen der vorgeschlagenen abgeleiteten Begriffe durch ihre Verknüpfung als hinreichend betrachten. Wir hätten gekonnt nach demselben Verfahren alle Definitionen aus den Elementen des Euklid von Alexandria darzustellen, wenn die Zeit ausgereicht hätte. Weil wir ja nicht einfach mit Hauptbegriffen begonnen haben, daher war es nötig die Zeichen zu behandeln, welche Fälle der Wörter und andere die Sprache zu ergänzenden notwendigen verstanden werden. Denn wenn wir nämlich einfach mit Hauptbegriffen beginnen, für die Fälle von Veränderungen selbst, deren Ursprung Julius Caesar Scaliger aus den Beziehungen und der Metaphysik dargelegt hat im Buch über die Fälle der lateinischen Sprachen, würden wir die Begriffe gesetzt haben. Wir haben aber die griechischen Abschnitte hinzugezogen. Mehrere Zahlen haben wir bezeichnet durch zugeschriebene (), 15 falls zwar unbestimmt; 2, 3, u.s.w. wenn bestimmt.

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    Deshalb soll die Klasse I sein, in der die Hauptbegriffe sind: 1. Punkt, 2. Raum, 3. Zwischenraum, 4. Daneben oder berührend, 5. Auseinander gelegen oder entfernt, 6. Ende oder welche entfernt sind, 7. angestammt, 8. Eingeschlossen (z. B. der Mittelpunkt ist dem Kreis eingeschlossen, dem Umfang eingeschlossen), 9. Teil, 10. Das Ganze, 11. Dasselbe, 12. Unterschiedliches, 13. Eines, 14. Zahl, 15. Mehrere, z. B. 1, 2, 3, 4, 5 u. s. w., 16. Entfernung, 17. Mögliches, 18. Alles, 19. Gegebenes, 20. Bewirktes, 21. Gegend, 22. Ausdehnung, 23. Länge, 24. Breite, 25. Tief, 26. Gemeinsam, 27. Folge oder fortgesetzt Die Klasse II. 1. Die Menge ist 14 von 9 (15), 2. einschließend 6. 10. III. 1. Der Zwischenraum ist 2. 3. 10. 2. Gleiches A folgt 11. ½. 3. Das Zusammenhängende ist A bis B, wenn jedes A zweifellos 9 ist 4 und 7 dann B. IV. 1. Grösser ist A das hat in 9 2⁄3 dann B. 2. Weniger B 2⁄3 dort 9 sein A. 3. Die Linie 2&frasl3; 1 (2). 4. Die Parallele 2&frasl3; in dort 16. 5. Die Zeichnung 24. 8., von 18. 21. V. 1. steigend, was 20. 3⁄4. 2. Fallend, 20. 2⁄4. 3. Verwickelt ist 2⁄3 in dort 11. 22. 4. Schneidend, 3⁄2 in dort 12. 22. VI. 1. Zusammenlaufend, 2⁄5 in dort 16. 2. Auseinanderlaufend. 1⁄5 in dort 16. VII. 1. Oberfläche, 1⁄3 folgend 2⁄4. 2. Unendliches, 1⁄4 wie 18. 19. 17. 3. Rand 3⁄4 13 2⁄2. 4. A. genannt Messung oder er misst B wenn 10 aus A (15) 2⁄3 ist 2⁄2 dann B. VIII. 1. Maximum ist 1⁄4 nicht 2⁄4. 2. Minimum 2⁄4 nicht 1⁄4. 3. Gerade 3⁄4 2⁄3 dort 16. Folgend 6 (2). 4. Welche nicht solches, Kurve. 5. Bogen, 9. Folgt 3⁄7. IX, 1. Rand ist 1⁄7. 2⁄2. X. 1. Gleichmäßige sind, deren 4⁄7. 26. Ist sowohl 1 als auch 2. XI. 2. Winkel ist welche ihn bilden 3⁄3 (2). 4. 2⁄6. XII. 1. Fläche ist 1⁄7. 2⁄3. Hier 16. Folgend 6. XIII. 1. Buckel 1⁄7. 1⁄4 hier 16. Folgend 6. XIV. 1. Geradlinig ist 5⁄4 dessen 2⁄2 ist folgend 3⁄8 (15). 2. Welche Seiten genannt werden. 3. Wenn 3⁄8 (3) Dreieck, 4. Wenn 3⁄8 (4) Viereck u. s. w. XV. 1. Die Mondsichel ist 1⁄3 folgt 5⁄8 (2), nicht 2⁄3 4 (2) [ich merke aber so sehr wie die bucklige Mondsichel, welche der Bogen dem Bogen die Konkavität zuwendet, wie sichelartig welche innen eine andere Konkavität als seine Konvexität.] XVI. 1. Der rechte Winkel ist 1⁄12. 2⁄3. In dann 18. 21. 2. Das Segment ist 3 folgt 2⁄2 und 3⁄8 7. Hier 5⁄4. XVII. 1. Das gleichseitige ist 5⁄4 welches 2⁄2 ist folgend 3⁄8 (15). 3. Das ungleichseitige ist 5⁄4 welches 2⁄2 ist folgend 2⁄8 (3) nicht 2⁄3 (3). XVIII. 1. Der Berührungswinkel ist welchen, sie machen 3⁄4 (2). 4. 2⁄6. Nicht 4⁄5. 27. Doch nur 17. XIX. 1. Eingeschrieben ist 5⁄4 7. welches 1⁄12 (15) sind 4 deshalb 2⁄2. 2. Umschrieben aber ist diese Figur dem sie eingeschrieben ist. XX. 1. Der stumpfe Winkel ist 1⁄4 wie 1⁄16. 2. Der spitze 2⁄4 wie 1⁄16. XXI. 1. Der Durchmesser ist 3⁄8, 1⁄8. 7. hier 5⁄4. XXII. 1. Der Kreis ist 1⁄12. 8. 21. habend in 16. 2⁄3 von 19. Mancher 1 (was 2 genannt wird Kreismittelpunkt) von 18. 6. 2. Das rechtwinklige Dreieck ist 5⁄4 welches 1⁄12 (3) sie sind alle aber 13. Ist 2⁄3 in dann 18. 21. XXIII. 1. Der Mittelpunkt der Figur ist 1. 26. folgt 1⁄21 (15). XXIV. 1. Die gegebene Halbfigur, z. B. der Halbkreis u. s. w. ist 3 folgt 1⁄ 22 und (die Hälfte folgt) 2⁄2. Daher wird es einfach sein die Definitionen zustande zu bringen, wenn beachtet würde, was ich im Absatz 70 in diesen Zeichen gesagt habe, welche durch Brüche beschrieben sind: der Nenner bezeichnet die die Nummer der Klasse, der Zähler die Nummer des Begriffs in der Klasse, z. B. der Mittelpunkt ist 1 (Punkt) 26 (gewöhnliches: folgt 1⁄21 (des Durchmessers) 15 von mehreren. Der Durchmesser ist 3⁄8 (gerade) 1⁄5 (größter) 7 (eingefügt) dort 5⁄4 (der Figur).

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    Aus diesen, was wir über die Kunst die Wissenschaften zu verknüpfen, oder die analytische Logik erörtert haben, deren Kategorien gewissermaßen durch eine Tabelle derartiger Begriffe dargestellt werden, entsteht gleichsam der Folgesatz oder der Gebrauch XI: eine Universalschrift, das ist von jedem Leser, für jedem einer beliebigen Sprache kundigen verständlich, wie heute mehrere gebildete Männer es versucht haben, deren der sehr gründliche Caspar Schott diese im 7. Buch der " Technica curiosa, sive mirabilia artis" betrachtet, zuerst irgendeinen Spanier, dessen sich Kenelm Digby in " Demonstratio Immortalitatis Animae Rationalis Sive Tractatus Duo Philosophici, In quorum Priori Natura Et Operationes Corporum, In Posteriori vero, Natura Animae Rationalis, Ad evincendam illius immortalitatem, explicantur" Kapitel 28 Nummer 8, und der im Jahre 1653 in Rom gewesen sei, dessen Verfahren diese aus der Natur der Dinge selbst hinreichend scharfsinnig angestrebt: er teilte die Dinge in verschiedene Klassen, in jeder beliebigen Klasse waren eine bestimmte Anzahl der Dinge. So beschrieb er es durch nichts als Zahlen, durch Erwähnung der Nummer der Klasse und der Dinge in der Klasse, doch mit angewandten gewissen Merkmalen der grammatikalischen und orthographischen Beugung. Dasselbe hätte er durch die von uns grundlegender vorgegebenen Klassen gemacht, weil in denen die Anordnung bahnbrechender ist. Ferner Athanasius Kircher, der länger sein neues und umfassendes Druckwerk versprochen hat, schließlich verlangt Johann Joachim Becher, Leibarzt in Mainz, durch ein kleines zuerst in lateinischer Sprache in Frankfurt verlegtes kleines Buch, anschließend auf deutsch im Jahre 1661, dass ein lateinisches Lexikon erstellt werde, wie eine Grundlage, und sie in diesem in gewöhnlicher Sprache rein alphabetisch angeordneten und nummerierten; es würden dann Lexika entstehen, wo die Worte in einer einzigen Sprache nicht alphabetisch angeordnet sind, aber durch die Reihenfolge des Lateins angeordnet sich selbst entsprechend. Sie würden deswegen mit Zahlen geschrieben werden, welche von allen verstanden werden müssen, und wer lesen will, der würde im Lexikon seiner einheimischen Sprache die bezeichnete gegebene Nummer enthüllen, und so wird er es deuten. So wird der Leser hinreichend die Muttersprache verstehen und dieses Lexikon entwickeln, der Schreiber muss (wenn er nicht schon ein alphabetisches Lexikon in seiner Sprache hätte, das auf die Zahlen verweist) und die Muttersprache und Latein zu erfassen, und beide Lexika entwickeln. Aber das Kunstwerk sowohl des Spaniers als auch Johann Joachim Bechers ist sowohl gefällig als auch undurchführbar wegen der Synonyme, wegen der Zweideutigkeit, wegen des sich entwickelnden fortwährenden Verdrusses (weil Niemand die Zahlen jemals dem Gedächtnis übergeben wird), wegen der Heterogenität der Phrasen in den Sprachen.

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    Aber aus den aufgestellten Tabellen oder aus den Kategorien unserer Kunst der Verknüpfung entstehen größere. Denn die Hauptbegriffe, aus deren Verknüpfung alle anderen aufgestellt werden, würden mit Merkmahlen gekennzeichnet werden, diese Kennzeichen werden gleichsam das Alphabet sein. Es wird zweckmäßig sein die Merkmale wie höchst natürliche zu machen, z. B. für einen Punkt, für die Anzahl Punkte, für die Beziehungen des Seienden zum Sein die Linien, für die Veränderung der Winkel oder die Art der Enden in den Linien der Beziehungen. Wenn diese richtig und scharfsinnig aufgestellt worden sind, wird diese Universalschrift gleichermaßen einfach wie allgemein sein, und was ohne jedes Lexikon gelesen werden kann, und gleichzeitig wird die Erkenntnis der Grundlage aller Dinge aufgenommen. Deshalb wird jede solche Schrift gewissermaßen durch geometrische Figuren sein, und gleich wie durch Bilder, wie einst die Ägypter, heute die Chinesen, aber deren Bilder werden nicht auf ein gewisses Alphabet zurückgeführt oder Buchstaben, durch die gemacht wird dass es einer unglaubliche Belastungs Gedächtnises bedarf, was hier das Gegenteil ist.

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11. Nun aber ist hier der 11. Gebrauch der Verknüpfungen nämlich zum Aufstellen einer universellen Schrift. An 12. Stelle werden wir teils gewisse erfreuliche Überlegungen anstellen, teils Verfahren entnommen aus Daniel Schwenters " Deliciae physico-mathematicae oder mathematische und philosophische Erquickstunden" und den Ergänzungen Georg Philipp Harsdörffers, welches Buch die öffentliche Anteilnahme fortsetzt. Im Teil 1 Abschnitt 1 Aufgabe 32 wird die Anzahl der einfachen Verknüpfungen gefunden, die 23 Dinge bilden, z. B. die Buchstaben des Alphabets, nämlich 8.388.607. Im Teil 1 Abschnitt 1 Aufgabe 32 wird die Anzahl der einfachen Verknüpfungen gefunden, die 23 Dinge bilden, z. B. die Buchstaben des Alphabets, nämlich 8.388.607. Im Teil 2 Abschnitt 4 Aufgabe 7 lehrt er die Melodien zu einem gegebenen Text zu finden, von denen uns Georg Philipp Harsdörfferunter in der Aufgabe 6 im selben Teil Abschnitt 10 Aufgabe 25 die geistreiche Entdeckung des Dr. Alexandre de Cossé-Brissac berichtet, durch welche nichts der Verknüpfungeskunst der Wissenschaften passenderes entdeckt werden kann.

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    Diese, was bei der Kriegsangelegenheit zu beachten ist, dem Herrscher gebührt, so ist es die Verknüpfung: er macht neun Klassen, in der ersten Fragen und Umstände, in der zweiten Zustände, in der dritten Personen, in der vierten Taten, in der fünften Grenzen, in der sechsten Werkzeuge der freien Wirkung, oder von welchen in unserer Möglichkeit Gebrauch zu machen ist, aber diese zu machen, ist nicht; neunten endgültige Taten oder nächste zur Vollstreckung, z. B.

