In qua Ex Arithmeticae fundamentis Complicationum ac Transpositionum Doctrina novis praeceptis exstruitur, & usus ambarum per universum scientiarum orbem ostenditur; nova etiam Artis Meditandi, Seu Logicae Inventionis semina sparguntur.

Praefixa est Synopsis Tractatus, & additamenti loco Demonstratio Existentiae Dei, ad Mathematicam certitudinem exacta.

S. Stae. Theol. Doct. Serenissimi Electoris Saxoniae Supremo Concionatori Aulico, Supremi Dresdensis Consistorii Assessori, & Consiliario Ecclesiastico, Theologo Incomparabili:

suo vero, praeter susceptionis beneficium, Patrono & Mecoenati maximo, rationem studiorum suorum constare voluit.

Synopsis Dissertationis De Arte Combinatoria

Sedes Doctrinae istius Arithmetica. Hujus origo. Complexiones autem sunt Arithmeticae purae, situs figuratae. Definitiones novorum terminorum. Quid aliis debeamus. Problema I. dato numero & exponente Complexiones & in specie Combinationes invenire, Probl. II. dato numero complexiones simpliciter invenire. Horum usus (1.) in divisionis inveniendis speciebus: v. g. mandati, Elementorum, Numeri, Registrorum Organi Musici, Modorum Syllogisimi categorici, qui in universum sunt 512. Juxta Hospinianum, utiles 88 juxta nos. Novi modi figurarum ex Hospiniano: Barbari, Celaro, Camestres, & nostri Figurae IVtae Galenicae: Fresismo, Ditabis, Celanto, Colanto. Sturmii modi novi ex terminis infinitis, Daropti. Demonstratio Conversionum. De Complicationibus Figurarum in Geometria, congruis, hiantibus, texturis. Ars casus formandi in Jurisprudentiae. Theologia autem quasi species est Jurisprudentiae, de Jure nempe Publico in Republica DEI super homines. (2.) in inveniendis datarum specierum generibus subalternis, de modo probandi sufficientiam datae divisionis. (3.) Usus in inveniendis propositionibus & argumentis. De arte Combinatoria Lullii, Athanasii Kircheri, nostra, de qua sequentia: Duae sunt copulae in propositionibus: Revera, & non, seu + & -. De formandis praedicamentis artis Combinatoriae. Invenire: dato definito vel termino; definitiones, vel terminos aequipollentes: Dato subjecto praedicat in propositione HA, item PA, item N. Numerum classium, numerum Terminorum in Classibus: Dato capite complexiones: dato praedicato subjecta in Propositione UA, PA, & N. Datis duobus terminis in propositione necessaria UA & UN argumentum enta seu medios terminos invenire. De Locis Topicis, seu modo efficiendi & probandi propositiones contingentes. Specimen mirabile Praedicamentorum artis combinatoriae ex Geometria. Porisma de Scriptura Universali cuicunque legenti cujuscunque; linguae perito intelligibili, Dni de Breissac specimen artis com2natoriae seu meditandi in re bellica, cuique beneficio omnia consideratione digna Imperatori in mente veniant. De Usu rotarum concentricarum Chartacearum in arte hac. Serae hac arte constructae sine clavibus aperiendae 𝔐𝔞𝔥𝔩-𝔖𝔠𝔥𝔩𝔬𝔢𝔰𝔰𝔢𝔯 / Mixturae Colorum. Probl. III. Dato numero Classium & rerum in singulis, complexiones classium invenire. Divisionem in divisionem ducere, de vulgari Conscientiae divisione. Numerus sectarum de summo Bono e Varrone apud Augustinum. Ejus Examen. In dato gradu Consanguinitatis numerus (1.) cognationem juxta. l. 1. & 3. D. de Grad. & Aff. (2.) personarum juxta l0. D. eod. Singulari artificio inventus. Prob. IV. Dato numero rerum variationes ordinis invenire. Uti hospitum in mensa 6. Drexelio, 7. Harsdöffero, 12. Henischio. Versus Protei, v. g. Bauhusii, Lansii, Ebelii, Ricciolo, Harsdörfferi. Variationes literarum Alphabeti, comparatarum Atomis, Tesserae Grammaticae. Probl. V. Dato numero rerum variationem vicinitatis invenire. Locus honoratissimus in rotundo. Circulus Syllogisticus. Probl. VI. Dato numero rerum variandarum, quarum aliqua vel aliquae repetuntur, variationem ordinis invenire. Hexametrorum species 76. Hexametri 26. Quorum sequens antecedentem litera excedit Publilii Porphyrii Optatiani: quis ille. Diphtongi a Scriptura. Probl. VII. Reperire dato capite variationes. Probl. VIII. Variationes alteri dato capiti communes. IX. Capita variationes communes habentia. X. Capita variationum utilium & inutilium. Probl. XI. Variationes inutiles. XII. Utiles. Optatiani Proteus versus (Virgilii Casualis) J. C. Scaligeri (Virgilii Casualis) Bauhusii (Ovidii Casualis.) Kleppisii (praxis comparandi Variationes inutiles & utiles) Caroli a Goldstein / Reimeri C. L. Daumii 4, quorum ultimi duo plusquam Protei.

Prooemium.

Metaphysica, ut altissime ordiar, agit tum de Ente, tum de Entis affectionibus; ut autem corporis naturalis affectiones non sunt corpora, ita Entis affectiones non sunt Entia. Est autem Entis affectio (seu modus) alia absoluta, quae dicitur Qualitas, alia respectiva, eaque vel rei ad partem suam, si habet, Quantitas, vel rei ad aliam rem, Relatio, etsi accuratius loquendo, supponendo partem quasi a toto diversam, etiam quantitas rei ad partem relatio est. Manifestum igitur, neque Qualitatem, neque Quantitatem, neque Relationem Entia esse, earum vero tractationem in actu signato ad Metaphysicam pertinere. Porro omnis Relatio aut est Unio aut Convenientia. In unione autem Res, inter quas haec relatio est, dicuntur partes, sumtae cum unione, Totum. Hoc contingit, quoties plura simul tanquam Unum supponimus. Unum autem esse intelligitur, quicquid uno actu intellectus seu simul cogitamus, v. g. quemadmodum numerum aliquem quantumlibet magnum saepe Caeca quadam cogitatione simul apprehendimus, cyphras nempe in charta legendo, cui explicate intuendo ne Mathusalae quidem aetas suffectura sit. Abstractum autem ab uno est Unitas, ipsumque totum abstractum ex unitatibus seu totalitas dicitur Numerus. Quantitas igitur est Numerus partium. Hinc manifestum, in re ipsa Quantitatem et Numerum coincidere, illam tamen interdum quasi extrinsece, relatione seu Ratione ad aliud, in subsidium nempe quamdiu numerus partium cognitus non est, exponi. Et haec origo est ingeniosae Analyticae Speciosae, quam excoluit inprimis Cartesius, postea in praecepta collegere Franc. Schottenius, et Erasmius Bartholinus, hic elementis Matheseos universalis, ut vocat. Est igitur Analysis doctrina de Rationibus et Proportionibus, seu Quantitate non exposita; Arithmetica de Quantitate exposita seu Numeris: falso autem Scholastici credidere Numerum ex sola divisione continui oriri nec ad incorporea applicari posse. Est enim numerus quasi figura quaedam incorporea, orta ex Unione Entium quorumcunque, v. g. DEI, Angeli, Hominis, Motus, qui simul sunt quatuor. Cum igitur Numerus sit quiddam Universalissimum, merito ad Metaphysicam pertinet, si Metaphysicam accipias pro doctrina eorum, quae omni entium generi sunt communia. Mathesis enim (ut nunc nomen illud accipitur) accurate loquendo non est una disciplina, sed ex variis disciplinis decerptae particulae quantitatem subjecti in unaquaque tractantes, quae in unum propter cognationem merito coaluerunt. Nam uti Arithmetica atque Analysis agunt de Quantitate Entium, ita Geometria de Quantitate corporum, aut spatii quod corporibus coextensum est. Politicam vero disciplinarum in professiones divisionem, quae commoditatem docendi potius, quam ordinem naturae secuta est, absit ut convellamus. Caeterum Totum ipsum (et ita Numerus vel Totalitas) discerpi in partes tanquam minora tota potest, id fundamentum est Complexionum, dummodo intelligas dari in ipsis diversis minoribus totis partes communes, v. g. Totum sit A B C, erunt minora tota, partes illius, AB, BC, AC: et ipsa minimarum partium, seu pro minimis suppositarum (nempe Unitatum) dispositio inter se et cum toto, quae appellatur situs, potest variari. Ita oriuntur duo Variationum genera, Complexionis et Situs. Et tum Complexio, tum Situs ad Metaphysicam pertinet, nempe ad doctrinam de Toto et partibus, si in se spectentur; si vero intueamur Variabilitatem, id est Quantitatem variationis, ad numeros et Arithmeticam deveniendum est. Complexionis autem doctrinam magis ad Arithmeticam puram, situs ad figuratam pertinere crediderim, sic enim unitates lineam efficere intelliguntur. Quamquam hic obiter notare volo, unitates vel per modum lineae rectae vel circuli aut alterius lineae linearumve in se redeuntium aut figuram claudentium disponi posse, priori modo in situ absoluto seu partium cum toto, Ordine; posteriori in situ relato seu partium ad partes, Vicinitate, quae quomodo differant infra dicemus def. 4 et 5. Haec prooemii loco sufficiant, ut qua in disciplina materiae hujus aedes sit, fiat manifestum.

Definitiones.

Problemata.

Tria sunt quae spectari debent: Problemata, Theoremata, usus; in singulis problematis usum adjecimus; sicubi operae pretium videbatur, & theoremata. Problematum autem quibusdam rationem solutionis addidimus. Ex iis partem posteriorem primi, secundum & quartum aliis debemus, reliqua ipsi eruimus. Quis illa primus detexerit ignoramus. Schwenterus Delic. I. l. sect. I. prop. 32. apud Hieronymum Cardanum, Johannem Buteonem, & Nicolaum Tartaleam extare dicit. In Cardani tamen Practica Arithmetica, quae prodiit Mediolani anno 1539, nihil reperimus. Inprimis dilucide, quicquid dudum habetur, proposuit Christoph. Clavius in Com. supra Joh. de Sacro Bosco Sphaer. Edit. Romae forma 4ta anno 1585 pag. 33·seqq.

Probl. I.
Dato numero et exponente complexiones inveniere.

Solutionis duo sunt modi, unus de omnibus complexiones, alter de combinationibus solum: ille quidem est generalior, hic vero pauciora requirit data, nempe numerum solum et exponentem, cum ille etiam praesupponat inventas complexiones antecedentes. Generaliorem modum nos deteximus, specialis est vulgatus. Solutio illusa talis est: "Addantur complexiones exponentis antecedentia et dati de numero antecedenti, productum erunt complexiones quaesitae"; v. g. esto numerus datus 4, exponens datus 3, addantur de numero antecedente 3 com2nationes 3 et con3natio l(3+1 f. 4), productum 4 erit quaesitum. Sed cum praerequirantur complexiones numeri antecedentis, construenda est tabula אּ, in qua linea suprema a sinistra dextrorsum continet Numeros a 0 usque ad 12 utrimque inclusive, satis enim esse duximus huc usque progredi, quam facile est continuare; linea extrema sinistra a summo deorsum continet Exponentes a 0 ad 12, linea infima a sinistra dextrorsum contitet Complexiones simpliciter. Reliquae inter has lineae continent complexiones dato numero qui sibi in vertice directe respondet, et exponente qui e regione sinistra. Ratio solutionis, et fundamentum Tabulae patebit, si demonstraverimus, Complexiones dati numeri et exponentis oriri ex summa complexionum de numero praecedenti exponentis et praecedentis et dati. Sit enim numerus datus 5, exponens datus 3, erit numerus antecedens 4; is habet con3nationes 4 per Tabulam N, com2nationes 6. Jam numerus 5 babet omnes com3nationes quas praecedens (in toto enim et pars continetur) nempe 4, et praeterea tot quot praecedens habet com2nationes, nova enim res qua numerus 5 excedit 4, addita singulis com2nationibus hujus, facit totidem novas con3nationes, nempe 6+4 f. 10. Ergo Complexiones dati numeri etc. Q. E. D.

Complexiones simpliciter * (seu summa Complexionum dato exponente) addita unitate, quae coincidunt cum terminis progressionis geometricae duplae †.

Majoris lucis causa apponimus Tabulam בּ, ubi lineis transversis distinximus Con3nationem de 3 et de 4 et de 5, sic tamen ut con3nationes priores sint sequenti communes, et per consequens tota tabula sit con3nationum numeri 5, utque manifestum esset, quae con3nationes numeri sequentis ex com2nationibus antecedentis addito singulis novo hospite orirentur, linea deorsum tendente combinationes a novo hospite distinximus.

Adjiciemus hic Theoremata quorum τό ὅτι ex ipsa tabula N manifestum est, τό δίοτι ex tabulae fundamento: 1) si exponens est major Numero, Complexio est 0. 2) Si aequalis, ea est 1. 3) Si exponens est Numero unitate minor, Complexio et Numerus sunt idem. 4) Generaliter: Exponentes duo, in quos numerus bisecari potest, seu qui sibi invicem complemento sunt ad numerum, easdem de illo numero habent complexiones. Nam cum in minimis exponentibus 1 et 2, in quos bisecatur numerus 3, id verum sit quasi casu, per tab. ח, et vero caeteri ex eorum additione oriantur per solut. probl. 1, si aequalibus (3 et 3) addas aequalia (superius 1 et inferius l), producta erunt aequalia (3+1 f. 4=4), et idem eveniet in caeteris necessitate. 5) Si numerus est impar, dantur in medio duae complexiones sibi proximae aequales; sin par, id non evenit. Nam numerus impar bisecari potest in duos exponentes proximos unitale distantes, v. g. 1+2 f. 3; par vero non potest, sed proximi, in quos bisecari par potest, sunt iidem. Quia igitur in duos exponentes impar numerus bisecari potest, hinc duas habet Complexiones aequales per th. 4, quia illi unitate distant, proximas. 6) Complexiones crescunt usque ad exponentem numero ipsi dimidium aut duos dimidio proximos, inde iterum decrescunt. 7) Omnes numeri primi metiuntur suas complexiones particulares (seu dato exponente). 8) Omnes complexiones simpliciter sunt numeri impares.

Restat hujus Problematis altera pars quasi specialis: "Dato Numero (A) com2nationes (B) invenire. Solutio. Ducatur numerus in proxime minorem, facti dimidium erit quaesitum, A ᴖ A-l ᴗ2=B. Esto v. g. Numerus 6, 6ᴖ5 f. 30ᴗ2 f. 15 Ratio solutionis: Esto Tab. ב. in qua enumerantur 6 rerum abcdef com2nationes possibiles; prima autem res a ducta per caeteras facit com2nationes 5, nempe ipso numero unitate minores; secunda b per caeteras ducta tantum 4, non enim in antecedentem a duci potest, rediret enim prior com2binatio ba vel ab (haec enim in negotio combinationis nihil differrunt), ergo solum in sequentes quae sunt 4; similiter tertia c in sequentes ducta facit 3; quarta d facit 2; quinta e cum ultima f facit 1. Sunt igitur com2nationes 5. 4. 3. 2. 1. +. f. 15. Ita patet, numerum com2nationum componi ex terminis progressionis arithmeticae, cujus differentia l , numeratis ab l ad numerum numero rerum proximum inclusive, sive ex omnibus numeris Numero rerum minoribus simul additis. Sed quia, uti vulgo docent Arithmetici, tales numeri hoc compendio adduntur, ut maximus numerus ducatur in proxime majorem, facti dimidius sil quaesitus, et vero proxime major h. l. est ipse Numerus rerum, igitur perinde est ac si dicas, Numerum rerum ducendum in proxime minorem, facti dimidium fore quaesitum.

Probl. II.
Dato numero complexiones simpliciter inveniere.

Datus Numerus quaeratur inter Exponentes progressionis Geometricae duplae, numerus seu terminus progressionis ei e regione respondens demta Unitate erit quaesitum. Rationem, seu τό δίοτι difficile est vel concipere, vel si conceperis explicare: τό ὄτι tabula א manifestum est. Semper enim complexiones particulares simul additae, addita unitate, terminum·progressionis geometricae duplae constituent, cujus exponens sit numerus datus. Ratio tamen, siquis curiosius investiget, petenda erit ex discerptione in Practica Italica usitata, 𝔳𝔬𝔪 ℨ𝔢𝔯𝔣𝔞𝔢𝔩𝔩𝔢𝔫. Quae talis esse debet, ut datus terminus pro. progressionis·geometricae discerpatur in una plures partes, quam sunt unitates exponentis sui, id est numeri rerum, quarum semper aequalis sit prima ultimae, secunda penultimae, tertia antepenultimae etc., donec vel, si in parem discerptus est numerum partium, exponente seu Numero rerum impari existente, in medio duae correspondeant partes per probl. 1 th. 5 (v. g. 128 de 7 discerpantur in partes 8 juxta tabulam א: l, 7, 21, 35, 21, 7, 1), vel si in imparem, exponente pari existente, in medio relinquatur unus nulli correspondens (v. g. 256 de 8 discerpantur inpartes 9 juxta Tab. א: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, l ). Putet igitur aliquis, ex eo manifestum esse novum modum eumque absolutum solvendi probl, 1, seu dato exponente inveniendi Numerum complexionum, si nimirum ope Algebrae inveniatur discerptio Complexionum simpliciter seu termini progr. geom. duplae juxta modum datum; verum non sunt data sufficientia, et idem numerus in alias atque alias partes, eadem tamen forma, discerpi potest.

Usus Probl. I et II.