    1.	Ob.	Mit wem.	Wo.	Wann.	Wie.	Wie viele.
    2.	Krieg.	Frieden.	Waffenruhe.	Unterredung.	Vertrag.	Vermittlung.
    3.	Landsmänner.	Untertanen.	Verbündete.	Mandanten.	Neutrale.	Feinde.
    4.	bleiben.	gehen.	kämpfen.	aufbrechen.	Unternehmung.	Winterlager.
    5.	Ruhm.	Reichtum.	Gehorsam.	Würde.	Notwendigkeit.	Nutzen.
    6.	Sonne.	Wasser.	Wind.	Wege.	Mangel.	Gelegenheit.
    7.	Fahrt.	Leitern.	Brücken.	Hacken.	Schaufeln.	Schiffe.
    8.	Geld.	Zufuhr.	Schmerzpulver.	Schmerztablette.	Pferde.	Heilmittel.
    9.	Wachposten.	Ordnung.	Eindruck.	Sicherheit.	Angriff.	Beratungen.

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    Neun Scheiben aus Papier würden hergestellt werden, alle konzentrische und einander umgebend, so dass eine beliebige um die übrigen unbeweglichen gedreht werden kann. So dass die wohin auch immer leicht zu einer neuen Frage verschobene Scheibe, zu einer neuen Verknüpfung vorrücken wird. Aber weil hier eine Verknüpfung zwischen Dingen derselben Klasse nicht gegeben ist und auch so bei genauer Sprache keine Verknüpfung der Begriffe mit Begriffen gegeben ist, sondern der Klassen mit den Klassen, wird sich die Berechnung der Veränderungen auf die Fragestellung 3 beziehen. Denn weil ja auch die Verknüpfung, die in einer derartigen Stellung ist, kann durch die Scheiben dargestellt werden, wie wir bald erklären werden, hat eine Verwandtschaft erzeugt, dass wir überrascht wären. Deshalb werden wir es so finden: 6 wird mit sich selbst 9 mal multipliziert: 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6, oder es wird eine geometrische Folge von 6 gesucht, deren Exponent 9 ist, oder die 9. Potenz von 6 macht 18.077.696; so viel größer ist es als Georg Philipp Harsdörffer glaubt, dass es nur 216 Fragen seien.

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    So oft die übrigen in Verknüpfungen der einzelnen Begriffe in einzelne gezogen werden, dann ist es notwendig so viele Räder zu machen, wie die Zahl der Dinge Einheiten enthält: danach ist es notwendig die einzelnen Rädern mit allen Dingen zu beschreiben. So werden durch verschiedene Drehungen der Räder unzählige Verknüpfungen erzeugt, und alle Verknüpfungen werden jetzt gewissermaßen besonders Schriften sein, welche in der Tat kaum zum Schreiben großer Bücher ausreichen.

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    Auf diese Weise hat der sehr gelehrte Georg Philipp Harsdörffer in 13. Teil Abschnitt 4 Fragestellung 5 ein Gerät mit 5 konzentrischen Scheiben konstruiert, das er "Fünffachen Denkring der deutschen Sprache" nennt, wo auf dem innersten Ring 48 Vorsilben stehen, auf der vorletzten 60 Anfangs- und Reimbuchstaben, auf der mittleren 12 Mittelbuchstaben, nämlich Vokale oder Diphthonge, auf der zweitletzten 120 Endbuchstaben, auf der äußersten 24 Nachsilben. Er versichert in diesen sind wird die ganze deutsche Sprache aufgelöst. Weil hier die Klassen ähnlich wie die herzuleitenden Klassen, multiplizieren wir 48, 60, 12, 120, 24 das ergibt aus den früheren mit dem folgenden macht 97.209.600. Das ist die Anzahl der hier entstehenden nützlichen Worte der Deutschen ist, oder 96 bedeutende und unbrauchbare.

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    Auch Ramon Llull hat Räder gebaut, und im Thesaurus der Erinnerungskunst Johann Heinrich Alsted dessen Räder, in denen Dinge und Fragen, angefügt ist die Bewegungsvorschrift, in der die Orte der Schriften, nach denen die Dinge besprochen werden, die Fragen geprüft werden; und die Bruderschaft der Rosenkreuzer verspricht in ihrer Legende ein großes Buch mit dem Titel "Das Rad der Welt", in dem alles Wissen enthalten wäre. Joh. Davidius, Jesuit, fügt einen gewissen Kreislauf der Frömmigkeit, wie er es nennt, seiner Christlicher Wahrheit hinzu. Auf derselben Grundlage der Verknüpfungen berugt die Stäbchenrechnung John Napier, Laird of Merchiston, und die hängenden Riegel, die Vorlegschlösser, die ohne Schlüsse durch wundersame Kunst geöffnet werden, sie nennen sie Mahl-Schlösser, das Gebäude ist nämlich durch Riegelringe verschlossen, gewissermaßen drehbare Ringe, auf die einzelnen Ringe sind Buchstaben des Alphabets geschrieben. Ferner ist dem Riegel ein bestimmter Name zugewiesen, z. B. Ursula, Catharina, in dem Fall wenn wer nicht den Namen kennt, kann der Dreher der Ringe nicht durchdringen. Aber wer den Namen gewusst hat, die Ringe so gegeneinander dreht, dass endlich der Name erschiene, oder die Buchstaben des Alphabets mit dem gegebenen Namen zustande gebracht seien aus den verschiedenen Ringen in der gleichen Linie, in der richtigen Reihenfolge. Dann erst wenn die Ringe in solchem Zustand sein werden, wird er leicht den Rigel öffnen können. Siehe zu diesen Ringriegeln Johann Jacob Wecker in "17 Bücher über Geheimnisse", den sehr bekannten Gustavum Selenum (Pseudonym von August der Jüngere, Herzog zu Braunschweig-Lüneburg, Fürst von Braunschweig-Wolfenbüttel) in "Kryptographie" Blatt 449, Daniel Schwenter in " Deliciae physico-mathematicae oder mathematische und philosophische Erquickstunden", Abschnitt 15, Fragestellung 25. Wir wollen aufhören den Gebrauch der Fragestellungen 1 und 2 aufzuzählen, mit dem Abschluss über Farben den wir besprochen haben. Georg Philipp Harsdörffer behauptet im Teil 3, Abschnitt 3 Vorschlag 16 die Primärfarben sind diese: Weiß, Gelb, Rot, Blau, Schwarz.

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    Diese legt er doch so zusammen, dass die äußersten: weiß und schwarz sich niemals gleichzeitig vereinigen. Deshalb entsteht aus Weiß und Gelb weißlich, Weiß und Rot fleischfarben, Weiß und Blau aschgrau, Gelb und Rot goldfarben, Gelb und Blau grün, Gelb und Schwarz dunkel, Rot und Blau Purpur, Rot und Schwarz rötlich, Blau und Schwarz dunkelblau. Deshalb sind es 9, so viel sind nämlich Verknüpfungen von 2 der 5 Dinge, ausgenommen eines der äußersten. Was aber wenn Farben der dritten Ordnung zugefügt würden, oder Verknüpfungen von 3 der Grundfarben und Verknüpfungen von 2 der Sekundärfarben, und so weiter, eine wie große Vielzahl wird sich ergeben? Denn ich erinnere mich daran, dass wie die als Grundfarben angesehenen selbst keine Grundfarben sind, sondern alle aus Weiß und Schwarz, oder aus der Mischung von Licht und Schatten entstehen.

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    Aber ich erinnere mich gelesen zu haben, wenn auch der Autor nicht in den Sinn kommt, welcher edle Seidensticker 80 Farben zusammengewebt hatte, weiß ich nicht, und die benachbarten immer mit Nachbarn verbunden hatte, und von den Fäden dennoch bloß sehr schwarze oder bloß sehr weiße, ferner verschiedene Wechsel der weißen und schwarzen Fäden, und die Unmittelbarkeiten manchmal mehr weißer manchmal mehr schwarzer, eine Verschiedenheit der Farben erzeugt zu haben; die einzelnen Fäden an sich sind dem unbewaffneten Auge aber kaum sichtbar gewesen. Wenn es so ist, wäre das der einzige hinreichende Versuch zur Natur der Farben von ihrem Ursprung an zu wiederholen gewesen.

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Fragestellung III.
Aus der gegebenen Anzahl der Klassen und Gegenstände in den Klassen, die Zusammenstellungen in den Klassen zu finden.

"Aber die Verknüpfungen der Klassen sind, deren Exponent mit der Nummer der Klassen dasselbe ist; und durch eine beliebige Verknüpfung aus einer beliebigen Klasse eine Sache ist. Es wird die Anzahl der Dingen einer Klasse mit der Anzahl der anderen Dingen multipliziert; und wenn es mehrere sind, die Zahl des dritten in das Produkt aus diesen, oder immer die folgende Zahl in das Produkt aus den vorhergehenden; das Produkt aus allen zusammenhängenden wird das gesuchte sein."

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Der Gebrauch dieser Fragestellung wäre so wie der Gebrauch 6 in der Fragestellung 1 und 2 gewesen, wo wir die Verfahren der Syllogistik untersuchten, ferner im Gebrauch 12, wo sich auch Beispiele anboten. Wir haben oben gesagt, die Lehre der Verknüpfungen ist umzukehren in die Trennung von zu findenden untergeordneten Gattungen, ebenso sind die Arten einer Trennung zu finden, und endlich die meisten der miteinander multiplizierten.

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Und dieses haben wir zuletzt für diese Stelle aufbewahrt. Aber eine Teilung ist in ein Unteilbares auszuführen die Glieder einer Trennung eines anderen Gliedes zu unterteilen, was manchmal wechselseitig gelingt, manchmal nicht. Manchmal können alle Glieder einer einzigen Trennung durch alle anderen unterteilt werden, gewisse manchmal so oft, oder durch gewisse so oft. Wenn umgekehrt, werden wir es so bezeichnen:

Aber zu unserer Berechnung gehört wenigstens ein erstes Verfahren, in dem ein ausgezeichnetes Beispiel aus der Politik genügt. A soll der Staat sein, a der richtige, b der abweichende, was eine sittliche Einteilung ist; c die Monarchie, d die Aristokratie, e die Republik, welche eine zahlenmäßige Einteilung ist: die zahlenmäßige Einteilung wird mit der sittlichen multipliziert; es entstehen 2 · 3 macht 6 gemischte Arten, ac, ad, ae, bc, bd, be.

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Hier liegt der Ursprung dessen Regel: die Teilung mit der Teilung multipliziert ist offensichtlich, denn die Anzahl der Arten des einen ist mit der Anzahl der Arten des anderen zu multiplizieren. Aber die Zahl in einer Zahl zu ziehen ist die Zahl mit der Zahl zu multiplizieren, und ebenso oft zum gegebenen zu stellen, wie viele das andere Einheiten hat. Der Ursprung stammt aus der Geometrie, wo wenn eine Strecke, die eine andere berührt, von Anfang zum Ende bewegt wird, wenn weil sie diese kratzen würde, der gesamte Raum, den die bewegte Strecke einnehmen wird, eine viereckige Figur bildet, wenn sie die andere in einem rechten Winkel schneidet, ein ungleichseitiges [Rechteck] oder ein Quadrat: wenn aber ein andrer [Winkel], eine Raute oder ein Parallelogramm; wenn andere gleich sind ein Quadrat oder eine Raute; wenn aber anders ein ungleichseitiges Viereck oder ein Parallelogramm. Daher ist auch der aus der Multiplikation der Strecke mit der Strecke erstellte rechteckige Raum selbst gleich.

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Im Übrigen gibt es zu derartigen faltbaren Trennungen Bücher voll mit Tabellen, und es entstehen manchmal Verwirrungen aus der Vermischung verschiedener Teilung zu einer, was das zu teilende Bewusstsein in rechtes, irrtümliches, mögliches, zweifelhaftes sichtbar macht. Denn zum Verständnis der Wahrheit wird in richtige und irrtümliche getrennt, durch die Überlegung der Bestätigung beim unsicheren, möglichen, zweifelhaften Begreifen; was aber ist Zweifel anderes, als gewissenhaft?

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Auch die besondere Untersuchung dieser Fragestellung des Varro bei B. Augustinus im Buch 19 über den Gottesstaat, Kapitel 1, die Zahlen der philosophischen Schulen ist das höchstmögliche Gut. Deshalb werden wir zuerst dessen Berechnung folgen, danach werden wir zu einem genaueren Urteil kommen.

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Es gibt VI Einteilungen, die erste ist viergliedrig, die 2. Und 6. dreigliedrig, die übrigen sind zweigliedrig. I. Das höchste Gut kann entweder Lust oder Schmerzlosigkeit sein, oder beides, oder Grundbedürfnis. 4. II. Ein beliebiges derer wird entweder durch Tugend erstrebt, oder die Tugend infolge ihrer selbst, oder sowohl wegen ihrer selbst als auch die Tugend aus sich heraus, 4 · 3 macht 12. III. Irgendein höchstes Gut sucht entweder in sich oder in der Gesellschaft 12 · 2 macht 24. IV. Die Meinung aber zum höchsten Gut beruht entweder auch sicherem Verstehen oder akademischer Möglichkeit. 24 · 2 macht 48. V.Die Lebensart ist zynisch oder kultiviert, 48 · 2 macht 96. VI. Müßig, geschäftig oder gemäßigt, 96 · 3 macht 288. Dies hat Marcus Terentius Varro bei B. Augustinus von Hippo im Kapitel 1 oder 2 nach genauer Zählung festgestellt. Dies hat Marcus Terentius Varro bei B. Augustinus von Hippo im Kapitel 1 oder 2 nach genauer Zählung festgestellt. Er sagt die Teilung macht 3, 5, 6 auf fortgesetzte Weise; 4 auf zu begreifende Weise des höchsten Guts; deshalb fallen die letzten Teilungen zusammen, und die 276 Verschiedenheiten, 12 verbleiben. Weiterhin sagt er im Kapitel 3 Lust, Schmerzlosigkeit und beide sind in den Grundbedürfnissen enthalten. Es verbleiben deshalb 3 (9 fallen zusammen) Grundbedürfnisse an sich, Tugend an sich, und beide an sich. Aber den letzten Satz widmet Marcus Terentius Varro und gleichsam durch eine gemachte Siebung den am Boden verbleibenden.