Cum omnia quae sunt aut cogitari possunt, fere componantur a partibus aut realibus aut saltem conceptualibus, necesse est, quae specie differunt aut eo differre, quod alias partes habent, et hic Complexionum usus, vel quod alio situ, hic Dispositionum, illic materiae, hic formae diversitate censentur. Imo Complexionum ope non solum species rerum, sed et attributa inveniuntur, ut ita tota propemodum Logicae pars inventiva illic circa terminos simplices, hic circa complexos fundetur in complexionibus, uno verbo et doctrina divisionum et doctrina propositionum. Ut taceam, quantopere partem logices Analyticam seu judicii diligenti de modis syllogisticis scrutatione exemplo 6. illustrare speremus. In divisionibus triplex usus est complexionum: l, dato fundamento unius divisionis inveniendi species ejus; 2, datis pluribus divisionibus de eodem Genere, inveniendi species ex diversis divisionibus mixtas, quod tamen servabimus problemati 8.; 3, datis speciebus inveniendi genera subalterna. Exempla per totam philosophiam diffusa sunt, imo nec Jurisprudentiae deesse ostendemus, apud Medicos vero omnis varietas medicamentorum compositorum et φαρμακοποιητικἠ ex variorum ingredientium mixtione oritur, at in eligendis mixtionibus utilibus summo opus judicio est. Primum igitur exempla dabimus specierum hac ratione inveniendarum: 1. apud JCtos l. 2. D. Mandari et pr. I. de Mandato haec divisio proponitur: Mandatum contrahitur 5 modiis: mandantis gratia, mandantis et mandatarii, tertii, mandantis et tertii, mandatarii et tertii. Sufficientiam divisionis hujus sic venabimur: Fundamentum ejus est finis ᾦ seu persona cujus gratia contrahitur, ea est triplex: mandans, mandatarius et tertius. Rerum autem trium complexiones sunt 7: Uniones tres: cum solius l) mandantis, 2) mandatarii, 3) tertii gratia contrahitur. Com2nationes totidem: 4) Mandantis et Mandatarii, 5) Mandantis et Tertii, 6) Mandatarii et Tertii gratia. Con3natia una, nempe 7, et mandantis el mandatarii et tertii simul gratia. Hic ICti Unionem illam, in qua contrahitur gratia mandatarii solum, rejiciunt velut inutilem, quia sit consilium potius quam mandatum; remanent igitur species 6, sed cur 5 reliquerint. omissa con3natione, nescio. II. Elementorum numerum, seu corporis simplicis mutabilis species Aristoteles libr. 2. de Gen. cum Ocello Lucano Pythagorico deducit ex numero Qualitatum primarum, quas 4 esse supponit, tanquam fundamento, bis tamen legibus, ut l) quodlibet componatur ex duabus qualitatibus et neque pluribus neque paucioribus; hinc manifestum est Uniones, con3nationes et con4nationem esse abjiciendas, solas com2nationes retinendas, quae sunt 6; 2) ut nunquam in unam com2nationem veniant qualitales contrariae, hinc iterum duae com2nationes fiunt inutiles, quia inter primas has qualitates dantur duae contrarietates, igitur remanent com2nationes 4, qui est numerus Elementorum. Apposuimus Schema (vide paginam titulo tractatus proximam), quo origo Elementorum ex primis Qualitatibus luculentur demonstratur. Porro uti ex bis illa Aristoteles, ita ex illis 4 temperamenta Galenus, horumque varias mixtiones medici posteriores elicuere, quibus omnibus jam superiori seculo se opposuit Claud. Campensius Animadvers. natural. in Arist. et Galen. adject. ad Com. ej. in Aph. Hippocr. ed. 8. Lugduni anno 1576. III. Numerus communiter ab Arithmeticis distinguitur in Numerum stricte dictum ut 3, Fractum ut ⅔, Surdum ut Rad 3, id est numerum qui in se ductus efficit 3, qualis in rerum natura non est, sed analogia intelligitur, et denominatum, quem alii vocant figuratum, v. g. quadratum, cubicum, pronicum. Ex horum commixtione efficit Hier. Cardanus Pract. Arith. c. 2. Species mixtas 11. Sunt igitur in universum complexiones 15, nempe uniones 4, quas diximus, Com2nationes 6: Numerus et Fractus, v. g. 3⁄2 aut ½; Numerus et Surdus v. g. 7. ᴖ R.3; Numerus et Denominatus v. g. ½ ᴖ + cub. de A; Fractus et Denominatus v. g. ½ ᴖ cub. de A; Surdus et Denominatus v. g. cub. de 7; Con3nationes 4: Numerus et Fractus et Surdus, Numerus et Fractus et Danominatus, Numerus et Surdus et Denominatus, Fractus et Surdus et Denominatus; Con4natio l: Numerus et Fractus et Surdus et Denominatus. Loco vocis: Numerus, commodius sustituetur vox: Integer. Jam 4. 6. 4. l + f. 15. IV. Registrum, Germanice 𝔢𝔦𝔫 ℨ𝔲𝔤, dicitur in Organis Pneumaticis ansula quaedam, cujus apertura variatur sonus, non quidem in se melodiae aut elevationis intuitu, sed ratione canalis, ut modo tremebundus, mode sibilans etc. efficiatur. Talia recentiorum industria detecta sunt ultra 30. Sunto igitur in organo aliquo tantum 12 simplicia, ajo fore in universum quasi 4095; tot enim sunt 12 rerum Completiones simpliciter per tab. א, grandis organistis, dum modo plura, modo pauciora, modo haec, modo illa simul aperit, variandi materia V. Th. Hobbes Element. de Corpore p. 1. c. 5 Res, quartum dantur termini in propositionem ingredientes, seu suo stylo, Nominata, quorum dantur nomina, dividit in Corpora (id est substantias, ipsi enim omnis substantia corpus) Accidentia, Phantasmata et Nomina, et sic nomina esse vel Corporum v. g. homo, vel Accidentium v.g. omnis abstracta, rationalitas, motus, vel Phantasmatum, quo refert spatium, tempus, omnes qualitales sensibiles etc., vel Nominum, quo refert secundas intentiones. Haec cum inter se sexies com2nentur, istidem oriuntur genera propositionum, et additis iis, ubi termini homogenei com2nantur (corpusque attribuitur corpori, accidens accidenti, phantasma phantaamati, notio secunda notioni secundae), nempe 4, exsurgunt l0. Ex iis solos terminos homogeneos utiliter combinari arbitratur Hobbes. Quod, si ita est, uti certe et communis philosophia profitetur, abstractum et concretum, accidens et substatiam, notionem primam et secundam male invicem praedicari, erit hoc utile ad artem inventivam propositionum, seu electiosem com2nationum: utilium ex innumerabili rerum farragine, observare; de qua infra. VI. Venio ad exemplum complexionum haud paulo implicatius: determinationem numeri Modorum Syllogismi Categorici. Qua in re novas rationes iniit Joh. Hospinianus Steinanus, Prof. Organi Basilecensis, vir contemplationum minime vulgarium libello paucis noto, edito in 8. Bastileae an. 1560 hoc titulo Non esse tantum 36 bonos malosque categorici syllogismi modos, ut Aristot. cum interpretibus docuisse videtur, sed 512. quorum quidem probentur 36, reliqui omnes rejiciantur. Incidi postea in controversias dialecticas ejusdem, editas post obitum autoris Basileae 8. anno 1576, ubi quae in Erotematis Dialecticis libelloque de Modis singularia statuerat, velut quadam Apologia, ex 23 problematibus constante, tuetur; promittit ibi et libellum de inveniendi judicandique facultatibus, et Lectiones suas in universum Organon cum latina versione, quas ineditas arbitror fortasse ab autore conceptas potius, quam perfectas. Etsi autem variationem ordinis adhibere necesse est, quae spectat ad probl. 4, quia tamen potissimae partes complexionibus debentur, huc referemus. Cum libri hujus de Modis titulus primum se obtulit, antequam introspeximus, ex nostris traditis calculum subduximus hoc modo: Modus est dispositio seu forma syllogismi ratione quantitatis et qualitalis simul: Quantitate autem propositio est vel Universalis vel Particularis vel Indefinita vel Singularis; nos brevitatis causa utemur literis initialibus: U, P, I, S; Qualitate vel Affirmativa vel Negativa, A, N. Sunt autem in Syllogismo tres propositiones, igitur ratione quantitatis Syllogismus vel est aequalis vel inaequalis: aequalis, seu habens propositiones ejusdem quantitatis 4 modis: l) Syllogismus talis est: U, U, U. 2, P, P, P. 3, I, I, I. 4, S, S, S, ex quibus 19 sunt utiles: 2) lmus et 4tus; inaequalis vel ex parte vel in totum: ex parte, quando duae quaecunque propositiones sunt ejusdem quantitatis, tertia diversae. Et in tali casu duo genera quantitatis sunt in eodem Syllogismo, etsi unum bis repetitur: id toties diversimode contingit, quoties res 4 id est genera haec quantitatum U, P, I, S diversimode sunt com2nabilia, 6𝔪𝔞𝔥𝔩, et in singulis 2 sunt casus, quia jam hoc bis repetitur, jam illud, altero simplici existente; ergo 6 ᴖ 2 f. 12. Atque ita rursus in singulis, ratione ordinis, sunt variationes 3, nam v. g. hoc U, U, P, vel ponitur uti jam, vel sic: P, U, U, vel sic: U, P, U; ergo 12 ᴖ 3 f. 36. Ex quibus utiles 18: 2 U(S)U(S)S(U), 2 U(S)S(U)U(S), 2S(U)U(S)U(S). 4 U(S)U(S)P vel I, 4 UI(P)I(P) vel loco U, S, 4 I(P)UI(P) et S loco U. In totum inaequalis, quando nulla cum altera est ejusdem magnitudinis, et ita quemlibet Syllogismum ingrediuntur genera 3, toties alia quoties 4 res possunt con4nari, nempe 4𝔪𝔞𝔥𝔩. Tria autem ratione ordinis variantur 6𝔪𝔞𝔥𝔩, v. g. U, P, I; U, I, P; P, U, I; P, I, U; I, U, P; I, P, U; ergo 4 ᴖ 6 f. 24. Ex quibus utiles l2: 2 UP(I)I(P), 2 I(P)UP(I); totidem si pro U ponas S, 4+4 f. 8; 2 U(S)S (U)P; totidem si pro P ponas 1, 2 + 2 f. 4. Addamus jam : 4 + 36 + 24 f. 64. Hae sunt variationes Quantitatis solius. Ex quibus sunt utiles: 2 + 18 + 12 f. 82. Caeteri cadent per Reg. 1, Ex puris particularibus nihil sequitur; 2, Conclusio nullam ex praemissis quantitate vincit; etsi fortasse interdum ab utraque vincatur, uti in Barbari. Porro cum Qualitatis duae solam sint diversitates A et N, propositiones vero 3, hinc repetitione opus est, et vel Modus est similis, id est ejusdem qualitatis, vel dissimilis: hujus nulla ulterius est variatio, quia nunquam ex toto, sed semper ex parte est dissimilis, nunquam enim omnes propositiones sunt dissimiles, quia solum 2 sunt diversitates. Similis species sunt 2: A, A, A; N, N, N; dissimilis 2: A, A, N, vel N, N, A; dissimilis singulae variantur ratione ordinis 3𝔪𝔞𝔥𝔩, v. g. A, A, N; N, A., A; A, N, A. Ergo 2 ᴖ 3 f. 6+2 f. 8. Toties variatur Qualitas. Ex quibus utiles Variationes sunt 3: A A A; N A N; A N N, per reg. l, Ex puris negativis nihil sequitur; l) Conclusio sequitur partem in qualitate deteriorem. Sed quia modus est variatio Qualitatis et Quantitatis simul, et ita singulae variationes Quantitatis recipiunt singulas Qualitatis, hinc 64 ᴖ 8 f. 512, numerum omnium Modorum utilium et inutilium. Ex quibus utiles sic reperiris: duc variationes utiles quantitatis in qualitatis, 32 ᴖ 3 f. 96; de producto subtrahe omnes modos, qui continentur in Frisesmo, id est qui ratione Qualitatis quidem sunt A N N, ratione quantitatis vero Major prop. est I vel P, Minor autem U vel S, et conclusio I vel P, quales sunt 8. Frisesmo enim etsi modus est per se quodammodo subsistens, tamen est in nulla figura, v. infra, jam 96-8 f. 88, numerum utilium Modorum. Hospiniano, cui nostra methodus ignota, aliter, sed per ambages procedendum erat. Primum igitur cap. 2. 3. Aristotelicos modos 36 investigat ex complicatione U P I omisso S et conclusione; ex quibus utiles sunt 8: UA, UA in Barbara vel Daropti, UA, PA in Darii et Datisi, PA, UA in Disamis, UA, UN in Camestres, UN, UA in Celarent, Cesare, Felapton, UA, IN in Baroco, UN, IA in Ferio, Festino, Ferison, IN, UA in Bocardo. Quibus addit cap. 4. singulares similes aequales SA, SA, SN, SN, 2 inaequales 3ium generum singulis inversis, et quibuslibet vel A vel Neg. 3 ᴖ 2 ᴖ 2 f. 12+2 f. 14. Ex quibus Hospinianus solum admittit UA, PA, et ponit in Darii, quia singulares sit particularibus aequipollere cum communi Logicorum schola, quod tamen mox falsum esse ostendemus. C. 5 addit singulares dissimiles totidem, nempe 14, ex quibus Hosp. solum admittit SN, UA in Bocardo; item UN, SA in Ferio. C. 6 addita conclusione quasi denuo incipiens enumerat modos similes aequales 4 ᴖ 2 f. 8, ex quibus utiles solum UA, UA, UA. in Barbara. Juxta Hospin. similes inaequales sunt vel ex toto inaequales, de quibus infra, vel ex parte, de quibus nunc, ubi duae propositiones sunt ejusdem quantitatis, tertia quaecunque diversae; et tunc modo duae sunt universales, una indefinita, quo casu sunt modi 6 (nam una vel initio vel medio vel fine ponitur 3, aemperque aut omnes sunt A aut N. 3 ᴖ 2 fac. 6) vel contra etiam 6 per cap. 7. fac. 12. Ex solis prioribus 6 utilis est UA, IA, IA in Darii et Datisi; item IA, UA, IA in Disamis; item UA, UA, IA in Darapti, et, ut Hospinianus non inepte, in Barbari. Certe cum ex propositione UA sequantur duae PU, una conversa, hinc oritur modus indirectus Baralip; alterna subalterna l, v. g. Omne animal est substantia. Omnis homo est animal. Ergo quidam homo est substantia. Hinc oritur iste: Barbari. Totidem, nempe 12, sunt modi per caput 8, si duae U et una P jungantur, vel contra; et iidem sunt modi utiles, qui in proxima mixtione, si pro I substituas P. Totidem, nempe 12, sunt modi per c. 8, si jungantur duae U et una S per c. 9, et quia Hospin. habet S pro P, putat solum modum utilem esse in Darii UA, SA, SA; v. infra. Item 12 IIP vel PPI; omnes inutiles per c. l0. Item 12 IIS vel SSI, omnes, ut ille putatur, inutiles per c. 11. Item 12 PPS vel SSP, omnes, ut ille putatur, inutiles per c. 12. Jam 6 ᴖ 12 f. 72 + 8 fac. 80, numerum modorum similium additis variationibus Conclusionis. Dissimiles modi sunt vel aequales vel inaequales. Aequales sunt ex meris vel U vel P vel I vel S, 4 genera quae singula variantur ratione qualitatis sic: NNA, ANN etc. 6𝔪𝔞𝔥𝔩, uti supradiximus n. 20; jam 6 ᴖ 4 f. 24, v. cap. 13. Utilis est: UA, UN, UN in Camestres. Dissimiles inaequales sunt vel ex tolo inaequales, ut nulla propositio alteri sit aequalis, de quibus infra, vel ex parte, ut duae sint aequales, una inaequalis, de quibus nunc. Et redeunt omnes variationes quantitatis, de quibus in similibus ex c. 7. 8. 9. l0. 11. 12. in singulis de binis contrariis diximus; modi autem hic fiunt plures quam illic, ob variationem qualitatis accedentem. Erat igitur in c. 7. UUI vel contra IIU. Ordo quantitatis variatur 3𝔪𝔞𝔥𝔩, quia v. g. I modo initio, modo medio, modo line ponitur. Qualitatis tum complexus variatur 2𝔪𝔞𝔥𝔩, NNA vel AAN, tum ordo 3𝔪𝔞𝔥𝔩 uti supra dictum, ponendo A vel N initio aut medio aut fine, ergo 3 ᴖ 2 ᴖ 3 f. 18 de UUI, et contra etiam 18 de IIU f. 36, per c. 14. In prioribus 18 utiles sunt modi: UA, UN, IN; vel loco IN, PN aut SN, et sunt in modo Camestres, uti supra Barbari; UN, UA, I(PS)N similiter in modo Celaro et Cesaro et Felapton; UA, I(PS)N, I(PS)N in Baroco; UN, I(PS)A. I(PS)N in Ferio, Festino et Ferison, qui ultimus tamen in S locum non habet; I(PS)N, UA, I(PS)N in Bocardo. Similiter UUP vel PPU 36 modos habent. Utiles designavimus proxime per P in ( ). Similiter UUS vel SSU faciunt simul modos 36 per c. 15. Modos utiles proxime signavimus per S. IIP vel PPI faciunt similiter 36 per c. 16; modi omnes sunt inutiles. IIS et SSI et PPS et SSP faciunt modos 2 ᴖ 36 = 72 per c. 17, qui omnes sunt inutiles. Huc usque distulimus inaequales ex toto, ubi nulla propositio in eodem syllogismo est ejusdem quantitatis, sunt autem vel similes vel dissimiles; inaequales ex toto similes sunt: UIP, quae forma habet modos 12, nam 3 res variant ordinem 6𝔪𝔞𝔥𝔩, qualitas autem variatur 2𝔪𝔞𝔥𝔩; ergo 6 ᴖ 2 f. 12 per c. 18, ubi sunt inutiles: UA, I(PS)A, P(IS)A, UA, P(IS)A, I(PS)A in Darii et Datisi; I(PS)A, UA, P(IS)A, P(IS)A, UA, I(PS)A in Disamis, nisi quod S non ingreditur Minorem in Figura Tertia; UPS et UIS, quae Habent modos 24 per c. 10. Utiles signavimus proxime per S. IPS, quae habet modos 12 per c. 20 ; omnes autem sunt inutiles juxta Hosp. Dissimiles omnino inaequales sunt eodem modo, uti similes: UIP quae variant ordinem 6𝔪𝔞𝔥𝔩 Qualitas autem variatur 6𝔪𝔞𝔥𝔩; ergo 6 ᴖ 6 f. 36 per c. 21. Modi utiles sunt: UA, I(PS)N, P(IS)N in Baroco; UN, I(PS)A, P(IS)N in Ferio, Festino et Ferison. I(PS)N, UA, P(IS)N in Bocardo. UIS et UPS, 36 ᴖ 2 f. 72 per c. 22. Modos utiles signavimus proxime per S et P et I in ( ). IPS habet modos 36 per c. 23, omnes inutiles juxta hypothesin Hosp. Addemus jam omnes modos a cap. 6 incl. ad c. 23 computatos (nam anteriores in his rediere) + 89. 24. 36. 36. 36. 36. 72. 12. 24. 12. 36. 72. 36. seu 80 + 12 ᴖ 36, f. 512. In his Hospiniani speculatoribus quaedam laudamus, quaedam desideramus. Laudam11s inventionem novorum modorum: Barbari, Camestres, Celaro, Cesaro; laudamus quod recte observavit, modos, qui vulgo nomen invenere, v. g. Darii; etc. habere se ad modos a se anumeratos velut genus ad speciem; sub Darii enim hi novem continentur ex ejus hypothesi: UA, IA, IA; UA, SA, SA; UA, PA, PA; UA, IA,SA; UA, SA, IA; UA, JA, PA; UA, PA, IA; UA, SA, PA; UA, PA, SA. Sed non aeque probare possumus, quod Singulares aequavit particularibus, quae res omnes ejus rationes conturbavit, effecitque ei modos utiles justo pauciores, ut mox apparebit. Hinc ipse in controversiis dialect. c. 22. p. 430 errasse se fatetur et admittit modos utiles 38. nempe 2 praeter priores 36, I, in Darapti, cum ex meris UA concluditur SA, quoniam Christus ita concluserit Luc. XXIII. v. 37. 38; 2, in Felapton, cum ex UN et UA concluditur, SN quia ita concluserit Paulus Rom. IX. v. 13. Nos etsi scimus ita vulgo sentiri, arbitramur tamen alia omnia veriora. Nam haec: Socrates est Sophronisci filius, si resolvatur fere juxta modum Joh. Rauen, ita habebit: Quicunque est Socrates, est Sophronisci filius. Neque male dicitur: Omnis Socrates est Sophronisci filius, etsi unicus sit, (neque enim de nomine, sed de illo homine loquimur) perinde ac si dicam: Titio omnes vestes quas habeo, do lego, quis dubitet, etsi unicam habeam, ei deberi? Imo secundum ICtos universitas quandoque in uno substitit I. municipium 7. D. quod cujusque univers. nom. Magnif. Carpzov. p. 11. c. VI. def. 17. Vox enim: omnis, non infert multitudinem, sed singulorum comprehensionem. Imo supposito quod Socrates non habuerit fratrem, etiam ita recte loquor: Omnis Sophronisci filius est Socrates. Quid de hac propositione dicemus: Hic homo est doctus? Ex qua recte concludemus: Petrus est hic homo, ergo Petrus est doctus. Vox autem: Hic, est signum singulare. Generaliter igitur pronunciare audemus: omnis Propositio singularis ratione modi in syllogismo habenda est pro universali, uti omnis indefinita pro particulari. Hinc etsi Modos utiles solum 36 numerat, sunt tamen 88, de quo supra, omissa nihilomiuus variatione, quae oritur ex figuris. Nam modi diversarum figurarum correspondentes, id est quantitate et qualitate convenientes, sunt unus simplex v. g. Darii et Datisi. Simplices autem modos voco, non computata figurarum varietate, Figuratos contra tales sunt modi figurarum, quos vulgo recensent. Age igitur, ne quid mancum sit, et ad hoc descendamus, dum servet impetus. Ad figuram requiruntur termini tres: Major, quem signabimus graece μ minor quem latine M; medium quem germanice 𝔐, et singuli bis. Ex bis fiunt com2nationes 3, quae hic dicuntur propositiones, quarum ultima conclusio est, priores praemissae. Regulae com2nandi generales cuique figurae sunt: I, nunquam com2nentur duo termini iidem, nulla enim propositio est: MM seu minor minor. 2. M et 𝔐 solum com2nentur in Conclusione, ita ut semper praeponatur M hoc modo: M𝔐. 3) in praemissarum 1ma com2nentur 𝔐 et M, in secunda M et μ· Neque enim pro variatione figurae habeo, quando aliqui praemissas transponunt, et loco hujus: B est C, A est B, ergo A est C, ponunt sic : A est B, B est C, ergo A est C, uti collocant P. Ramus, P. Gassendus, nescio quis I. C. E. libello peculiari edito, et jam olim Alcinous lib. l. Doct. Plat. qui semper Majorem prop. postponunt, Minorem prop. praeponunt. Sed id non variat figuram, alioqui tot essent figurae, quot variationes numerant Rhetores, dum in vita communi conclusionem nunc initio, nunc medio, nunc fine quam observant. Manifestum igitur, figurarum varietatem oriri ex ordine medii in praemissis, dum modo in majore praeponitur, in minore postponitur, quae est Aristotelica I, modo in majore et minore postponitur, quae est Arist II, modo utrobique praeponitur, quae est III, modo in Majore postponitur, in Minore praeponitur quae est IV Galeni (frustra ab Hospiniano contr. Dial. Probl. 19. tributa Scoto, cum ejus meminerit Aben Rois) quam approbat Th. Hobbes Elem. de Corp. P. l c. 4. art l1. Designabuntur sic: I. 𝔐μ· M𝔐, Mμ, II. μM, M𝔐, Mμ III. 𝔐μ, 𝔐M, Mμ. IV. μ𝔐, 𝔐M, Mμ. 1Vtae figurae hostibus unum hoc interim oppono: Quarta figura aeque bona est ac ipsa prima; imo si modo, non praedicationis, ut vulgo solent, sed subjectionis, ut Aristoteles, eam enunciemus, ex IV fiet I, et contra. Nam Arist. ita solet hanc v. g. propositionem: omne α est β, enunciare: β inest omini α. IVtae igitur figurae designatio orietur talis: 𝔐 inest τῷ μ, M, inest τῷ 𝔐, ergo M est μ; vel ut conclusio etiam sic enuncietur, transponendae praemissae, et conclusio erit: Ergo μ inest τῷ M. Idem in aliis fieri figuris potest, quod reducendi artificium nemo observavit hacteaus. Caeterum secunda oritur ex prima, transposita propositione majore; 3tia, transposita minore; 4ta, transposita conclusione, sed hic alius efficitur syllogismus, quia alia conclusio. Unde modi hujus 4tae sunt designandi modis indirectis primae figurae ut vulgo vocant, dummodo praeponas majorem propositionem minori, non contra, ut vulgo contra morem omnium figurarum hanc unicam ob causam, ut vitaretur quarta Galeni, factum est, v. g. sit Syllogismus in Baralip: omne animal est substantia, omnis homo est animal, ergo quaedam substantia est homo. Certe substantia est minor terminus, igitur praemissa in qua ponitur, est minor, et per consequens propositio haec: Omne animal est substantia, non est ponenda primo secundo loco, tum prodibit ipsissima IVta figura. Propter hanc transpositionem propositionum, quos vulgo Syllogismos in Celantes ponunt, sunt in Fapesmo, loco Frisesmo dicendum Fresismo, loco Dabitis Ditabis; Baralip manet. Hi sunt modi figurae IVtae, quibus addo Celanito et Colanto. Erunt simul 6 Modi: 1mae sunt 6: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaro; Modi IIdae 6: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaro, Camestres; Modi IIItiae etiam 6: Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison. Ita ignota hactenus figurarum harmonia detegitur, singulae enim modis sunt aequales; l) Imae autem et 2dae figurae semper Major propositio est U; 2) Imae et IIItiae semper Minor A; 3) in IIda semper conclusio N; 4) in IIItia Conclusio semper est P; in IVta conclusio nunquam est UA, Major nunquam PN, etsi minor N, major UA. Propter has regulas fit, ut non quilibet 88 modorum utilium in qualibet figura habeat locum; alioqui essent Modi utiles: 4 ᴖ 96 f. 348. Modi autem figurati in universum utiles et inutiles 512 ᴖ 4 f. 2048. Qui autem in qua figura sint utiles, praesens schema docebit:

In quo descripti sunt omnes modi utiles, ex quibus octo semper constituunt modum figuratum generalem, tales autem voco illos vulgo appellatos, in quibus U et S, item I et P habentur pro iisdem. Ipsae lineae modorum constant ex quatuor trigis, in qualibet lineae quantitate conveniunt, differunt pro tribus illis utilibus qualitatis differentiis. Ipsae autem trigae inter se differunt quantitate, positae eo ordine quo supra variationes ejus invenimus, in quarum quatuor reducuntur omnes supra inventae, quia hic U et S, item I et P reducuntur ad eandem. Cuilibet lineae ad marginem posimus modos figuratos generales, in quos quilibet ejus modus specialis cadit. In summo signavimus numeris figuram. Ex eodem autem manifestum est, modos figuratos generales esse vel Monadicos, vel correspondentes, et hos vel 2 vel vel 3 vel 4, prout plures paucieresve uni lineas sunt appositi. Singulas porro lineae habent unum modum simplicem generalem, quem explicare possumus sumtis vocalibus, uti vulgo, ut A sit UA (vel SA), E sit UN (vel SN), I sit P {vel I) A, O sit P(I)N (ita omittendae sunt 4 praeterea vocales U pro IA; Y pro IN ; OY se11 ov pro SA; ω pro SN; quae ad declarandum Hospinianum posuit Joh. Regius, quem vid. Disp. Log. lib. 4 probl 5, et ita modus lineae l. est AAA, 2. EAE, 3. AEE, 4. AAI, 5. EAO, 6. AEO, 7. AII, 8. EIO, 9. AOO, 10. IAI, 11. AEE, 12. IEO, abjectis nempe consonantibus ex vocibus vulgaribus, in quibus Scholastici per consonas figuram, per vocales modos simplices designarunt. Ultimus vero modus: IEO, quam diximus Freisesmo, et collocavimus in figura nulla, propterea est inutilis, quia major est P (hinc locum non habet in 1 et 2), minor vero N (hinc locum non habet in l et 3), etsi ex regulis modorum non sit inutilis. Quod vero in 4 locum non habeat, exemplo ostendo: Quoddam Ens est homo, nullus bomo est brutum, ergo quoddam brutum non est Ens. Atque hic obiter consilium suppeditabo utile, quod vel ipso exemplo hoc comprobatur, in quo consistit proba, ut sic dicam, seu ars examinandi modum propositum, et sicubi non formae, sed materiae vi concludit, celeriter instantiam reperiendi, qualem apud Logicos hactenus legere me non memini. Breviter: Pro UA sumatur propositio, quam materia non patitur converti simpliciter, v. g. sumatur haec potius: Omnis homo est animal, quam: Omnis homo est animal rationale, et quo remotius genus sumitur, hoc habebis accuratius. Pro UN eligatur talis, qua negentur de se invicem species quam maxime invicem vicinae sub eodem genere proximo, v. g. homo est brutum, et quae non sit convertibilis per contrapositionem in UA seu cujus neque subjectum neque praedicatum sit terminus infinitus. Pro P(I)A sumatur semper talis, quae non sit subalterna alicujus UA, sed in qua de genere quam maxime generali dicatur species particulariter. Pro (I)PN sumatur, quae non sit subalterna alicujus UN, et cujus neuter terminus sit infinitus, et in qua negetur de genere maxime remoto species. Quod diximus de terminis infinitis vitandis, ejus ratio nunc patebit. Prodiit cujusdam Joh. Christoph. Sturmii Compendium Universalium seu Metaphysicae Euclideae ed. 8. Hagae anno 1660 apud Adrian. Vlacq. Cui annexuit novos quosdam modos syllogisticos a se demonstratos, qui omnes videntur juxta communem sententiam inpingere in alteram vel utramque harum duarum regularum qualitatis: Ex puris negativis nihil sequitur; et: Conclusio sequitur qualitalem debilioris ex praemissis. Ut tamen recte procedat argumentum, vel assumit propositionem affirmativam infiniti subjecti, quae stet pro negativa finiti, aut contra, v. g. aequipollent; Quidam non lapis est homo, et: quidam lapis non est homo (verum annoto, non procedere in universali contra, v. g. omnis lapis non est homo, ergo omnis non lapis est homo); vel assumat negativam infiniti praedicati pro affirmativa finiti vel contra, v. g. aequipollent: omnis philosophus non est non homo, et: est homo; vel 3 assumat loco datae conversam ejus per contrapositionem. Jam UA convertitur per contrap. in UN, U et PN in PA, ita facile illi est elicere ex puris neg. affirmantem, si negativae ejus tales sunt, ut stent pro affirmativis; item ex A et N elicere affirmantem, si ista stet pro negativa. Ita patet, omnes illas 8 variationes qualitatis fore utiles, et per consequens modos utiles fore 32 ᴖ 8 f. 256 juxta nostrum calculum. Similis fere ratio est syllogismi ejus, de quo Logici disputant: Quicumque non credunt, damnantur, Judaei non credunt, ergo damnantur. Sed ejus expeditissima solutio est, minorem esse affirmantem, quia medius terminus affirmatur de minore. Medius terminus autem non est: credere, sed: non credere, id enim praeexstitit in majori prop. Non possum hic praeterire modum Darapti ex ingenioso invento Cl. Thomasii nostri. Is observavit ex Ramo Schol. Dialect. lib. 7. c. 6. pag. m. 214, Conversionem posse demonstrari per syllogismum adjiciendo propositionem identicam, v. g. UA in PA sic: omne α est γ, omne α est α (si in 3tiae modo Darapti velis, vel omne γ est γ, si in 4tae modo Baralip), ergo quoddam γ est α. Item PA in PA sic: Quoddam α est γ. omne α est α (si in 3tiae modo Disamis velis, vel omne γ est γ. si in 4tae modo Ditabis), ergo quoddam γ est α. Item UN in UN (in Cesare 2dae) sic: Nullum α est γ, omne γ est γ, ergo nullum γ est α. Item PN vel in Baroco 3tiae sic : omne α est α, quoddam α non est γ, ergo quoddam γ non est α (vel in Colanto 4tae: Quoddam α non est γ, omne γ est γ, ergo quoddam γ non est α). Idem igitur ipse in Conversione per Contrapositionem tentavit, v. g. hujus PN: Quidam homo non est doctus, in hanc PA infiniti subjecti: quoddam non doctum est homo. Syllogismus in Darapti erit talis: Omnis homo est homo, quidam homo non est doctus, ergo quoddam quod non est doctum est homo. Observari tamen hic duo debent, Minorem juxta Sturmianam doctrinam videri quasi pro alia positam: Quidam homo est non doctus; deinde omnium optime sic dici: propositionis hujus: Quidam homo non est doctus, conversam per contrapositionem proprie hanc esse etiam negativam: Quoddam doctum non est non non homo, et in conversione per contrapositione identicam ipsam debere esse contrapositam, id ostendit syllogismus jam non amplius in Darapti, sed Baroco: Omnis homo est non non homo (id est, omnis homo est homo), quidam homo non est doctus, ergo quoddam doctum non est non non homo (id est, quoddam non doctum est homo). Caeterum Sturmianos illos modos arbitror non formae, sed materiae ratione concludere, quia quod termini vel finiti vel infiniti sint, non ad formam propositionis seu copulam aut signum pertinet, sed ad terminos. Desinemus tandem aliquando modorum, nam etsi minime pervulgata attulisse speramus, habet tamen et novitas taedium in per se taediosis. Ab instituto autem abiisse nemo non dicet, qui omnia ex intima variationum doctrina erui viderit, quae sola prope per omne infinitum obsequentem sibi ducit animum, et harmoniam mundi et intimas constructiones rerum seriemque formarum una complectitur, cujus incredibilis utilitas perfecta demum philosophia, aut prope perfecta recte aestimabitur. Nam VIImus est in complicandis figuris geometricis usus, qua in re glaciem fregit Job. Keplerus lib. 2. Harmonicῶν. Istis complicationibus non solum infinitis novis theorematibus locupletari geometria potest, nova enim complicatio novam figuram compositam efficit, cujus jam contemplando proprietates, nova theoremata, novas demonstrationes fabricamus, sed et (si quidem verum est, grandia ex parvis, sive haec atomos sive moloculas voces, componi) unica ista via est in arcana naturae penetrandi, quando eo quisque perfectius rem cognoscere dicitur, quo magis rei partes et partium partes, earumque figuras positusque percepit. Haec figurarum ratio primum abstracte in geometria ac stereometria pervestiganda: inde ubi ad historiam naturalem existentiamque, seu id quod revera invenitur in corporibus, accesseris, patebit Physicae porta ingens, et elementorum facies, et qualitatum origo et mixtura, et mixturae origo et mixtura mixturarum, et quicquid hactenus in natura stupebamus. Caeterum brevem gustum dabimus, quo magis intelligamur: Figura omnis simplex aut rectilinea aut curvilinea est. Rectilineae omnes symmetrae, commune enim omnium principium: Triangulus. Ex cujus variis complicationibus congruis omnes Figurae rectilineae coeuntes (id est non hiantes) oriuntur. Verum curvilinearum neque circulus in ovalem etc. neque contra reduci potest, neque ad aliquid commune. Neutra vero triangulo et triangulatis symmetros. Porro quilibet circulus cuicunque circulo est symmetros, nam quilibet cuilibet aut concentricus est aut esse intelligitur; Ovalis vero vel Elliptica ea tantum symmetros quae concentrica intelligitur; ita neque omnis ovalis ovali symmetros est etc. Haec de simplicibus; jam ad complicationes. Complicatio est aut congrua aut hians: congrua tum, cum figurae compositae lineae extremae seu circumferentiales nunquam faciunt angulum extrorsum, sed semper introrsum. Extrorsum autem fit angulus, cum portio circuli inter lineas angulum facientes descripta ex puncto concursus tanquam centro, cadit extra figuram, ad cujus circumferentiam lineae angulum facientes pertinent: introrsum, cum intra. Hians est complicatio, cum aliquis angulus fit extrorsum. Stellae autem est complicatio hians, cujus omnes radii (id est lineae stellae circumferentiales angulum·extrorsum facientes) sunt aequales, ita ut si circulo inscribatur, ubique eum radiis tangat. Caeterum hiantes figurarum complicationes texturas voco, congruas proprie figuras. Sunt tamen et quaedam Textura figuratae, quas et figurae hiantes ad oppositionem coeuntium voco. Jam sunt theoremata: l) Si duae figurae symmetrae sunt contiguae (complicatio enim vel immediata est contiguitas, vel mediata, inter tertium et primum, quoties tertium contiguum est secundo, et secundum vel mediate vel immediate primo), complicatio fit hians. 2) Curvilinearum inter se omnis contiguitas est hians, nisi alteri circumdetur Zona alterius symmetri dato concentrici. 3) Curvilineae cum rectilinea omnis contiguitas est hians, nisi in medio Zonae ponatur rectilinea. Zonam autem voco residuum in figura curvilineae majori, exempta concentrica minori. In contiguitate rectiliaearum autem aut angulus angulo, aut angulus lineae, aut linea lineae imponitur. 4) Si angulus angulo imponitur aut lineae, contiguitas est in puncto. 5) Omnis curvilinearum inter se contiguitas hians est in puncto. 6) Omnis earum cum rectis contiguitas etiam non hians, itidem. 7) Linea lineae nonnisi ejusdem generis imponi potest, v. g. recta rectae, curvilinea ejusdem generis et sectionis. 8) Si linea lineae aequali imponatur, contiguitas est congrua, si inaequali, hians. Observandum autem est plures figuras ad unum punctum suis angulis componi posse, quae est textura omnium maxime hians. Sed et hoc fieri potest, ut duae vel plures contiguae sint hiantes, accedat vero tertia vel plures, et efficiatur una figura, seu complicatio congrua. Unde nova contemplatio oritur, quae figura vel textura quibus addita faciat ex textura figuram, quod nosse magni momenti est ad rerum hiatus explendos. Restat ut computationem ex nostris praeceptis instituamus, ad quam requiritur ut determinetur numerus figurarum ad conficiendam texturam, et determinentur figurae complicandae; utrumque enim alias infinitum est. Sed hoc facile cuilibet juxta enumeratos casus et theoremata praestare; nobis ad alia properantibus satis est prima lineamenta duxisse tractationis de Texturis hactenus fere neglectae. Decebat fortasse doctrinam hanc illustrare schematibus, sed intelligentes non indigebunt; imperiti, uti fieri solet, nec intelligere tanti aestimabunt. VIIIvus Usus est in casibus apud Jureconsultos formandis. Neque enim semper exspectandum est praecipue legislatori, dum casus emergat, et majoris est prudentiae leges quam maxime initio sine vitiis ponere, quam restrictionem ac correctionem fortunae committere. Ut taceam, rem judicariam in qualibet republica hoc constitutam esse melius, quo minus est in arbitrio judicis. Plato lib. 9. de Leg. Arist. I. Rhet. Menoch. Arbitr. Jud. lib. 1. prooem. n. 1. Porro Ars casuum formandorum fundatur in doctrina nostra de Complexionibus. Jurisprudentia enim cum in aliis geometriae similis est, tum in hoc quod utraque habet Elementa, utraque casus. Elementa sunt simplicia, in geometria figurae: triangulus, circulus etc. in Jurisprudentia: aetus, promissum, alienatio etc. Casus: complexiones horum, qui utrobique variabiles sunt infinities. Elementa Geometriae composuit Euclides, Elementa juris in ejus Corpore continentur, utrobique tamen admiscentur Casus insigniores. Terminos autem in jure simplices, quorum mixtione caeteri oriuntur, et quasi Locos communes, summaque genera colligere instituit Bernhardus Lavintheta, Monachus ordinis Minorum, Com. in Lullii Artem magnam, quem vide. Nobis sic visum: Termini quorum complicatione oritur in Jure diversitas casuum, sunt: Personae, Res, Actus, Jura. Personarum genera sunt tum naturalia, ut: mas, foemina, hermaphroditus, monstrum, surdus, mutus, caecus, aeger, embryo, puer, juvenis, adolcscens, vir, senex, atque aliae differentiae ex physicis petendae, quae in jure effectum habent specialem; tum artificialia, nimirum genera vitae, corpora seu collegia et similia. Nomina officiorum huc non pertinent, quia complicantur ex potestate et obligatione; sed ad jura. RES sunt mobiles, immobiles, dividuae (homogeneae), individuae, corporales, incorporales, et speciatim: Homo, animal cicur, ferum, rabiosum, noxium; Equus, aqua, fundus, mare etc., et omnes omnino res, de quibus peculiare est jus. Hae differentiae petendae ex physicis. ACTUS (aut non actus seu status) considerandi qua naturales: ita dividui, individui, relinquunt άποτέλεσμα vel sunt facti transeuntis; detentio quae est materiale possessionis, traditio, effractio, vis, caedes, vulnus; noxa, huc temporis et loci circumstantia, hae differentiae itidem petendae ex physicis; qua morales: ita sunt actus spontanei, coacti, necessarii, mixti, significantes, non significantes; inter significantes verba, consilia, mandata, praecepta, pollicitationes, acceptationes, conditiones. Haec omnis verborum varietas et interpretatio ex Grammaticis. Denique actus sunt vel juris effectum habentes, vel non habentes, et illi quidem pertinent ad catalogum jurium quae efficiunt, hi ex politicis ethicisque uberius enumerandi. JURIUM itidem enumerandae vel species rei differentiae. Et hae quidem sunt v. g. realia, personalia; pura, dilata, suspensa; mobilia vel personae aut rei affixa etc. Species v. g. dominium, directum, utile; servitus, realis, personalis; aut ususfructus, usus, proprietas, jus possidendi, usucapiendi conditio; Potestas, obligatio (active sumta); Potestas administratoria, rectoria, coercitoria. Tum actus judiciales sumti pro jure id agendi tales sunt: postulatio, seu jus exponendi desiderium in judicio, cujus species pro ratione ordinis: actio, exceptio, replica etc. nempe in termino; tum in scriptis aut alias extra terminum; supplicatio pro impetranda citatione pro monitorio etc. Jurium autem catalogus ex sola Jurisprudentia sumitur. Nos hic festini quicquid in mentem venit attulimus, saltem ut mens nostra perspiceretur; alii termini simplices privata cujusque industria suppleri possunt, sed ita ut eos tantum ponat terminos, qui revera sunt simplices, id est quorum conceptus ex aliis homogeneis non componitur, quanquam in locis communibus, quorum disponendorum artificium potissimum huc redit, licebit terminos complexos simplicibus valde vicinos etiam tamquam peculiarem titulum collocare, v. g. compensationem, quae componitur ex obligatione Titii Cajo, et ejusdem Caji Titio in rem dividuam, homogeneam seu commensurabilem, quae utraque dissuolvitur in summam concurrentem. Ex horum terminorum simplicium, tum cum se ipsis aliquoties repetitis, tum cum aliis com2natione, con3natione etc. et in eadem complexione, variatione situs prodire casus prope infinitos quis non videt? Imo qui accuratius haec scrutabitur, inveniet regulas eruendi casus singulariores etc., nos talia quaedam concepimus, sed adhuc impolitiora, quam ut afferre audeamus. Par in Theologia terminorum ratio est, quae est quasi Jurisprudentia quaedam specialis, sed eadem fundamentalis ratione caeterarum. Est enim velut doctrina quaedam de Jure publico, quod obtinet in Republica DEI in homines, ubi Infideles quasi rebelles sunt, Ecclesia velut subditi boni, personae Ecclesiasticae, imo et Magistratus Politicus velut Magistratus subordinati, Excommunicatio velut Bannus, Doctrina de Scriptura sacra et verbo DEI velut de ligibus et earum interpretatione; de Canone, quae leges authenticae, de Erroribus fundamentalibus quasi de delictis capitalibus, de Judicio extremo et novissima die velut de Processu Judiciario et Termino praestituto, de Remissione Peccatorum velut de jure aggratiandi, de Damnatione aeterna velut de poena capitali etc. Hactenus de usu complexionum in speciebus divisionum inveniendis; sequitur IXmus usus: Datis speciebus divisionis, praedivisiones seu genera et species subalternas inveniendi. Ac siquidem divisio, cujus species datae sunt, est διχοτομία, locum problema non habet, neque enim ea est ulterius reducibilis; sin πολυτομία omnino. Esto enim τριχοτμία inter πολυτομίας minima, seu dati generis species 3: a, b, c; con3natio igitur earum tantum l est in dato genere summo; Uniones vero 3; illic ipsum prodit genus summum, hic ipsae species infimae, inter con3nationem autem et Unionem sola restat com2natio. Trium autem rerum com2nationes sunt 3, hinc oriuntur 3 genera intermedia, nempe abstractum seu genus proximum τῶν ab, item τῶν b c, item τῶν a c. Ad genus autem requiritur tum ut singulis competat, tum ut cum omnibus disjunctive sumtis sit convertibile. Exemplo res fiet illustrior. Genus datum sit respublica, species erunt 3, loco A Monarchia, loco B Oligarchia Polyarchica seu optimatum, loco C Panarchia; bis enim terminis utemur commodissime, ut apparebit, et voce Panarchiae etsi alio sensu, usus est Fr. Patritius Tomo inter sua opera peculiari ita inscripto, quo Hierarchias coelestes explicuit. Polyarchiae voce tanquam communi oligarchiae et panarchiae usus est Boxhornius lib. 2. c. 5. Inst. Polit. igitur 1) Genus subalternum τῶν AB seu Monarchiae et regiminis Optimatum erit Oligarchia; imperant enim vel non omnes: Oligarchia, sed vel unus: Monarchia, vel plures: Oligarchia, Polyarchia; vel omnes: Panarchia. 2) Genus subalternum τῶν B C erit Polyarchia; imperat enim vel unus: Monarchia, vel plures: Polyarchia (in qua iterum vel non omnes: Polyarchia. Oligarchica, vel omnes: Panarchia). 3) Genus subalternum τῶν A C est Respublica extrema. Nam species reipublicae alia intermedia est optimatum (hinc et nomen duplex: Oligarchia polyarchica), alia Extrema. Extremae autem sunt in quibus imperat unus, item in quibus omnes. Ita in minima τῶν πολυτομίων, τριχοτομία, usum complexionum manifestum fecimus, quantae, amabo, in divisione virtutum in 11 species, similibusque aliis erunt varietates? ubi non solum singulae com2nationes, sed et con3nationes etc. usque ad con10nationes, eruntque computato genere summo et speciebus infirmis in universum complicationes seu genera speciesque possibiles 2047. Nam profecto tam est in abstrahendo foecundus animus noster, ut datis quotcunque rebus, genus earum, id est conceptum singulis communem et extra ipsas nulli, invenire possit. Imo etsi non inveniat, sciet Deus, invenient angeli; igitur praeexistet omnium ejusmodi abstractionum fundamentum. Haec tanta varietas generum subalternorum facit, ut in praedivisionibus seu tabellis construendis, invenienda etiam datae alicujus in species infimas divisionis sufficientia diversas vias ineant autores, et omnes nihilominus ad easdem infimas species perveniant. Deprehendet hoc, qui consulet Scholasticos numerum praedicamentorum, virtutum cardinalium, virtutum ab Aristotele enumeratarum, affectuum etc. investigantes. X. A divisionibus ad propositiones tempus est ut veniamus, alteram partem Logicae inventionis. Propositio componitur ex subjecto et praedicato, omnes igitur propositiones sunt com2nationes. Logicae igitur inventivae propositionum est hoc problema solvere: 1) dato subjecto praedicata; 2) dato praedicato subjecta invenire, utraque tum affirmative, tum negative. Vidit hoc Raym. Lullius Kabbalae Tr. 1. c. fig. 1. p. 46, et ubi priora repetit pag. 239 Artis magnae. Is ut ostendat, quot propositiones ex novem illis suis terminis universalissimis: Bonitas, magnitudo, duratio etc. quas singulas de singulis praedicari posse dicit, oriantur, describit circulum, ei inscribit ἐννεάγωνον figuram regularem, cuilibet angulo ascribit terminum, et a quolibet angulo ad quemlibet ducit lineam rectam. Tales lineae sunt 36, tot nempe quot com2nationes 11 rerum. Cumque variari situs in qualibet com2natione possit bis, seu propositio quaelibet converti simpliciter, prodibit 36 ᴖ 2 f. 72, qui est numerus propositionum Lullianarum. Imo talibus complexionibus omne artificium Lullii absolvitur, vide ejusdem operum Argenterati in 8. anno 1698 editorum pag. 49. 53. 68. 135, quae repetuntur p. 240. 244. 245. Idem tabulam construxit ex 84 columnis constantem, quarum singulae continent 20 complexiones, quibus enumerat con4nationes suarum regularum literis alphabeticis denominatarum; ea tabula occupat pag. 260. 261. 262. 263. 264. 265. 266. Con3nationum vero tabulam habes apud Henr. Corn. Agrippam Com. in artem brevem Lullii, quae occupat 9 paginas, a pag. 863 usque 87l inclusive. Eadem ex Lullio pleraque exequitur, sed bretius Joh. Heinr. Alstedius in Architectura Artis Lullianae, inserta Thesauro ejus Artis Memorativae pag. 47 et seqq. Sunt autem termini simplices hi: I. Attributa absoluta: Bonitas, Magnitudo, Duratio, Potestas, Sapientia, Voluntas, Virtus, Veritas, Gloria; II. Relata: Differentia, Concordantia, Contrarietas, Principium, Medium, Finis, Majoritas, Aequalitas, Minoritas; III. Quaestiones: Utrum, Quid, de Quo, Quare, Quantum, Quale, Quando, Ubi, Quomodo (cum Quo); IV. Subjecta: Deus, Angelus, Coelum, Homo, Imaginatio, Sensitiva, Vegetativa, Elementativa, Instrumentativa; V. Virtutes : Justitia, Prudentia, Fortitudo, Temperantia, Fides, Spes, Charitas, Patientia, Pietas; VI. Vitia: Avaritia, Gula, Luxuria, Superbia, Acedia, Invidia, Ira, Mendacium, Inconstantia. Etsi Jan. Caecilius Frey Via ad Scient. et art. parl. XI. c. 1. classem 3tiam et 6tam omittat. Cum igitur in singulis classibus sint 9 res, et 9 rerum sint complexiones simpliciter 511, totidem in singulis classibus complexiones erunt, porro ducendo classem in classem per prob. 3. 511. 511. 511. 511. 511. ᴖ 511, f. 17804320388674561. Zensicub. de 511, ut omittam omnes illas variationes, quibus idem terminus repetitur, item quibus una classis repetitur, seu ex una classe termini ponuntur plures. Et hae solum sunt complexiones, quid dicam de Variationibus Situs, si in complexiones ducantur. Atque hic explicabo obiter problema hoc: "Variationes situs seu dispositiones ducere in complexiones, seu datis certis rebus omnes variationes tam complexionis seu materiae, quam situs seu formae reperire. Sumantur omnes complexiones particulares dati numeri (v. g. de numero 4: uniones 4, com2nationes 6, con3nationes 4, con4natio 1) quaeratur variatio dispositionis singulorum exponentium per probl. 4. infra (v. g. 1 dat l, 2 dat 2, 3 dat 6, 4 dat 24), ea multiplicetur per complexionem suam particularem, seu de dato exponente (v. g. l ᴖ 4 f. 4, 2 ᴖ 6 f. 12, 4 ᴖ 6 f. 24, 1 ᴖ 24 f. 24). Aggregatum omnium factorum erit factus ex ductu dispositionum in complexiones, id est quaesitum (v. g. 4. 12. 24. 24.+ f. 61)." Verum in terminis Lullianis multa desidero. Nam tota ejus methodus dirigitur ad artem potius ex tempore disserendi, quam plenam de re data scientiam consequendi, si non ex ipsius Lullii, certe Lullistarum intentione. Numerum Terminorum determinavit pro arbitrio, hinc in singulis classibus sunt novem. Cur praedicatis absolutis, quae abstractissima esse debent, commiscuit Voluntatem, Veritatem, Sapientiam, Virtutem, Gloriam, cur Pulchritudinem omisit, seu Figuram, cur Numerum? Praedicatis relatis debebat accensere multo plura, v. g. Causam, totum, partem, requisitum etc. Praeterea Majoritas. Aequalitas, Minoritas est nihil aliud, quam concordantia et differentia magnitudinis. Quaestionum tota classis ad praedicata pertinet: Utrum sit, est existentiae, quae durationem ad se trahit; Quid, essentiae; Quare, caussae; de Quo, objecti; Quantum, magnitudinis; Quale, qualitatis, quae est genus praedicatorum absolutorum; Quando, temporis; Ubi, loci; Quomodo, formae; Cum Quo, adjuncti: omnes terminorum sunt, qui aut relati sunt inter praedicata, aut referendi. Et cur Quamdiu omisit, anne durationi coincideret? cur igitur alia aeque coincidentia admiscet; denique Quomodo et cum Quo male confuduntur. Classes vero ultimae Vitiorum et Virtutum sunt prorsus ad scientiam hanc tam generalem ἀπροσδιόνυσοι. Ipsa quoque earum recensio quam partim manca, partim superflua! Virtutum recensuit priores 4 cardinales, mox 3 theologicas, cur igitur addita Patientia, quae in fortitudine dicitur contineri; cur Pietatem, id est amorem DEI. quae in Charitate? scilicet ut novenarii hiatus expleretur. Ipsa quoque Vitia cur non Virtutibus opposita recensuit? An ut intelligeremus in virtute vitia opposita, et in vitio virtutem? at iu vitia 27 prodibunt. Subjectorum census placet maxime. Sunt enim bi inprimis Entium gradus: DEUS, Angelus, Coelum (ex doctrina peripatetica Ens incorruptibile), Homo, Brutum perfectius (seu habens imaginationem), imperfectius (seu sensum solum, qualia de ζωοφύτοις narrant), Planta. Forma communis corporum (qualis oritur ex commixtione Elementorum, quo pertinent omnia inanima). Artificalia (quae nominat instrumenta). Haec sunt quorum complexu Lullius utitur, de quo judicium, maturum utique, gravis viri Petri Gassendi Logicae suae Epicureae T. I. operum capite peculiari. Quare artem Lullii dudum com2natorium appellavit Jordan. Brunus Nolanua Scrutin. praefat. p. m. 684. Atque hinc esse judico, quod immortalis Kircherus suam illam diu promissam artem magnam sciendi, seu novam portam scientiarum, qua de omnibus rebus infinitis rationibus disputari, cunctorumque summaria cognitio haberi possit (quo eodem fere modo suam Syntaxin artis mirabilis inscripsit Petr. Gregor. Tholosanus) Com2natoriae titulo ostentaverit. Unum hoc opto, ut ingenio vir vastissimo altius quam vel Lullius vel Tholosanus penetret in intima rerum, ac quae nos praeconcepimus, quorum lineamenta duximus, quae inter desiderata ponimus, expleat, quod de fatali ejus in illustrandis scientiis felicitate desperandum non est. Ac nos profecto haec non tam Arithmeticae augendae, et si et hoc fecimus, quam Logicae inventivae recludendis fontibus destinavimus, fugientes praeconis munere, et quod in catalogo desideratorum suis augmentis Scientiarum Verulamius fecit, satis habituri, si suspicionem tantae artis hominibus faciamus, quam cum incredibili fructu generis humani alius producat. Quare age tandem artis complicatoriae (sic enim malumus, neque enim omnis complexus com2natio est) uti nobis constituenda videatur, lineamenta prima ducemus. Profundissimus principiorum in omnibus rebus scrutator Th. Hobbes merito posuit omne opus mentis nostrae esse computationem, sed hae vel summam addendo vel subtrahendo differentiam colligi; Elem. de Corp. p. l. c. 1. art. 2. Quemadmodum igitur duo sunt Algebraistarum et Analyticorum primaria signa + et -, ita duae quasi copulae est et non-est: illic componit mens, hic dividit. In tali igitur sensu τὁ Est non est proprie copula, sed pars praedicati; duae autem sunt copulae, una nominata, non, altera innominata, sed includitur in τὁ est, quoties ipsi non additum: non, quod ipsum fecit, ut τὁ Est habitum sit pro copula. Possemus adhibere in subsidium vocem: revera, v. g. Homo revera est animal. Homo non est lapis. Sed haec obiter. Porro ut constet ex quibus omnia conficiantur, ad constituenda hujus artis praedicamenta et velut materiam analysis adhibenda est. Analysis haec est: 1) Datus quicunque terminus resolvatur in partes formales, seu ponatur ejus definitio; partes autem hae iterum in partes, seu terminorum definitionis definitio; usque ad partes simplices seu terminos indefinibiles. Nam ού δεῐ παντὀς ὃρον ζητῐν; et ultimi illi termini non jam amplius definitione, sed analogia intelliguntur. 2) Inventi omnes termini primi ponantur in una classe, et designentur notis quibusdam; commodissimum erit numerari. 3) Inter terminos primos ponantur non solum res, sed et modi sive respectus. 4) Cum omnes termini orti orient distantia a primis, prout ex pluribus terminis primis componuntur, seu prout est exponens Complexionis, hinc tot classes faciendae, quot exponentes sunt, et in eandem classem conjiciendi termini, qui ex eodem numero primorum componuntur. 5) Termini orti per com2nationem scribi aliter non poterunt, quam scribendo terminos primos, ex quibus componuntur, et quia termini primi signati sunt numeris, scribantur duo numeri duos terminos signantes. 6) At termini orti per con3nationem aut alias majoris etiam exponentis Complexiones, seu termini qui sunt in classe 3tia et sequentibus, singuli toties varie scribi poasunt, quot habet complexiones simpliciter exponens ipsorum spectatus non jam amplius ut exponens, sed ut numerus rerum. Habet hoc suum fundamentum in Usu IX, v. g. sunto termini primi bis numeris signati 3, 6, 7, 9; sitque terminus ortus in classe tertia, seu per con3nationem compusitus, nempe ex 3bus simplicibus 3, 6, 9, et sint in classe 2da combinationes hae: (1) 3. 6. (2) 3. 7, (3) 3. 9, (4) 6. 7, (6) 6. 9, (6) 7. 9; ajo termini illum datum classis 3tiae scribi posse vel sic: 3. 6. 9, exprimendo omnes simplices; vel exprimendo·unum simplicem, et loco caeterorum duorum simplicium scribendo com2nationem, v. g. sic: ½. 9. vel 3⁄2. 6, vel sic: 5⁄2. 3. Hae quasi-fractiones quid significent, mox dicetur. Quo autem classis a prima remotior, hoc variatio major. Semper enim termini classis antecedentis sunt quasi genera subalterna ad terminos quosdam variationis sequentis. 7) Quoties terminus ortus citatur extra suam classem, scribatur per modum fractionis, ut numerus superior seu numeratori sit numerus loci in classe; inferior seu nominator, numerus classis. 8) Commodius est, in terminis ortis exponendis non omnes terminos primos, sed intermedios scribere, ob multitudinem, et ex iis eos qui maxime cogitanti de re occurrunt. Verum omnes primos scribere est fundamentalius. 9} His ita constitutis possunt omnia subjecta et praedicata inveniri, tam affirmativa quam negativa, tam universalia quam particularia. Dati enim subjecti praedicata sunt omnes termini primi ejus; item omnes orti primis propiores, quorum omnes termini primi sunt in dato. Si igitur terminus datus, qui subjectum esse debet, scriptus est termnis primis, facile est eos primos, qui de ipso praedicantur, invenire, ortos vere etiam invenire debitur, si in complexionibus disponendis ordo servetur. Sin terminus datus scriptus est ortis, aut partim ortis, partim simplicibus, quicquid praedicabitur de orto ejus, de dato praedicabitur. Et haec quidem omnia praedicata sunt latioris de angustiori, praedicatio vero aequalis de aequali est, quando definitio de termino, id est vel omnes termini primi ejus simul, vel orti, aut orti et simplices, in quibus omnes illi primi continentur, praedicantur de dato. Eae sunt tot, quot modis nuperrime diximus, unum Terminum scribi posse. Ex his jam facile erit, numeris investigare omnia praedicata, quae de omni dato subjecto praedicari possunt, seu omnes UA, Propositiones de dato subjecto, nimirum singularum classium a prima usque ad classem dati inclusive; numeri ipsas denominates seu exponentes ponantur ordine v. g. 1. (de classe prima) 2, (de 2da) 3. 4. etc. Unicuique tamquam non jam amplius exponenti, sed numero assignetur sua complexio simpliciter, v. g. 1. 3. 7. 15; quaerantur complexiones particulares numeri classis ultimae seu de qua est terminus datus, v. g. de 4, cujus complexio simpliciter 15, uniones 4, com2nationes 6, con3nationes 4, con4natio 1; singulae complexiones simpliciter classium multiplicentur per complexionem particularem classis ultimae, quae habeat exponentem eundem cum numero suae classis, v. g. 1 ᴖ 4 f. 4, 3 ᴖ 6 f. 18, 4 ᴖ 7 f. 28, 15 ᴖ 1 r. 15; aggregatum omnium factorum erit numerus omnium praedicatorum de dato subjecto, ita ut propositio sit UA, v. g. 4. 18. 28. 15. + f. 65. Praedicata per propositionem PA seu numerus propositionum particularium affirmativarum ita investigabitur: inveniantur praedicata UA dati termini, uti nuper dictum est, et subjecta UA, uti mox dicetur; addatur numerus uterque, quia ex UA propositione oritur PA, tum per conversionem simpliciter, tum per subalternationem; productum erit quaesitum. Subjecta in propositione UA dati termini sunt tum omnes termini orti, in quibus terminus datus totus continetur, quales sunt solum in classibus sequentibus, et hinc oritur subjectum angustius, tum omnes termini orti qui eosdem cum dato habent terminos simplices, uno verbo ejusdem termini definitiones, seu variationes eum scribendi invicem sunt sibi subjecta aequalia. Numerum subjectorum sis computabimus: inveniatur numerus omnium classium. Eae autem sunt tot, quot termini sunt primi in prima classe, v. g. sunt termini in prima classe tantum 5, erunt classes in universum 5, nempe in 1ma uniones, in 2da com2nationes, in 3tia con3nationes, in 4ta con4nationes, in 5ta con5nationes. Ita erit inventus etiam numerus omnium classium sequentium, subtrahendo numerum classis termini dati, v. g. 2 de numero classium in universum 5 remanebit 3. Numerum autem classium seu terminorum primorum supponamus pro numero rerum, numerum classis pro exponente, erit numerus terminorum in classe idem cum complexionibus particularibus dato numero et exponente, v. g. de 5 rebus uniones sunt 5, com2.3nationes 10, con4nationes 5, con5natio l; tot igitur erunt in singulis classibus exponenti correspondentibus termini, supposito quod termini primi sint 5. Praeterea Terminus datus, cujus subjecta quaeruntur, respondebit capiti complexionum; Subjecta angustiora ipsis complexionibus quarum datum est caput. Igitur dati termini subjecta angustiora inveniemus, si problema hoc solvere poterimus: "Dato capite complexiones invenire, partim simpliciter (ita inveniemus subjecta angustiora omnia) partim particulares, seu dato exponente (ita inveniemus ea tantum quae sunt in data classe). Problema hoc statim imprasentiarum solvemus, ubi manifestus ejus usus est, ne ubi seorsim posuerimus, novis exemplis indigeamus. Solutio igitur haec est: Subtrahatur de numero rerum, v. g. 5: a. b. c. d. e. exponens capitis dati, v. g. a. b, 2-5 f. 3 aut a, 1-5 f. 4. Sive supponamus datum caput unionem sive com2nationem esse; complexio enim ut sit necesse est. Propositio item exponente subtrahatur, de eo ilidem exponens capitis dati. Igitur si datus sit quicunque exponens, in cujus complexionibus quoties datum caput reperiatur invenire sit propositum, quaeratur complexio exponentis tanto minoris dato, quantus est exponens capitis dati, in numero rerum, qui sit itidem tanto minor dato, quantus est exponens capitis dati per tabella א probl. l, inventum erit quod quaerebatur. At si Complexiones simpliciter capitis dati in omnibus complexionibus dati numeri quocunque exponente, quaerere propositum sit, complexio numeri rerum, numero dato tauto minoris, quantus est exponens capitis dati, erit quaesitum." E. g. in 5 rerum a. b. c. d. e. unionibus datum caput a reperitur 1 vice (quae est nullio, seu Ollio de 4); datum caput a. b. Olla vice (quae est superollio, ut ila dicam, de 3); in com2nationibus earundem illud reperitur vicibus 4 (quae sunt uniones de 4) hoc 1 (quae est 0llio de 3), in con3nationibus illud 6 (com2natio de 4) hoc 3, unio de 3), in con4nationibus illud 4 (con3natio de 4) hoc 3 com2natio de 3), in con5nationibus utrobique 1 vice, (illic con4natio, hic con3natio de 3). Hae complexiones sunt dato exponente, et quarum aggregatione oriuntur complexiones simpliciter, sed et sic: in 5 rerum complexionibus simpliciter (quae sunt 3) a reperitur vicibus 15 (complexio simpliciter de 4), ab 7 (complexio simpliciter de 3) vicibus. Hae complexiones sunt numerus subjectorum angustiorum dati termini. Subjecta aequalia, quando definitiones definitionibus subjiciuntur, eadem methodo inveniuntur qua supra praedicata aequalia. Termini enim aequales sunt servata quantitate et qualitate convertibiles, igitur ex praedicatis fiunt subjecta et contra, praedicata autem tot sunt, quot dati termini (cujus subjecta quaeruntur) termii primi habent complexiones simpliciter, v. g. + a 1, ab 2. Additis jam subjectis aequalibus ad angustiora l+15 f. 16, 2+7 f. 9, prodibit numerus subjectorum omnium dati termini, quem erat propositum invenire. Subjecta hactenus universalia, restant particularia, ea tot sunt quot praedicata particularia. Praedicata et subjecta negativa sic invenientur: computentur ex datis certis terminis primis tanquam numero rerum omnes termini tam primi quam orti, tanquam complexiones simpliciter, v. g. si termini primi sint 5, erunt 31 ; de producto detrahantur omnia praedicata affirmativa universalia et subjecta angustiora affirmativa universalia: residuum erunt omnia praedicata negativa. De subjectis contra. Particularia negativa ex universalibus computentur, uti supra PA ex UA computavimus. Omisimus vero propositiones identicas UA, quarum sunt tot quot complexiones simpliciter Terminorum primorum, seu quot sunt omnino termini et primi et orti, quia quilibet terminus vel primus vel ortus de se dicitur. Caeterum inter complexiones illas omisimus, in quibus idem terminus repetitur, quae repetitio in nonnullis producit variationem in infinitum, ut in numeris et figuris geometriae. Methodus porro argumenta inveniendi haec est: Esto datus quicunque terminus tanquam subjectum A et alius quicunque tanquam praedicatum B. quaeratur medium: Medium erit praedicatum subjecti et subjectum praedicati, id est terminus quicunque continens A et contentus a B. Continere autem terminus terminum dicitur, si omnes ejus termini primi sunt in illo. Fundamentalis autem demonstratio est, si uterque terminus resolvatur in primos, manifestum erit alterum alterius aut partem esse, aut partium earundem. Mediorum autem numerum sic inveniemus: Subjectum et praedicatum vel sunt in eadem classe, vel diversa. Si in eadem, necesse est utrumque terminum esse ortum, et variationem scriptionis saltem seu definitionis ejusdem termini, poterunt igitur duae definitiones ejusdem termini non nisi per tertiam de se invicem probari. Igitur de numero definitionum ejusdem termini orti, quem investigavimus supra n. 69 subtrabatur 2, residuum erit numerus mediorum possibilium inter terminos aequales. Sin non sunt in eadem classe, erit praedicatum in classe minoris exponentis, subjectum in classe majoris. Jam supponatur Praedicatum velut caput complexionis, exponens classis subjecti supponatur pro numero rerum. Inveniantur omnes complexiones dati capitis particulares per singulas classes a classe praedicati ad classem aubjecti inclusive; in singulis classibus complexiones dati capitis particulares ducantur in complexiones simpliciter exponentis ipsius classis pro numero rerum suppositi. Aggregatum omnium factorum, subtracto 2, erit quaesitum. Praedicatum autem de subjecto negari facile inveniemus, si utroque termino in primos resoluto manifestum est neutrum altero contineri. Probari tamen negativa sic poterit: inveniantur omnia praedicata subjecti, cum de omnibus negetur praedicatum, totidem erunt media probandi negativam. Inveniantur omnia subjecta praedicati, cum omnia negentur de subjecto, etiam erunt totidem media probandi negativam. Utrisque igitur computatis numerum mediorum probandi negativam habebimus. Admovendum denique est, totam hanc artem complicatoriam directam esse ad theoremata, seu propositiones quae sunt aeternae veritatis, seu non arbitrio DEI, sed sua natura constant. Omnes vero propositiones singulares quasi historicae, v. g. Augustus fuit Romanorum Imperator, aut observationes, id est propositiones univerales, sed quarum veritas non in essentia, sed existentia fundata est, quaeque verae sunt quasi casu, id est DEI arbitrio, v. g. omnes homines adulti in Europa habent cognitionem DEI. Talium non datur demonstratio, sed inductio, nisi quod interdum observatio per observationem interventu Theorematis demonstrari potest. Ad tales observationes pertinent omnes propositiones particulares, quae non sunt conversae vel subalternae universalis. Hinc igitur manifestum est, quo sensu dicatur singularium non esse demonstrationem, et cur profundissimus Aristoteles locos argumentorum posuerit in Topicis, ubi et propositiones sunt contingentes et argumenta probabilia, Demonstrationum autem unus locus est: definitio. Verum cum de re dicenda sunt ea quae non ex ipsius visceribus desumuntur, v. g. Christum natum esse Bethleemi, nemo huc definitionibus deveniet, sed historiae materiam, loci reminiscentiam suppeditabunt. Haec jam locorum Topicorum origo, et in singulis maximarum, quibus omnibus qui sint fontes, ostenderemus itidem, nisi timeremus ne in progressu sermonis cupiditate declarandi omnia abriperemur. Uno saltem verbo indigitabimus, omnia ex doctrina metaphysica relationum Entis ad Ens repetenda esse, sic ut ex generibus quidem relationum Loci, ex theorematis autem singulorum maximae efformentur. Hoc vidisse arbitror, praeter morem compendiographorum solidissimum Joh. Henr. Bisterfeld in Phosphoro Catholico seu Epitome artis meditandi ed. Lugd. Bat. anno 1657, quae tota fundatur in immeatione et περιχορἡρει, ut vocat, universali omnium in omnibus, similitudine item et dissimilitudine omnium cum omnibus, quarum principia: Relationes. Eum libellum qui legerit, usum artis complicatoriae magis magisque perspiciet. lngeniosus ille, quem saepe nominavimus, Joh. Hospinianus, libellum promisit de inveniendi et judicandi facultatibus, in quo emendationem doctrinae Topicae paraverat, locosque recensuerat 180, maximas 2796, vide controvers. dial. p. 442. Hunc ego insigni rei logicae damno nunquam editum arbitror. Abibimus hinc, cum primum γεῆμα quoddam praxeos artis com2natoriae dederimus. Commodissima Mathesis extemporaneo conatui visa est: hinc non a primis simpliciter terminis orsi sumus, sed a primis in mathesi; neque omnes posuimus, sed quos ad producendos complicatione sua terminos ortos propositos sufficere judicabamus. Potuissemus eadem methodo omnes definitiones ex Elementis Euclidis exponere, si tempus superfuisset. Quoniam autem non a primis simpliciter terminis orti sumus, hinc necessarium erat signa adhibere, quibus casus vocabulorum aliaque ad sermonem complendum necessaria intelligentur. Nam siquidem a primis simpliciter terminis incepissimus, pro ipsis casuum variationibus, quorum ex relationibus et metaphysica originem exposuit Jul. Caesar Scaliger lib. de Caus. I. 1, terminos posuissemus. Adhibuimus autem articulos graecos. Numerum pluralem signavimus adscripto in ( ), 15 si quidem indefinitus, 2, 3 etc. si determinatus. Esto igitur Classis 1, in qua termini primi: 1. punctum, 2. spatium, 3. intersitum, 4. adsitum seu contiguum, 5. dissitum seu distans, 6. terminus seu quae distant, 7. insitum, 8. inclusum (v. g. centrum est insitum circulo, inclusum peripheriae), 9. pars, 10. totum, 11. idem, 12. diversum, 13. unum, 14. numerus, 15. plura, v. g. l. 2. 3. 4. 5 etc., 16. distantia, 17. possibile, 18. omne, 19. datum, 20. Fit, 21. regio, 22. dimensio, 23. longum, 24. latum, 25. profundum, 26. commune, 27. progressio seu continuatum. Classis II. l, Quantitas est 14 τῶν 9 (15), 2, Includens est 6. 10. III. l, Intervallum est 2. 3. 10. 2, Aequale A τῆς 11. ½ 3, Continuum est A ad B, si τοῡ A ή 9 est 4 et 7 τῷ B. IV. 1, Majus est A habens τἠν 9. 2⁄3 τῷ B. 2, Minus, B 2⁄3 τῆ 9 τοῠ A. 3, Linea, ⅓ τῶν l (2). 4, Parallelum. 2⁄3 ἐν τῇ 16. 5, Figura. 24. 8, ab 18. 21. V. 1, Crescens, quod 20. 3⁄4 2, Decrescens, 20. 2⁄4. 3, Implexum est 2⁄3 in τῇ 11. 22. 4, Secans, 3⁄2 in τῇ 12. 22. VI. l, Convergens, ⅔ ἐντῇ 16. 2, Divergens, ⅓ ἐν τῇ 16. VII. 1, Superficies, ½ τῶν 2⁄3 2, Infinitum, ¼ quam 18. 19. 17. 3, Peripheria, ¼. 13. 2⁄3. 4, A dicitur Mensura seu metitur B si 10 ex A (15) 2⁄3 est 2⁄3 τῷ B. VIII. 1, Maximum est ¼ non 2⁄4.· 2, Minimum, 2⁄4 non ¼.· 3, Recta, 3⁄4. 2⁄3. τῇ 16. τῷν 6 (2). 4, quae non talis, Curva. 5, Arcus, 9 τῆς 3⁄7. IX. 1. Ambitus est 1⁄7. 2⁄7. X. 1, Commensurabilia sunt, quorum 4⁄7. 26 est et l et 2. XI. 1, Angulus est quem faciunt 3⁄4 (2). 4, 2⁄6. XII. 1, Planum est 1⁄7 ⅔. τῇ 16 τῷν 6. XIII. l, Gibbus, 1⁄7. ¼.·τῇ 16 τῷν 6. XIV. 1, Rectilinaeum est 5⁄4 cujus ⅔ est τῷν 3⁄8 (15). 2, quae dicuntur Latera. 3, si 3⁄5 (3), Triangulum. 4, Si 3⁄8 (4), Quadrangulum etc. XV. l, Lunula est ⅓ τῷν 5&frasl:8 (2), non ⅔ 4 (2). [subintelligo autem tam lunulam gibbosam, qua arcus arcui concavitatem obvertit, quam falcatam qua interior alterius concavitali suam convexitatem] XVI. l, Angulus rectus est 1⁄11. ⅔. in τῷ 18. 21. 2, Segmentum est 3 τὀν ⅔ et 3⁄8 7 τῇ 5⁄4. XVII. l, Aequilaterum est 5⁄4 cujus ⅔ est 8 τῷν 3⁄8 (15). 2, Triangulum aequicurum est 5⁄4 cujus ⅔ est τῷν 3⁄8 (3) ⅔ 2. 3, Scalenum est 5⁄4 cujus ⅔ est τῷν 3⁄5 (3) non ⅔ (3). X VIII. l, Angulus contactus est quem faciunt ¾ (2. 4 2⁄6 non ⅔.· 27. modo 17. XIX. l, Inscriptum est 4⁄5. 7 cujus 1⁄11 (15) sunt 4 τῷ·⅔. 2, Circumscripta vero est ea figura cui inscripta est. XX. 1, Angulus obtusus est ¼ quam 1⁄15.· 2, Acutus, 2⁄4 quam 1⁄16. XXI. 1, Diameter est 3⁄8. 1⁄8 7. τῇ ¾. XXII. l, Circulus est 1⁄17. 8. ab 18. 21. habens τἠν 16. ⅔ τοῡ 19 alicujus l (quod dicitur 2 centrum circuli) ab 18. 6. 2, Triangulum rectangulum est 5⁄4 cujus 1⁄11 (3) sunt omnes, sed 13, est ⅔ in τῷ 18. 21. XXIII. l, Centrum Figurae est 1. 26 τοῐς 1⁄16 (15. XXIV. 1, Semifigura data v. g. semicirculus etc. est 3 τὀν 1⁄22 et (dimidium τοῡ) ⅔. Hinc facile erit definitiones conficere, si observetur, quod n. 70 diximus in iis notis, quae per fractiones scriptae sunt: nominatorem designare numerum classis, numeratorem, numerum termini in classe, v. g. centrum est 1. (punctum) 26 (commune: τοῐς 1⁄21 (diametris) 15 pluribus. Diameter est 3⁄8 (recta) 1⁄5 (maxima) 7 (insita) τῇ 5⁄4 (figurae). Ex his, quae de Arte complicatoria Scientiarum, seu Logica inventiva disseruimus, cujus quasi praedicamenta ejusmodi Terminorum tabula absolverentur, fluit velut Porisma seu usus XI: Scriptura Universalis, id est cuicunque legenti, cujuscunque linguae perilo intelligibilis, qualem hodie complures viri eruditi tentarunt, quorum diligentissimus Caspar Schottus hos recenset lib. 7. Techn. Curios., primo Hispanum quendam, cujus meminerit Kenelm. Digbaeus tr. de Nat. Corp. c. 28. n. 8. quique fuerit Romae anno 1653, ejus methodus haec ex ipsa natura rerum satis ingeniose petita: distribuebat res in varias classes, in qualibet classe erat certus numerus rerum. Ita meris numeris scribebat, citando numerum classis et rei in classe, adhibitis tamen notis quibusdam flexionum grammaticarum et orthographicarum. Idem fieret per classes a nobis praescriptas fundamentalius, quia in iis fundamentalior digestio est. Deinde Athanasium Kircherum, qui Polygraphiam suam novam et universalem dudum promisit, denique Joh. Joachimum Becherum, Archiatrum Mognutinum, opusculo primum Francofurti latine edito, deinde germanice anno 1661; is requirit, ut construatur Lexicon Latinum, tanquam fundamentum, et in eo disponantur voces ordine pure alphabetico et numerentur; fiant deinde Lexica, ubi voces in singulis linguis dispositae non alphahetice, sed quo ordine Latinae dispositae sunt ipsis respondentes. Scribantur igitur quae ab omnibus intelligi debent, numeris, et qui legere vult, is evolvat in lexico suo vernaculo vocem dato numero signatam, et ita interpretabitur. Ita satis erit legentem vernaculam intelligere et ejus Lexicon evolvere, scribentem necesse est (nisi habeat unum adbuc Lexicon suae linguae alphabeticum ad numeros se referens) et vernaculam et latinam tenere, et utriusque lexicon evolvere. Verum et Hispani illius et Becheri artificium et obvium et impracticabile est ob synonyma, ob vocum ambiguitatem, ob evolvendi perpetuum taedium (quia numeros nemo unquam memoriae mandabit), ob ὲτερογένειαν phrasium in linguis. Verum constitutis Tabulis vel praedicamentis artis nostrae complicatoriae majora emergent. Nam termini primi, ex quorum complexu omnes alii constituuntur, signentur notis, hae notae erunt quasi alphabetum. Commodum autem erit notas quam maxime fieri naturales. v. g. pro uno punctum, pro numeris puncta, pro relationibus Entis ad Ens lineas, pro variatione angulorum aut terminorum in lineis genera relationum. Ea si recte constituta fuerint et ingeniose, scriptura haec universalis aeque erit facilis quam communis, et quae possit sine omni lexico legi, simulque imbibetur omnium rerum fundamentalis cognitio. Fiet igitur omnis talis scriptura quasi figuris geometricis, et velut picturis, uti olim Aegyptii, hodie Sinenses, verum eorum picturae non reducuntur ad certum Alphabetum seu literas, quo fit ut incredibili memoriae afflictione opus sit, quod hic contra est. Hic igitur est Usus XI complexionum, in constituenda nempe polygraphia universali. XIImo loco constituemus jucundas quasdam partim contemplationes, partim praxes ex Schwenteri Deliciis Mathematieis et supplementis G. P. Harsdörfferi, quem librum publice interest continuari, haustas. P. 1. sect. 1. prop. 32 reperitur numerus complexionum simpliciter, quem faciunt res 23, v. g. literae Alphabeti, nempe 8388607. P. 2 sect. 4. prop. 7 docet dato textu melodias invenire, de quo nos infra probl. 6. Harsdörfferus parte ead. sect. 10. prop. 25 refert ingeniosum repertum Dni. de Breissac, qua nihil potest arti scientiarum complicatoriae accommodatius reperiri. Is, quaecunque in re bellica attendere bonus imperator debet, ita complexus est: facit classes novem, in 1ma quaestiones et circumstantias, in IIda status, in III. personas, in IV. actus, in V. fines, in VI. instrumenta exemtae actionis, seu quibus uti in nostra potestate est, facere autem ea, non est; VII. instrumenta quae et facimus et adhibemus; VIII. instrumenta quorum usus consumtio est; IX. actos finales seu proximos executioni, v. g.