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Zu diesem meine ich, Marcus Terentius Varro hatte nicht so sehr die möglichen Sätze sammeln gewollt, als die bekannten, hier dessen Lehrsätze: welche sich im Bezug auf das Grundbedürfnis unterscheiden, unterscheiden sich durch die philosophische Schule und umgekehrt. Inzwischen hat er nun die Teilung aufgestellt, er hat nicht gekonnt, dass er manche führungslos dazu mischt. Warum er im Übrigen Teilungen hinzugefügt hat, welche er danach nicht eine Änderung der Grundbedürfnisse zu machen anerkennt, ob dass er durch die Anzahl von Unerfahrenen Bewunderung erregt hätte? Außerdem wenn er die Arten des Lebens dazu mischen wollte, warum nicht mehrere? wurden nicht von den einen die Wissenschaften erforscht, von anderen überhaupt nicht; machen andere einen Beruf aus der Weisheit, und glauben durch diese vor allem die Grundbedürfnisse zu erhalten? Auch ist das für das Grundbedürfnis von großer Bedeutung, in welcher Gemeinschaft wer lebt: die einen haben das Landleben dem städtischen vorgezogen, und es werden gewöhnlich unendliche Arten der Veränderungen genannt, in den einzelnen irgendeiner gewesen ist, wer hätte diesem einzigen Weg geglaubt zum Grundbedürfnis gehen zu können.

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Ferner wann die erste Teilung mit dem ersten Glied die zweite multipliziert wird ergibt es 4 Arten: 1. die Lust, 2. die Trägheit, 3. Beide, 4, das Grundbedürfnis infolge der Stärke, denn weil in allen ein einziges höchstes Gut ist, die Tugend; wie das Grundbedürfnis, so auch die Übrigen, wie die Lust, so bezieht sich auch die Trägheit auf die Tugend. Füge was in der Möglichkeit Marcus Terentius Varros war hinzu, nicht nur das 2. und das 6., sondern auch das 3. und das 4. und das 5. um das dreigliedrige zu machen, durch Zufügen einer dritten Art, immer aus zweien gemischt; z. B. in sich oder in die Gemeinschaft oder in beide; durch sicheres Begreifen, Mögliches, Zweifel; zynisches, kultiviertes, gemäßigtes.

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Es hätte auch einen Lehrsatz gegeben, der leugnet, dass das Grundbedürfnis fortwährend gegeben wird, sondern es ist zu machen, was jedem in den Sinn käme, zu dem er gebracht worden wäre durch die reine und ungehemmte Bewegung. Dieses verkünden die neuen Akademien, und der heutige Geist der Wiedertäufer beugte sich. Wenn aber jene die es leugnen können sie in diesem Leben diesen Gipfel ersteigen? was Solon zur der Ungewissheit es auszusprechen gesagt hat, ist die Natur der Sache selbst der aufgerührten christlichen Philosophen. Valentinus ist Erhard Weigel allerdings zu schwärmerisch, die Glückseligkeit des Menschen ist Vergötterung.

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Auch bei denen, von denen die Glückseligkeit des ewigen Lebens aufgestellt wird, stimmen die einen zu, die anderen leugnen die selig machende Vorstellung des Wesens Gottes. Ich erinnere mich dieses machen die Reformierten, und aus diesen ragt die Erörterung über dieses Argument Gisbertus Voetius zwischen ausgewählten heraus; jenes unsere, und für diesen Satz hat Matthias Hoë von Hoënegg ein eigentümliches Büchlein gegen Dekan Václav Budovec z Budova geschrieben.

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Auch Marcus Terentius Varro hat in diesem Leben alle jene übergangen, die das Grundbedürfnis als etwas äußeres, dessen was sie Glück nennen, zugrunde legen, das gleiche sei, es ist das Anzeichen die Durchmusterung des Aristoteles selbst. Der Besitz des Körpers gehört gewiss zum obersten Naturbedürfnis, aber kann gemacht werden, dass der eine irgendeiner Gattung dieser sehr mächtigen Lust folgt, ein anderer etwas anderem. Und der Besitz der Seele ist nun entweder ein Zustand oder eine Handlung, jenes die Ansicht der Stoiker, dieses die von Aristoteles. Der durchaus sorgfältige Mann Eckard Leichner, Arzt in Erfurt, hat sich heute den Stoikern angenähert in der Erörterung über die notwendige Erneuerung der Schulen und anderswo.

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Dass auch die Lust der Seele für ein Grundbedürfnis zu halten ist meint Lorenzo Valla im Buch über das Wahre Gute, und dessen Schutzrede an Papst Eugen IV, oder Pierre Gassendi in "Die Ethik des Epicurus", und dass dessen Aristoteless VII Nicomachus 12 und 13 vernichtet hat hat der berühmte Jakob Thomasius beobachtet in "Tabellen zur philosophischen Anwendung XXX" Zeile 58. Die Lust der Seele am Ruhm, das ist der innere Triumph der Seele, sich an ihrem Lob zu erfreuen, führt Thomas Hobbes am Anfang der Bücher über den Bürger zurück ("Elementorum Philosophiae Sectio Tertia De Cive." 1642). Sie sind es gewesen, welche die geistige Betrachtung dem Handeln vorzogen, andere im Gegenteil, andere haben beides an den gleichen Platz gestellt. Kurz gesagt, so viele es auch immer Gattungen der Guten gibt, so viele jener Verknüpfungen, so viele Möglichkeiten der Grundbedürfnisse, gibt es philosophische Schulen zu zählen.

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Wir werden aus dieser Fragestellung selbst, die Ursprung ist der Anzahl Personen in einem einzelnen Blutverwandtschaftsgrad des Familienstammbaums erforschen, den wir nicht außerordentlich der Höhe unserer Untersuchungen abgewichen zu sein ansehen. Aber zur Berechnung, werden wir das rechtmäßige vernachlässigen, dem bürgerlichen folgen.

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Die Nummerierung der Personen in einem Verwandtschaftsgrad ist zweifach, eine allgemeine, die andere besonders. In jener [Zahl] sind so viele Personen wie verschiedene Seitenzweige der Verwandtschaft, in diesem jedoch der Abstand. Aber die Seitenzweige der Verwandtschaft nenne ich gleich wie die Wege im Stammbaum, Linien und Winkel, wenn nur nach oben oder nach unten, oder zur Seite gegangen wird. In dieser macht nicht nur Seitenzweige der Verwandtschaft eine Veränderung, sondern auch das Geschlecht bald der Zwischenglieder, bald der Personen, deren Entfernung gesucht wird von den gegebenen. In jener Nummerierung werden der Onkel, die Tante, das ist Bruder oder die Schwester des Vaters: der Onkel mütterlicherseits, die Tante mütterlicherseits, das ist der Bruder oder die Schwester der Mutter, für die gleiche Person gehalten, und gemeinsam werden sie verstanden unter der Bezeichnung des Onkels, weil die männliche angemessener die weibliche umfasst; aber in der besonderen Nummerierung werden sie für 4 unterschiedliche Personen gehalten. Deshalb werden dort Verwandtschaften, hier Personen nummeriert (denn so dass mehrere Brüder oder mehrere Schwestern, weil sie sich im Geschlecht zwar nicht unterscheiden, für eine von den beiden Personen gehalten werden) jene allgemeine Berechnung ist von Gaius bis zur 1 und 3 Stelle (obgleich es besonders manchmal vermischt ist), diese speziellen von Julius Paulus am wichtigsten jene 10 Stelle in "Digestio de Gradibus et Affinibus". Aber wiewohl es vorher ist in den Fragestellungen 1 und 2 begründet worden, weil es jedoch für das spätere die Grundlage ist, die hierzu gehört, werden wir es vorausschicken.

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Verwandtschaft ist die Form der Linie oder der Linien von der verwandten Person zur gegebenen gezogen, aus dem Verhältnis der Geradheit und der Beugung, und deren Veränderung. Eine Person ist hier die Person mit einer gegebenen Verwandtschaft und dem gegebenen Grad, und das Geschlecht bald das eigene bald der dazwischen liegenden, nämlich zwischen der verwandten und der gegebenen. Gegeben aber nenne ich eine Person, der oder die, deren Verwandtschaft gesucht wird wie die alten Rechtsgelehrten es nennen; Johannes Andreae wird berichtet im Namen seines Bidelli genannt zu haben Bruder Franèois Hotman, Seigneur de Villiers-Saint-Pol im Buch über die Grade der Verwandtschaften, hypothetisch, auf Latein These.

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Begriff ist eine Person oder Verwandtschaft, die verknüpft ist durch die Vorstellung, z. B. der Bruder ist des Vaters Sohn. Deshalb sind Vater und Sohn Begriffe, aus denen die Vorstellung des Bruders zusammengesetzt wird. Begriffe aber sind entweder Hauptbegriffe, so beschaffene sind allein genau zu bestimmen: Vater und Sohn, wir werden uns jedoch aus dem Grund der bequemeren Berechnung alle Personen in gerader Linie, sowohl nach oben wie nach unten als Hauptbegriffe zugrunde legen, oder gebildete Begriffe; um es genauer zu sagen alle, die mehr als eine Stufe von der gegebenen Person entfernt sind, jedoch entfernter, alle seitlichen so viel. Aber alle seitlichen werden zusammen gesetzt aus den zwei Enden der geraden Linie; daher tritt sehr einfach der Kunstgriff hervor durch die wie auch immer gegebene Verwandtschaft die Zahl des erlangten Verwandtschaftsgrades, z. B. bei der einfachsten seitlichen Person, Bruder oder Vaters Sohn, weil der Vater 1 ist, der Sohn auch im 1 Grad 1 + 1 macht 2, in dem der Bruder ist. Der Rest ist Aufgabe des Schemas. Das soll daher dieses sein:

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In dieser Übersicht gibt es fast unendliche würdige Beobachtung. Wir werden wenige streifen. Personen werden an dem Platz verstanden, wo Punkte sind. Die Punkte einschließenden Zahlen bezeichnen die Enden oder den Grad der geraden Linien (vorhergehend aufsteigende, nachfolgend absteigende) aus denen der seitliche Grad zusammengesetzt wird. In derselben seitlich gerichteten Linie sind die gleichen Verwandtschaftsgrade angeordnet: schräg vom obersten zum untersten, nach rechts in der Reihe der Generationen, aber nach links sind die gleichmäßigen Verwandtschaften mit verschiedenem Grad erfasst. Die einzige senkrechte Linie von der Spitze zur Grundlinie, die das Dreieck teilt, enthält Verwandtschaften, deren Begriffe sowohl auf- wie absteigend, vom gleichen Grade; solche nenne ich gleichgewichtig, und sie werden nur in entsprechenden bezeichneten Zahlen gegeben, in einer bloß einen.

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Denn wenn man sich eine Waage vorstellt, deren Zünglein sei eine Linie des ersten Grades, aber Arme seien, rechts freilich, eine senkrechte Linie von der obersten Person absteigende; die Linken aber, senkrecht von der höchsten ansteigend gezogen zum letzten entweder ansteigenden oder absteigenden die gegebenen Verwandtschaft anordnend; sodann von den gleichen Armen, wenn von beiden Seiten 3.3 oder 2.2 usw. wäre die Verwandtschaft im Gleichgewicht und in die Mitte des Dreiecks zu setzen; bei ungleichgewichtigen, ist die Verwandtschaft so zu setzen in jenem seitlichen dass die gerade Linie entweder des an- oder absteigenden, aus dem der längere Arm genommen ist, es ist benachbart.

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Hier nun spiegelt sich die Macht der Verbindungen sehr deutlich. Denn es werden alle seitlichen Personen aus 2 Enden zusammengesetzt, von einer Verwandtschaft in gerade aufsteigender Linie, eine andere absteigend, aber immer so, dass sie im Fall des seitlichen Aufstieg, im absteigenden Falle gerade verbunden würden, z. B. der Bruder, das ist der Sohn des Vaters. Aber wenn im Gegenteil, wird er zur gegebenen Person zurück gehen, denn wer sich den Vater seines Sohnes nennt, nennt sich, weil ein Vater mehrere Söhne haben kann, nicht umgekehrt.