Fiant novem rotae ex papyro, omnes concentricae et se invicem circumdantes, ita ut quaelibet reliquis immotis rotari possit. Ita promota leviter quacunque rota nova quaestio, nova complexio prodibit. Verum cum hic inter res ejusdem classis non detur complexio atque ita accurate loquendo non sit complexio terminorum cum terminis, sed classium cum classibus, pertinebit computatio variationis ad probl. 3. Quoniam tamen complexio etiam, quae hujus loci est, potest repraesentari rotis, ut mox dicemus, fecit cognatio, ut praeoccuparemus. Sic igitur inveniemus: multiplicetur 6 in se novies: 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6 ᴖ 6. seu quaeratur progressio geometria sextupla, eujus exponens 9, aut cubicubus de 6. r. 18077696; tantum superest, ut sint solum 216 quaestiones, quod putat Harsdörfferus. Caeterum quoties in complexionibus singuli termini in singulos ducuntur, ibi necesse est tot fieri rotas, quot unitates continet numerus rerum : deinde necesse est singulis rotis inscribi omnes res. Ita variis rotarum conversionibus complexiones innumerabiles gignentur, eruntque omnes complexiones quasi jam scriptae seorsim, quibus revera scribendis vix grandes libri sufficient. Sic ipsemet doctissimus Harsdörff. P. 13. sect. 4. prop. 5. machinam 5 rotarum concentricarum construxit, quam vocat 𝔉𝔲𝔢𝔫𝔣𝔣𝔞𝔠𝔥𝔢𝔫 𝔇𝔢𝔫𝔨𝔯𝔦𝔫𝔤 𝔡𝔢𝔯 𝔱𝔢𝔲𝔱𝔰𝔠𝔥𝔢𝔫 𝔖𝔭𝔯𝔞𝔠𝔥𝔢, ubi in rota intima sunt 48 𝔙𝔬𝔯𝔰𝔶𝔩𝔟𝔢𝔫, in penultima 60 𝕬𝖓𝖋𝖆𝖓𝖌𝖘- 𝖚𝖓𝖉 𝕽𝖊𝖎𝖒𝖇𝖚𝖈𝖍𝖘𝖙𝖆𝖇𝖊𝖓, in media 12 𝔐𝔦𝔱𝔱𝔢𝔩-𝔅𝔲𝔠𝔥𝔰𝔱𝔞𝔟𝔢𝔫, vocales nempe vel diphthongi, in penextima 120 𝔈𝔫𝔡-𝔅𝔲𝔠𝔥𝔰𝔱𝔞𝔟𝔢𝔫, in extima 24 𝔑𝔞𝔠𝔥𝔰𝔶𝔩𝔟𝔢𝔫. In has omnes voces germanicas resolvi contendit. Cum hic similiter classes sint in classes ducendae, multiplicemus: 48. 60. 12. 120. 24, factus ex prioribus per sequentem f. 97209600, qui est numerus vocum germanicarum hinc orientium utilium seu 96 significantium et inutilium. Construxit et rotas Raym. Lullius, et in Thesauro artis memorativae Joh. Henr. Alstedius, cujus rotis, in quibus res et quaestiones, adjecta est norma mobilis, in qua loci Topici, secundum quos de rebus disseratur, quaestiones probentur; et fraternitas Roseae Crucis in fama sua promittit grandem librum titulo Rotae Mundi, in quo omne scibile contineatur. Orbitam quandam pietatis, ut vocat, adjecit suo Veridico Christiano Joh. Davidius Soc. J. Ex eodem principio complicationum est Rhabdologia Neperi, et pensiles illae Serae, die 𝔙𝔬𝔯𝔩𝔢𝔤-𝔖𝔠𝔥𝔩𝔬𝔢𝔰𝔰𝔢𝔯, quae sine clave mirabili arte aperiuntur, vocant 𝔐𝔞𝔥𝔩-𝔖𝔠𝔥𝔩𝔬𝔰𝔰𝔢𝔯, nempe superficies serae armillis tecta est, quasi annulis gyrabilibus, singulis annulis literae alphabeti inscriptae sunt. Porro serae certum nomen impositum est, v. g. Ursula, Catharina, ad quod nisi casu qui nomen ignorat, annulorum gyrator pervenire non potest. At qui novit nomen, ita gyrat annulos invicem, ut tandem nomen prodeat, seu literae alphabeti datum nomen conficientes sint ex diversis annulis in eadem linea, justa serie. Tum demum ubi in tali statu annuli erunt, poterit facillime sera aperiri. Vide de bis Seris armillaribus Weckerum in Secretis, Illustrissimum Gustavum Selenum in Cryptographia fol. 449, Schwenterum in Deliciis sect. 15. prop. 25. Desinemus Usus problematis 1 et 2 enumerare, cum coronidis loco de coloribus disseruerimus. Harsdörfferus P. 3. Sect. 3. prop. 16 ponit colores primos hos 5: Albus, flavus, rubeus, caeruleus, niger. Eos complicat ita tamen ut extremi: albus et niger, nunquam simul coeant. Oritur igitur ex AF subalmus, AR carneus AC cinereus; FR aureus, FC viridis, FN fuscus; RC purpureus, RN subrubeus; CN subcaeruleus. Sunt igitur 9, quot nempe sunt com2nationes 5 rerum, demta una, extremorum. Quid vero si tertii ordinis colores addantur, seu con3nationes primorum et com2nationes secundorum, et ita porro, quanta multitudo exsurget? Hoc tamen admoneo, ipsos tanquam primos suppositos non esse primos, sed omnes ex albi et nigri, seu lucis et umbrae mixtione oriri. Ac recordor legere me, etsi non succurrit autor, nobilem acupictorem nescio quem 80 colores contexuisse, vicinosque semper vicinis junxisse, ex filis tamen non nisi nigerrimis ac non nisi albissimis, porro varias alternationes alborum nigrorumque filorum, et immediationes modo plurium alborum, modo plurium nigrorum, varietatem colorum progenuisse; fila vero singula per se inermi oculo invisibilia paene fuisse. Si ita est, fuisset hoc solum experimentum satis ad colorum naturam ab ipsis incunabulis repetendam.

Probl. III.
Dato numero classium et rerum in classibus, complexiones in classium inveniere.

"Complexiones autem classium sunt, quarum exponens cum numero classium idem est; et qualibet complexione ex qualibet classe res una. Ducatur numerus rerum unius classis in numerum rerum alterius, et si plures sunt, numerus tertiae in factum ex bis, seu semper numerus sequentis in factum ex antecedentibus; factus ex omnibus continue, erit quaesitum."

Usus hujus problematis fuit tam in usu 6. probl. 1 et 2, ubi modos syllogisticos investigabamus, tum in usu 12, ubi et exempla prostant. Hic aliis utemur. Diximus supra, Complexionum doctrinam versari in divisionem generibus subalternis inveniendis, inveniendis item speciebus unius divisionis, et denique plurium in se invicem ductarum. Idque postremum huic loco servavimus. Divisionem autem indivisionem ducere est unius divisionis membra alterius membris subdividere, quod interdum procedit vice versa, interdum non. Interdum omnia membra unius divisionis omnibus alterius subdividi possunt, interdum quaedam tantum, aut quibusdam tantum. Si vice versa, ita signabimus

Ad nostram vero computationem primus saltem modus pertinet, in quo exemplum suppetit ex Politicis egregium. A esto Respublica, a recta, b aberrans, quae est divisio moralis; c Monarchia, d Aristocratia,e Democratia, quae est divisio numerica: ducta divisione numerica in moralem, orientur species mixtae 2 ᴖ 3 f. 6, ac. ad. ae. bc. bd. be. Hinc origo formulae hujus: divisionem in divisionem ducere, manifesta est, ducendus enim numerus specierum unius in numerum specierum alterius. Numerum autem in numerum ducere est numerum numero multiplicare, et toties ponere datum, quot alter habet unitates. Origo est ex geometria, ubi si linea aliam extremitate contingens ab initio ad finem ipsius movetur, si cut eam radat, spatium omne, quod occupabit linea mota, constituet figuram quadrangularem, si ad angulos rectos alteram contingit, ἐτερόμηκες aut quadratum: sin aliter, rhombum aut rhomboeides; si alteri aequalis, quadratum aut rhombum; sin aliter, ἐτηρόμηκες aut rhomboeides. Hinc et spatium ipsum quadrangulare facto ex multiplicatione lineae per lineam aequale est. Caeterum ejusmodi divisionibus complicabilibus pleni sunt libri tabularum, oriunturque nonnunquam confusiones ex commixtione diversarum divisionum in unum, quod dividentibus conscientiam in rectam, erroneam, probabilem, scrupulosam, dubiam, factum videtur. Nam ratione veritatis in rectam et erroneam dispescitur, ratione firmitatis in apprehendendo incertam, probabilem, dubiam; quid autem aliud dubia, quam scrupulosa? Hujus problematis etiam propria investigatio Varronis apud B. Augustinum lib. 19 de Civ. Dei cap. l, numeri sectarum circa summum bonum possibilium. Primum igitur calculum ejus sequemur, deinde ad exactius judicium revocabimus. Divisiones sunt VI, 1ma quadrimembris, 2da et 6ta trimembris, reliquae bimembres. I. Summum Bonum esse potest vel Voluptas, vel Indoloria, vel utraque, vel prima naturae, 4. II. horum quodlibet vel propter virtutem expetitur, vel virtus proprer ipsum, vel et ipsum et virtus propter se, 4 ᴖ 3. f. 12. III. S. B. aliquis vel in societate 12 ᴖ 2. f. 24. IV. Opinio autem de S. B. constat vel apprehensione certa, vel probabili Academica, 24 ᴖ 2 f. V. 48. Vitae item genus cynicum vel cultum, 48 ᴖ 2 f. 96. VI. Otiosum, negotiosum vel temperatum, 96 ᴖ 3 f. 288. Haec apud R. Angustinum Varro cap. l; at c. 2 accuratiorem retro censum instituit Divisionem ait 3, 5 et 6 facere ad modum prosequendi; 4 ad modum apprehendendi S. B.; corruunt igitur divisiones ultimae, et varietates 276, remanent 12. Porro capite 3. voluptatem, indoloriam et utramque ait contineri in Primis naturae. Remanent igitur 3. (corruunt 9) Prima naturae propter se, virtus propter se, utraque propter se. Postremam autem sententiam et quasi cribatione facta in fundo remanentem amplectitur Varro. Ego in his, noto, Varronem non tam possibiles sententias colligere voluisse, quam celebratas, hinc axioma ejus: qui circa summum bonum differant, secta differre; et contra. Interim dum divisionem instituit, non potit, quin quasdam ἀδεσπότους admisceret. Alioqui cur divisiones attulit, quas postea summi boni varietatem non facere agnoscit; an ut numero imperitis admirationem incuteret? Praeterea si genera·vitae admiscere voluit, cur non plura? nonne alii scientias sectantur, alii minime; alii professionem faciunt ex sapientia, creduntque hac imprimis summum Bonum obtineri? Etiam hoc ad S. B. magni momenti est, in qua quis republica vivat: alii vitam rusticam urbanae praetulere, suntque genera variationum infinita fere, in quibus singulis aliqui fuere, qui hac sola via crederent ad S. B. iri posse. Porro quando prima divisio ducitur in 1mum membrum secundae, facit 4 species: l. voluptas, 2. indoloria, 3. utraque, 4. prima naturae, propter virtutem, cum tamen in omnibus sit unum summum Bonum, Virtus; qui prima naturae, is et caetera; qui voluptatem, is et indoloriam ad virtutem referet. Adde quod erat in potestate Varronis, non solum 2dam et 6tam, sed et 3 et 4 et 5 trimembrem facere, addendo 3tiam speciem, semper mixtam ex duabus; v. g. in se vel in societate, vel utraque; apprehensione certa, probabili, dubia; cynicum, cultum, temperatum. Fuit et sententia, quae negaret dari S. B. constans, sed faciendum quod cuique veniret in mentem, ad quod ferretur motu puro animi et irrefracto. Iluc fere Academia nova, et hodiernus Anabaptistarum spiritus inclinabat. Ubi vero illi qui negant in hac vita culmen hoc ascendi posse? quod Solon propter incertitudinem pronunciandi dixit, Christiani philosophi ipsa rei natura moti. Valentinus vero Weigelius nimis enthusiastice, beatiudinem hominis esse Deificationem. Apud illos quoque, quibus collocatur beatitudo in aeterna vita, alii asserunt, alii negant Visionem substantiae Dei beatiticam. Hoc reformatos recordor facere, et extat de hoc argumento dissertatio inter Gisb. Voetii selectas; illud nostros, ac pro hac sententia scripsit Matth. Hoe ab Hoenegg peculiarem libellum contra Dnum. Budowiz a Budowa. In hac quoque vita omnes illos omisit Varro, qui bonum aliquod externum, eorum quae fortunae esse dicunt, summum esse supponunt, quales fuisse, ipsa Aristotelis recensio indicio est. Corporis bona sane pertinent ad prima naturae, sed fieri potest ut aliquis hoc potissimum genus voluptatis sequatur, alius aliud. Et bonum animi jam aut habitus aut actio est, illud Stoicis, hoc Aristoteli visum. Stoicis hodie se applicuit accuratus sane vir, Eckardus Leichnerus, Medicus Erphordiensis, tr. de apodictica scholarum reformatione et alibi. Quin et voluptatem animi pro S. B. habendam censet Laurentius Valla in lib. de Vero Bono, et ejus Apologia ad Eugenium IV, Pontificem Maximum, ac P. Gassendus in Ethica Epicuri, idque et Aristoteli excidisse VII. Nicomach. 12 et 13 observavit Cl. Thomasius Tab. Phil. Pract. XXX. lin. 58. Ad voluptatem animi gloriam, id est triumphum animi internum, sua laude sibi placentis, reducit Th. Hobbes initio librorum de cive. Fuere qui contemplationem actioni praeferrent, alii contra, alii utramque aequali loco posuere. Breviter quotquot bonorum imae sunt species, quotquot ex illis complexiones, tot sunt summi boni possibiles sectae numerandae. Ex hoc ipso problemate origo est numeri personarum in singulis gradibus Arboris Consanguinitatis, eum nos, ne nimium a studiorum nostrorum summa divertisse videamur, eruemus. Computationem autem, canonica neglecta, civilem sequemur. Duplex personarum in singulis gradibus enumeratio est, una generalis, altera specialis. In i1la sunt tot personae quot diversi flexus cognationis, eadem tamen distantia. Flexus autem cognationis voco ipsa velut itinera in arbore consanguinitatis, lineas angulosque, dum modo sursum deorsumve, modo in latus itur. In hac non solum flexus cognationis varietatem facit, sed et sexus tum intermediarum, tum personae, cujus distantia quaeritur a data. In illa enumeratione Patruus, Amita, id est Patris frater sororve; Avunculus, Matertera, id est Matris frater sororque, habentur pro eadem persona, et convenientissime intelliguntur in voce Patrui, quia masculinus dignior foemininum comprehendit; sed in enumeratione speciali habentur pro 4 diversis personis. Igitur illic cognationes, hic personae numerantur (sic tamen ut plures fratres vel plures sorores, quia ne sexu quidem variant, pro una utrobique persona habeantur. Illa generalis computatio est Caji in 1. 1 et 3 (quanquam specialis nonnunquam mixta est), haec specialis Pauli in grandi illa I 10. D. de Grad. et Affinibus. Etsi autem prior fundata est in prob. l et 2, quia tamen posterioris fundamentum est, quae hoc pertinet, praemittemus. Cognatio est formae linea vel linearum a cognata persona ad datam ductarum, ratione rectitudinis et inflexionis, et harum alternationis. Persona h. l. est persona datae cognationis et dati gradus, sexusque tum sui, tum intermediarum, inter cognatam scilicet et datam. Datum autem voco personam, eum eamve, de cujus cognatione quaeritur ut appellant JCti veteres; Joh. Andreae Petrucium nomine sui Bidelli fertur nominasse Fr. Hottomannus lib. de Gradib. Cognationum, ὐποδετικὀν, latine Propositum. Terminus est persona vel cognatio, quae est de conceptu complexae, v. g. frater est patris filius. Igitur Patris et Filius sunt termini, ex quibus conceptus Fratris componitur. Termini autem sunt vel primi, tales accurate loquendo sunt hi solum: Pater et filius, nos tamen commodioris computationis causa omnes personas lineae rectae vel supra vel infra supponemus pro primis, vel orti: accurate loquendo omnes qui plus uno gradu remoti sunt a dato, laxius tamen, omnes transversales tantum. Omnes autem transversales componuntur ex duobus terminis lineae rectae; hinc et facillimum prodit artificium data quacunque cognata numerum gradus complecti, v. g. in simplicissima transversalium persona, Fratre seu Patris filio, quia pater est in l, filius etiam in gradu l + l f. 2, in quo est Frater. Caeterum Schemate opus est. Esto igitur hoc:

Sunt in hoc schemate infinita propemodum digna observatione. Nos pauca stringemus. Personae eo loco intelligantur, ubi puncta sunt. Numeri puncta includentes designant terminos seu gradus lineae rectae (antecedens ascendentis, sequens descendentis) ex quibus datus gradus transversalis componitur. In eadem linea transversa directa sunt ejusdem gradus cognationes: oblique a summo ad imum dextrorsum ordinem generationis, at sinistrorsum complectuntur cognationes homogeneas gradu differentes. Linea perpendicularis unica a vertice ad basin, triangulum dividens, continet cognationes, quarum terminus et ascendens et descendens sunt ejusdem gradus; tales voco aequilibres, et dantur solum in gradibus pari numero signatis, in uno non nisi unus. Nam si libra esse fingatur, cujus trutina sit linea gradus primi, brachia vero sint, dextrum quidem, linea perpendicularis a summa persona descendentium; sinistrum vero, perpendicularis a summa ascendentium ducta ad terminum vel ascendentem vel descendentem datam cognationem componentem; tum brachiis aequalibus, si utrinque 3. 3. aut 2. 2. etc. cognatio erit aequilibris et ponenda in medio trianguli; in inaequalibus, cognatio talis ponenda in eo latere quod lineae rectae vel ascendenti vel descendenti, ex qua brachium longius sumtum est, est vicinum. Hic jam complexionum vis apertissime relucet. Componuntur enim omnes personae transversae ex 2 terminis, una cognatione recta ascendenti, altera descendenti semper autem sic, ut ascendens in casu obliquo, descendens in casu recto conjungantur, v. g. frater, id est patris filius. At si contra, redibit persona data, nam qui patrem filii sui nominat, se nominat, quia unus pater plures filios habere potest, non contra. Ex his jam datur: propesito quocunque gradu cognationum, tum numerum, tum species reperire; numerus transversalium semper erit anitate minor gradu (numerus omnium semper unitate major, quia addi debent duae cognationes lineae rectae, una sursum, altera deorsum) cujus ratio ex inventione specierum patebit. "Nam com2nationes partium, 𝔬𝔡𝔢𝔯 ℨ𝔢𝔯𝔣𝔞𝔢𝔩𝔩𝔲𝔫𝔤𝔢𝔫 𝔦𝔫 𝔷𝔴𝔢𝔶 𝔗𝔥𝔢𝔦𝔩, dati numeri cujuscunque sunt tot, quot unitates habet numeri dati paris dimidium, imparis demta unitate dimidium, v. g. 6 habet has: 5. 1; 4, 2; 3, 3; ejusque rei ratio manifesta est, quia semper numerus antecedens proximus dato cum remotissimo, paene proximus cum paene remotissimo complicatur etc." Sed cum hic non solum complexionis, sed et situs habenda ratio sit, v. g. alia cognatio est 5, 1, nempe Abpatrui, quam 1, 5, nempe Abpatruelis, hinc cum 2 res situm varient 2 vicibus, ergo duplicentur discerptiones. redibit numerus datus si par fuerat; sed cum in ejus disptionibius detur una, homogenea, v. g. 3. 3, in qua nihil dispositio mutat. hinc subtrahatur de numero dato, seu duplo discerptionem, iterum 1; si vero numerus datus fuerat impar, redibit numerus unitate minor. Ex hoc manifestum est generaliter: (1) Substrabatur de numero gradus unitas, productum erit numerus cognationum transversalium; (2) duo numeri, qui sibi sunt complemento ad datum, seu quorum unus tantum distat ab 1, quantum alter a dato, complicati dabunt Speciem cognationis. si quidem praecedens intelligatur significare ascendentem, sequens descendentem sui gradus. Hac occasione obiter explicandum est, quae sint dati numeri discerptiones, Zerfällungen, possibiles. Nam omnes quidem discerptiones sunt complexiones, sed complexionum eae tantum discerptiones sunt, quae simul toti sunt aequales. Instigari similiter possunt tum com2nationes, tum con3nationes, tum discerptiones simpliciter, tum dato exponente. Quot factores vel divisiores exactos numerus aliquis datus habeat, scio solutum vulgo. Et hinc est quod Plato numerum civium voluit esse 5040, quia hic numerus plurimas recipit divisiones civium pro officiorum generibus, nempe 60, lib. 5. de Legib. fol. 845. Et hoc quidem in multiplicatione et divisione, sed qui additione datum numerum producendi varietates, et subtractione discerpendi collegerit, quod utrumqae eodem recidit, mihi notus non est. Viam autem colligendi com2nationes discerptionum ostendimus proxime. At ubi plures partes admittunter ingens panditur abyssus discerptionum, in qua videmur nobis aliquod fundamentum computandi agnoscere, nam semper discerptiones in 3 partes oriuntur ex discerptionibus in 2, praeposita una; exsequi,·vero hujus loci fortasse, temporis autem non est. Caeterum antequam in Arbore nostra a computatione generali ad specialem veniamus, unum hoc admonendum est, Definitiones cognationum a nobis assignatas in populari usu non esse. Nam v. g. Patruum nemo definit avi filium, sed potius patris fratrem. Quicunque igitur has definitiones ad popularem efformare morem velit, si quidem persona transversalis ascendit, in termino descendenti loco filii substituat fratrem; nepotis patruum etc. loco Descendentem ponat uno gradu minorem; sin descendit, contra. Nunc igitur cum ostendimus cognationes in quolibet gradu, gradus numero unitate majores esse, age et personas cognationum numeremus, quae est Specialis Enumeratio. Diximus autem in eadem cognatione diversitatem facere tum sexum cognatae, tum intermediarum inter cognatam et datam personarum. Sexus autem duplex est. Igitur semper continue numerus personarum est duplicandus, v. g. non solum et pater et mater sexu variant, 2, sed iterum pater habet patrem vel matrem. Et mater quoque; hinc 4. Avus quoque a patre habet patrem vel matrem, et avia a patre, et avus a matre aviaque similiter; hinc 8 etc. Igitur regulam colligo: "2 ducatur toties in se, quotus est gradus cujus personae quaeruntur, vel quod idem est, quaeratur numerus progressionis geometricae duplae, cujus exponens sit numerus gradus. Is ducatur in numerum cognationum dati gradus; productum erit numerus personarum dati gradus." Et hac methodo eundem numerum personarum erui, quem Paulus JCtus in d. 1. l0. excepto gradu 5. Gr. 1. 2 ᴖ 2 f. 4. consentit Paulus d. 1. l0. §. 12. Gr.II. 2 ᴖ 2 f. 4 ᴖ 3 f. 12, §. 13. Gr. III. 2.2.2 ᴖ f. 8 ᴖ 4 f. 32, §. 14. Gr. IV. 2. 2. 2. 2 ᴖ f. 16 ᴖ 5 f. 80, §. 15. Gr. V. 2. 2. 2. 2. 2 ᴖ f. 32 ᴖ 6 f. 192, dissentit Paulus §. 17. et ponit: 184, cujus tamen calculo errorem inesse necesse est. Gr. VI. 2. 2. 2. 2. 2. 2 ᴖ f. 64 ᴖ 7 f. 447, consentit Paulus §. 17. Gr. VII.2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 ᴖ f. 128 ᴖ 8 f. 1024, §. fin. 18.

Probl. IV.
Dato numero rerum, variationes ordinis inveniere.

Solutio: Ponantur omnes numeri ab unitate usque ad Numerum rerum, inclusive, in serie naturali: factus ex omnibus continue, erit quaesitum. ut: esto tabula ח quam ad 14. usque continuavimus. Latus dextrum habet exponentes, seu numeros rerum, qui hic coincidunt; in medio sunt ipsae Variationes. Ad sinistrum posita est differentia variationum duarum proximarum, inter quas est posita. Quemadmodum exponens in latere dextro est ratio variationis datae ad antecedentem. Ratio solutionis erit manifesta, si demonstraverimus Exponentis dati variationem esse, factum ex ductu ipsius in variationem exponentis antecedentis, quod est fundamentum Tabulae ח. In hunc finem esto aliud Schema ו. In eo 4 rerum ABCD. 24. variationes ordinis, oculariter expressimus. Puncta significant rem praecedentis lineae directe supra positam. Methodum disponendi secutis sumus, ut primum quam minimum variaretur, donec paulatim omnia. Caeterum quasi limitibus distinximus variationes exponentis antecedentis ab iis quas superaddit sequens. Breviter igitur: Quotiescunque varientur, res datae, v. g. tres 6. 𝔪𝔞𝔥𝔩: addita una praeterea poni poterit servatis variationibus prioris numeri jam initio, jam 2do, jam 3tio, jam ultimo seu 4to loco; seu toties poterit prioribus varie adjungi, quot habet unitates: Et quotiescunque prioribus adjungetur priores variationes omnes ponet. Vel sic quaelibet res aliquem locum tenebit semel, cum interim reliquae habent variationem antecedentem inter se, conf. problem. 7. Patet igitur variationes priores in exponentem sequentem ducendes esse. Theoremata hic observo sequentia: (1.) omnes numeris variationum sunt pares; (2.) omnes vero quorum exponens non est supra 5 in cyphram desinunt, imo in tot cyphras, quoties exponens 5narium continet, (3.) Omnes summae Variationum (id est aggregata variationum ab 1. aliquousque) sunt impares; & desinunt in 3 ab exponente 4 in infinitum. (4.) quaecunque variatio antecedens, ut & exponens ejus omnes sequentes variationes metitur.

(5) Numeri variationum conducunt ad conversione progressioni arithmeticae in harmonicam. Esto enim progressio arithmetica 1. 2. 3. 4. 5. convertenda in harmonicam; Maximi numeri, h. l. 5. quaeratur Variatio: 120. ea dividatur per singulos, prodibunt: 120. 60. 40. 30. 24. termini harmonicae progressionis. Per quos si dividatur idem numerus: 120. numeri progressionis illius arithmeticae redibunt. (6) Si data quaecunque variatio duplicetur, a producto subtrahatur factus ex ductu proxime antecedentis in suum exponentem, residuum erit summa utriusque variationis, v. g. 24ᴖ2 f. 48- 6ᴖ3, 18 f. 30 = 6+24 f. 30. (7) Variatio data ducatur in se, factus dividatur per antecedentem, prodibit differentia inter datam et sequentem, v. g. 6ᴖ6 f. 36. ᴗ 2 f. 18 = 24-6 f. 18. Inprimis autem duo haec postrema theoremata non facile obvia crediderim. Usus etsi multiplex est, nobis tamen danda opera, ne caeteris problematibus omnia praeripiamus. Cumque serias inprimis applicationes Complexionum doctrinae miscuerimus (saepe enim necesse erat ordinis Varietates in Complexiones duci), erunt hic pleraque magis jucunda, quam utilia. Igitur quaerunt, quoties datae quotcunque personae uni mensae alio atque alio ordine accumbere possint. Drexelius in Phaethonte orbis seu de vitiis linguae p. 3. c. l, ubi de lingua otiosa, ita fabulam narrat: Paterfamilias nescio quis 6 ad coenam hospites invitaverat. Hos cum accumbendi tempus esset, προεδρίαν sibi mutuo deferentes, ita increpat: quid? an stantes cibum capiemus? imo ne sic quidem, quia et stantium necessarius ordo est. Nisi desinitis, tum vero ego vos, ne conqueri possitis, toties ad coenam vocabo, quoties variari ordo vester potest. Hic antequam loqueretur, ad calculos profecto non sederat, ita enim comperisset ad 720 variationes (tot enim sunt de 6 exponente, uti Drexelius illic 12 paginis, et in qualibet pagina 3 columnis et in qualibet columna 20 variationibus oculariter monstravit) totidem coenis opus esse; quae etsi continuarentur, 720 dies, id est l0 supra biennium absument. Harsdörfferus Delic. Matth. p. 2. sect. l. prop. 32 hospites ponit 7; ita variationes, coenae, dies erunt 5040, id est anui 14 septimanae 10. At Georg. Henischius, Medicus Augustanus, Arithmeticae perfectae lib. 7. pag. 399 hospites vel convictores ponit 12; variationes, coenae, dies prodeunt 479001600; ita absumentur anni 1312333 et dies 5. Imo si quis in hoc exponente tentare vellet, quod Drexelius in dimidio ejus effecit, nempe variationes oculariter experiri, annos insumeret 110, demto quadrante, et si singulis diebus 12 horis laboraret et hora qualibet 1000 variationes effingeret. Pretium operae si Diis placet! Alii, ut cruditatem nudae contemplationis quasi condirent, versus elaborant, qui salvo et sensu et metro et verbis variis modis ordinari possunt. Tales primus Jul. Caes. Scaliger lib. 2. Poetices Proteos appellat. Horum alii minus artis habent, plus variationis, ii nempe quorum omnis est a monosyllabis variatio; alii contra, in quibus temperatura est monosyllaborum caeterorumque. Et quoniam in his plurimae esse solent inutiles variationes, de quibus Problemate 11 et 12 erit contemplandi locus, de illis solis nunc dicemus. Bernhardus Bauhusius, Societatis Jesu, Epigrammatum insignis artifex, tali Hexametro Salvatoris nostri velut titulos μονοσυλλάβους complexus est:

Hunc Eryc. Puteanus Thaumat. Pietat. Y. pag. 107, aliique ajunt variari posse vicibus 362680, scilicet monosyllabas tantum respicientes, quae 9; ego numerum prope decies majorem esse arbitror, nempe hunc 3628800. Nam accedens decima vox CHRISTUS etiam ubique potest poni, dummodo Petra maneat immota, et post petram vel vox Christus vel 2 monosyllaba ponantur. Erunt igitur variationes inutiles, quibus post Petram ponitur 1 monosyllaba proxime antecedente Petram Christo; id contingit quoties caeterae 8 monosyllabae sunt variabiles, nempe 40320 𝔪𝔞𝔥𝔩, cum ultima possit esse quaecunque ex illis, 9. 40320ᴖ9 f. 362880 - 3628800 f. 3265920, qui est numerus utilium versus hujus Bauhusiani variationum. Thomas Lansius vero amplius progressus praefatione Consultationum tale quid molitus est:

Hic singuli versus, quia 11 monosyllabis constant, variari possunt vicibus 39916800. Horum exemplo Joh. Philippus Ebelius Giessensis, Scholae Ulmensis quondam Rector, primum hexametrum, deinde elegiacum distichon commentus est. Ille extat praefat. n. 8; hoc, quia et retrocurrit, in ipso opere pag. 2 Versuum Palindromorum, quos in unum fasciculum collectos Ulmae anno 1623 in 12mo edidit. Hexameter ita habet:

Ubi eadem opera annus quo et compositus est, et verissimus erat, a Christo nato 1620mus, exprimitur. Cujus cum monosyllabae sint 8, 40320 variationes necesse est nasci. At Distichon ad Salvatorem tale est:

Variationes ita computabimus: tituli Salvatoris μονοσύλλάβοι sunt 7; hi inter se variantur 5040 vicibus. Cumque singulis adjecta sit vox Tu, quae cum titulo suo variatur 2 vicibus, quia jam ante, jam post poni potest, idque contingat vicibus septem, ducatur 2 narius septies in se, 2. 2. 2. 2. 2. 2ᴖ2 lf. 128 seu Bissurdesolidum de 2, factus ducatur in 5040ᴖ128 f. 645120; productum erit Quaesitum. Hos inter nomen suum, voluit et Joh. Bapt Ricciolus legi, ut alieniori in opere Poetica facultas professoris quondam sui tanto clarius reluceret. Symbola ejus Almagest. nov. P. l. lib. 6. c. 6, Scholio 1, fol. 413 talis:

cujus 9 monosyllabae variantur 362880 vicibus. Si loco postremarum vocum: et Hydrus, substituisset monosyllabas, v. g. Lar, Grex, ascendisset ad Lansianas varietates. Hic admonere cogor, ne me quoque contagio criminis corripiat, primam in Thety correptam non legi. Et succurrit opportune Virgilianus ille, Georg. lib. 1. v. 31:

Nam alia Thetys, Oceani Regina, Nerei conjux; alia Thetys, nympha marina vilis, Peleo mortali nupta, Achillis parens, nec digna cui te Proteus sacret. Ea sane corripitur:

Caeterum Ricciolus Scaligerum imitari voluit, utriusque enim de Proteo Proteus est. Hujus autem iste:

De cujus variationibus infra probl. fin. Ne vero Germani inferiores viderentur, elaborandum sibi Harsdörfferus esse duxit, cujus Delic. Math. P. 3. sect. 1. prop. 14 distichon extat:

Cujus 11 monosyllaba habent variationes 39916800. Tantum de versibus. Quanquam autem et Anagrammata huc pertinent, quae nihil sunt aliud, quam variationes utiles literarum datae orationis, nolumus tamen vulgi scrinia compilare. Unum e literaria re vel dissensu computantium quaeri dignum est: quoties situs literarum in alphabeto sit variabilis. Clav. Com. in Sphaer. Joh. de Sacro Bosco cap. 1. pag. 36 [46!]. 23 literarum linguae latinae dicit variationes esse 25852016738884976640000, cui nostra assentitur computatio; 24 literarum Germanicae linguae variationes Laurembergius assignavit 620448397827051993, Erycius Puteanus dicto libello, 62044801733239439360000, at Henricus ab Etten: 620448593438860613360000, omnes justo pauciores. Numerus verus ut in tabula ח manifestum, est hic: 620448401733239439360000. Omnes in eo conveniunt, quod numeri initiales sint 620448. Puteaneae computationis error non mentis, sed calami vel typorum esse videtur, nihil aliud enim, quam loco 7mo numerus 4 est omissus. (Aliud autem sunt variationes, aliud numerus vocum ex datis literis componibilium. Quae enim vox 23 literarum est? Imo quantacunque sit, inveniantur omnes complexiones 23 rerum, in singulas ducantur variationes suae juxta probl. 2 num. 59, productum erit numeros omnium vocum nullam literam repetitam habentium. At habentes reperire docebit problema 6.) Porro tantus hic numerus est, ut, etsi totus globus terraqueus solidus circumquaque esset, et quilibet spatiolo homo insisteret, et quotannis, imo singulis horis morerentur omnes surrogatis novis, summa omnium ab initio mundi ad finem usque multum abfutura sit, ut ait Harsdörff. d. I. Hegiam Olynthium Graecum dudum censuisse. His contemplationibus cum nuper amicus quidam objiceret, ita sequi, ut liber esse possit, in quo omnia scripta scribendaque inveniantur: Tum ego: et fateor, inquam, sed legenti grandi omnino fulcro opus est, ac vereor ne orbem terrarum opprimat. Pulpitum tamen commodius non inveneris cornibus animalis illius, quo Muhamed in coelum vectus arcana rerum exploravit, quorum magnitudinem et distantiam Alcorani oracula dudum tradiderunt. Vocum omnium ex paucis literis orientium exemplo ad declarandam originem rerum ex atomis usus est ex doctrina Democriti ipse Aristot. 1. de Gen. et Corr. text. 5. et illustrius lib. 1. Metaph. c. 4, ubi ait ex Democrito, Atomos differe σχήματι, id est figura, uti literas A et N; ϑέσει, id est situ, uti literas N et Z. si enim a latere aspicias, altera in alteram commutabitur; τάξει, id est ordine, v. g. Syllabae AN et NA. Lucret. quoque lib. 2 ita canit:

Et Lactant. Divin. Inst. lib. 3· c. 19. pag. m. 163.·Vario, inquit (Epicurus) ordine ac positione conveniant atomi sicut literae, quae cum sint paucas, varie tamen collocatae innumerabilia verba conficiunt. Add. Pet. Gassend. Com. in lib. 10. Laertii ed. Lugduni anno 1649· fol. 227, & Joh. Chrysost. Magnen. Democrit. redivivo Disp. 2. de Atomis c. 4. prop.32. p. 269. Denique ad hanc literarum transpositionem pertinet ludicrum illud docendi genus, cujus meminit Hieronymus ad Paulinam, tesserarum usu literas syllabasque puerulis imprimens. Id Harsdörfferus ita ordinat Delic. Math. P. 2. sect. 13. prop. 3: sunt 6. cubi, quilibet cubus sex laterum est, eruntque inscribenda 36, haec nempe: I. a. e. i. o. u. y. II. b. c. d. f. g. h. III. k. l. m. n. p. q. IV. r. s. ß t. w. x. V. v. j. s. r. ä. ö. VI ff. ss. tz. sch. ch. z. Alphabetum autem lusus unius tesserae, syllabas (𝔡𝔞𝔰 𝔅𝔲𝔠𝔥𝔰𝔱𝔞𝔟𝔦𝔯𝔢𝔫) duarum docebit: inde paulatim voces orientur.