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Aus dem wird schon gegeben: von jedem vorgegebenen Grad der Verwandtschaften, bald die Zahl, bald die Art zu finden; die Zahl der seitlichen wird immer um eine Gradeinheit kleiner sein (die Zahl aller ist immer um die Einheit) größer, weil sie immer zwei Verwandtschaften der geraden Linie dazugezählt werden müssen, eine oberhalb, die andere darunter) deren Verhältnis aus der Erfindung der Arten offenbar sein wird. "Denn die Verbindung von 2 Teilen, oder Zerlegung in zwei Teile, jeder gegebenen Zahl sind so viele, wie die gegebene Zahl Einheiten hat die halbe geradzahlige, die ungeradzahlige die Hälfte der um die Einheit verringerten, z. B. 6 hat diese: 5, 1, 4, 2, 3, 3, und das Verhältnis dieser Sache ist offensichtlich, weil immer die vorhergehende Zahl nächst der gegebenen mit der entferntesten, gänzlich die nächste mit gänzlich der entferntesten verwoben wird u. s. w." Aber weil hier nicht nur der Verknüpfung, sondern auch der eingenommenen Stellung zu beachten wäre, z. B. ist 5.1, nämlich Urgroßvater, eine andere Verwandtschaft als 1.5, nämlich Großcousin, weil hier 2 Dinge die Stellung durch 2 Vertauschungen wechseln. Also werden die Zerlegungen verdoppelt, es wird die gegebene Zahl zurückgegeben werden, wenn sie geradzahlig gewesen war, aber weil in deren Zerlegungen eine gleichmäßige geben würde, z. B. 3.3 in der nichts die Anordnung ändert, wird sie hier von der gegebenen Zahl abgezogen, oder die Zerlegung vom Doppelten, wiederum 1. Wenn aber die gegebene Zahl ungerade gewesen ist, ergibt es die Zahl um 1 kleiner.

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Aus diesem ist allgemein offensichtlich: (1) Wird die Einheit von der Zahl des Verwandtschaftsgrads abgezogen, wird das Ergebnis die Zahl der seitlichen Verwandtschaft sein; (2) zwei Zahlen, die sich komplementär sind zur gegebenen, oder deren eine so viel von 1 entfernt ist, wie die andere von der gegebenen, zusammen gesetzt werden sie die Art der Verwandtschaft ergeben, wenn allerdings die vorhergehende verstanden wird den ansteigenden anzuzeigen, folgend seinem absteigenden Grad. Bei dieser Gelegenheit wird nebenbei erklärt, was die möglichen Zerlegungen der gegebenen Zahlen wären.

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Denn zwar sind alle Zerlegungen Verknüpfungen, aber der Verknüpfungen derer sind bloß Zerlegungen, die gleichzeitig alle gleiche sind. Ähnlich können sie angeregt werden, bald die Verknüpfungen von 2, bald die Verknüpfungen von 3, bald die einfachen Zerlegungen, bald durch den gegebenen Exponenten. Wie viele Faktoren oder Divisoren irgendeine gegebene Zahl genau hätte, verstehe ich als gewöhnlich gelöst. Und hier ist was Plato die Zahl der Bürger zu sein gewollt hat 5.040, weil diese Zahl sehr viele Teilungen der Bürger zu lässt für die Arten der Ämter, nämlich 60, Buch 5, Seite 845 über die Gesetze. Und von diesem zwar bei der Vervielfältigung und Teilung, aber wer durch Addition um die Veränderungen der gegebenen Zahl zu bewirken, und durch Subtraktion um zu Zerteilen hergeleitet hätte, was beide von demselben hat er verkürzt, es ist mir nicht bekannt. Aber den Weg der Zerteilungen die Verknüpfungen von 2 herzuleiten zeigen wir als nächstes. Aber wenn mehrere Teile zugelassen werden, wird ein gewaltiger Abgrund der Zerteilung eröffnet, in welchem uns offenbar wird eine gewisse Grundlage der Berechnung zu erkennen, denn immer entstehen Zerteilungen in 3 Teile aus den Zerteilungen in 2, bevorzugt eine; das auszuführen ist aber an dieser hier nicht die Zeit.

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Bevor wir übrigens in unserem Stammbaum von der allgemeinen Berechnung zur speziellen kämen, ist an dieser Stelle daran zu erinnern, dass die von uns den Verwandtschaften zugewiesenen Definitionen nicht im allgemeinen Gebrauch sind. Denn z. B. definiert niemand den Onkel als Sohn des Großvaters, sondern eher als Bruder des Vaters. Wer auch immer deshalb diese Definitionen zur gewöhnlichen Sitte gestalten wollte, wenn allerdings eine Person schräg aufsteigt, setzt er an Stelle des absteigenden Begriffs für Sohn den Vater, für Enkel Großvater u. s. w. an Stelle des Absteigenden setzt er den einen Grad kleineren; wenn er aufsteigt umgekehrt.

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Weil wir jetzt gezeigt haben, dass die Verwandtschaften in einem beliebigen Grad, durch die um 1 größere Zahl des Grades ist, verschiebe auch die Personen der Verwandtschaften die wir zählen würden, welches die besondere Nummerierung ist. Wir haben aber gesagt in ebender Verwandtschaft einen Unterschied zu machen, bald durch Verbinden mit dem Geschlecht, bald der zwischen den Verwandten und den gegebenen Personen liegenden. Es gibt aber zwei Geschlechter. Deshalb muss immer fortlaufend die Zahl der Personen verdoppelt werden, z. B. nicht nur unterscheiden sich Vater und Mutter durch das Geschlecht, 2, sondern der Vater hat wiederum Vater oder Mutter. Und die Mutter auch, deshalb 4. Der Großvater hat auch vom Vater den Vater und die Mutter, und die Großmutter vom Vater, und der Großvater von der Mutter und Großmutter genauso; deshalb 8 u. s. w. Deshalb leite ich Regel ab: "2 wird so oft mit sich selbst multipliziert, wie der Grad der Person die gesucht ist, oder was dasselbe ist, gesucht wird die Zahl der geometrischen Folge von 2, deren Exponent die Zahl des Grades ist. Diese wird multipliziert mit der Zahl des gegebenen Grads der Verwandtschaften; die Zahl der Personen des gegebenen Grades wird erzeugt."

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Und nach diesem Verfahren habe ich die Anzahl der Personen ermittelt, die der Rechtsgelehrte Julius Paulus am angegebenen Ort 10 mit Ausnahme von Grad 5. Grad 1: 2 · 2 macht 4 stimmt mit Julius Paulus am angegebenen Ort 10 § 12 überein. Grad II: 2 · 2 macht 4 · 3 macht 12 § 13. Grad III: 2 · 2 · 2 macht 8 · 4 macht 32 § 14. Grad IV: 2 · 2 · 2 · 2 macht 16 · 5 macht 80, § 15. Gard V: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 macht 32 · 6 macht 192, das widerspricht Julius Paulus im § 16 er behauptet 184, dessen Berechnung jedoch einen Fehler enthalten muss. Grad VI: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 macht 64 · 7 macht 447 stimmt mit Julius Paulus § 17 überein. Grad VII: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 macht 128 · 8 macht 1024, am Ende von § 18.

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Fragestellung IV.
Aus der gegebenen Anzahl Gegenstände die Veränderungen der Anordnung zu finden.

Die Lösung: alle Zahlen von der Eins bis zur Anzahl der Din­ge einschließlich werden in der natürlichen Folge aufgestellt: gemacht aus allen ununterbrochen, die Frage wird sein, wie: es soll sein wie in Tabelle ה die wir bis zur Zahl 24 fortgesetzt haben. Die rechte Spalte hat die Exponenten, oder Anzahl der Dingen, die hier zusammenfallen; in der Mitte sind die Ver­än­de­run­gen selbst. Zur Linken angeordnet ist der Unterschied der Ver­än­de­run­gen der beiden nebenstehenden, zwischen die sie angeordnet ist. Gleich wie der rechts angeordnete Exponent das Verhältnis ist der gegebenen Ver­än­de­run­g zum vor­her­ge­hen­den. Die Berechnung der Lösung wird offensichtlich sein, wenn wir die Ver­än­de­run­g des gegebenen Exponenten gezeigt haben werden, gemacht aus der Herleitung des Exponenten selbst in der vor­her­ge­hen­den Ver­än­de­run­g, das ist die Grundlage der Tabelle ה. Zu diesem Ende soll ein anderes Schema ו. In dem wir vor Augen geführt haben, dass die 4 Dinge ABCD sie 24 Veränderungen der Ordnung haben. Die Punkte bedeuten die vorhergehende Sache, die direkt darübersteht. Wir sind dem Verfahren der Anordnung gefolgt, dass zuerst was am wenigsten verändert wird, solange bis nach und nach alles. Übrigens haben wir die Veränderungen des vorangegangenen Exponenten geradezu durch die Grenzen unterschieden von denen was man zufügt folgt. Deswegen in Kürze: jedes Mal wenn sie verändert werden, die gegebenen Dinge, z. B. drei sechsmal: außerdem wird er gesetzt werden können eine hinzugefügt von den beobachteten Veränderungen zur vorigen Zahl bald der ersten, bald der zweiten, bald der dritten, bald der letzten oder dem vierten Platz; oder allesamt wird er können den vorigen verschiedentlich hinzugefügt werden, wie viele er Einheiten habe; Und jedes Mal wird dem vorigen zugefügt alles was er den vorigen Veränderungen aufstellt. Oder so eine beliebige Sache einmal einen Platz einnehmen wird, weil inzwischen die übrigen eine vorangehende Veränderung unter einander haben, vergleiche Fragestellung 7. Es ist deswegen offenbar, dass die vorigen Veränderungen in den folgenden Exponenten zu ziehen sind. Ich beachte hier die folgenden Lehrsätze: 1) alle der Anzahl der Veränderungen sind geradzahlig; 2) aber alle deren Exponent nicht über 5 ist gehen in Ziffern zu ende, sogar in so vielen Ziffern, wie oft der Exponent 5 enthält 3) Alle der höchsten Veränderungen sind ungerade (das heißt die Zusammengesetzten der Veränderungen von 1 bis irgendwohin); und enden in 3 von 4 Exponenten im Unendlichen. 4) welche Veränderung auch immer vorangeht, wie auch deren Exponent misst alle nachfolgenden Veränderungen.

5) die Anzahlen der Veränderungen bilden bei Umwandlung zur harmonischen arithmetischen Reihe. Denn es sei die arithmetischen Reihe 1, 2, 3, 4, 6 in eine stete umzuwandeln: die größte Zahl, an dieser Stelle 5 die Veränderung ist gesucht: 120, diese wird durch ein die einzelnen geteilt, erzeugen sie 120, 60, 40, 30, 24, die Glieder der harmonischen Reihe. Durch die wenn die gleiche Zahl 120 geteilt wird, die Zahlen kehren zu deren arithmetische Reihe zurück. 6) Wenn irgendeine gegebene Veränderung verdoppelt wird, vom erhaltenen Produkt abgezogen wird aus dem Produkt des unmittelbar vorhergehenden mit seinem Exponenten, wird der Rest die : Summe der beiden Veränderungen sein, z. B. 24*2 macht48 — 6*3, 18, macht 30 = 6+24 macht 30. 7) Eine gegebene Veränderung mit sich selbst multipliziert, den Faktor durch den vorhergehenden geteilt, wird die Differenz zwischen der gegebenen und der folgenden ergeben, z. B. 6*6 macht 36 : 2 macht 18 = 24-6 macht 18. Besonders die beiden letzten Lehrsätze hätte ich aber dagegen nicht leicht geglaubt. Wenn auch der Gebrauch vielfältig ist, doch ist uns die gestellte Aufgabe, dass wir nicht allen übrigen Fragestellungen vorgriffen. Und weil wir besonders die ernsthaften Anwendungen der Schlussfolgerungen der Lehre vermischten (denn es war oft notwendig die Veränderungen der Reihenfolge in Schlussfolgerungen zu ziehen), werden sie hier zum größten Teil mehr erfreulich als nützlich sein. Folglich fragen sie, wie oft könnten sich wie viele auch immer gegebene Personen an einem Tisch n der einen oder anderen Ordnung niederlassen. Jeremias Drexel in Der Kreis des Phaeton oder die Fehler der Sprache, Seite 3 c. l. wo er über die sorglose Sprache die Fabel so erzählt: Der Familienvater, ich weiß nicht wer, hatte 6 Gäste zum Gastmahl geladen. Diese weil es Zeit war sich zum Essen zu setzen, übertragen sie einander gegenseitig den Ehrenplatz, er ermunterte sie so: ob sie im Stehen die Speisen einnehmen wollten? allerdings das nicht so, weil auch im Stehen eine Reihenfolge nötig ist. Wenn ihr nicht aufhört, dann werde ich euch, damit ihr euch nicht beschweren könnt, so oft ich zum Mahl rufen werden, jedes Mal die Reihenfolge geändert werden kann. Nachdem er dies gesagt hätte, hat er nicht geruht die gewissenhafte Berechnung, denn so hatte er 720 Veränderungen in Erfahrung gebracht (denn so viele gehören zu 6 Exponenten, wie Jeremias Drexel auf 12 Seiten mit je 3 Spalten und jeder Spalte 20 Veränderungen vor Augen geführt hat) so viele Gastmahle müsste er ausrichten; was wenn er sie fortlaufend ausrichtete, 720 Tage, das sind 10 mehr als 2 Jahre brauchen würde. Georg Philipp Harsdörffer setzt in Deliciae physico-mathematicae oder mathematische und philosophische Erquickstunden Seite 2, Absatz 1 Fragestellung 32 die Gästezahl auf 7; so werden die Tage des Gastmahls 5.040 sein, das sind 17 Jahre und 10 Wochen. Aber Georg Henisch, Arzt in Augsburg, in Arithmetica perfecta et demonstrata, doctrinam de numero triplici, vulgari, cossico et astronomico noua methodo per propositiones explicatam : continens libris septem Buch 7, Seite 399, setzt 12 Gäste oder Tischgenossen ein; die erzeugen 479.001.600 Veränderungen, Gastmahle, Tage; die brauchen 1.312.333 Jahre und 5 Tage. Sogar wenn wer dies im Exponenten versuchen wollen würde, was Jeremias Drexel mit der Hälfte derer bewirkte, nämlich die Veränderungen vor Augen zu prüfen, würde er 100 Jahre aufwenden, davon ein Viertel genommen, und wenn er am Tag 12 Stunden arbeiten würde und in jeder Stunde 1.000 Veränderungen schaffen würde. Der Wert der Arbeit gefällt den Göttern! Andere, dass sie die Übersättigung der bloßen Betrachtung gleichsam würzen würden arbeiten Verse aus, die unversehrt sowohl durch Verständnis, als auch durch Versmaß und Worte auf verschiedene Weise angeordnet werden können. Solche nennt zuerst Julius Caesar Scaliger im 2. Buch Proteus Dichter. Deren halten andere für weniger Kunst, mehr für Veränderungen, diese nämlich deren alle ist eine Veränderung einsilbiger; andere dagegen, in denen die rechte Mischung der einsilbigen und der anderen ist. Und weil ja gewöhnlich in diesen viele unbrauchbare Veränderungen sind, die am Orte der Fragestellung 11 und 12 zu betrachten sind, werden wir nun über diese einzigen sprechen. Bernardus Bauhusius, ein Jesuit und ein angesehener Künstler der Sinngedichte, durch solche Hexameter unseres Heilands zum Beispiel die Titel Einsilbige wird es verstanden:

• Rex, Dux, Sol, Lex, Lux, Fons, Spes, Pax, Mons, Petra
  CHRISTUS

Diesen Erycius Puteanus in Wunder der Frömmigkeit, Seite 107, und andere sagen dass es 362.680 Mal verändert werden kann, man kann die Einsilbigen so viele berücksichtigend, welche 9 sind; ich erachte die Anzahl fast 10 mal größer zu sein, nämlich diese 3.628.800. Denn die zehnte Betonung einbeziehend kann auch Christus überall gesetzt werden, wenn nur Petra unbeweglich bleibt, und nach Petra oder die Betonung Christus oder 2 einsilbige gesetzt werden. Es gibt deswegen unbrauchbare Veränderungen, von welchen nach Petra gesetzt wird 1 einsilbiges als nächstes zum vorhergehenden Petra Christus; das trifft zu für 8 einsilbige die so oft Veränderungen sind, nämlich 40.320 mal, weil man am Ende was auch immer aus jenen 9 sein kann. 40.320*9 macht 362.880-3628800 macht 3.265.920, was die Anzahl der brauchbaren Verse dieser Veränderungen von Bernardus Bauhusius ist. Thomas Lansius aber hat mit ansehnlichem Fortschritt im Vorwort der Consultationen bearbeitet was folgt:

• Lex, Rex, Grex, Res, Spes, Jus, Thus, Sal, Sol (bona), Lux, Laus.
• Mars, Mors, Sors, Lis, Vis, Styx, Pus, Nox, Fex (mala), Crux, Fraus.

Hier können in einem einzigen Vers, weil er 11 einsilbige enthält, 39.916.800 Wechsel verändert werden. Deren durch Beispiel hat Heinrich Christoph Ebell aus Gießen, einst Rektor der Schule in Ulm, zuerst Hexameter, danach elegische Distichon ersonnen. Dieser ragt hervor im Vorwort Nr. VIII, weil er auch zurückläuft, in seinem Werk der Vers-Palindrome, welche er gesammelt in einem Bändchen im Jahr 1623 in Ulm im Format Duodez herausgegeben hat. So hat er Hexameter:

• DIs, VIs, LIs, LaUs, fraUs, stirps, frons, Mars, regnat In orbe.

Wo das gleiche Werk das sowohl zusammengestellt wurde als auch wirklich wiedergegeben wird im 1620. Jahre nach Christi Geburt. Weil dieses 8 einsilbige enthält, ist es nötig, dass 40.320 Veränderungen entstehen. Aber das Distichon an den Heiland ist so beschaffen:

• Dux mihi tu, mihi tu Lux, tu Lex, Jesule, tu Rex : Jesule tu Pax, tu Fax mihi, tu mihi Vox.

Die Veränderungen werden wir so berechnen: der Inschrift des Heilands sind 7 einsilbige diese werden untereinander durch 5.040 Wechsel verändert. Und weil eine einzelne Betonung benachbart ist dem Tu (Dich), was mit seiner Inschrift durch 2 Wechsel verändert wird, weil es bald davor, bald danach gesetzt werden kann, und das erreicht durch 7 Wechsel, wird zweimal siebenmal in sich gezogen, 2, 2, 2, 2, 2, 2 *2 macht 128 oder die 7. Potenz von 2, multipliziert mit 5.040*128 macht 645.120; das Produkt ist das gesuchte. Diese wollte dass sie auch unter seinem Namen Giovanni Battista Riccioli gelesen werden, damit die mit seinem Werk zur Dichtkunst die Fähigkeit des Lehrers einst auf ihn so sehr heller aufleuchteten. Dessen Bekenntnisse in Neuen Almagest Teil I Buch 6 Kapitel 6 Anmerkung 1 Blatt 413 folgen:

• Hoc metri tibi eo me nunc hic, Thety, Protea sacro:
  Sum Stryx, Glis, Grus, Sphynx, Mus, Lynx, Sus, Bos, Caper et Hydrus.

Dessen 9 einsilbige werden durch 362.880 Wechsel verändert. Wenn man anstelle der letzten Betonungen: et Hydrus, einsilbige einsetzt, z. B. Lar, Grex, hätte er sich zu den Veränderungen von Thomas Lansius aufgeschwungen. Hier sehe ich mich gezwungen zu erinnern, damit er mich nicht auch die Ansteckung des Vorwurfs züchtigt, die erste verdorbene Thetys (Meeresgöttin) habe ich nicht gelesen. Und es kommt bei dieser Gelegenheit jener Marcus Pedo Vergilianus in den Sinn. Georgicon Buch 1, Vers 31.

• Teque sibi generum Thetys emat omnibus undis.

Denn den einen ist Thetys die Königin des Meeres, Gefährtin der Nereiden; den anderen eine gemeine Meeresnymphe, dem sterblichen Peleus angetraut, Mutter des Achill, und nicht würdig dem der dich Proteus verehrt. Diese wird gewiss getadelt:

• Vecta est frenato caerula pisce Thetys.

Übrigens hat Giovanni Battista Riccioli den Julius Caesar Scaliger nachahmen wollen, denn beide haben einen Proteus-Vers über Proteus.

• Perfide sperasti divos te fallere Proteu.

Über dessen Veränderungen in der letzten Fragestellung unten. Damit die Deutschen nicht als geringer gesehen würden, hat sich Georg Philipp Harsdörffer der Ausarbeitung unterzogen, in dessen " Deliciae physico-mathematicae oder mathematische und philosophische Erquickstunden" ragt der Zweizeiler hervor:

• Ehr, Kunst, Geld, Guth, Lob Weib und Kind
• Man hat, sucht, fehlt, hofft und verschwind.

Dessen 11 Einsilber haben 39.916.800 Veränderungen. So viel zu Versen. Aber obgleich auch Annagramme hierzu gehören, welche nicht anderes sind als brauchbare Veränderungen der gegebenen Buchstaben der Rede, doch wollen wir nicht die üblichen Bücherschränke ausschlachten. Einen Streitfall der Berechnungen aus der Literatur ist es sogar wert zu untersuchen: wie viele unterschiedlich Stellen der Buchstaben im Alphabet es gäbe. Christophorus Clavius hat in "In Sphaeram Ioannis de Sacro Bosco commentarius", Kapitel 1 Seite 46 gesagt, die 23 Buschstaben der lateinischen Sprache haben 25.852.016.738.884.976.640.000 verschiedene Anordnungen, das stimmt mit unserer Berechnung überein; den 24 Buchstaben der deutschen Sprache weist Johann Lauremberg 620.448.397.827.051.993 Veränderungen zu. Erycius Puteanus im genannten Büchlein 62.044.801.733.239.439.360.000. Aber Henricus ab Etten 620.448.593.438.860.613.360.000, alle gerecht zu wenige. Die wahre Anzahl ist, wie in Tabelle ח gezeigt, ist hier: 620.448.401.733.239.439.360.000. Alle stimmen darin überein, dass die ersten Ziffern 620.448 sind. Der Irrtum der Berechnungen von Erycius Puteanus liegt nicht im Verständnis, sondern wird als Schreib- oder Druckfehler gesehen, denn nichts anderes, als am siebenten Platz fehlt die Ziffer 4. (Aber das eine sind Veränderungen, das andere die Anzahl der Betonung aus den gegebenen zusammensetzbaren Buchstaben. Denn was ist die Betonung der 23 Buchstaben? Allerdings wie groß sie sei, alle Zusammenstellungen der 23 Dinge würden gefunden werden, in einzelnen Veränderungen würden sie entsprechend Fragestellung 2, Nummer 59, geschlossen werden, Aber die es enthalten zu finden lehrt die Fragestellung 6.) Ferner wie groß diese Zahl ist, dass, wenn auch die gesamte feste Erdkugel ringsherum wäre, und im beliebigen Raumsegment der Mensch auftrat, alljährlich, sogar würden zur einzelnen Stunde alle neu gewählten vergehen, die Summe aller vom Beginn der Welt bis zum Ende würde vieles fehlen, wie Georg Philipp Harsdörffer neulich sagt über Hegiam Olynthium Graecum gezählt haben. Durch diese Überlegungen weil neulich irgendein Freund entgegnet hätte, so folgt, dass es ein Buch sein könnte, in dem alles geschriebene und zu schreibenden gefunden wird: dann bekenne auch ich, frage ich, aber dem bedeutenden Leser das Werk eine wichtige Stütze ist, aber ich fürchte dass er nicht den Erdkreis überrascht. Denn du wirst nicht einfach das Pult gefunden haben durch das Horn jener Tiere, durch die Mohammed in den Himmel getragen das Geheimnis der Dinge erforscht hat, deren Größe und Verschiedenheit seit Zeiten durch das Orakel des Korans gelehrt haben. Alle Sprachen entstehen aus wenigen Buchstaben um den Ursprung der Dinge zu erklären wie es zum Beispiel aus Atomen gebräuchlich ist nach der Lehre des Demokrit von Abdera selbst Aristoteles im 1. Von " Über das Entstehen und das Vergehen", 5. Abschnitt und im berühmten Buch 1. "Metaphysica" Kapitel 4, wo er nach Demokrit von Abdera sagt, die Atome unterscheiden sich durch die Gestalt, das ist die Form, wie die Buchstaben A und N, die These, das ist die Stellung, wie die Buchstaben N und Z denn wenn man von der Seite schaute, wird das eine ins andere verwandelt; die Anordnung, das ist die Reihenfolge, z. B. die Silben AN und NA. Titus Lucretius Carus besingt es auch im 2. Buch so:

• Quin etiam refert nostris in versibus ipsis
• Cum quibus (complexiones} et quali sint ordine (variatio situs) quaeque locata
• Namque eadem coelum, mare, terras, flumina, Solem
• Significant: eadem fruges, arbusta, animantes:
• Si non omnia sint, al multo maxima pars est
• Consimilis; verum positura discrepitant haec.
• Sic ipsis in rebus item jam materiai
• Intervalla, viae, connexus, pondera, plagae,
• Concursus, motus, ordo, positura figura
• Cum permutantur, motuari res quoque debent.

Lucius Caecilius Firmianus Lactantius im 3. Buch der " Institutiones Divinae" (Göttliche Unterweisungen), Kapitel 19, Seite 163: Durch verschiedene Folgen, fragt Epikur, oder Stellungen kommen die Atome gleich wie die Buchstaben zusammen, die weil sie wenige sind, dennoch verschiedentlich unzählige angeordnete Wörter hervorbringen. Füge dazu Diogenes Laertios in Pierre Gassendi" Compendium vitae philosophorum" im 10. Buch herausgegeben in Lyon im Jahr 1648, Blatt 227, und Johann Chrysostom Magnenus " Democritus reviviscens sive de atomis. Addita est vita Democrit" Abhandlung 2 über Atome Kapitel 2 Satz 32 Seite 269. Schließlich gehört zu dieser Umstellung der Buchstaben ein Spiel diese Art zu lehren, das Sophronius Eusebius Hieronymus an Paula von Rom erinnert hat, von Knäblein zur Benutzung von Mosaiksteinen mit eingeprägten Buchstaben und Silben. Das richtet Georg Philipp Harsdörffer im Deliciae physico-mathematicae oder mathematische und philosophische Erquickstunden Teil 2, Abschnitt 13, Satz 3 so ein: man nimmt 6 Würfel, jeder Würfel hat 6 Seiten, und die 36 werden beschrieben, nämlich so: I. a. e. i. o. u. y. II. b. c. d. f. g. h. III. k. l. m. n. p. q. IV. r. s. ß t. w. x. V. v. j. s. r. ä. ö. VI ff. ss. tz. sch. ch. z. Das Alphabet aber des Spiels des einzelnen Mosaiksteins, Silben zweier wird lehren das Buchstabieren: daraus werden nach und nach Worte.

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Fragestellung V.
Aus der gegebenen Anzahl Gegenstände die Veränderungen des Platzes nur der auf einander bezogenen oder die Nachbarschaft zu finden.