Probl. V.
Dato numero rerum, variationem situs mere relati seu vicinitas inveniere.

"Quaeratur Variatio situs absoluti, seu ordinis, de numero rerum unitate minori quam est datus, juxta probl. 4, quod invenitur in Tab. ה erit quaesitum." Ratio solutionis manifesta est·in schemate ו quo rationem solutionis problematis praecedentis dabimus, v. g. in variationibus vicinitatis, variationes hae: Abcd. Bcda. Cdab. Dabc. habentur pro una, velut in circulo scripta. Et ita similiter de caeteris; omnes igitur illae 24 variationes dividendae sunt per numerum rerum, qui hoc loco est 4, prodibit variatio ordinis de numero rerum antecedenti, nempe 6. Finge tibi hypocaustum rotundum in omnes 4 plagas januas habens, et in medio positam mensam (quo casu quis sit locus honoratissimos disputat Schwenter, et pro janua orientem spectante decidit, e cujus regione collocandus sit honoratissimus hospes. Delic. Math. sect. VII. prop. 28.) atque ita hospitum situm variari cogita prioritatis posterioritatisque consideratione remota. Hic obiter aliquid de Circulo in demonstratione perfecta dicemus. Ejus cum omnes Propositiones, sint convertibiles, prodibunt syllogismi sex, circuli tres. Ut esto demonstratio: I. O. rationale est docile. O. homo est rationalis. E. O. homo est docilis. II O. homo est docilis. O. rationale est homo. E. O. rationale est docile. 2. III. O. homo est rationalis. O. docile est homo. E. O. docile est rationale. IV. O. docile est rationale. O. homo est docilis. E. 0 . homo est rationalis. 3. V. O. homo est docilis. O. rationale est homo. E. O. rationale est docile. VI. O. rationale est docile. O. homo est rationalis. E. O. homo est docilis.

Probl. VI.
Dato numero rerum variandarum, quarum aliqua vel aliquae repetuntur, variationem ordinis inveniere.

"Numerentur res simplices et ex iisdem repetitis semper una tantum, et ducantur in variationem numeri numero variationum dato unitate minoris; productum erit quaesitum." V. g. sint sex: a. b. c. c. d. e, sunt simplices 4 + l (duo illa c habentur pro 1) f. 5 ᴖ 120 (120 autem sunt variatio numeri 5 a antecedentis datum 6) f. 600. Ratio manifesta est, si quis intueatur schema וּ; corruent enim omnes variationes, quibus data res pro se ipsa ponitur. Usum nunc monstrabimus. Esto propositum: dato textu omnes melodias possibiles invenire. Id Harsdörfferus quoque Delic. Math. sect. 4. prop. 7. tentavit. Sed ille in textu 5 syllabarum melodias possibiles non nisi 120 esse putat, solas variationes ordinis intuitus. At nobis necessarium videtur etiam complexiones adhibere, ut nunc apparebit. Sed altius ordiemur: Textus est vel simplex, vel compositus. Compositum voco in lineas, ℜ𝔢𝔦𝔪𝔷𝔢𝔦𝔩𝔢𝔫, distinctum. Et compositi textus variationem discemus melodiis simplicium in se continue ductis per probl. 3. Textus simplex vel excedit 6 syllabas, vel non excedit. Ea differentia propterea necessaria est, quia 6 sunt voces: Ut, Re, Mi, Fa, Sol, La (ut omittam 7mam: Bi, quam addidit Eryc. Puteanus in Musathena). Si non 6 excedit, aut sex syllabarum, aut minor est. Nos in exemplum de Textu hexasyllabico ratiocinabimur, poterit harum rerum intelligens idem in quocunque praestare. Caeterum in omnibus plusquam hexasyllabicis necesse est vocum repetitionem esse. Porro in textu hexasyllabico capita variationum sunt haec:

Quid vero si septimam vocem Puteani Bi, si pausas, si inaequali talem celeritatis in notis, si alios characteres musicos adhibeamus computationi, si ad textus plurium syllabarum quam 6, si ad compositos progrediamur, quantum erit mare melodiarum, quarum pleraeque aliquo casu utiles esse possint? Admonet nos vicinitas rerum, posse cujuslibet generis carminum possibiles species seu flexus, et quasi Melodias inveniri, quae nescio an cuiquam hactenus vel tentare in mentem venerit. Age in Hexametro conemur. Cum hexametro sex sint pedes, in caeteris quidem dactylus spondaeusque promiscue habitare possunt, at penultimus non nisi dactylo, ultimus spondaeo aut trochaeo gaudet. Quod igitur 4 priores attinet, erunt vel meri dactyli: l, vel meri spondaei: l, vel tres dactyli, unus spondaeus, vel contra: 2, vel 2 dactyli, 2 spondaei: 1, et ubique variatio situs 12, 2 + l f. 3 ᴖ 12 f. 36 + l + l f. 38. In singulis autem his generibus ultimus versus vel spondaeus vel trochaeus est, 2 ᴖ 38 f. 76. Tot sunt genera hexametri, si tantum metrum species. Ut taceam varietates, quae ex vocibus veniunt, v. g. quod vel ex monosyllabis vel dissyllabis etc. vel his inter se mixtis constat; quod vox modo cum pede finitur, modo facit caesuram eamque varii generis; quod crebrae intercedunt elisiones aut aliquae aut nullae. Caeterum et multitudine literarum hexametri differunt, quam in rem exstat carmen Publilii Porphyrii Optatiani (quem male cum Porphyrio Graeco, philosopho, Christianorum hoste, Caesar Baronius confudit) ad Constantinum Magnum, 26 versibus heroicis constans, quorum primus est 25 literarum, caeteri continue una litera crescunt, usque ad 26tum qui habet 50; ita omnes organi Musici speciem exprimunt. Meminere Hieron. ad Paulinam, Firmicus in Myth., Rab. Maurus, Beda de re metrica. Edidit Velserus ex Bibliotheca sua Augustae cum figuris An. 159l. Adde de eo Eryc. Puteanum in Thaum. Pietatis lit. N, qui ait hoc carmine revocari ab exilio meruisse; Gerh. Joh. Vossium syntag. de Poet. Latinis v. Optatianus; item de Historicis Graecis, 1. 16. Casp. Barthium Commentariolo de Latina Lingua, et Aug. Buchnerum Notis in Hymnum Venatii Fortunati (qui vulgo Lactantio ascribitur) de Resurrect. ad v. 29. pag. 27, qui observat Hexametros fistulis, versum per medium auctum: Augusto victore etc. regulae organi, jambos anacreonticos dimetros omnes 18 literarum, epitoniis respondere. Versus ipsos, quia ubique obvii non sunt, expressimus:

Ex quibus multa circa scripturam Veterum observari possunt, inprimis Diphthongum Æ duabus literis exprimi solitam; qui tamen mos non est, cur rationem vincat, unius enim soni una litera esse debet. Sed de hoc Optatiano vel propterea fusius diximus, ut infra dicenda praeoccuparemus, ubi versus Proteos ab eo compositos allegabimus.

Probl. VII.
Dato capite, variationes reperire.

Hoc in Complexionibus solvimus supra. De situs variationibus nunc: Sunt autem diversi casus. Caput enim Variationis hujus aut constat una re, aut pluribus: si una, ea vel monadica est, vel dantur inter Res (variandas) alia aut alia: ipsi homogeneae. Sin pluribus constat, tum vel intra caput dantur invicem homogeneae vel non, item extrinsece quaedam intrinsecis homogeneae sunt vel non. Primum igitur capite variationis fixo manente numerentur, res extrinsecae; & quaeratur variatio earum inter se (& si sint discontiguae seu caput inter eas ponatur) praeciso capite, per prob. 4. productum vocetur A. Si caput multiplicabile non est, seu neque pluribus rebus constat, & una ejus res non habet homogeneam, productum A erit quaesitum. Sin caput est multiplicabile, & constat 1. re habente homogeneam, productum A multipllcetur numero homogenearum aeque in illo capite ponibilium, & factus erit quaesitum. Si vero caput constat pluribus rebus quaeratur variatio earum inter se, (etsi sint discontiguae seu res extrinsecae interponantur) per probl. 4. ea ducatur in productum A, quodque ita producitur dicemus B. Jam si res capitis nullam habet homogeneam extra caput, productum B erit quaesitum. Si res capitis habet homogeneam tantum extra caput, non vero intra, productum B. multiplicetur numero rerum homogeneam , &. si saepius sunt homogeneae, factus ex numero homogenearum priorum multiplicetur numero homogenearum posteriorum continue, & factus erit quaesitum. Sin res capitis habet homogeneam intra caput & extra, numerentur primo res homogeneae intrinsecae & extrinsecae simul, & supponantur pro Numero complicando; deinde res datae homogeneae tantum intra caput supponantur pro exponente. Dato igitur numero & exponente quaeratur complexio per probl. I. & si saepius contingat homogeneitas, ducantur complexiones in se invicem continue. Complexio vel factus ex complexionibus ducatur in productum B. Et factus erit quaesitum. Hoc problema casuum multitudo operosissimum efficit, ejuaque nobis solutio multo & labore & tempore constitit. Sed aliter sequentia problemata ex artis principiis nemo solvet. In illis igitur usus hujus apparebit.

Probl. VIII.
Variationes alteri dato capiti communes reperire.

Utrumque caput ponatur in eandem Variationem quasi esset unum caput compositum (etsi interdum res capitis compositi sint discontiguae) & indagentur variationes unius capitis compositi per probl. 10. productum erit quaesitum.

Probl. IX.
Capita variationes communes reperire.

Si plura capita in variatione ordinis in eundem locum incidunt vel ex toto vel ex parte, non habent varationes communes. 2. Si eadem res monadica in plura capita incidit, ea non habent variationes communes. Caetera omnia habent variationes communes.

Probl. X.
Capita variationum utilium aut inutilium reperire.

Capita in universus reperire expeditum est. Nam quaelibet res per se, aut in quocunque loco per se, aut cum quacunque, alia aliisve, quocunque item loco cum alia aliisve, breviter, imnis complexio aut variatio proposita minor & earundem rerum, seu quae tota in altera continetur est caput. Methodus autem in disponendis capitibus utilis, ut a minoribus ad m jota progrediamur, quando v. g. propositum nobis est omnes variationes oculariter proponere, quod Drexelius loco citato Puteanus & Kleppisius & Reimerus citandis fatitarunt. Caeterum ut capita utilia vel inutilia reperiantur, adhibenda disciplina est ad quam res variandae, aut totum ex iis compositum pertinet. Regulae ejus inutilia quidem elident, utilia vero relinquent. Ibi videndum quae cum quibus & quo loco; conjungi non possint, item quae simpliciter quo loco poni non possint v. g. primo, tertio, &c Inprimis autem primo & ultimo, Deinde viviendum quae res potissimum causa sit anomaliae (v. g. in versibus hexametris proteis syllabae breves) Ea ducenda est per omne caeteras, omnia item loca, si quando autem de pluribus idem judicium est, satis erit in uno tentasse.

Probl. XI.
Variationes inutiles reperire.

Duae sunt viae (1.)per probl. 12. hoc modo: inventae summa variationum utilium & inutilium per probl. 4.· subtrahatur summa utilium per probl. 12. viam secundam ; Residuum erit quaestum (2.) absolute hoc modo: Inveniantur capita variationum inutilium per probl. 10. quaerantur singulorum capitum variationes per probl. 7. si qua capita communes habent variationes per probl. 9. numerus earum inveniatur per probl .8. & in uno solum capitum variationes Communes habentium relinquatur, de exterorum variationibus subtrahatur; aut si hunc laborem subtrahendi subterfugere velis, initio statim capita quam maxime composita pone, cons. probl. 8. Aggre gatum omnium variationum de omnibus complexionibus, subtractis subtrahendis, erit quaesitum.

Probl. XII.
Variationes utiles reperire.

Solutio est ut in proxime antecedenti, si haec saltem mutes, in via 1. loco problem. 12. pone 11. &c. & subtrahatur summa inutilium per probl. 11. viam secundam. In via 2. inveniantur capita variationum utilium? caetera ut in probl. proximo.

Usus Problem. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Si cui haec problemata aut obvia aut inutilia videntur, cum ad praxin superiorum descenderit aliud dicet. Rarissime enim vel natura rerum vel decus patitur omnes variationes possibiles, utiles esse. Cujus specimen in argumento minus fortasse fructuose, in exemplum tamen maxime illustri daturi sumus. Diximus supra Proteos versus esse pure proteos, id est in quibus pleraeque variationes possibiles utiles sunt, ii nimirum qui toti propemodum monosyllabis constant; vel mixtos, in quibus plurimae incidunt inutiles, quales sunt qui polysyllaba, eaque, brevia continet. ln hoc genere inter veteres, qui mihi notus sit tentavit tale quiddam idem ille de quo probl. 6. Publilius Porphyrius Optatianus. Et Erycius Puteanus Thaumat Piet. lit. N. pag. 92. ex aliis ejus de Constantino versibus hos refert:

Ex illis primus est Torpalius, vocibus continue syllaba crescentibus constans; alter est Proteus sexiformis si ita loqui fas est:

quem usus propemodum in jocum vertit. Ejus variationes sunt hae: pro tu sub 2. pro patulae recubans 2. & Tityre jam initio, ut nunc, jam tegmine initio: jam Tityre tegmine fine, jam tegmine Tityre, fine, 4ᴖ2ᴖ2 f. 16. Verum in Porphyrianaeis non singuli Protei, sed omnes, neque unus versus sed carmen totum talibus plenum admirandum est. Ejusmodi versus composituro danda opera, ut voces consonis aut incipiant, aut finiant. Alter qui & nomen Protei indicit, est Jul. Caes. Scaliger vir si ingenii ferocia absit, plane incomparabilis, Poet. lib 2 c.30, pag. 185 is hunc composuit, formarum, ut ipse dicit, innumerabilium, ut nos 64.:

Plures non esse facile inveniet, qui vestigia hujus nostrae computationis leget. Pro Perfide fallere 2. pro Proteus divos 2ᴖ2 f. 4. Sperasti divos te, habet variationes 6ᴖ4 f. 24. Divos perfide Te sperasti, habet Var. 2. Divos Te sperasti perfide, habet 6+2+2 f. 10ᴖ4 f. 49+24 f. 64. Observavimus ex Virgilio, aeque, imo plus variabilem, Aen. lib.1.v.282. Queis (pro: His) ego nec metas rerum nec tempora pona [pono]. Nam perfide una vox est; queis ego in duas discerpi potest. Venio ad ingeniosum illum Bernhardi Bauhusii Jesuitae Lovaniensis, qui inter Epigrammata ejus extat; utque superior, v. probl. 4·de Christo, ita hic de Maria est:

Dignum hunc peculiari opera esse duxit vir doctissimus Erycius Pateanus libello, quem Thaumata Pietatis inscribit; edito Antverpiae anno 1617. forma 4ta ejusque variationes utiles omnes enumerat a pag. 3. usque ad 50. inclusive quas autore, etsi longius porrigantur, intra cancellos numeri 1022. continuit, tum quod totidem vulgo stellas numerant Astronomi, ipsius autem institutum est ostendere dotes non esse pauciores quam stellae sunt; tum quod nimia propemodum cura omnes illos evitavit, qui dicere videntur, tot sidera coelo, quot Mariae dotes esse, nam Mariae dotes esse multo plures. Eas igitur variationes si assumsisset (v. g. Quot tibi sunt dotes virgo, tot sidera coelo) totidem, nempe 1022. Alios versus ponendo tot pro quot, & contra, emersuros fuisse manifestum est. Hoc vero etiam in praefatione Puteanus annotat pag. 12. interdum non sidera tantum, sed & dotes coelo adhaerere, ut coelestes esse intelligamus, v. g.

Praeterea ad variationem multum facit, quod ultimae in Virgo, & Tibi ambigui quasi census & corripi & produci patiuntur, quod artificium quoque infra in Daumiano illo singulari observabimus. Meminit porro Thaumatum suorum & Protei Bauhusiani aliquoties Puteanus in apparatus Epistolarum cent. I. ep. 49·& 57. ad Gisbertum Bauhusium Bernardii Patrem; add. & ep. 51. 52. 53. 56. ibid. Editionem autem harum Epistolarum habeo in 12. Amstelodami anno 1647. nam in editione epistolarum in 4to quia jam anno 1612. prodiit, frustra quaeres. Caeterum Joh. Bapt. Ricciol. Almag. nov. P. I. lib. 6. c. 6. schol. 1. f. 413. peccato μνημονικῷ Versus Bauhusiani Puteanum autorem praedicavit his verbis: quoniam vero vetus erat opinio a Ptolemao usque propagata, stellas omnes esse 1022. Erycius Puteanus pietatis & ingenii sui monumentum posterus reliquit, illo artificiosissimo carmine, Tot Tibi, &c qui tamen non autor sed commentator, commendatorque est. Denique similem prorsus versum in Ovidio, levissima mutatione observavimus hunc, Metam. XII. fab. 7 v. 594:

Nam etiam ultima in mihi et faxo anceps est. Exstat in eodem genere Georg. Kleppisii, nostratis Poetae laureati, versus hic:

cujus variationes peculiari libro enumeravit 1617; occasionem dedere tres soles, qui anno 1617 in coelo fulsere, quo tempore Dresdae convenerant tres soles terrestres ex Austriaca domo: Matthias Imperator, Ferdinandus Rex Bohemiae, et Maximilianus Archidux, supremus ordinis Teutonici Magister. Libellum illis dedicatum titulo Protei Poetici eodem anno edidit, quem variationum numerus signat. Omnino vero plures sunt variationes quam 1617, quod ipse tacite confitetur autor, dum in fine inter Errata ita se praemunit: fieri potuisse, ut in tanta multitudine aliquem bis posuerit, supplendis igitur lacunis novos aliquot ponit quos certus sit nondum habuisse. Nos ut aliquam praxin proximorum problematum exhibeamus, variationes omnes utiles computabimus. Id sic fiet, si inveniemus omnes inutiles. Capita variationum expressimus notis quantitatis, sic tamen ut pro pluribus transpositis unum assumserimus, v. g. — — . — . — . ◡ ◡ . etiam continet hoc: — . — — . — . ◡ ◡ etc. Punctis designamus et includimus unam vocem.

in arte sibi neganda artificiosus, qui 1644 variationes continere dicitur. Aemulatione horum, Kleppisii inprimis, prodiit Henr. Reimerus Lüneburgensis, Scholae patriae ad D. Johannis Collega, Proteo instructus tali:

qui idem annum 1619, quo omnes ejus variationes uno libello in 12. Hamburgi edito inclusi prodierunt, continet. Laboriosissimus quoque Daumius, vir in omni genere poematum exercitatus, nec hoc quidem intentatum voluit a se relinquit. Nihil de ejus copia dicam, qua idem termillies aliter carmine dixit (hic enim non alia verba, sed eorundem verborum alius ordo esse debet) quod in hac sententia: fiat justitia aut pereat mundus, Vertumno poetico Cygneae anno 1646. 8. edito praestitit. Hoc saltem adverto, quod et autori annotatum in Millenario 1. num. 219 et 220 versus Proteos esse. Hi sunt igitur:

Nacti vero nuper sumus, ipso communicante, alium ejus versum invento sane publice legi digno, quem merito plus quam Protea dicas, neque enim in idem tantum, sed alia plurima carminis genera convertitur. Verba enim haec: O alme (sc. Deus) mactus Petrus (sponsus) sit lucro duplo: varie transposita dant Alcaicos 8. Phaleucios 8. sapphicos 14. Archilochios 42. in quibus omnibus intercedit elisio. At vero sine elisione facit pentametros 32. Jambicos senarios tantum, 20. Scazontes tantum, 22. Scazontes & Jambos simul 44. (& ita Jambos omnes 64. Scazontes omnes 66.) si syllabam addas sit Hexameter, v. g.

variabilis versibus 480. Caeterum artificii magna pars in eo consistit, quod plurimae syllabae, ut prima in duplo, petrus, lucro, sunt ancipites. Elisio autem efficit ut eadem verba, diversa genera carminis syllabis se excedentia, efficiant. Alium jam ante anno 1655. dederat, sed variationum partiorem, nempe Alcaicum hunc:

convertibilem in Phaleucios 4. Sapphicos 5. Pentametros 8. Archilochios 8. Jambicos senarios 14. Scazontes 16.

Si quis tamen prolixitatem nostram damnat, is vereor; ne cum ad praxin ventum erit, idem versa fortuna de brevitate conqueratur.

Erörterung über die Kunst der Kombinatorik.

In der auf der Grundlage der Arithmetik das Lehrgebäuder der Verwicklungen und Umstellungen durch neue Vorschriften errichtet wird und der Gebrauch beider durch den Erdkreis der Wissenschaften dargestellt wird; auch werden neue Samen der Kunst zu denken, oder der logischen Erfindung gesäht.

Vorausgeschickt ist eine Zusammenfassung der Abhandlung, und in einem Anhang der Beweis für die Existenz Gottes, zur mathematischen Gewissheit ausgeführt.

Vom Autor Gottfried Wilhelm Leibniz
Magister der Philosophie in Leipzig und Bakkalaurat beider Rechte.

Dem höchsten,großartigen, höchst zu bewundernden Herrn Martin Geier,
geweihter Doktor der heiligen Theologie, obersten Hofprediger des durchlauchtigsten Kurfürsten Sachsens; Beisitzer des obersten Dresdener Kabinetts, und kirchlicher Berater.
Dem unvergleichlichen Theologen:
seinem wahrhaften Förderer und größten Mäzen, über die empfangenen Wohltaten hinaus, Rechenschaft seiner Studien festzustellen,
hat der Autor gewollt.

Zusammenfassung der Erörterung zur Kombinatorik

Die Grundlage dieser Lehre der Arithmetik. Deren Ursprung. Schlussfolgerungen aber gehören zur reinen Arithmetik, gebildet nach der Regel. Die Erläuterung neuer Begriffe. Was wir anderen verdanken. Fragestellung I. Die Schlussfolgerungen aus gegebener Anzahl und Exponent und in der Gattung die Verbindungen zu finden. Fragestellung II. Die Schlussfolgerungen aus der gegebenen Anzahl einfacher zu finden. Deren Gebrauch (1.) in der Trennung von zu findenden Arten: z. B. der Befehle, Elemente, Zahlen, Orgelregister, der unbedingten Regeln des Syllogismus, von denen es auf der Welt nach Johannes Hospinianus 512 gibt, 88 brauchbare nach uns. Neue Arten der syllogistischen Figuren nach Johannes Hospinianus: Barbari, Celaro, Camestros, und unsere. Die 4 Figuren des Galenos von Pergamon: Fresismo, Ditabis, Celanto, Colanto. Johann Christoph Sturm's neue Regeln aus unbegrenzten Begriffen, Daropti. Darstellung der Umwandlungen. Über die Vervielfältigung der Figuren in der Geometrie, durch übereinstimmende, auseinanderstrebende, zusammenzufügende. Die Kunst einen Rechtsfall zu formulieren. Aber die Theologie ist gleichsam eine Art Rechtswissenschaft; über das öffentliche Recht nämlich im Gottesstaat über die Menschen. (2.) zum Auffinden untergeordneter Arten zu den gegebenen Gattungen, die Brauchbarkeit der Untersuchungsregel durch gegebene Teilung. (3.) Der Gebrauch von Hauptsätzen und Beweismittel beim Finden. Die Kombinatorik des Ramon Llull, Athanasius Kircher, unserer, darüber im Folgenden: Es gibt zwei Wortverbindungen in den Hauptsätzen: tatsächlich und nein, oder + und -. Die Bildung von Kategorien in der Kombinatorik. Aufzufinden: von gegebener Festlegung oder Begriff; Begriffsbestimmungen oder gleichbedeutende Begriffe: von einem gegebenen Subjekt erklärt er im Hauptsatz HA, ebenso PA, ebenso N. Die Klassen der Zahlen, Anzahl der Begriffe in den Klassen: die Aussagen von einem gegebenen Subjekt im Hauptsatz UA, PA und N. Von zwei gegebenen Begriffen im notwendigen Hauptsatz UA und UN den seienden Gegenstand oder die mittleren Begriffe zu finden. Über die Stellung des Themas, oder das Verfahren die anschließenden Hauptsätze zu erzeugen und zu prüfen. Wunderbare Beispiele der Kategorien der Kombinatorik. Den Folgesatz über eine allgemeine Schrift eines jeglichen von jedermann zu lesen; der die Sprache kundig versteht, des Abts Alexandre de Cossé-Brissac Beispiel der Kombinatorik oder über die Kriegskunst nachzudenken, zu wessen auch immer Vorteil kommen durch Überlegung alle würdigen Herrscher in den Sinn. Über den Gebrauch konzentrischer Pappscheiben bei dieser Tätigkeit. Die Riegel dieser kunstvoll konstruierten Kombinationsschlösser, die ohne Schlüssel zu öffnen sind / Farbmischungen. Fragestellung III. Von der gegebenen Anzahl Klassen und einzelner Dinge, die Verknüpfungen der Klassen finden. Die Teilung in der Aufteilung zu ziehen, von der gewöhnlichen Teilung des Verständnisses. Die Anzahl der Denkweisen aus dem höchsten Guten aus Publius Terentius Varro bei Augustinus von Hippo. Dessen Überprüfung. Im gegebenen Gard der Blutsverwandtschaft die Anzahl (1.) die Verwandtschaftsverbindung in der Stellung 1. und 3. Grades und die Zuneigung, (2.) die Stellung der Verbindung der Personen 10. D dazu im Einzelfall künstlich erfunden. Fragestellung IV. Mit einer gegebenen Anzahl der Dinge die Veränderungen der Ordnung finden. Gleichwie der Gäste am Tisch 6 bei Jeremias Drexel, 7 bei Georg Philipp Harsdörffer, 12 bei Georg Henisch. Die Proteus-Verse, z. B. die von Bernardus Bauhusius, von Thomas Lansius, von Heinrich Christoph Ebell, von Giovanni Battista Riccioli, von Georg Philipp Harsdörffer. Das Vertauschen der Buchstaben des Alphabets, die Zusammenstellungen der Atome, die Mosaiksteinchen der Grammatik. Fragestellung V. Bei gegebener Anzahl Dinger die Veränderungen der Nachbarschaft zu finden. Der ehrenvollste Platz in einer Runde. Der syllogistische Zirkelschluss. Fragestellung VI. Begeben ist die Anzahl der zu verändernden Dinge, welche irgendetwas oder irgendwelche wiederholt werden, die Vertauschung der Reihenfolge zu finden. Gattungen der Hexameter 76. Des Hexameter 26. Deren Buchstaben dem vorhergehenden folgend übertrifft Publilius Optatianus Porfyrius: davon jener. Doppellaute aus der Schrift. Fragestellung VII. Veränderungen beim gegebenen Hauptsatz zu entdecken. Fragestellung VIII. Gewöhnliche Veränderungen dem gegebenen anderen Hauptsatz. Fragestellung IX. Hauptsätze, die gewöhnliche Veränderungen haben. Fragestellung X. Hauptsätze der brauchbaren und unbrauchbaren Veränderungen. Fragestellung XI. Unbrauchbare Veränderungen. XII. Brauchbare. Die Proteus-Verse des Publilius Optatianus Porfyrius (beiläufig dem Virgil), des Julius Caesar Scaliger (beiläufig dem Virgil), des Bernardus Bauhusius (beiläufig dem Ovid), des Gregor Kleppis (Verfahren zur Unterscheidung brauchbarer und unbrauchbarer), des Carl von Goldstein / Matthäus Reimer, des Christian Daum 4, deren beiden letzten mehr als Proteus.

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Einleitung.

Mit Gott!

Die Metaphysik, damit ich mit dem höchsten beginne, behandelt bald das Seiende, bald die Zustände des Seienden; weil aber die Zustände des natürlichen Körpers keine Körper sind, so sind die Zustände des Seienden keine Seienden. Der Zustand des Seienden ist aber (oder das Maß) durch eine andere unabhängige, die Qualität genannt wird, durch eine andere bezogene, und diese Eigenschaft bezieht sich entweder auf ihren Teil, den sie hat, Quantität, oder die Eigenschaft zu einer anderen Sache, Beziehung, um es gleichwohl genauer zu sagen, der zugrunde zu legende Teil ist gewissermaßen vom Ganzen unterschieden, auch die Menge der Sachen ist eine Beziehung zum Teil. Deswegen ist es offensichtlich, dass es weder die Qualität noch die Quantität, noch die Beziehung der Seienden sind, deren Behandlung aber in der bezeichneten Wirkung zur Metaphysik gehören. Ferner ist alle Beziehung entweder Vereinigung oder Zusammenhang. Aber die Dinge, zwischen denen eine Beziehung besteht, in der Vereinigung werden sie Teile genannt, zusammen mit der Vereinigung sind sie das Ganze. Mit diesem trifft zu, so oft wir vieles zugleich wie ein Gesamtes zugrunde legen. Aber das Eine wird verstanden, was wir auch immer durch eine einzige Tat des Verstands oder zugleich erwägen, z. B. auf welche Weise auch immer wir irgendeine beliebig große Zahl häufig blindlings durch einen gewissen Gedanken zugleich begreifen, freilich die Ziffern auf dem Papier zu lesen, für wen ist nicht klar zu erkennen, dass Methusalem freilich nicht ein Lebensalter zu verleihen wäre. Abgezogen aber von einem ist die Einheit, und das Ganze selbst abgezogen aus den Einheiten oder die Gesamtheit Zahl genannt wird. Die Menge ist also die Anzahl der Teile. Daher ist offensichtlich, dass in der Sache selbst die Menge und die Anzahl zusammenfallen, doch jene manchmal gleichsam äußerlich, dass durch die Beziehung oder das Verhältnis zu jenem beschrieben werden, im Hilfsmittel nämlich solange die Anzahl der Teile nicht erkannt wird. Und diese Ursache ist die scharfsinnige Lehre von den Verhältnissen und Proportionen, was zuerst René Descartes zur Entfaltung gebracht hat, danach Frans van Schooten d. J. in Regeln hergeleitet hat, und Erasmus Bartholin diese durch allgemeine mathematische Elemente, wie er es nennt. Und deswegen ist die Lehre von den Verhältnissen und Proportionen, oder die nicht beschriebene Menge; die Arithmetik von der beschriebenen Menge oder den Anzahlen; aber die Scholastiker haben fälschlich geglaubt die Zahl entsteht nur durch fortgesetzte Teilung und kann nicht auf unkörperliche angewandt werden. Die Zahl ist nämlich gleichsam ein gewisses unkörperliches Symbol, entstanden aus der Vereinigung irgendwelcher Seienden, z. B. Gott, Engel, Menschen, Bewegung, die gleichzeitig 4 sind. Weil demnach die Zahl irgendetwas völlig allgemeines wäre, aus gutem Grunde zur Metaphysik gehört, wenn man die Metaphysik als Lehre derer anerkennt, die allen Arten der Seienden gemeinsam sind. Denn die mathematische Wissenschaft (damit deren Name jetzt verstanden wird) um genau zu sprechen, ist nicht ein Lehrgebiet, sondern die Menge aus verschiedenen entnommenen Teilen von einzelnen Disziplinen in Bearbeitungen, die verdientermaßen nahe bei der Erkenntnis verschmolzen sind. Denn wie die Arithmetik wie auch die Analysis die Menge der Seienden behandeln, so behandelt die Geometrie die Menge der Körper, oder des Raumes, der von den Körpern aufgespannt ist. Die staatliche Einteilung aber der Lehrgebiete in Berufsgruppen, die eher nach der Zweckmäßigkeit der Lehre als der natürlichen Ordnung zugeschnitten ist, fehlte dass wir sie untergraben. Im Übrigen kann das Ganze selbst (und so die Anzahl oder Gesamtheit) völlig zerrissen werden in kleinere Teile, das ist die Grundlage der Zusammensetzungen, wenn man nur versteht dass selbst in den verschiedenen kleinsten alle gemeinsamen Teile gegeben werden, z. B. das Ganze sei A, B, C, es werden alle kleineren sein, deren Teile AB, BC, AC sein werden: und selbst der kleinsten Teile, oder für die Anordnung der geringsten zugrunde gelegten (nämlich der Gesamtheit) unter einander und mit dem Ganzen, die Zustand genannt wird, kann verändert werden. So entstehen zwei Arten Veränderungen, der Zusammenfassung und des Zustands. Und sowohl die Zusammenfassung wie der Zustand gehören zur Metaphysik, nämlich zur Lehre vom Ganzen und den Teilen, wenn sie an sich betrachtet werden; wenn wir aber die Veränderung betrachteten, das ist die Menge der Veränderung, auf die die Zahlen und die Arithmetik anzuwenden ist. Aber ich würde meinen, die Lehre der Zusammenfassung passt besser zur reinen Arithmetik, der Zustand zum geformten, denn auf diese Weise können die Gesamtheiten als eine Linie zu erzeugen verstanden werden. Obschon ich hier beiläufig anmerken möchte, die Gesamtheiten können entweder durch die Art der geraden Linie, oder als Kreis oder eine andere Linie oder Linien, die in sich zurückkehren oder eine geschlossene Figur dargestellt werden, die vorigen durch eine Art Anordnung im vollkommenen Zustand oder der Teile mit dem Ganzen; Die folgenden durch den bezogenen Zustand oder der Teile zu den Teilen, durch Nachbarschaft, auf welche Weise sie sich unterscheiden werden wir unten bei den Definitionen 4 und 5 erklären. An dieser Stelle reichen sie als Vorwort aus, wie diese in der Lehre der Materie deren Gebäude wäre, wird offensichtlich.

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Definitionen.

Die Veränderung an dieser Stelle ist die Umwandlung der Verhältnisse. Denn die Umwandlung heißt andere Substanzen, andere Menge, andere Eigenschaft; andere wandelt nichts in der Sache um, sondern nur bezüglich der gegenseitigen Anordnung, den Zustand, die Verbindung mit anderen irgendwo.
Die Veränderbarkeit ist selbst die Anzahl aller Veränderungen. Denn die Begriffe der Möglichkeiten an sich genommen bestimmen die Anzahl derer, denn dergestalt wird in der Mechanik häufig gesprochen, dass die Möglichkeiten zweier Maschinen das doppelte der einzelnen seien.
Zustand ist die örtliche Anordnung der Teile.
Der Zustand ist entweder absolut oder relativ bezogen: jenes der Teile zum Ganzen, dieses der Teile zu den Teilen. In jenem wird die Anzahl der Plätze und die Entfernung vom Anfang und vom Ende betrachtet, darunter wird weder der Anfang noch das Ende verstanden, sondern man betrachtet wie groß der Abstand der Teile von einem gegebenen Teil ist. Daher wird jenes durch eine Linie oder eine lineare Figur ausgedrückt, die nicht geschlossen sind und nicht in sich zurückgehen, und am besten durch eine gerade Linie; diese durch eine Linie oder eine geschlossene lineare Figur, und am besten durch einen Kreis. In jenem haben Vorrang und Nachrang das größte Verhältnis, in diesem keines. Deshalb hat man zu jenem höchste Ordnung gesagt.
Diesem die Nachbarschaft, jenem die Anordnung, diesem die Zusammensetzung. Deswegen unterscheiden sich die folgenden Zustände durch das Verhältnis der Anordnung: abcd, bcda, cdab, dabc. Aber in der Nachbarschaft wird keine Veränderung sondern ein Zustand verstanden, dieser nämlich: Weil der sehr witzige Friedrich Taubmann, als er Dekan der philosophischen Fakultät war, wird in Wittenberg gesagt öffentlich eine Reihe von Ankündigungen der Anwärter für das Lehramt einen Zuhörerkreis bildete mit einer Gliederung des Inhalts, den nicht die begierigen Leser nicht verstanden, der auf den Misthaufen gehörte.
Die Veränderbarkeit der Ordnung verstehen wir etwa, wenn wir die Veränderungen entsprechend der Bedeutung von z. B. 4 Dingen auf 24 Arten umgestellt werden können. [24 = 4! = 1 * 2 * 3 * 4]
Die Veränderbarkeit der Verknüpfungen nennen wir Zusammenfassung, z. B. 4 Dinge können auf 15 verschiedene Weisen miteinander verbunden werden [1 + 2 + 4 + 8 = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ = 15].
Die Anzahl der zu verändernden Dinge nennen wir vereinfacht Anzahl, z. B. 4 im vorgestellten Falle.
Die Zusammenfassung ist die kleinste Einheit im größeren Gesamten, wie wir in der Einleitung dargelegt haben.
Dass aber eine gewisse Zusammenfassung bestimmt wird, ist das größere Ganze in gleiche untergeordnete Teile zu zerlegen damit die kleinsten (das ist welche nun allerdings nicht weiter geteilt werden), aus denen die Zusammenfassung oder das kleiner Ganze zusammengesetzt wird und deren unterschiedliche Anordnung verändert wird; weil daher das Ganze selbst weniger. Mehr oder weniger ist, je nachdem viele Teile an Stelle eines hinein gehen, nenne wir die Anzahl der gleichzeitig oder einmalig zusammenzufassenden Teile oder Einheiten den Exponenten, nach dem Beispiel der geometrischen Progression, zum Beispiel sei das Ganze ABCD. Wenn alle kleineren aus2 Teilen bestehen sollen, z. B. AB, AC, AD, BC, BD, CD, sei der Exponent 2, wenn aber aus 3, z. B. ABC, ABD, ACD, BCD, wird er Exponent 3 sein.
Bei gegebenem Exponenten werden wir die Zusammenfassungen so schreiben: wenn der Exponent 2 ist. Zusammen2fassung; wenn er 3 ist Zusammen3fassung; wenn er 4 ist Zusammen4fassung und so weiter.
Zusammenfassungen werden einfach aus den Exponenten aller Zusammenfassungen berechnet, z. B. 15 (für die Anzahl 4) die zusammengesetzt werden aus 4 (Einheit), 6 (Zusammen2fassung), 4 (Zusammen3fassung), 1 (Zusammen4fassung).
Eine brauchbare (unbrauchbare) Veränderung ist welche wegen der zugrundeliegenden Materie keinen Platz haben kann, z. B. 4 Bestandteile können 6 Mal zusammen2gefaßt werden; aber 2 Zusammen2fassungen sind unbrauchbar, von denen werden gegensätzliche Feuer, Wasser, Luft, Erde zusammen2gefaßt.
Die Klasse der Dinge ist weniger als das Ganze, sie besteht aus wenigsten drei übereinstimmenden Dingen, sowie aus Teilen, doch so dass die übrigen Klaasen gegensätzliche Dingen enthalten, z. B. oben in der Fragestellung 3, wo wir die Klassen der Meinungen im Bezug auf das höchste Gute bei B. Augustinus von Hippo abhandeln werden.
Der Hauptsatz der Veränderung ist die Stellung gewisser Teile; die Regel der Veränderung vom allem was sie in den meisten Veränderungen innehat, siehe unten in der Fragestellung 7.
Gemeinsame Veränderungen sind, in welchen viele Hauptsätze übereinstimmen, siehe unten Fragestellungen 8 und 9.
Ein gleichartiges Ding ist, was an der gegebenen Stelle gleich darstellbar ist außer im Hauptsatz, einstimmige aber was keine Gleichartigkeit hat, siehe Fragestellung 7.
Ein Hauptsatz wird vervielfältigbar genannt, dessen Teile verändert werden können.
Ein wiederholtes Ding ist, was in der gleichen Veränderung öfter gesetzt wird, siehe Fragestellung 6.
Wir bezeichnen durch das Symbol + die Addition, - die Subtraktion, ᴖ die Multiplikation, ᴗ die Division, f ist macht oder Summe, = die Gleichheit. Bei den beiden ersten und im letzten stimmen wir mit René Descartes, den Algebraikern und anderen überein; die anderen Symbole hat Isaac Barrow in seiner Euklid-Ausgabe , Cambridge, Oktav, im Jahr 1655.

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Fragestellungen

Es gibt drei, die betrachtet werden müssen: Fragestellungen, Lehrsätze, Gebrauch; bei einzelnen Fragestellungen haben wir den Gebrauch angehängt; wo immer der Aufwand und der Lehrsatz als wert betrachtet wurde. Die Fragestellung aber fügen wir gewisse Überlegungen zur Lösung an. Von diesen verdanken wir einen früherer Teil den ersten, dem zweiten und dem dritten anderen, die übrigen haben wir selbst erforscht. Wer jene zuerst gefunden hat wissen wir nicht. Daniel Schwenter Deliciae physico-mathematicae oder mathematische und philosophische Erquickstunden l. 1. Sektion I Satz 32 sagt Gerolamo Cardano, Johannes Buteo und Niccolò Tartaglia ragen heraus. Jedoch finden wir nichts bei Gerolamo Cardano "Übungen zur Arithmetik", die er 1539 in Mailand herausgegeben hat. Besonders klar, was immer neulich gehalten wird, hat es Christophorus Clavius in "In Sphaeram Ioannis de Sacro Bosco commentarius" vorgetragen (Herausgegeben in Rom im Format Quart im Jahr 1585, Seite 33 und folgende).

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Fragestellung I.
Aus der gegebenen Anzahl und dem Exponenten die Verbindungen zu finden.

Fragestellung II.
Aus der gegebenen Anzahl die Verbindungen einfacher zu finden.

Fragestellung III.
Aus der gegebenen Anzahl der Klassen und Gegenstände in den Klassen, die Verbindungen in den Klassen zu finden.

Fragestellung IV.
Aus der gegebenen Anzahl Gegenstände die Veränderungen der Anordnung zu finden.

Fragestellung V.
Aus der gegebenen Anzahl Gegenstände die Veränderungen des Platzes nur der auf einander bezogenen oder die Nachbarschaft zu finden.

Fragestellung VI.
Bei gegebener Anzahl der zu verändernden Dinge, welche irgendeiner oder irgendwelchen wiederholt werden, die Änderung der Anordnung zu finden.

"Würden die einfachen Dinge gezählt und aus diesen widerholten immer bloß eine, und bei Änderung der Zahlen die gegebene Anzahl der Änderungen durch die Einheit der kleineren; wäre das Ergebnis gesucht. Es seinen z. B. sechs: a, b, c, c, d, e, so sind 4+1 einfache (zwei von den c werden 1 gesetzt) macht 5 * 120 (120=5! aber ist die Änderung der Anzahl 5 aus den ursprünglich gegebenen 6) macht 600. Diese Überlegung ist offensichtlich, wenn man das Schema וּ betrachtet; es fallen nämlich alle Änderungen zusammen, von denen das Ding auf sich selbst gelegt wird. Den Gebrauch werden wir jetzt zeigen. Es soll die Aufgabe sein: aus einem gegebenen Thema alle möglichen Melodien zu finden. Das hat Georg Philipp Harsdörffer in seinen " Deliciae physico-mathematicae oder mathematische und philosophische Erquickstunden", Abschnitt 4, Fragestellung 7 versucht. Aber dieser glaubt im Thema von 5 Silben sind nur 120 mögliche Melodien; er hat einzig die Änderungen der Anordnung betrachtet. Aber uns erscheint es notwendig auch die Zusammenstellungen zu betrachten, wie nun ersichtlich wird. Aber wir werden höheres beginnen: das Thema ist entweder einfach oder zusammengesetzt. Das Zusammengesetzte nenne ich unterschieden in Linien, Reimzeilen. Und die Änderung des zusammengesetzten Themas werden wir durch Melodien der einfachen erforschen, die ununterbrochen in sich gezogen werden mit der Fragestellung 3. Das einfache Thema übertrifft entweder 6 Silben aus oder nicht. Diese Unterscheidung ist deswegen nötig, weil es 6 Tonlagen gibt: Ut, Re, Mi, Fa, Sol, La (wenn ich die 7. Weglasse; Bi, die Erycius Puteanus in seiner Musiktheorie "Musathena, sive notarum heptas" dazu fügt). Wenn es nicht 6 übersteigt, entweder 6 Silben oder es ist kleiner. Wir werden in unserem Beispiel werden wir für den sechssilbigen Themen überlegen, kann man diese Dinge verstehend dasselbe wohin auch immer fortsetzen. Außerdem ist es nötig, dass in allen mehr als Sechssilbigen eine Wiederholung der Töne ist. Sodann im sechssilbigen Thema sind die Zusammenfassungen der Änderungen diese:

Schema וּ
I.	ut re mi fa sol la die Veränderung der Ordnung ist	720
II.	ut ut re mi fa sol,die Veränderung der Ordnung ist 720-120 macht 600. Aber nicht nur ut, sondern auch ein beliebiges der 6 Töne kann 2 mal, also 6600 macht 3.600, und die verbliebenen 5 Töne immer 5 mal, die anderen 4 können nach u tut gesetzt werden, nämlich re, mi, fa, sol, re, mi, fa, la, re, mi, sol, la. re, fa, sol, la. mi, fa, sol, la; oder 5 Dinge haben 5 Verbindungen von 4: 53.600 macht	18.000
III.	ut ut re re mi fa, 480 ᴖ 15 macht 7200 ᴖ 6 macht	43.200
IV.	ut ut re re mi mi, 360 ᴖ 20 macht	7.200
V.	ut ut ut re mi fa, 360 ᴖ 6 f. 2160 ᴖ 20 macht	43.200
VI.	ut ut ut re re mi, 360 ᴖ 6 ᴖ 5 ᴖ 4 macht	43.200
VII.	ut ut ut re re re, 240 ᴖ 15 macht	3.600
VIII.	ut ut ut ut re mi, 360 ᴖ 6 ᴖ 10 macht	21.600
IX.	ut ut ut ut re re, 240 ᴖ 6 ᴖ 5 macht	7.200
Summe		187.920

Was aber wenn der 7. Ton des Erycius Puteanus, wenn Pausen, wenn solche ungleichen Geschwindigkeiten in den Noten, wenn wir andere musikalischen Symbole anwendeten auf die Berechnung, wenn zum Thema sehr viel mehr Silben als 6, wenn wir weitergingen zu Zusammengesetzten, wie groß wäre das Meer der Melodien, welche durch irgendwelche Fälle brauchbar sein könnten? Es erinnert uns an die Nachbarschaft der Dinge, kann einer beliebigen Gattung der Lieder die brauchbaren Arten oder Wendung, und gleichsam Melodien gefunden werden, die ich weiß nicht irgendjemandem so weit oder zu versuchen in den Sinn gekommen wäre. Wir wollen es mit dem Hexameter versuchen. Weil der Hexameter sechs Füße hat, unter anderen können freilich gewöhnlich der Daktylus und der Spondaeus wohnen, aber als drittvorletzten nur den Daktylus, als letzten den Spondaeus oder Trochaeus gerne hat. Was also die 4 ersten betrifft, sie sind entweder nur Daktyli: 1, oder nur Spondaei: 1, oder 3 Daktyli, ein Spondaneus, oder umgekehrt: 2, oder 2 Daktyli, 2 Spondaei: 1, überall ist die Änderung der Stellung 12, 2+1 macht 3 * 12 macht 36 + 1 + 1 macht 38. Aber in einzelnen Versen dieser Art ist der letzte entweder ein Spondaeus oder ein Trochaeus, 2* 38 macht 76. So viele Arten des Hexameters gibt es, nur durch das Versmaß der Bestandteile. Wenn ich die Änderungen verschweige, die aus den Tonhöhen kommen, z. B. was entweder aus einsilbigen oder zweisilbigen usw. oder auf diesen untereinander gemischten beruht; weil die Stimme eben mit dem Versmaß beschränkt wird, macht es sogleich einen Einschnitt und dieser ändert die Art; weil das Ausatmen häufig dazwischen tritt entweder irgendeine oder keine. Übrigens unterscheiden die Hexameter sich auch durch die Menge der Buchstaben, wie in dieser Angelegenheit das Lied des Publilius Optatianus Porfyrius herausragt (den Cesare Baronio bösartig mit Porphyrios dem Griechen, einem Philosophen und Christenfeind verwechselt) an Flavius Valerius Constantinus Magnus, das aus 26 heroischen Versen besteht, deren erster 25 Buchstaben enthält, die übrigen fortlaufend um einen Buchstaben anwachsen, bis zum 26. Der 50 hat; so stellen sie alle Register der Orgel dar. Sie haben erinnert an Sophronius Eusebius Hieronymus an Paula von Rom, Iulius Firmicus Maternus in der Mythologie, Rabanus Maurus, Beda Venerabilis über das Versmaß. Justus Velsius hat es mit Abbildungen herausgegeben aus seiner Bibliothek Augusta im Jahre 1591. Füge dazu Erycius Puteanus in "Die Wunder der Nächstenliebe" Buchst. N, der behauptet dieses Lied zurück gebracht zu haben aus der verdienten Verbannung; Gerhard Johannes Vossius in Zusammenstellung römischer Dichter siehe Optatianus; ebenso über die griechischen Historiker, 1. 16. Caspar von Barth Aufsatz über die lateinische Sprache, und August Buchner Noten in der Hymne des Venantius Honorius Clementianus Fortunatus über die Auferstehung (die gewöhnlich Lucius Caecilius Firmianus Lactantius zugeschieben wird) siehe 29. Seite 27, der die Hexameter in Form der Panflöte beachtet, der Vers nimmt durch die Mitte zu: Augusto Victoria usw. die Regeln der Orgel, die anacreontischen dimetrischen Jamben alle 18 Buchstaben entsprechen den Flötenrohren. Die Verse haben wir dargestellt, weil sie nicht allenthalben vorkommen:

Augusto Victoria juvat rata reddere vota.
25	O si diviso Metiri Limite Clio
26	Una Lege Sui Uno Manantia Fonte
27	Aonio Versus Heroi Jure Manente
28	Ausuro Donet Metri Felicia Texta
29	Augeri Longo Patiens Exordia Fine
30	Exiguo Cursu Parvo Crescentia Motu
31	Ultima Postremo Donec Vestigia Tota
32	Ascensus Jugi Cumulato Limite Cludat
33	Uno Bis Spatio Versus Elementa Prioris
34	Dinumerans Cogens Aequali Lege Retenta
35	Parva Nimis Longis Et Visu Dissona Multum
36	Tempore Sub Parili Metri Rationibus Isdem
37	Dimidium Numero Musis Tamen Aequiparantem
38	Haec Erit In Varios Species Aptissima Cantus
39	Perque Modos Gradibus Surget Fecunda Sonoris
40	Aere Caro Et Tereti Calamis Crescentibus Aucta
41	Quis Bene Suppositis Quadratis Ordine Plectris
42	Artificis Manus Innumeros Clauditque Aperitque
43	Spiramenta Probans Placitis Bene Consona Rythmis
44	Sub Quibus Unda Latens Properantibus Incita Ventis
45	Quas Vicibus Crebris Iuvenum Labor Haud Sibi Discors
46	Hinc Atque Hinc Animaeque Agitant Augetque Reluctans
47	Compositum Ad Numeros Propriumque Ad Carmina Praestat
48	Quodque Queat Minimum Admotum Intremefacta Frequenter
48	Plectra Adaperta Sequi Aut Placitos Bene Claudere Cantus
50	Jamque Metro Et Rythmis Praestringere Quicquid Ubique Est.