"Suchte man die Veränderung der unanhängigen Stellung, oder der Reihenfolge, von der kleineren Einheit Anzahl Dinge die gegeben ist, der Fragestellung 4 zufolge, was gefunden wird in Tabelle ה wird das gesuchte sein.". Die offensichtliche Schlußfolgerung der Lösung ist im Schema ו, wodurch wir die Schlussfolgerung der Lösung der voreangegangenen Fragestellung geben werden, z. B. bei Veränderungen der Nachbarschaft, werden die Veränderungen diese: Abcd, BcDA, CDAB, Dabc, für eine genommen, gleichwie im Kreis geschrieben. Und ähnlich mit den übrigen; deshalb sind jene 24 Veränderungen durch die Anzahl der Dinge zu teilen, die hier 4 ist, das wird die Anzahl der Veränderungen der Reihenfolge der vorhergehenden Dinge ergeben, nämlich 6. Stelle dir einen runden Wärmeraum vor der in allen 4 Himmelsrichtungen Zugänge hat, und in der Mitte ist ein Tisch aufgestellt (welches in diesem Fall der ehrenvollste Platz ist erörtert Daniel Schwenter, und hat sich für den Zugang entschieden der nach Osten schaut, von dessen Richtung sei der geehrteste Gast anzuordnen. Deliciae physico-mathematicae oder mathematische und philosophische Erquickstunden Teil VII, Frage 28.) und zwar so die Ordnung der Gäste zu verändern erwogen durch die Überlegung des Vorrangs und des Nachrangs entfernt. Hier werden wir bei der vollkommenen Darstellung zugleich etwas über den Kreis erklären. Weil alle Vordersätze umkehrbar sind, werden 6 Syllogismen entstehen, drei des Kreises. Das soll der Beweis sein:

1. O. gelehrig sein ist vernünftig.
   O. Der Mensch ist vernünftig.
   E. O. Der Mensch ist gelehrig.
2. O. Der Mensch ist gelehrig.
   O. vernünftig ist der Mensch.
   E. O. Vernünftig sein ist gelehrig.
3. O. Der Mensch ist vernünftig.
   O. gelehrig ist der Mensch.
   E. O. gelehrig sein ist vernünftig.
4. O. gelehrig ist vernünftig.
   O. Der Mensch ist gelehrig.
   E. O. Der Mensch ist vernünftig.
5. O. Der Mensch ist gelehrig.
   O. vernünftig ist der Mensch.
   E. O. vernünftig ist gelehrig.
6. O. vernünftig ist gelehrig.
   O. Der Mensch ist vernünftig.
   E. O. Der Mensch ist gelehrig.

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Fragestellung VI.
Bei gegebener Anzahl der zu verändernden Dinge, welche irgendeiner oder irgendwelchen wiederholt werden, die Änderung der Anordnung zu finden.

"Würden die einfachen Dinge gezählt und aus diesen widerholten immer bloß eine, und bei Änderung der Zahlen die gegebene Anzahl der Änderungen durch die Einheit der kleineren; wäre das Ergebnis gesucht. Es seinen z. B. sechs: a, b, c, c, d, e, so sind 4+1 einfache (zwei von den c werden 1 gesetzt) macht 5 * 120 (120=5! aber ist die Änderung der Anzahl 5 aus den ursprünglich gegebenen 6) macht 600. Diese Überlegung ist offensichtlich, wenn man das Schema וּ betrachtet; es fallen nämlich alle Änderungen zusammen, von denen das Ding auf sich selbst gelegt wird. Den Gebrauch werden wir jetzt zeigen. Es soll die Aufgabe sein: aus einem gegebenen Thema alle möglichen Melodien zu finden. Das hat Georg Philipp Harsdörffer in seinen " Deliciae physico-mathematicae oder mathematische und philosophische Erquickstunden", Abschnitt 4, Fragestellung 7 versucht. Aber dieser glaubt im Thema von 5 Silben sind nur 120 mögliche Melodien; er hat einzig die Änderungen der Anordnung betrachtet. Aber uns erscheint es notwendig auch die Zusammenstellungen zu betrachten, wie nun ersichtlich wird. Aber wir werden höheres beginnen: das Thema ist entweder einfach oder zusammengesetzt. Das Zusammengesetzte nenne ich unterschieden in Linien, Reimzeilen. Und die Änderung des zusammengesetzten Themas werden wir durch Melodien der einfachen erforschen, die ununterbrochen in sich gezogen werden mit der Fragestellung 3. Das einfache Thema übertrifft entweder 6 Silben aus oder nicht. Diese Unterscheidung ist deswegen nötig, weil es 6 Tonlagen gibt: Ut, Re, Mi, Fa, Sol, La (wenn ich die 7. Weglasse; Bi, die Erycius Puteanus in seiner Musiktheorie "Musathena, sive notarum heptas" dazu fügt). Wenn es nicht 6 übersteigt, entweder 6 Silben oder es ist kleiner. Wir werden in unserem Beispiel werden wir für den sechssilbigen Themen überlegen, kann man diese Dinge verstehend dasselbe wohin auch immer fortsetzen. Außerdem ist es nötig, dass in allen mehr als Sechssilbigen eine Wiederholung der Töne ist. Sodann im sechssilbigen Thema sind die Zusammenfassungen der Änderungen diese:

Schema וּ

I.	ut re mi fa sol la die Veränderung der Ordnung ist	720
II.	ut ut re mi fa sol,die Veränderung der Ordnung ist 720-120 macht 600. Aber nicht nur ut, sondern auch ein beliebiges der 6 Töne kann 2 mal, also 6*600 macht 3.600, und die verbliebenen 5 Töne immer 5 mal, die anderen 4 können nach u tut gesetzt werden, nämlich re, mi, fa, sol, re, mi, fa, la, re, mi, sol, la. re, fa, sol, la. mi, fa, sol, la; oder 5 Dinge haben 5 Verbindungen von 4: 5*3.600 macht	18.000
III.	ut ut re re mi fa, 480 ᴖ 15 macht 7200 ᴖ 6 macht	43.200
IV.	ut ut re re mi mi, 360 ᴖ 20 macht	7.200
V.	ut ut ut re mi fa, 360 ᴖ 6 f. 2160 ᴖ 20 macht	43.200
VI.	ut ut ut re re mi, 360 ᴖ 6 ᴖ 5 ᴖ 4 macht	43.200
VII.	ut ut ut re re re, 240 ᴖ 15 macht	3.600
VIII.	ut ut ut ut re mi, 360 ᴖ 6 ᴖ 10 macht	21.600
IX.	ut ut ut ut re re, 240 ᴖ 6 ᴖ 5 macht	7.200
Summe		187.920

Was aber wenn der 7. Ton des Erycius Puteanus, wenn Pausen, wenn solche ungleichen Geschwindigkeiten in den Noten, wenn wir andere musikalischen Symbole anwendeten auf die Berechnung, wenn zum Thema sehr viel mehr Silben als 6, wenn wir weitergingen zu Zusammengesetzten, wie groß wäre das Meer der Melodien, welche durch irgendwelche Fälle brauchbar sein könnten? Es erinnert uns an die Nachbarschaft der Dinge, kann einer beliebigen Gattung der Lieder die brauchbaren Arten oder Wendung, und gleichsam Melodien gefunden werden, die ich weiß nicht irgendjemandem so weit oder zu versuchen in den Sinn gekommen wäre. Wir wollen es mit dem Hexameter versuchen. Weil der Hexameter sechs Füße hat, unter anderen können freilich gewöhnlich der Daktylus und der Spondaeus wohnen, aber als drittvorletzten nur den Daktylus, als letzten den Spondaeus oder Trochaeus gerne hat. Was also die 4 ersten betrifft, sie sind entweder nur Daktyli: 1, oder nur Spondaei: 1, oder 3 Daktyli, ein Spondaneus, oder umgekehrt: 2, oder 2 Daktyli, 2 Spondaei: 1, überall ist die Änderung der Stellung 12, 2+1 macht 3 * 12 macht 36 + 1 + 1 macht 38. Aber in einzelnen Versen dieser Art ist der letzte entweder ein Spondaeus oder ein Trochaeus, 2* 38 macht 76. So viele Arten des Hexameters gibt es, nur durch das Versmaß der Bestandteile. Wenn ich die Änderungen verschweige, die aus den Tonhöhen kommen, z. B. was entweder aus einsilbigen oder zweisilbigen usw. oder auf diesen untereinander gemischten beruht; weil die Stimme eben mit dem Versmaß beschränkt wird, macht es sogleich einen Einschnitt und dieser ändert die Art; weil das Ausatmen häufig dazwischen tritt entweder irgendeine oder keine. Übrigens unterscheiden die Hexameter sich auch durch die Menge der Buchstaben, wie in dieser Angelegenheit das Lied des Publilius Optatianus Porfyrius herausragt (den Cesare Baronio bösartig mit Porphyrios dem Griechen, einem Philosophen und Christenfeind verwechselt) an Flavius Valerius Constantinus Magnus, das aus 26 heroischen Versen besteht, deren erster 25 Buchstaben enthält, die übrigen fortlaufend um einen Buchstaben anwachsen, bis zum 26. Der 50 hat; so stellen sie alle Register der Orgel dar. Sie haben erinnert an Sophronius Eusebius Hieronymus an Paula von Rom, Iulius Firmicus Maternus in der Mythologie, Rabanus Maurus, Beda Venerabilis über das Versmaß. Justus Velsius hat es mit Abbildungen herausgegeben aus seiner Bibliothek Augusta im Jahre 1591. Füge dazu Erycius Puteanus in "Die Wunder der Nächstenliebe" Buchst. N, der behauptet dieses Lied zurück gebracht zu haben aus der verdienten Verbannung; Gerhard Johannes Vossius in Zusammenstellung römischer Dichter siehe Optatianus; ebenso über die griechischen Historiker, 1. 16. Caspar von Barth Aufsatz über die lateinische Sprache, und August Buchner Noten in der Hymne des Venantius Honorius Clementianus Fortunatus über die Auferstehung (die gewöhnlich Lucius Caecilius Firmianus Lactantius zugeschieben wird) siehe 29. Seite 27, der die Hexameter in Form der Panflöte beachtet, der Vers nimmt durch die Mitte zu: Augusto Victoria usw. die Regeln der Orgel, die anacreontischen dimetrischen Jamben alle 18 Buchstaben entsprechen den Flötenrohren. Die Verse haben wir dargestellt, weil sie nicht allenthalben vorkommen:

Augusto Victoria juvat rata reddere vota.

25	O si diviso Metiri Limite Clio
26	Una Lege Sui Uno Manantia Fonte
27	Aonio Versus Heroi Jure Manente
28	Ausuro Donet Metri Felicia Texta
29	Augeri Longo Patiens Exordia Fine
30	Exiguo Cursu Parvo Crescentia Motu
31	Ultima Postremo Donec Vestigia Tota
32	Ascensus Jugi Cumulato Limite Cludat
33	Uno Bis Spatio Versus Elementa Prioris
34	Dinumerans Cogens Aequali Lege Retenta
35	Parva Nimis Longis Et Visu Dissona Multum
36	Tempore Sub Parili Metri Rationibus Isdem
37	Dimidium Numero Musis Tamen Aequiparantem
38	Haec Erit In Varios Species Aptissima Cantus
39	Perque Modos Gradibus Surget Fecunda Sonoris
40	Aere Caro Et Tereti Calamis Crescentibus Aucta
41	Quis Bene Suppositis Quadratis Ordine Plectris
42	Artificis Manus Innumeros Clauditque Aperitque
43	Spiramenta Probans Placitis Bene Consona Rythmis
44	Sub Quibus Unda Latens Properantibus Incita Ventis
45	Quas Vicibus Crebris Iuvenum Labor Haud Sibi Discors
46	Hinc Atque Hinc Animaeque Agitant Augetque Reluctans
47	Compositum Ad Numeros Propriumque Ad Carmina Praestat
48	Quodque Queat Minimum Admotum Intremefacta Frequenter
48	Plectra Adaperta Sequi Aut Placitos Bene Claudere Cantus
50	Jamque Metro Et Rythmis Praestringere Quicquid Ubique Est.

25	Post martios labores,	38	Feruntque dona laeti.
26	Et Caesarum parentes	38	Jam Roma culmen orbis
27	Virtutibus, per orbem	40	Dat munera et coronas
28	Tot laureas virentes,	41	Auro fereos coruscas
29	Et Principis trophaea;	42	Victorias triumphis,
30	Felicibus triumphis	43	Votaque jam theatris
31	Exultat omnis aetas,	44	Redduntur et Choreis.
32	Urbesque flore grato	45	Me sors iniqua laetis
33	Et frondibus decoris	46	Solemnibus remotum
34	Totis virent plateis.	47	Vix haec sonare sivit
35	Hinc ordo veste clara	48	Tot vota fronte Phoebi
36	In purpuris honorum	49	Versuque comta sola,
37	Fausto precantur ore,	50	Augusta rite seclis.

Aus denen können sie vieles über die Schriften der Alten beobachten, besonders den Diphthong Æ bei dem zwei Buchstaben als einziger ausgedrückt wird; welcher jedoch nicht der Brauch ist, weil die Überlegung siegen würde, denn was wie einer klingt muss auch ein Buchstabe sein. Aber dazu haben wir von Publilius Optatianus Porfyrius oder deswegen ausgedehnt gesprochen, dass wir voreingenommen waren nachstehend zu sprechen, wo wir uns auf die von ihm zusammengestellten die Proteus-Verse berufen werden.

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Fragestellung VII.
Bei gegebenem Hauptsatz die Veränderung zu finden.