25	Post martios labores,	38	Feruntque dona laeti.
26	Et Caesarum parentes	38	Jam Roma culmen orbis
27	Virtutibus, per orbem	40	Dat munera et coronas
28	Tot laureas virentes,	41	Auro fereos coruscas
29	Et Principis trophaea;	42	Victorias triumphis,
30	Felicibus triumphis	43	Votaque jam theatris
31	Exultat omnis aetas,	44	Redduntur et Choreis.
32	Urbesque flore grato	45	Me sors iniqua laetis
33	Et frondibus decoris	46	Solemnibus remotum
34	Totis virent plateis.	47	Vix haec sonare sivit
35	Hinc ordo veste clara	48	Tot vota fronte Phoebi
36	In purpuris honorum	49	Versuque comta sola,
37	Fausto precantur ore,	50	Augusta rite seclis.

Aus denen können sie vieles über die Schriften der Alten beobachten, besonders den Diphthong Æ bei dem zwei Buchstaben als einziger ausgedrückt wird; welcher jedoch nicht der Brauch ist, weil die Überlegung siegen würde, denn was wie einer klingt muss auch ein Buchstabe sein. Aber dazu haben wir von Publilius Optatianus Porfyrius oder deswegen ausgedehnt gesprochen, dass wir voreingenommen waren nachstehend zu sprechen, wo wir uns auf die von ihm zusammengestellten die Proteus-Verse berufen werden.

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Fragestellung VII.
Bei gegebenem Anfangsvers die Veränderung zu finden.

Fragestellung VIII.
Andere gewöhnliche Veränderungen bei gegebenem Anfangsvers zu finden.

Fragestellung IX.
Gewöhnliche Veränderungen die Anfangsverse haben zu finden.

Fragestellung X.
Die Anfangsverse brauchbarer oder unbrauchbarer Veränderungen zu finden.

Fragestellung XI.
Die unbrauchbaren Veränderungen zu finden.

Fragestellung XII.
Die brauchbaren Veränderungen zu finden.

Die Lösung ist wie im unmittelbar vorangehenden, wenn man diese wenigsten vertauscht, auf dem Wege 1. wie in Fragestellung 12. hinterher 11. Usw. und die Hauptsache der unbrauchbaren wird abgezogen durch die 2. Methode in Fragestellung 11. Auf dem 2. Weg werden die brauchbaren Hauptveränderungen gefunden? Die übrigen wie in der nächsten Fragestellung.

Die Anwendung der Fragestellungen 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Wenn wem diese Fragestellungen entweder gefällig oder unbrauchbar erscheinen, wird er, wenn er von seiner überheblichen Handhabung herabsteigt, etwas anderes sagen. Denn äußerst selten lässt entweder die Natur der Dinge oder der Schein es zu, dass alle möglichen Veränderungen brauchbar sind. Wessen Beispiel in der Veranschaulichung vielleicht weniger nützlich ist, doch sind wir im zu gebenden Beispiel höchst anschaulich. Wir haben oben gesagt, die Proteus-Verse sind reine proteussche, das ist in denen die meisten möglichen Änderungen brauchbar sind, diese allerdings bestehen beinahe völlig aus einsilbigen; oder aus gemischten, in denen die meisten unter die unbrauchbaren fallen, so wie die mehrsilbig sind und diejenigen, die kürzere einschließt. Bei dieser Gattung unter den Alten, wie mir aufgefallen wäre hat Publilius Optatianus Porfyrius solches gewisse ebenso jene von den in der Fragestellung VI versucht. Und Erycius Puteanus überliefert in Wunder der Frömmigkeit, Buchstabe N Seite 92 aus anderen dieses von den Versen des Flavius Valerius Constantinus Magnus diese:

Quem divus genuit Constantius Induperator
Aurea Romanis propagans secula nato.

Von denen der erste ist der Torpalius oder Symphalicus bestehend aus mit der Silbe fortlaufend ansteigenden Stimmen; ein anderer ist der sechsfüßige Proteus wenn es so üblich ist genannt zu werden:

Aurea Romanis propagans secula nato
Aurea propagans Romanis secula nato
Secula Romanis propagans aurea nato
Secula propagans Romanis aurea nato
Propagans Romanis aurea secula nato
Romanis propagans aurea secula nato.

Wirklich viele hat jener Marcus Pedo Vergilianus zuerst.

Du Tityre ruhst zurückgelehnt unter dem Blätterdach der Buche.

der den Gebrauch beinahe zum Scherz wendet. Dessen Veränderungen sind diese: für dich unter 2 für weit zurückgelehnt 2 und Tityre bald am Anfang, wie jetzt, bald Blätterdach am Anfang: bald Tityre unter dem Blätterdach am Ende, bald Blätterdach Tityre am Ende 4*2*2 macht 16. Aber in den Gedichten des Porphyrios ist nicht der einzelne Proteus, sondern alle, und nicht ein Vers, sondern das gesamte Lied so sehr bewundernswert. Diese Art Verse zusammenzustellen ist eine zu vollbringende Aufgabe, dass die passenden Betonungen entweder beginnen oder beenden. Ein anderer der auch den Namen Proteus bekannt macht, ist Julius Caesar Scaliger ein Mann wenn die Wildheit des Scharfsinns fehlte, vollkommen unvergleichlich, "Die Dichter" 2. Buch, Kapitel 30, Seite 185, dieser hat die unzähligen, wie er selbst sagt, Formen zusammengestellt, wie unsere 64.

Listig hast du gehofft, die Götter werden dich übersehen, Proteus.

Er wird vieles nicht leicht finden, wer dessen Spuren unserer Berechnungen liest. Für listig übersehen 2, für Proteus die Götter 2*2 macht 4, Du hast gehofft die Götter dich hat 6*4 macht 24 Veränderungen, die Götter listig die gehofft hat 2 Veränderungen, Divos Te sperasti perfide hat 6+6+6 macht 10*4 macht 49+24 macht 64. Wir haben allerdings bei Publius Vergilius Maro, ebenfalls, mehr Veränderung beobachtet, Aeneis, 1. Buch, Vers 282. Diesen setze ich weder das Ziel der Dinge noch die Zeiten fest. Denn perfide ist eine Betonung, queis ego kann in zwei geteilt werden. Ich komme zu jenem scharfsinnigen Bernardus Bauhusius, einem Jesuiten aus Leuven, der unter den Sinngedichten hervorsticht, wie zum Beispiel oben in der Fragestellung 4, über Christus, so ist es hier über Maria:

So viele sind dir die Gaben Jungfrau, wie Sterne am Himmel.

Würdig ist diese bemerkenswerte Arbeit, die der sehr gebildete Herr Erycius Puteanus ausgeführt hat in einem Büchlein, das er Wunder der Frömmigkeit betitelt hat, herausgegeben im Quartformat in Antwerpen im Jahre 1617, und dessen brauchbare Veränderungen er alle abzählt von Seite 3 bis Seite 50, eingeschlossen welche durch den Autor, wenn sie auch weiter ausgedehnt wurden, innerhalb der Schranken der Nummer 1022 erhalten hat, da was ebenso viele Sterne die Astronomen gewöhnlich zählen, aber er sich selbst vorgenommen hat zu zeigen, dass es nicht weniger Gaben als Sterne gibt; ferner hat er unterlassen was sehr große Sorgfalt beinahe alle jene, die gesehen werden zu sagen, es gibt so viele Sterne am Himmel, wie Maria Gaben hat, denn die Gaben Marias sind sehr viel mehr. Deshalb hätte er diese Veränderungen (z. B. "Quot tibi sunt dotes virgo, tot sidera coelo") als ebenso viele angenommen, nämlich 1022. Durch das Einfügen so viele wie nötig und umgekehrt anderer Verse, ist offensichtlich dass sie zum Vorschein kommen werden. Dies merkt aber Erycius Puteanus auch im Vorwort auf Seite 12 an, manchmal verstehen wir nicht so viele Sterne, sondern auch Gaben hängen am Himmel, wie es Himmelskörper gibt, z. B.

So viele Gaben sind dir Jungfrau im Himmel, wie Sterne.

Darüber hinaus macht er im Bezug auf Veränderungen vieles, was sie bei Virgo und Dir zweifelhaft gewissermaßen gezählt und auseinandergerissen und hervorgebracht zulassen, welchen Kunstgriff wir auch vereinzelt bei Christian Daum beobachtet haben. Erycius Puteanus hat ferner mehrmals an das Wunder und seiner Proteus-Verse des Bernardus Bauhusius in der Zusammenstellung der Briefe cent. I Briefe 49 und 57 an Gisbert Bauhusius, den Vater des Bernardus Bauhusius, füge die Briefe 51, 52, 53, 56 ebenda. Ich habe eine Ausgabe dieser Briefe im Duodez Format erschienen 1647 in Amsterdam, denn in der Ausgabe im Quartformat die er schon 1612 herausgegeben hat, habe ich vergeblich gesucht. Außerdem hat Giovanni Battista Riccioli im Almagestum verus & novum Teil I, Buch 6 Kap. 6, Fußnote 1 hervorgehoben es macht 413 den Autor Erycius Puteanus auf den Irrtum der Merkhilfe des Bernardus Bauhusiushingewiesen, weil es ja aber der Alte die bis heute fortgefühte Meinung von Claudius Ptolemäus war, dass 1022 die Zahl aller Sterne ist. Erycius Puteanus hat den Nachfolgern ein Denkmal seiner Frömmigkeit und seines Scharfsinnes hinterlassen in jenem höchst kunstvollen Lied "Tot Tibi etc." der jedoch nicht Autor sondern Erfasser und Förderer ist. Endlich haben wir beobachtet, dass er geradewegs den ähnlichen Vers in Publius Ovidius Naso mit geringsten Veränderungen diesen aus Metamorphoses XII, Fabel 7 siehe S. 594 hat.

Det mihi se, faxo triplici quid cuspide possim
Sentiat &c.

Das wird folgendes:

Dant mihi se faxo trina quid cuspide possim.

Denn auch die letzte ist bezüglich " mihi et faxo" zweideutig. Auf diesem Gebiet ragt Gregor Kleppis heraus, des heimischen gefeierten Dichters, ein Vers ist hier:

Dresden sind nun drei gegeben, gleich wie die Sonne gibt, Zierden das Licht.

dessen Veränderungen er in einem besonderen Büchlein bis 1617 gezählt hat; die Gelegenheit es den drei Sonnen zu widmen, welche im Jahre 1617 am Himmel strahlten, zu welcher Zeit die drei irdischen Sonnen in Dresden zusammen kamen waren in Österreich zuhause: der Kaiser Matthias, Ferdinand II, König von Böhmen und Erzherzog Maximilian von Ästerreich, der Oberste Meister des Deutschherren Ordens. Das Büchlein das jenen gewidmet ist mit dem Titel "Proteus Gedichte" hat er im selben Jahr herausgegeben, was die Anzahl der Veränderungen anzeigt. Aber insgesamt gibt es mehr Veränderungen als 1617, was selbst der Autor stillschweigend bekennt, wenn auch nur am Ende zwischen den Druckfehlern verteidigt er sich so: es könnte vorgekommen sein, dass er in einer so großen Menge irgendeines zweimal gesetzt hätte, er hätte sie deswegen eingefügt um einige neue Lücken aufzufüllen welche er sicher sei noch nicht gehabt zu haben. Dass wir irgendein Verfahren aufzeigten die Fragestellung der ähnlicheren, werden wir alle brauchbaren Veränderungen berechnen. Das wird so gemacht, wenn wir alle unbrauchbaren finden werden. Den Hauptsatz der Veränderungen haben wir durch Noten der Menge ausgedrückt, denn so hätten wir für mehrere Umstellungen eine angenommen , z. B. — — . — . — . ◡ ◡ . sie enthält auch diese — . — — . — . ◡ ◡ etc. Mit Punkten bezeichnen wir eine Betonung und schließen sie ein.

Aufzählung aller unbrauchnaren Veränderungen.
	Summe aller brauchbaren und unbrauchbaren Veränderungen:	362.880

1.	◡ ◡ . v.g. dant jam Dresdae ceu sol dat lumina lucem	40.320
2.	— — . ◡ ◡ . Dresdae tria dant jam ceu sol etc.	10.080
3.	— . — . ◡◡ . dant jam tria.	14.400
4.	— — . — . — . ◡◡ . Dresdae dant jam tria.	28.800
5.	— — . — — . ◡◡ . Dresdae lucem tria.	1.440
6.	— . — . — . — . ◡◡ . dant jam ceu sol tria.	2.880
7.	— — . — — . — . — . ◡◡ . Dresdae lucem ceu sol tria.	28.800
8.	— — . — . — . — . — . —◡ . Dresdae dant jam ceu sol tria.	7.200
9.	— — . — — . — . — . — . ◡◡ . Dresdae lucem dant jam ceu sol tria.	7.200
10.	am Ende ◡◡ . v. g. tria	40.320
	Summe der unbrauchbaren Veränderungen wegen der Betonung von Tria, die genau die Hälfte der brauchbaren Veränderungen beträgt.	181.440

11.	am Anfang: — . —◡◡ . dant lumina.	18.000
12.	— . — — . —◡◡ . dant Dresdae lumina.	9.600
13.	— . — . — . —◡◡ . dant jam ceu lumina.	4.320
14.	— . — . — . — . — . —◡◡ . dant jam ceu dat lumina.	240
15.	— . — — . — — . —◡◡ . dant Dresdae lucem lumina.	2.160
16.	— . — . — . — — . —◡◡ . dant jam ceu lucem lumina.	5.760
17.	— . — . — . — . — . — — . —◡◡ . dant ceu jam sol dat lucem lumina.	0
18.	— . — . — . — — . — — . —◡◡ . dant ceu jam Dresdae lucem lumina.	1200
19.	— . — . — . — . — . — — . — — . ◡◡ . dant ceu jam sol dat lucem Dresdae lumina.	0
20.	am Ende —◡◡ . v. g. lumina	11.620

	Summe der unbrauchbaren Veränderungen wegen Betonung Lumina	52.900

21.	ੜberall: —◡◡ . ◡◡ . lumina tria	40.320
22.	—◡◡ . —◡◡ . lumina Dresdae tria	14.440
23.	—◡◡ . — . — . —◡◡ . lumina ceu jam tria	4.800
24.	—◡◡ . — . — . — . — . ◡◡ . lumina ceu jam sol dat tria	1.440
25.	—◡◡ . — — . — — . ◡◡ . lumina Dresdae lucem tria	480
26.	—◡◡ . — . — . — — . ◡◡ . lumina ceu jam Dresdae tria	4.800
27.	—◡◡ . — . — . — — . — — . ◡◡ . lumina ceu jam Dresdae lucem tria	4.080
28.	—◡◡ . — . — . — . — . — — . ◡◡ . lumina ceu jam dat sol lucem Dresdae tria	532
29.	—◡◡ . — . — . — . — . — — . ◡◡ . lumina ceu jam dat sol lucem Dresdae tria	2.978

	Summe der unbrachbaren Veränderungen wegen Vervielfältigung Lumina und Tria, durch Voranstellen.	59.870

30.	— . ◡◡ . — . — . ◡◡ . dant tria jam lumina.	2.400
31.	— . ◡◡ . — . — — . — . ◡◡ . dant tria jam Dresdae lumina.	3.840
32.	— . ◡◡ . — . — . — . —◡◡ . ceu sol	1.440
33.	— . ◡◡ . — . — . — . — — . —◡◡ . dant tria jam ceu sol lucem lumina.	5.760
34.	— . ◡◡ . — . — . — . — — . — — . —◡◡ . dant tria jam ceu sol lucem Dresdae lumina	9.360
	Summe der unbrachbaren Veränderungen wegen Vervielfältigung Tria und Lumina, jene vorangestllt	22.800 59870 52.900 181.440

	Gesamtsumme der unbrauchbaren Veränderungen	317.010
	nach Abzug von der Gesamtsumme	362.880
	verbleibt	45.870

	Summe brauchbarer Veränderungen gemäß Kleppisius der Spondeen zuläßt
	Die Spondeen haben wir ausgelassen um den Aufwand der Berechnung nicht zu vergrößern, denn wie viele brauchbaren und unbrauchbaren Veränderungen entstehen aus dem Spondeus, finde ich so:
1.	wenn ans Ende gesetzt — . — — . v.g. dant lucem	100.800
2.	— — . — — . v. g. Dresdae lucem	10.080
3.	— . — . — . v. g. dant seu sol	43.300

	Summe aller brauchbaren und unbrauchbaren der Spondeen	154.080

Darüber hinaus ragt der Heldenvers des sehr berühmten Carl von Goldstein heraus.

Die Kunst ist nicht derartige gut aufgebaute Verse zu schreiben,

In der Kunst sich zu verleugnen, welcher 1644 Veränderungen zu umfassen wie man sagt. Im Wettstreit derer, besonders mit Gregor Kleppis, ist Henricus Reimerus aus Lüneburg an der heimatlichen Schule am Johannis Kolleg über Proteus unterrichtet, derartiges hervorgegangen:

Gib gnädiger Christ der Stadt heiteren Frieden in unserer Zeit.

die er fortsetzt im gleichen Jahr 1619, in dem alle dessen Veränderungen in einem Büchlein im Duodez Format eingeschlossen in Hamburg erschienen hervorgegangen sind. Auch der sehr fleißige Christian Daum, ein in aller Art von Gedichten, freilich hat er nicht gewollt deswegen dass ihm entgegengehalten wird, er sei zurückgeblieben. Ich würde nichts über dessen Fülle sagen, über welche Lieder derselbe er dreitausendfach gesprochen hat (denn hier nicht andere Worte, sondern es muss eine andere Anordnung derselben Worte sein) was er in diesem Satz: es werde Gerechtigkeit oder die Welt geht unter, durch den Dichter Vertumnus aus Zwickau im Jahr 1646 herausgegeben, vorangestellt hat. Ich wende mich wenigstens dem zu, was auch dem Autor angemerkt ist in der Klosterhandschrift 1 Zeilen 219 und 220 als Proteus Verse angemerkt ist. Diese sind die folgenden:

v. 219: Entweder Macht, Betrug und Recht fehlen, oder der Himmel stürzt ein.
v. 220: Macht, Betrug, Streit fehlen, Gleichheit tragen, oder der Erdkreis stürzt ein.

Aber neulich haben wir gefunden, von ihm selbst mitgeteilt, ich würdige einen seiner anderen Verse, den er gefunden hat ohne ihn zu veröffentlichen, der es verdient mehr als Proteus genannt zu werden, denn nicht so sehr in demselben, sondern er wird in viele andere Arten Lieder umgewandelt. Denn die Worte sind diese: Oh Gütiger (d. h. Gott) Verherrlichter Petrus (Jünger) es wäre ein doppelter Gewinn: die mannigfaltigen Umstellungen ergeben 8 Alcaicos, 8 Phaleucios, 14 Sapphicos, 42 Archilochios, in denen allen das Weglassen unbetonter Silben vorliegt. Aber fürwahr ohne Elision macht er 32 Pentameter, sechsfüßige Jamben nur 20, Scazontes nur 22, Scazontes und Jamben zugleich 44 (und so alle Jamben 64 alle Scazontes 66) wenn man eine Silbe zufügt wäre es ein Hexameter, z. B.

Fac duplo Petrus lucro sit mactus, o alme!

Veränderlich von 480 Versen. Übrigens der größte Teil der Kunstfertigkeit besteht darin, in Beziehung der meisten Silben, wie die erste im Doppel, Petrus, Reichtum, sind ungewiss. Aber die Elision wirkt wie ebendieselben Worte, durch das Weglassen von Silben ergeben sich verschiedene Arten des Lieds. Einen anderen hatte er schon im Jahre 1655 ergeben, aber einen Teil der Veränderungen, nämlich diesen alkäischen Vers:

Faustum alma sponsis da Trias o torum!

Umwandelbar in 4 Phaleucios, 5 Sapphicos, 8 Pentameter, 8 Archilochius, 14 sechsfüßige Jamben, 14 Scazonten.

Sed jam tempus equum spumantia solvere colla.

Wenn dennoch jemand unsere Weitschweifigkeit missbilligt, achte ich das; damit es nicht zur Gewohnheit gekommen sein wird, gegen die Kürze wendet sich das Glück.

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Dissertatio De Arte Combinatoria

Synopsis Dissertationis De Arte Combinatoria

Prooemium.

Definitiones.

Problemata.

Probl. I.Dato numero et exponente complexiones inveniere.

Probl. II.Dato numero complexiones simpliciter inveniere.

Usus Probl. I et II.

Probl. III.Dato numero classium et rerum in classibus, complexiones in classium inveniere.

Probl. IV.Dato numero rerum, variationes ordinis inveniere.

Probl. V.Dato numero rerum, variationem situs mere relati seu vicinitas inveniere.

Probl. VI.Dato numero rerum variandarum, quarum aliqua vel aliquae repetuntur, variationem ordinis inveniere.

Probl. VII.Dato capite, variationes reperire.

Probl. VIII.Variationes alteri dato capiti communes reperire.

Probl. IX.Capita variationes communes reperire.

Probl. X.Capita variationum utilium aut inutilium reperire.

Probl. XI.Variationes inutiles reperire.

Probl. XII.Variationes utiles reperire.

Usus Problem. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Erörterung über die Kunst der Kombinatorik.

Zusammenfassung der Erörterung zur Kombinatorik

Einleitung.

Mit Gott!

Definitionen.

Fragestellungen

Fragestellung I.Aus der gegebenen Anzahl und dem Exponenten die Verbindungen zu finden.

Fragestellung II.Aus der gegebenen Anzahl die Verbindungen einfacher zu finden.

Fragestellung III.Aus der gegebenen Anzahl der Klassen und Gegenstände in den Klassen, die Verbindungen in den Klassen zu finden.

Fragestellung IV.Aus der gegebenen Anzahl Gegenstände die Veränderungen der Anordnung zu finden.

Fragestellung V.Aus der gegebenen Anzahl Gegenstände die Veränderungen des Platzes nur der auf einander bezogenen oder die Nachbarschaft zu finden.

Fragestellung VI.Bei gegebener Anzahl der zu verändernden Dinge, welche irgendeiner oder irgendwelchen wiederholt werden, die Änderung der Anordnung zu finden.

Fragestellung VII.Bei gegebenem Anfangsvers die Veränderung zu finden.

Fragestellung VIII.Andere gewöhnliche Veränderungen bei gegebenem Anfangsvers zu finden.

Fragestellung IX.Gewöhnliche Veränderungen die Anfangsverse haben zu finden.

Fragestellung X.Die Anfangsverse brauchbarer oder unbrauchbarer Veränderungen zu finden.

Fragestellung XI.Die unbrauchbaren Veränderungen zu finden.

Fragestellung XII.Die brauchbaren Veränderungen zu finden.

Die Anwendung der Fragestellungen 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Ende

Probl. I.
Dato numero et exponente complexiones inveniere.

Probl. II.
Dato numero complexiones simpliciter inveniere.

Probl. III.
Dato numero classium et rerum in classibus, complexiones in classium inveniere.

Probl. IV.
Dato numero rerum, variationes ordinis inveniere.

Probl. V.
Dato numero rerum, variationem situs mere relati seu vicinitas inveniere.

Probl. VI.
Dato numero rerum variandarum, quarum aliqua vel aliquae repetuntur, variationem ordinis inveniere.

Probl. VII.
Dato capite, variationes reperire.

Probl. VIII.
Variationes alteri dato capiti communes reperire.

Probl. IX.
Capita variationes communes reperire.

Probl. X.
Capita variationum utilium aut inutilium reperire.

Probl. XI.
Variationes inutiles reperire.

Probl. XII.
Variationes utiles reperire.

Fragestellung I.
Aus der gegebenen Anzahl und dem Exponenten die Verbindungen zu finden.

Fragestellung II.
Aus der gegebenen Anzahl die Verbindungen einfacher zu finden.

Fragestellung III.
Aus der gegebenen Anzahl der Klassen und Gegenstände in den Klassen, die Verbindungen in den Klassen zu finden.

Fragestellung IV.
Aus der gegebenen Anzahl Gegenstände die Veränderungen der Anordnung zu finden.

Fragestellung V.
Aus der gegebenen Anzahl Gegenstände die Veränderungen des Platzes nur der auf einander bezogenen oder die Nachbarschaft zu finden.

Fragestellung VI.
Bei gegebener Anzahl der zu verändernden Dinge, welche irgendeiner oder irgendwelchen wiederholt werden, die Änderung der Anordnung zu finden.

Fragestellung VII.
Bei gegebenem Anfangsvers die Veränderung zu finden.

Fragestellung VIII.
Andere gewöhnliche Veränderungen bei gegebenem Anfangsvers zu finden.

Fragestellung IX.
Gewöhnliche Veränderungen die Anfangsverse haben zu finden.

Fragestellung X.
Die Anfangsverse brauchbarer oder unbrauchbarer Veränderungen zu finden.

Fragestellung XI.
Die unbrauchbaren Veränderungen zu finden.

Fragestellung XII.
Die brauchbaren Veränderungen zu finden.