Dieses haben wir in den obigen Verknüpfungen gelöst. Nun über die Veränderungen der Reihenfolge: Es gibt verschiedene Fälle. Denn der Hauptsatz dessen Veränderung entweder aus einer Sache besteht oder aus mehreren: wenn aus einer, ist diese entweder einheitlich oder es wird das eine oder das andere unter die (zu verändernden) Dinge gegeben: die selbst einheitlich sind. Wenn es aber aus mehreren besteht, ferner aber wird es innerhalb des Hauptsatzes gegenseitig einheitlich gegeben oder nicht, ebenso sind sie äußerlich einige inwendig einheitlich oder nicht.

" Deshalb werden die äußerlichen Dinge zuerst vom festbleibenden Hauptsatz der Veränderung gezählt; und die Veränderung derer untereinander gesucht (und wenn sie unzusammenhängend wären oder der Hauptsatz zwischen sie gelegt wird) vom abgekürzten Hauptsatz, würde das Ergebnis A nach Fragestellung 4 genannt werden. Wenn der Hauptsatz nicht vielfältigungsfähig ist, oder auch nicht aus mehreren Dingen besteht, und eine dessen Dingen nicht einheitliche hätte, wird das Ergebnis A das gesuchte sein.

Wenn aber der Hauptsatz vielfältigbar ist und aus einer einheitlichen Sache besteht, werde das Ergebnis A mit der Anzahl der einheitlichen multipliziert gleich in jenen Hauptsatz einsetzbar, und das gesuchte wird gemacht sein.

Wenn aber der Hauptsatz aus mehreren Sachen besteht ist die Veränderung dieser untereinander gefragt, (und wenn sie unzusammenhängend wären oder äußerliche Dinge sind sie einzuschieben) nach Fragestellung 5 werden sie zurückgeführt auf das Ergebnis A, jedes einzelne so erstellte werden wir B nennen. Wenn schon die Sache des Hauptsatzes keine gleichartige außerhalb des Hauptsatzes hat, wird das Ergebnis B das gesuchte sein. Wenn die Sache des Hauptsatzes homogene nur außerhalb des Hauptsatzes hat, nicht innerhalb, wird das Ergebnis B mit der Anzahl der homogenen Sachen multipliziert, und wenn sie oft homogen sind, werden sie gemacht aus der Anzahl der zuerst homogenen fortlaufend multipliziert mit der nachfolgenden Anzahl der homogenen, und das Ergebnis wird das gesuchte sein.

Wenn aber das Ding des Hauptsatzes keine homogenen innerhalb und außerhalb des Hauptsatzes hat, würden zuerst die innewohnenden homogenen Dinge gezählt, und die äußerlichen ebenso, und zugrunde gelegt für die zu verbindende Anzahl; danach wird die gegebene homogene Sache nur innerhalb des Hauptsatzes für den Exponenten zugrunde gelegt. Mit gegebener Anzahl und Exponent wird die Schlussfolgerung nach Fragestellung I gesucht und wenn sie öfter Einheitlichkeit erreicht, werden die Schlussfolgerungen fortlaufend gegenseitig in sich gezogen."

Die Schlussfolgerung oder das Ergebnis aus den Schlussfolgerungen werden in das Ergebnis B gezogen. Und das gesuchte wird fertig sein. Diese Fragestellung bewirkt eine Vielzahl sehr mühsamer Fälle, und deren Lösung verursacht uns große Mühe und Zeit. Aber anders wird niemand die folgenden Fragestellungen auf den Grundlagen der Wissenschaft lösen. Aus diesen wird deshalb der Nutzen derer ersichtlich.

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Fragestellung VIII.
Andere gewöhnliche Veränderungen bei gegebenem Hauptsatz zu finden.

Wird jeder der beiden Hauptsatz in dieselbe Veränderung überführt wäre es ein einziger zusammengesetzter Hauptsatz (wiewohl manchmal die Dinge des zusammengesetzten Hauptsatzes nicht zusammengesetzt wären) und wird die Veränderungen eines zusammengesetzten Hauptsatzes durch Fragestellung 10 ausfindig gemacht, wird das Ergebnis das gesuchte sein.

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Fragestellung IX.
Gewöhnliche Veränderungen die Hauptsätze haben zu finden.

Wenn die meisten Hauptsätze in der Veränderung der Ordnung am derselben Stelle zusammenfallen, entweder im Ganzen oder zum Teil, haben sie keine allgemeinen Veränderungen. 2. Wenn die gleiche einheitliche Sache in den meisten Hauptsätzen auftritt, haben diese keine allgemeinen Veränderungen. Alle anderen haben allgemeine Veränderungen.

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Fragestellung X.
Die Hauptsätze der brauchbaren oder unbrauchbaren Anordnunge zu finden.

Die Hauptsätze in der Welt zu finden ist dargelegt worden. Denn eine beliebige Sache an sich ist der Hauptsatz, entweder an welchem Ort auch immer für sich, oder mit was auch immer, dem einen oder anderen, gleichfalls wohin auch immer am Ort dem einen oder anderen, kurz gesagt, alle Zusammenfassung oder Anordnungen im Untersatz und derselben Sachen, oder welche gesamt in anderen enthalten sind. Aber die Verfahren in den Hauptsätzen die brauchbaren anzuordnen, damit wir von den geringeren zu den wichtigeren fortschreiten, jedes Mal wenn uns z. B. empfohlen worden ist alle Anordnungen vor Augen zu führen, was Jeremias Drexel an der erwähnten Stelle unter Bezug auf Erycius Puteanus und Gregor Kleppis und Matthäus Reimer gemacht haben.

Im Übrigen, damit die brauchbaren oder unbrauchbaren Hauptsätze gefunden werden, ist die anzuwendende Lehrmethode die der zu verändernde Sache, oder alles auf das das Zusammengesetzte sich bezieht. Deren Regeln löschen allerdings die unbrauchbaren aus, aber die brauchbaren bleiben übrig. Dann ist zu erkennen welche mit welchen und an welcher Stelle nicht verknüpft werden können, ebenso welche nicht einfach an welche Stelle gesetzt werden können, z. B. an die erste, dritte u.s.w. besonders aber an die erste und die letzte. Ferner ist zu erkennen welche Sache der wichtigste Grund der Ausnahme wäre (z. B. bei hexametrischen Versen des Proteus die kurzen Silben). Dieses ist für alles übrigen herzuleiten, ebenso für alle Orten, wenn aber jedes Mal über die meisten die entscheiden ist, wird es hinreichend sein es an einem versucht zu haben.

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Fragestellung XI.
Die unbrauchbaren Anordnungen zu finden.

Es gibt zwei Vorgehensweisen "1. mit Fragestellung 12 auf diese Weise: von der gefundenen Gesamtzahl der brauchbaren und unbrauchbaren Veränderungen durch Fragestellung 4 wird die Gesamtzahl der brauchbaren nach der zweiten Methode in Fragestellung 12 abgezogen; der Rest wird das gesuchte sein.

(2.) vollständig auf diese Weise: die Hauptsätze der unbrauchbaren Veränderungen sollen mit Fragestellung 10 gefunden werden es sollen die Veränderungen der einzelnen Hauptsätze gefunden werden durch Fragestellung 7 falls welche Hauptsätze gewöhnliche Veränderungen haben nach Fragestellung 9 wird die Anzahl derer nach Fragestellung 8 gefunden und nur in einem der Hauptsätze, die die gewöhnlichen Veränderungen haben übrig gelassen würden, von den übrigen Veränderungen abgezogen wird, oder wenn man diese Arbeit des Abziehens vermeiden wollte, setze die am meisten zusammengesetzten Hauptsätze sofort an den Anfang, vergleiche Fragestellung 8. Die Zusammenfassung aller Veränderungen aus allen Schlussfolgerungen, nach Abzug der abzuziehenden, wird das gesuchte sein."

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Fragestellung XII.
Die brauchbaren Anordnungen zu finden.

Die Lösung ist wie im unmittelbar vorangehenden, wenn man diese wenigstens vertauscht, auf dem Wege 1. wie in Fragestellung 12. hinterher 11. usw. und die Summe der unbrauchbaren wird abgezogen durch die 2. Methode in Fragestellung 11. Auf dem 2. Weg werden die brauchbaren Hauptsätze der Anordnungen gefunden? Die übrigen wie in der folgenden Fragestellung.

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Die Anwendung der Fragestellungen 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Wenn wem diese Fragestellungen entweder wohlfeil oder unnötig erscheinen, er wird, wenn er von seiner überheblichen Handhabung herabsteigt, etwas anderes sagen. Denn äußerst selten lässt entweder die Natur der Dinge oder der Schein es zu, dass alle möglichen Anordnungen brauchbar sind. Welches Beispiel in der Veranschaulichung vielleicht weniger nützlich ist, doch sind wir im zu gebenden Beispiel höchst anschaulich.

Wir haben oben gesagt, die Proteus-Verse sind reine Proteus´sche, das ist in denen die meisten möglichen Anordnungen brauchbar sind, diese allerdings bestehen beinahe völlig aus einsilbigen; oder aus gemischten, in denen die meisten unter die unbrauchbaren fallen, so wie die mehrsilbig sind und diejenige schließt die kurzen ein.

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Bei dieser Gattung wäre mir unter den Alten Publilius Optatianus Porfyrius aufgefallen, der solches gewisses versucht hat, ebenso jenes von den in der Fragestellung VI. Und Erycius Puteanus überliefert in "Wunder der Frömmigkeit", Buchstabe N Seite 92 unter anderem diese aus den Versen des Flavius Valerius Constantinus Magnus:

• Wen der göttliche Kaiser Constantin hervorgebracht hat,
• Ist geboren das goldene Zeitalter Roms fortzuführen.

Der erste von denen ist der Torpalius oder der Symphalicus bestehend aus mit der Silbe fortlaufend ansteigenden Betonung; ein anderer ist der sechsfüßige Proteus, wenn es erlaubt ist ihn so zu nennen.

• Aurea Romanis propagans secula nato
• Aurea propagans Romanis secula nato
• Secula Romanis propagans aurea nato
• Secula propagans Romanis aurea nato
• Propagans Romanis aurea secula nato
• Romanis propagans aurea secula nato.

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Wirklich viele hat als Erster jener Marcus Pedo Vergilianus:

• Du Tityre ruhst zurückgelehnt unter dem Blätterdach der Buche.

der die Anwendung beinahe zum Scherz wendet. Dessen Anordnungen sind diese: für "Dich unter" 2. für "weit zurückgelehnt" 2 und "Tityre" bald am Anfang, wie jetzt, bald "Blätterdach" am Anfang: bald "Tityre [unter dem] Blätterdach" am Ende, bald "Blätterdach Tityre" am Ende 4 · 2 · 2 macht 16. Aber in den Gedichten des Porphyrios ist nicht der einzelne Proteus-Verse, sondern alle, und nicht ein Vers, sondern das gesamte Lied ist so sehr bewundernswert. Diese Art Verse zusammenzustellen ist eine zu vollbringende Aufgabe, dass die passenden Betonungen entweder beginnen oder beenden.

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Ein anderer der auch den Namen Proteus bekannt macht, ist Julius Caesar Scaliger ein Mann wenn die Wildheit des Scharfsinns fehlte, vollkommen unvergleichlich, "Die Dichter" 2. Buch, Kapitel 30, Seite 185, dieser hat die unzähligen, wie er selbst sagt, Formen zusammengestellt, wie unsere 64.

• Listig hast du gehofft, die Götter werden dich übersehen, Proteus.

Er wird vieles nicht leicht finden, wer dessen Spuren unserer Berechnungen liest. Für "listig übersehen" 2, für "Proteus die Götter" 2 · 2 macht 4, "Du hast gehofft die Götter dich" hat 6 · 4 macht 24 Anordnungen, "die Götter listig die gehofft" hat 2 Anordnungen, "Divos Te sperasti perfide" hat 6 + 2 + 2 macht 10 · 4 macht 40 + 24 macht 64. Wir haben ebenso bei Publius Vergilius Maro, allerdings sogar mehr Anordnungen beobachtet, Aeneis, 1. Buch, Vers 282. Diese setze ich weder als Spitze der Dinge noch der Zeiten. Denn "perfide" ist eine Betonung, "queis ego" kann in zwei geteilt werden.

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Ich komme zu jenem scharfsinnigen Bernardus Bauhusius, einem Jesuiten aus Leuven, der unter den Sinngedichten hervorsticht, wie zum Beispiel oben in der Fragestellung 4, über Christus, so ist es hier über Maria:

• So viele sind Dir die Gaben Jungfrau, wie Sterne am Himmel.

Würdig ist diese bemerkenswerte Arbeit, die der sehr gebildete Herr Erycius Puteanus ausgeführt hat in einem Büchlein, das er "Wunder der Frömmigkeit" betitelt hat, herausgegeben im Quartformat in Antwerpen im Jahre 1617, und dessen brauchbare Anordnungen er alle abzählt von Seite 3 bis Seite 50, eingeschlossen welche vom Autor, wenn sie auch innerhalb der Schranken weiter ausgedehnt wurden, er hat die Anzahl 1022 erhalten, weil die Astronomen gewöhnlich ebenso viele Sterne zählen, aber er sich selbst vorgenommen hat zu zeigen, dass es nicht weniger Gaben als Sterne gibt; ferner weil er es mit nahezu sehr großer Sorgfalt vermieden hat zu sagen, alle jene die gesehen werden, dass es so viele Sterne am Himmel gibt, wie Maria Gaben hat, denn die Gaben Marias sind sehr viel mehr. Deshalb hätte er diese Anordnungern (z. B. "Quot tibi sunt dotes virgo, tot sidera coelo") als ebenso viele angenommen, nämlich 1022. So viele andere Verse wie nötig einzufügen und andererseits, dass sie zum Vorschein kommen werden ist offensichtlich. Dies merkt aber Erycius Puteanus auch im Vorwort auf Seite 12 an, manchmal verstehen wir nicht so viele Sterne, sondern auch Gaben hängen am Himmel, wie es Himmelskörper gibt, z. B.

• So viele Gaben sind Dir im Himmel, wie Sterne Jungfrau.

Darüber hinaus macht er im Bezug auf Anordnungen vieles, was sie bei "Virgo" und "Dir" der gewissermaßen zweifelhaften Zählung, und zusammengerafft und hervorgebracht zu werden zulassen, welchen Kunstgriff wir auch vereinzelt bei Christian Daum beobachtet haben.

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Dies merkt aber Erycius Puteanus auch im Vorwort auf Seite 12 an, manchmal verstehen wir nicht so viele Sterne, sondern auch Gaben hängen am Himmel, wie es Himmelskörper gibt, z. B.

Darüber hinaus macht er im Bezug auf Veränderungen vieles, was sie bei Virgo und Dir zweifelhaft gewissermaßen gezählt und auseinandergerissen und hervorgebracht zulassen, welchen Kunstgriff wir auch vereinzelt bei Christian Daum beobachtet haben. Erycius Puteanus hat ferner mehrmals an das Wunder und seiner Proteus-Verse des Bernardus Bauhusius in der Zusammenstellung der Briefe cent. I Briefe 49 und 57 an Gisbert Bauhusius, den Vater des Bernardus Bauhusius, füge die Briefe 51, 52, 53, 56 ebenda. Ich habe eine Ausgabe dieser Briefe erschienen 1647 in Amsterdam im Duodez Format, denn in der Ausgabe im Quartformat die er schon 1612 herausgegeben hat, habe ich vergeblich gesucht.

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Außerdem hat Giovanni Battista Riccioli im Almagestum verus & novum Teil I, Buch 6 Kap. 6, Fußnote 1 durch den Fehler des erinnerten Verses des Bernardus Bauhusius den Autor Erycius Puteanus dieser Worte erklärt: weil es ja aber alt war die bis heute fortgeführte Meinung von Claudius Ptolemäus, dass 1022 die Zahl aller Sterne ist. Erycius Puteanus hat den Nachfolgern ein Denkmal seiner Frömmigkeit und seines Scharfsinnes hinterlassen in jenem höchst kunstvollen Lied "Tot Tibi etc." der jedoch nicht Autor sondern Erfasser und Förderer ist.

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Endlich haben wir beobachtet, dass er geradewegs den ähnlichen Vers in Publius Ovidius Naso mit geringsten Veränderungen diesen aus Metamorphoses XII, Fabel 7 siehe S. 594 hat.

• Det mihi se, faxo triplici quid cuspide possim
• Sentiat &c.

Das wird folgendes:

• Dant mihi se faxo trina quid cuspide possim.

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Denn auch die letzte ist bezüglich " mihi et faxo" zweideutig. Auf diesem Gebiet ragt Gregor Kleppis heraus, des heimischen gefeierten Dichters, ein Vers ist hier:

• Dresden sind nun drei gegeben, gleich wie die Sonne gibt, Zierden das Licht.

dessen Veränderungen er in einem besonderen Büchlein bis 1617 gezählt hat; die Gelegenheit es den drei Sonnen zu widmen, welche im Jahre 1617 am Himmel strahlten, zu welcher Zeit die drei irdischen Sonnen in Dresden zusammen kamen waren in Österreich zuhause: der Kaiser Matthias, Ferdinand II, König von Böhmen und Erzherzog Maximilian von Österreich, der Oberste Meister des Deutschherren Ordens. Das Büchlein das jenen gewidmet ist mit dem Titel "Proteus Gedichte" hat er im selben Jahr herausgegeben, was die Anzahl der Veränderungen anzeigt.

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Aber insgesamt gibt es mehr Veränderungen als 1617, was selbst der Autor stillschweigend bekennt, wenn auch nur am Ende zwischen den Druckfehlern verteidigt er sich so: es könnte vorgekommen sein, dass er in einer so großen Menge irgendeines zweimal gesetzt hätte, er hätte sie deswegen eingefügt, um einige neue Lücken aufzufüllen, welche er sicher sei noch nicht gehabt zu haben. Dass wir irgendein Verfahren für die naheliegendsten Fragestellungen aufzeigten, wir werden alle brauchbaren Veränderungen berechnen. Das wird so gemacht, wenn wir alle unbrauchbaren finden werden. Die Hauptsätz der Veränderungen haben wir durch Noten der Länge ausgedrückt, denn so hätten wir für mehrere Umstellungen eine angenommen , z. B. — — . — . — . ◡ ◡ . sie enthält auch diese — . — — . — . ◡ ◡ u.s.w. Mit Punkten bezeichnen wir eine Betonung und schließen sie ein.

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Liste der unbrauchbaren Veränderungen:

	Die Summe aller brauchbaren und unbrauchbaren Veränderungen:	362.880
1.	◡ ◡ . v.g. dant jam Dresdae ceu sol dat lumina lucem	40.320
2.	— — . ◡ ◡ . Dresdae tria dant jam ceu sol etc.	10.080
3.	— . — . ◡◡ . dant jam tria.	14.400
4.	— — . — . — . ◡◡ . Dresdae dant jam tria.	28.800
5.	— — . — — . ◡◡ . Dresdae lucem tria.	1.440
6.	— . — . — . — . ◡◡ . dant jam ceu sol tria.	2.880
7.	— — . — — . — . — . ◡◡ . Dresdae lucem ceu sol tria.	28.800
8.	— — . — . — . — . — . —◡ . Dresdae dant jam ceu sol tria.	7.200
9.	— — . — — . — . — . — . ◡◡ . Dresdae lucem dant jam ceu sol tria.	7.200
10.	am Ende ◡◡ . v. g. tria	40.320
Summe der unbrauchbaren Veränderungen wegen der Betonung von Tria, die genau die Hälfte der brauchbaren Veränderungen beträgt.		181.440
11.	am Anfang: — . —◡◡ . dant lumina.	18.000
12.	— . — — . —◡◡ . dant Dresdae lumina.	9.600
13.	— . — . — . —◡◡ . dant jam ceu lumina.	4.320
14.	— . — . — . — . — . —◡◡ . dant jam ceu dat lumina.	240
15.	— . — — . — — . —◡◡ . dant Dresdae lucem lumina.	2.160
16.	— . — . — . — — . —◡◡ . dant jam ceu lucem lumina.	5.760
17.	— . — . — . — . — . — — . —◡◡ . dant ceu jam sol dat lucem lumina.	0
18.	— . — . — . — — . — — . —◡◡ . dant ceu jam Dresdae lucem lumina.	1200
19.	— . — . — . — . — . — — . — — . ◡◡ . dant ceu jam sol dat lucem Dresdae lumina.	0
20.	am Ende —◡◡ . v. g. lumina	11.620
Summe der unbrauchbaren Veränderungen wegen Betonung Lumina		52.900
21.	ੜberall: —◡◡ . ◡◡ . lumina tria	40.320
22.	—◡◡ . —◡◡ . lumina Dresdae tria	14.440
23.	—◡◡ . — . — . —◡◡ . lumina ceu jam tria	4.800
24.	—◡◡ . — . — . — . — . ◡◡ . lumina ceu jam sol dat tria	1.440
25.	—◡◡ . — — . — — . ◡◡ . lumina Dresdae lucem tria	480
26.	—◡◡ . — . — . — — . ◡◡ . lumina ceu jam Dresdae tria	4.800
27.	—◡◡ . — . — . — — . — — . ◡◡ . lumina ceu jam Dresdae lucem tria	4.080
28.	—◡◡ . — . — . — . — . — — . ◡◡ . lumina ceu jam dat sol lucem Dresdae tria	532
29.	—◡◡ . — . — . — . — . — — . ◡◡ . lumina ceu jam dat sol lucem Dresdae tria	2.978
Summe der unbrauchbaren Veränderungen wegen Vervielfältigung Lumina und Tria, durch Voranstellen.		59.870
30.	— . ◡◡ . — . — . ◡◡ . dant tria jam lumina.	2.400
31.	— . ◡◡ . — . — — . — . ◡◡ . dant tria jam Dresdae lumina.	3.840
32.	— . ◡◡ . — . — . — . —◡◡ . ceu sol	1.440
33.	— . ◡◡ . — . — . — . — — . —◡◡ . dant tria jam ceu sol lucem lumina.	5.760
34.	— . ◡◡ . — . — . — . — — . — — . —◡◡ . dant tria jam ceu sol lucem Dresdae lumina	9.360
	Summe der unbrauchbaren Veränderungen wegen Vervielfältigung Tria und Lumina, jene vorangestllt	22.800 59870 52.900 181.440
Gesamtsumme der unbrauchbaren Veränderungen		317.010
nach Abzug von der Gesamtsumme		362.880
	verbleibt
Summe brauchbarer Veränderungen gemäß Kleppisius der Spondeen zuläßt		45.870
Die Spondeen haben wir ausgelassen um den Aufwand der Berechnung nicht zu vergrößern, denn wie viele brauchbaren und unbrauchbaren Veränderungen entstehen aus dem Spondeus, finde ich so:
1.	wenn ans Ende gesetzt — . — — . v.g. dant lucem	100.800
2.	— — . — — . v. g. Dresdae lucem	10.080
3.	— . — . — . v. g. dant seu sol	43.300
Summe aller brauchbaren und unbrauchbaren der Spondeen		154.080

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Darüber hinaus ragt der Heldenvers des sehr berühmten Carl von Goldstein heraus:

• Die Kunst ist nicht derartige gut aufgebaute Verse zu schreiben,

In der Kunst sich zu verleugnen ist der kunstfertig, welcher 1644 Veränderungen zu enthalten genannt wird. Im Wettstreit derer, besonders mit Gregor Kleppis, ist Henricus Reimerus aus Lüneburg an der örtlichen Schule am Johannis Kolleg der über Proteus unterrichtet, derartiges hervorgegangen:

• Gib gnädiger Christ der Stadt heiteren Frieden in unserer Zeit.

die er fortsetzt im gleichen Jahr 1619, in dem alle dessen Veränderungen in einem Büchlein im Duodez Format eingeschlossen in Hamburg erschienen hervorgegangen sind.

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Auch der in aller Art von Gedichten sehr fleißige Christian Daum, ein , hat freilich deswegen nicht gewollt, dass ihm entgegengehalten wird, er sei zurückgeblieben. Ich würde nichts über dessen Fülle sagen, über welche Lieder derselbe er dreitausendfach gesprochen hat (denn hier müssen nicht andere Worte, sondern es muss eine andere Anordnung derselben Worte sein) was er über diesem Satz: es werde Gerechtigkeit oder die Welt geht unter, vom den Dichter Vertumnus in Zwickau im Jahr 1646 im Oktav herausgegeben, vorangestellt hat. Ich wende mich wenigstens dem zu, was auch vom Autor in der Klosterhandschrift 1 Zeilen 219 und 220 als Proteus Verse bemerkt wurde. Diese sind die folgenden:

• v. 219: Entweder Macht, Betrug und Recht fehlen, oder der Himmel stürzt ein.
• v. 220: Macht, Betrug, Streit fehlen, Gleichheit tragen, oder der Erdkreis stürzt ein.

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Aber neulich haben wir gefunden, von ihm selbst mitgeteilt, ich würdige einen seiner anderen Verse, den er gefunden hat, ohne ihn zu veröffentlichen, der es verdient mehr als Proteus genannt zu werden, denn nicht so sehr in demselben, sondern er wird in viele andere Arten Lieder umgewandelt. Denn die Worte sind diese: Oh Gütiger (d. h. Gott) Verherrlichter Petrus (Jünger) es wäre ein doppelter Gewinn: die mannigfaltigen Umstellungen ergeben 8 Alcaicos, 8 Phaleucios, 14 Sapphicos, 42 Archilochios, in denen allen das Weglassen unbetonter Silben vorliegt. Aber fürwahr ohne Elision [Auslassen von Silben] macht er 32 Pentameter, sechsfüßige Jamben nur 20, Scazontes nur 22, Scazontes und Jamben zugleich 44 (und so alle Jamben 64 alle Scazontes 66) wenn man eine Silbe zufügt wäre es ein Hexameter, z. B.

• Fac duplo Petrus lucro sit mactus, o alme!

veränderlich zu 480 Versen.

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Übrigens der größte Teil der Kunstfertigkeit besteht darin, dass die meisten Silben, wie die erste im Doppel, Petrus, Reichtum, zweideutig sind. Aber die Elision [Auslassen von Silben] wirkt wie ebendieselben Worte, durch das Weglassen von Silben ergeben sich verschiedene Arten des Lieds. Einen anderen hatte er schon im Jahre 1655 gegeben, aber weniger der Veränderungen, nämlich diesen alkäischen Vers:

• Faustum alma sponsis da Trias o torum!

Umwandelbar in 4 Phaleucios, 5 Sapphicos, 8 Pentameter, 8 Archilochius, 14 sechsfüßige Jamben, 14 Scazonten.

• Sed jam tempus equum spumantia solvere colla.

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Wenn dennoch jemand unsere Weitschweifigkeit missbilligt, achte ich das; damit es nicht zur Gewohnheit gekommen sein wird, gegen die Kürze wendet sich das Glück.

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Ende

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